1.已知直線l的方程為 3x+3y?1=0，則直線的傾斜角為( )
A. ?30°B. 60°C. 150°D. 120°
2.雙曲線C：x216?y220=1上的點P到左焦點的距離為9，則P到右焦點的距離為( )
A. 5B. 1C. 1或17D. 17
3.已知兩條直線l1：x+my+6=0，l2：(m?2)x+3y+2m=0，若l1與l2平行，則m為( )
A. ?1B. 3C. ?1或3D. 0
4.設x，y∈R，向量a=(x,1,1)，b=(1,y,1)，c=(2,?4,2)且a⊥b，b/?/c，則|a+b|=( )
A. 2 2B. 3C. 10D. 4
5.已知圓x2?2ax+y2=0(a>0)截直線x?y=0所得弦長是2 2，則a的值為( )
A. 2B. 2C. 6D. 3
6.如圖：在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，M為A1C1與B1D1的交點．若AB=a，AD=b，AA1=c，則下列向量中與BM相等的向量是( )
A. ?12a+12b+c
B. 12a+12b+c
C. ?12a?12b+c
D. 12a?12b+c
7.設M是橢圓C：x29+y24=1上的上頂點，點P在C上，則|PM|的最大值為( )
A. 9 55B. 15C. 13D. 4
8.已知F1，F2分別為雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左，右焦點，雙曲線C上的點A滿足|AF1|=2|AF2|，且AF1的中點在y軸上，則雙曲線C的離心率為( )
A. 3+12B. 3C. 2D. 3+1
9.已知P是拋物線y2=4x上的一點，過點P作直線x=?3的垂線，垂足為H，若Q是圓C：(x+3)2+(y?3)2=1上任意一點，則|PQ|+|PH|的最小值是( )
A. 3 5?1B. 4C. 5D. 6
10.已知雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點F與拋物線y2=8x的焦點重合，過F作與一條漸近線平行的直線l，交另一條漸近線于點A，交拋物線y2=8x的準線于點B，若三角形AOB(O為原點)的面積3 3，則雙曲線的方程為( )
A. x212?y24=1B. x24?y212=1C. x23?y2=1D. x2?y23=1
二、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分。
11.已知點F是拋物線C：x2=2py(p>0)的焦點，O為坐標原點，若以F為圓心，|FO|為半徑的圓與直線 3x?y+6=0相切，則拋物線C的方程為 ．
12.若雙曲線y2a2?x2b2=1(a>0,b>0)的離心率為2，則其兩條漸近線所成的銳角的大小為______．
13.平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，向量AB、AD、AA1兩兩的夾角均為60°，且|AB|=1，|AD|=2，|AA1|=3，則|AC1|等于 ．
14.已知圓C：(x?1)2+(y?2)2=25，直線l：(2m+1)x+(m+1)y?7m?4=0，m∈R，則直線l截圓C所得弦長|AB|的最小值為 ．
15.已知直線l：x?y?9 5=0，點P為橢圓C：x2+y24=1上的一個動點，則點P到直線l的距離的最小值為______．
16.已知棱長為1的正方體ABCD?EFGH，若點P在正方體內部且滿足AP=34AB+12AD+23AE，則點P到AB的距離為______，正方體ABCD?EFGH，Q是平面ABCD內一動點，若EQ與EC所成角為π4，則動點Q的軌跡方程______．
三、解答題：本題共3小題，共40分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
17.(本小題12分)
已知直線l：(k?1)x?2y+5?3k=0(k∈R)恒過定點P，圓C經過點A(5,?1)和點P，且圓心在直線x?2y+2=0上．
(1)求定點P的坐標；
(2)求圓C的方程．
18.(本小題14分)
如圖，在四棱錐P?ABCD中，M是PA的中點，AB//CD,AD⊥CD,PD⊥平面ABCD，且CD=3，AD=PD=2，AB=1．
(1)求證：PA⊥CD；
(2)求直線PA與平面CMB所成角的正弦值；
(3)求平面PAB與平面CMB夾角的大小．
19.(本小題14分)
已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)離心率等于 32且橢圓C經過點p( 3,12)．
(1)求橢圓的標準方程C；
(2)若直線y=kx+m與軌跡C交于M，N兩點，O為坐標原點，直線OM，ON的斜率之積等于?14，試探求△OMN的面積是否為定值，并說明理由．
參考答案
1.C
2.D
3.A
4.B
5.B
6.A
7.A
8.B
9.D
10.D
11.x2=8y
12.π3
13.5
14.4 5
15.4 10
16.56 x2+y2+1?4xy?4x?4y=0
17.解：(1)直線l：(k?1)x?2y+5?3k=0(k∈R)可化為(x?3)k?x?2y+5=0，
令x?3=0?x?2y+5=0得P點坐標為(3,1)；
(2)設圓心在AP的垂直平分線上，設AP垂直平分線上的點為(x,y)，則 (x?5)2+(y+1)2= (x?3)2+(y?1)2，化簡得：x?y?4=0，
又因為圓心在直線x?2y+2=0上，所以x?2y+2=0x?y?4=0，
所以圓心坐標為(10,6)，半徑r= (10?3)2+(6?1)2= 74，
所以圓的方程為：(x?10)2+(y?6)2=74．
18.證明：(1)AD⊥CD，PD⊥平面ABCD，
AD?平面ABCD，CD?平面ABCD，
則PD⊥AD，PD⊥CD，
以D為原點，分別以DA，DC，DP所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，

CD=3，AD=PD=2，AB=1，M是PA的中點，
則D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,3,0)，P(0,0,2)，M(1,0,1)，B(2,1,0)，
故CD=(0,?3,0),PA=(2,0,?2)，
則PA?CD=2×0+0×(?3)+(?2)×0=0，
所以PA⊥CD，即PA⊥CD
(2)解：C(0,3,0)，B(2,1,0)，P(0,0,2)，M(1,0,1)，
CB=(2,?2,0),BM=(?1,?1,1),PA=(2,0,?2),|PA|=2 2，
設平面CMB的法向量n=(x,y,z)，
則n?CB=0n?BM=0，即2x?2y=0?x?y+z=0，令y=1，則x=1，z=2，
∴n=(1,1,2)，|n|= 1+1+4= 6，
設直線PA與平面CMB所成的角為θ，θ∈[0,π2]，
則sinθ=|cs?PA,n?|=|PA?n||PA||n|=22 2× 6= 36，
所以PA與平面CMB所成角的正弦值為 36．
(3)解：B(2,1,0)，P(0,0,2)，A(2,0,0)，
AB=(0,1,0),BP=(?2,?1,2)，
設平面PAB的法向量m=(a,b,c)，則m?AB=0m?BP=0，即b=0?2a?b+2c=0，
不妨令a=1，則c=1，即m=(1,0,1)，|m|= 1+0+1= 2．
又平面CMB的法向量n=(1,1,2),|n|= 6，
設平面PAB與平面CMB夾角為α，則α為銳角，
∴csα=|cs?m,n?|=|m?n|m||n||=3 2× 6= 32，
∴α=π6，
故平面PAB與平面CMB夾角為π6．
19.解：(1)因為離心率等于 32且橢圓C經過點p( 3,12)，
所以ca= 323a2+14b2=1a2=b2+c2，
解得a2=4，b2=1，
則橢圓C的方程為x24+y2=1；
(2)不妨設M(x1,y1)，N(x2,y2)，
聯立y=kx+mx24+y2=1，消去y并整理得(1+4k2)x2+8kmx+4m2?4=0，
此時Δ=64k2m2?4(1+4k2)(4m2?4)>0，
即4k2+1>m2，
由韋達定理得x1+x2=?8km1+4k2,x1?x2=4m2?41+4k2，①
因為直線OM，ON的斜率之積等于?14，
所以kOM?kON=?14，
即y1y2x1x2=?14，
此時(kx1+m)(kx2+m)x1x2=?14，
整理得k2x1x2+km(x1+x2)+m2x1x2=?14，②

聯立①②，可得2m2=4k2+1，
又|MN|= (1+k2)[(x1+x2)2?4x1x2]= (1+k2)(64k2+16?16m2)(1+4k2)2，
而O點到直線MN的距離d=|m| 1+k2，
所以S△OMN=12d|MN|=12 m2(64k2+16?16m2)(1+4k2)2
=12 12(4k2+1)(64k2+16?32k2?8)(1+4k2)2=1，
故△OMN的面積為定值，定值為1．

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