TOC \ "1-3" \n \h \z \u
\l "_Tc158208370" 題型01 尺規(guī)作圖-作線段
\l "_Tc158208371" 題型02 尺規(guī)作圖-作一個(gè)角等于已知角
\l "_Tc158208372" 題型03 尺規(guī)作圖-尺規(guī)作角的和、差
\l "_Tc158208373" 題型04 尺規(guī)作圖-過(guò)直線外一點(diǎn)作這條線的平行
\l "_Tc158208374" 題型05 尺規(guī)作圖-作三角形（含特殊三角形）
\l "_Tc158208375" 題型06 尺規(guī)作圖-作角平分線
\l "_Tc158208376" 題型07 尺規(guī)作圖-作垂直平分線
\l "_Tc158208377" 題型08 尺規(guī)作圖-作三角形的中線與高
\l "_Tc158208378" 題型09 尺規(guī)作圖- 畫(huà)圓
\l "_Tc158208379" 題型10 尺規(guī)作圖-過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線
\l "_Tc158208380" 題型11 尺規(guī)作圖-找圓心
\l "_Tc158208381" 題型12 尺規(guī)作圖-作外接圓
\l "_Tc158208382" 題型13 尺規(guī)作圖-作內(nèi)切圓
\l "_Tc158208383" 題型14 尺規(guī)作圖-作圓內(nèi)接正多邊形
\l "_Tc158208384" 題型15 尺規(guī)作圖-格點(diǎn)作圖
\l "_Tc158208385" 題型16 判斷是否命題
\l "_Tc158208386" 題型17 判斷命題真假
\l "_Tc158208387" 題型18 舉反例說(shuō)明命題為假命題
\l "_Tc158208388" 題型19 寫出命題的逆命題
\l "_Tc158208389" 題型20 反證法證明中的假設(shè)
\l "_Tc158208390" 題型21 用反證法證明命題
題型01 尺規(guī)作圖-作線段
1．（2023·山東青島·模擬預(yù)測(cè)）尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡，不要求寫出作法）：
如圖，已知線段m，n．求作△ABC，使∠A=90°,AB=m,BC=n．
【答案】見(jiàn)解析
【分析】作直線l及l(fā)上一點(diǎn)A；過(guò)點(diǎn)A作l的垂線；在l上截取AB=m；作BC=n；即可得到△ABC．
【詳解】解：如圖所示：△ABC為所求．
注：（1）作直線l及l(fā)上一點(diǎn)A；
（2）過(guò)點(diǎn)A作l的垂線；
（3）在l上截取AB=m；
（4）作BC=n．
【點(diǎn)睛】本題考查作圖——復(fù)雜作圖，解題的關(guān)鍵是熟練掌握五種基本作圖，屬于中考常考題型．
2．（2022·山東青島·青島大學(xué)附屬中學(xué)?？家荒＃┮阎骸夕粒€段a．
求作：矩形ABCD，使對(duì)角線的長(zhǎng)為a，夾角為∠α．
【答案】見(jiàn)解析
【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)及線段、角及線段中點(diǎn)的作圖方法作圖即可．
【詳解】作法：
①作直線MN與PQ交于點(diǎn)O，使∠QON=∠α
②分別以線段a的兩端G、H為圓心，以大于12a長(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)E、F，連接EF，交線段a于點(diǎn)KG=12a
③以點(diǎn)O為圓心，以12a 長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交OM、OP、ON、OQ與點(diǎn)A、B、C、D
④連接A、B、C、D
則四邊形ABCD即為所求作的矩形．
【點(diǎn)睛】本題考查了線段的作圖、角的尺規(guī)作圖以及矩形的性質(zhì)，熟練掌握作圖的步驟以及矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
3．（2022·山東青島·統(tǒng)考二模）尺規(guī)作圖（要求：不寫作法，保留作圖痕跡）
如圖，已知線段MN=a，AR⊥AK，垂足為A．
求作：⊙O，使⊙O分別與AK、AR相切，圓心O與點(diǎn)A的距離等于a．
【答案】作圖見(jiàn)詳解
【分析】以點(diǎn)A為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，分別交AR、AK于點(diǎn)B、C，再以BC為圓心，以大于12BC的長(zhǎng)度為半徑作弧，交于點(diǎn)D，連接AD并延長(zhǎng)，即為∠RAK的平分線；以點(diǎn)A為圓心，a的長(zhǎng)度為半徑作弧，交AD于點(diǎn)O，點(diǎn)O即為所求圓的圓心；以點(diǎn)O為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，交AR于點(diǎn)E、F，再分別以E、F為圓心，以大于12EF的長(zhǎng)度為半徑作弧，交與點(diǎn)G，連接OG并延長(zhǎng)，交AR于點(diǎn)H，最后以O(shè)為圓心，OH長(zhǎng)為半徑作圓即為所要求的⊙O．
【詳解】解：作圖如下：
【點(diǎn)睛】本題主要考查了尺規(guī)作圖-復(fù)雜作圖，涉及的知識(shí)點(diǎn)包括利用尺規(guī)作圖作角平分線、作垂線、作線段等于已知線段等，解題關(guān)鍵是熟練掌握尺規(guī)作圖基本方法．
4．（2023·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考一模）下面是小李設(shè)計(jì)的“利用直角和線段作矩形”的尺規(guī)作圖過(guò)程．
已知：如圖1，線段a，b，及∠MAN=90°．
求作：矩形ABCD，使AB=a，AD=b．
作法：如圖2，
①在射線AM，AN上分別截取AB=a，AD=b；
②以B為圓心，b長(zhǎng)為半徑作弧，再以D為圓心，a長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在∠MAN內(nèi)部交于點(diǎn)C；
③連接BC，DC．
∴四邊形ABCD就是所求作的矩形．
根據(jù)小李設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程，解答下列問(wèn)題：
(1)使用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖2(保留作圖痕跡)；
(2)完成下面的證明．
證明：∵AB=DC=a，AD= =b，
∴四邊形ABCD是平行四邊形( )(填推理的依據(jù))．
∵∠MAN=90°，
∴四邊形ABCD是矩形( )(填推理的依據(jù))．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)BC，兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形，有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形
【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可；
（2）根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形證明即可．
【詳解】（1）解：如圖，矩形ABCD即為所求；
（2）證明：∵AB=DC=a，AD=BC=b，
∴四邊形ABCD是平行四邊形（兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形），
∵∠MAN=90°，
∴四邊形ABCD是矩形（有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形）．
故答案為：BC，兩組對(duì)邊分別相等的四邊形的平行四邊形，有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形．
【點(diǎn)睛】本題考查了作線段，矩形的性質(zhì)與判定定理，掌握矩形的性質(zhì)與判定定理是解題的關(guān)鍵．
題型02 尺規(guī)作圖-作一個(gè)角等于已知角
5．（2019·河北·模擬預(yù)測(cè)）“經(jīng)過(guò)已知角一邊上的一點(diǎn)作“個(gè)角等于已知角”的尺規(guī)作圖過(guò)程如下：
已知：如圖（1），∠AOB和OA上一點(diǎn)C．
求作：一個(gè)角等于∠AOB，使它的頂點(diǎn)為C，一邊為CA．
作法：如圖（2），
（1）在0A上取一點(diǎn)D（OD＜OC），以點(diǎn)O為圓心，OD長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交OB于點(diǎn)E；
（2）以點(diǎn)C為圓心，OD長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交CA于點(diǎn)F，以點(diǎn)F為圓心，DE長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)C；
（3）作射線CC．
所以∠CCA就是所求作的角
此作圖的依據(jù)中不含有（ ）
A．三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等B．全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等
C．兩直線平行同位角相等D．兩點(diǎn)確定一條直線
【答案】C
【分析】根據(jù)題意知，作圖依據(jù)有全等三角形的判定定理SSS，全等三角形的性質(zhì)和兩點(diǎn)確定一條直線，直接判斷即可．
【詳解】解：由題意可得：由全等三角形的判定定理SSS可以推知△EOD≌△GCF，故A正確；
結(jié)合該全等三角形的性質(zhì)對(duì)應(yīng)角相等，故B正確；
作射線CG，利用兩點(diǎn)確定一條直線，故D正確；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查作一個(gè)角等于已知角和三角形全等的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是明確作圖原理，準(zhǔn)確進(jìn)行判斷．
6．（2022·山東菏澤·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知：∠O及其一邊上的兩點(diǎn)A，B．
求作：Rt△ABC，使∠C=90°，且點(diǎn)C在∠O內(nèi)部，∠BAC=∠O．
【答案】見(jiàn)解析
【分析】先在∠O的內(nèi)部作∠DAB=∠O，再過(guò)B點(diǎn)作AD的垂線，垂足為C點(diǎn)．
【詳解】解：如圖，Rt△ABC為所作．
【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．
7．（2022·陜西寶雞·統(tǒng)考二模）如圖，已知△ABC，AC＞AB，∠C＝45°．請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在AC邊上求作一點(diǎn)P，使∠PBC＝45°．（保留作圖痕跡．不寫作法）
【答案】詳見(jiàn)解析
【分析】根據(jù)尺規(guī)作圖法，作一個(gè)角等于已知角，在AC邊上求作一點(diǎn)P，使∠PBC＝45°即可．
【詳解】解： 作法：（1）以點(diǎn)C為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交AC于D，交BC于E，
（2）以點(diǎn)B為圓心，以CD長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交BC于F，
（3）以點(diǎn)F為圓心，以DE長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交前弧于點(diǎn)M，
（3）連接BM，并延長(zhǎng)BM與AC交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求．
如圖，點(diǎn)P即為所求．
【點(diǎn)睛】本題考查了作圖——基本作圖．解決本題的關(guān)鍵是掌握基本作圖方法．
題型03 尺規(guī)作圖-尺規(guī)作角的和、差
8．（2022下·山東青島·七年級(jí)山東省青島市第五十七中學(xué)?？计谥校┮阎夕痢ⅰ夕?，求作∠AOB，使∠AOB=∠α-∠β．
【答案】見(jiàn)解析
【分析】如圖，作∠AOC=α，在∠AOC的內(nèi)部作∠BOC=β，∠AOB即為所求．
【詳解】解：如圖，∠AOB即為所求．
．
【點(diǎn)睛】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，解題的關(guān)鍵是理解題意，熟練掌握五種基本作圖，屬于中考常考題型．
9．（2023下·山西晉中·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知∠α，∠β，求作：∠AOB，使∠AOB=∠α+∠β．（要求：在指定作圖區(qū)域用尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）

【答案】見(jiàn)解析
【分析】根據(jù)做一個(gè)角等于已知角的方法∠AOC=∠β，∠BOC=∠α，再利用尺規(guī)作∠AOB=∠α+∠β即可解答．
【詳解】解：如圖所示∠AOB=∠α+∠β，


【點(diǎn)睛】本題考查了利用尺規(guī)作一個(gè)角等于已知角的方法以及利用尺規(guī)作角的和差，掌握尺規(guī)作圖法是解題的關(guān)鍵．
10．（2020下·六年級(jí)?？紗卧獪y(cè)試）已知∠α、∠β，用尺規(guī)畫(huà)出∠AOB=2∠α-∠β．（不寫作法，標(biāo)明字母）
【答案】見(jiàn)解析
【分析】根據(jù)用尺規(guī)作圖作角等于已知角作圖即可．
【詳解】解：分別以∠α、∠β的頂點(diǎn)為圓心，任意長(zhǎng)度為半徑作弧，分別交∠α、∠β的邊于P、Q、M、N；
作射線OB，以O(shè)為圓心，以相同長(zhǎng)度為半徑作一個(gè)優(yōu)弧，交射線OB于點(diǎn)C，以C為圓心，PQ的長(zhǎng)度為半徑作弧，交優(yōu)弧于點(diǎn)D，作射線OD，再以D為圓心，PQ的長(zhǎng)為半徑作弧，交優(yōu)?。ā螪OB外部）于點(diǎn)E，作射線OE，然后以E為圓心，MN的長(zhǎng)為半徑作弧，交優(yōu)?。ā螮OB內(nèi)部）于點(diǎn)A，作射線OA，如圖所示：∠AOB=2∠α-∠β，∠AOB即為所求．
【點(diǎn)睛】此題考查的是用尺規(guī)作圖作角等于已知角，掌握用尺規(guī)作圖作角等于已知角是解決此題的關(guān)鍵．
11．（2023下·廣東佛山·七年級(jí)佛山六中?？茧A段練習(xí)）如圖，已知∠ABC及AB上一點(diǎn)A，
(1)利用三角板，過(guò)點(diǎn)A作BC的垂線，垂足為點(diǎn)E，此時(shí)線段AE的長(zhǎng)為點(diǎn)A到直線BC的距離．
(2)尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡）：利用尺規(guī)在BC下方以點(diǎn)B為頂點(diǎn)作∠CBD，使得∠CBD=2∠ABC．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)垂線的定義，作出圖形即可；
（2）以點(diǎn)B為圓心，已任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交AB于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)G，再以點(diǎn)G為圓心，以FG長(zhǎng)為半徑，在BC的下方畫(huà)弧，與之前的弧交于點(diǎn)H，再以點(diǎn)H為圓心，以FG長(zhǎng)為半徑，在點(diǎn)H下方畫(huà)弧，與第一個(gè)弧交于點(diǎn)K，連接BK，并延長(zhǎng)至點(diǎn)D，即可得出∠CBD=2∠ABC．
【詳解】（1）解：如圖，線段AE即為所求，此時(shí)線段AE的長(zhǎng)為點(diǎn)A到直線BC的距離．
（2）解：如圖，∠CBD即為所求，
【點(diǎn)睛】本題考查作圖—復(fù)雜作圖，垂線，點(diǎn)到直線的距離，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．
題型04 尺規(guī)作圖-過(guò)直線外一點(diǎn)作這條線的平行
12．（2023·河北衡水·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）下面四個(gè)圖是小明用尺規(guī)過(guò)點(diǎn)C作AB邊的平行線所留下的作圖痕跡，其中正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)平行線的判定，結(jié)合尺規(guī)作圖方法即可判斷．
【詳解】解：若要過(guò)點(diǎn)C作AB的平行線，
則應(yīng)過(guò)點(diǎn)C作一個(gè)角等于已知角，
由作圖可知，選項(xiàng)A符合題意，
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了平行線的判定．
13．（2023·甘肅天水·統(tǒng)考一模）如圖，已知線段MN=a,AR⊥AK，垂足為a．
（1）求作四邊形ABCD，使得點(diǎn)B，D分別在射線AK,AR上，且AB=BC=a，∠ABC=60°，CD//AB；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）
（2）設(shè)P，Q分別為（1）中四邊形ABCD的邊AB,CD的中點(diǎn)，求證：直線AD,BC,PQ相交于同一點(diǎn)．
【答案】（1）作圖見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)AB=a，點(diǎn)B在射線AK上，過(guò)點(diǎn)A作AB=a；根據(jù)等邊三角形性質(zhì)，得AB=BC=AC，分別過(guò)點(diǎn)A、B，a為半徑畫(huà)圓弧，交點(diǎn)即為點(diǎn)C；再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)作CD，即可得到答案；
（2）設(shè)直線BC與AD相交于點(diǎn)S、直線PQ與AD相交于點(diǎn)S'，根據(jù)平行線和相似三角形的性質(zhì)，得ADS'D=ADSD，從而得S'D=SD，即可完成證明．
【詳解】（1）作圖如下：
四邊形ABCD是所求作的四邊形；
（2）設(shè)直線BC與AD相交于點(diǎn)S，
∵DC//AB，
∴△SBA∽△SCD，
∴SASD=ABDC
設(shè)直線PQ與AD相交于點(diǎn)S'，
同理S'AS'D=PAQD．
∵P，Q分別為AB,CD的中點(diǎn)，
∴PA=12AB，QD=12DC
∴PAQD=ABDC
∴S'AS'D=SASD，
∴S'D+ADS'D=SD+ADSD，
∴ADS'D=ADSD，
∴S'D=SD，
∴點(diǎn)S與S'重合，即三條直線AD,BC,PQ相交于同一點(diǎn)．
【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖、等邊三角形、直角三角形、平行線、相似三角形等基礎(chǔ)知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握推理能力、空間觀念、化歸與轉(zhuǎn)化思想，從而完成求解．
14．（2022·湖南長(zhǎng)沙·長(zhǎng)沙市南雅中學(xué)校聯(lián)考一模）已知：如圖，直線l，和直線外一點(diǎn)P．
求作：過(guò)點(diǎn)P作直線PC，使得PC∥l．
作法：①在直線l上取點(diǎn)O，以點(diǎn)O為圓心，OP長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，交直線l于A，B兩點(diǎn)；
②連接AP，以點(diǎn)B為圓心，AP長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交半圓于點(diǎn)C；
③作直線PC．
直線PC即為所求作．
根據(jù)尺規(guī)作圖，完成下面的證明：
證明：連接BP．
∵BC=AP，
∴BC=________，
∴∠ABP=∠BPC（________________________）（填推理依據(jù)），
∴直線PC∥直線l（________________________）（填推理依據(jù)）．
【答案】AP，等弧所對(duì)的圓周角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行
【分析】連接BP，由圓中等弦對(duì)等弧，根據(jù)圓周角定理得到∠ABP=∠BPC，再根據(jù)平行線的判定定理：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行即可得到結(jié)論．
【詳解】證明：連接BP，如圖所示：
∵BC=AP，
∴BC=AP，
∴∠ABP=∠BPC（等弧所對(duì)的圓周角相等），
∴直線PC∥直線l（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．
【點(diǎn)睛】本題考查尺規(guī)作圖與幾何證明綜合，涉及到尺規(guī)作圖、圓的性質(zhì)、圓周角定理和平行線的判定，熟練掌握尺規(guī)作圖及內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
15．（2022·北京大興·統(tǒng)考二模）下面是小東設(shè)計(jì)的“過(guò)直線外一點(diǎn)作這條直線的平行線”的尺規(guī)作圖過(guò)程．
已知：直線l和直線l外一點(diǎn)P．
求作：直線PQ，使得PQ∥l．
作法：如圖，
①在直線l上任取兩點(diǎn)A，B；
②以點(diǎn)P為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，以點(diǎn)B為圓心，AP長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧在直線l上方相交于點(diǎn)Q；
③作直線PQ．
直線PQ就是所求作的直線．
根據(jù)小東設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程，
(1)使用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；
(2)完成下面的證明．
證明：∵PA=QB,AB=PQ，
∴四邊形PABQ是平行四邊形（___________）（填寫推理的依據(jù)）．
∴PQ∥AB（______________）（填寫推理的依據(jù)）．
即PQ∥l
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；平行四邊形的兩組對(duì)邊分別平行．
【分析】（1）根據(jù)題目告訴的作圖方法進(jìn)行作圖即可；
（2）利用平行四邊形的性質(zhì)與判定證明即可．
【詳解】（1）解：如圖所示，直線PQ就是所求作的直線．
（2）證明：∵ PA=QB，AB=PQ
∴四邊形PABQ是平行四邊形（兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形）．
∴ PQ∥AB（平行四邊形的兩組對(duì)邊分別平行）．
即PQ//l．
【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖，平行四邊形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
題型05 尺規(guī)作圖-作三角形（含特殊三角形）
16．（2023·浙江臺(tái)州·統(tǒng)考一模）觀察下列尺規(guī)作圖的痕跡，不能判斷△ABC是等腰三角形的是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)基本的作圖方法，結(jié)合等腰三角形的判定，逐一進(jìn)行判斷，即可得到答案．
【詳解】解：A、根據(jù)一個(gè)角等于已知角的作法可知∠B=∠C，△ABC是等腰三角形，不符合題意，選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、根據(jù)垂直平分線的作法可知AB=AC，△ABC是等腰三角形，不符合題意，選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、根據(jù)過(guò)直線外一點(diǎn)作平行線的作法可知，AC∥BD，∠ACB=∠CBD，
根據(jù)角平分線的作法可知，∠ABC=∠CBD，
∴∠ABC=∠ACB，△ABC是等腰三角形，不符合題意，選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、不能判斷△ABC是等腰三角形，符合題意，選項(xiàng)正確，
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查了作圖—復(fù)雜作圖，等腰三角形的判定等知識(shí)，掌握基本作圖方法是解題關(guān)鍵．
17．（2021·安徽·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，AB=AC,∠A=50°，根據(jù)作圖痕跡，可知∠CBD=（ ）
A．80°B．60°C．45°D．50°
【答案】D
【分析】由等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可求出．
【詳解】解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=12(180°-∠A)=12(180°-50°)=65°．
由作圖痕跡可知BC=BD，
∴∠BDC=∠BCD=65°．
∴∠CBD=180°-∠BDC-∠BCD=180°-65°-65°=50°．
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)作圖痕跡得出BC=BD是解答本題的關(guān)鍵．
18．（2020·山東東營(yíng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖是作ΔABC的作圖痕跡，則此作圖的已知條件是（ ）
A．已知兩邊及夾角B．已知三邊C．已知兩角及夾邊D．已知兩邊及一邊對(duì)角
【答案】C
【分析】觀察ΔABC的作圖痕跡，可得此作圖的條件.
【詳解】解：觀察ΔABC的作圖痕跡，可得此作圖的已知條件為：∠α，∠β，及線段AB,
故已知條件為：兩角及夾邊，
故選C.
【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形作圖及三角形全等的相關(guān)知識(shí).
19．（2019·甘肅蘭州·統(tǒng)考一模）已知： ∠α，直線l及l(fā)上兩點(diǎn) A， B．
求作： Rt△ABC ，使點(diǎn) C 在直線l的上方，且∠ABC=90°， ∠BAC=∠α．
【答案】見(jiàn)解析
【分析】先作∠DAB=α，再過(guò)B點(diǎn)作BE⊥AB，則AD與BE的交點(diǎn)為C點(diǎn)．
【詳解】解：如圖，△ABC為所作．
【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．
20．（2021·吉林·統(tǒng)考一模）圖1.2是兩張形狀和大小完全相同的方格紙，方格紙中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，線段AC的兩個(gè)端點(diǎn)均在小正方形的頂點(diǎn)上；
（1）在圖1中畫(huà)出以AC為底邊的等腰直角△ABC，點(diǎn)B在小正方形頂點(diǎn)上；（2）在圖2中畫(huà)出以AC為腰的等腰△ACD，點(diǎn)D在小正方形的頂點(diǎn)上，且△ACD的面積為8.
【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析；
【分析】（1）由題可知，點(diǎn)B滿足BA=BC,∠ABC=90°這兩個(gè)條件，BA=BC說(shuō)明點(diǎn)B在AC的垂直平分線上，∠ABC=90°說(shuō)明點(diǎn)B在以AC為直徑的圓上，故可作AC的垂直平分線及以AC為直徑的圓，其交點(diǎn)即為所求；（2）由題可知，點(diǎn)D滿足CA=CD，故可以C為圓心，AC為半徑作圓，交于一格點(diǎn)D，經(jīng)計(jì)算△ACD的面積為8，故點(diǎn)D即為所求.
【詳解】解；（1）作AC的垂直平分線，作以AC為直徑的圓，垂直平分線與圓的交點(diǎn)即為點(diǎn)B；
（2）以C為圓心，AC為半徑作圓，格點(diǎn)即為點(diǎn)D；
【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用線段垂直平分線的性質(zhì)及圓的性質(zhì)作圖，正確理解題意并知曉作圖依據(jù)是解題的關(guān)鍵.
題型06 尺規(guī)作圖-作角平分線
21．（2021·山東青島·統(tǒng)考一模）已知∠α，線段a，求作：等腰△ABC，使得頂角∠A=∠α，BC上的高為a．
【答案】見(jiàn)解析
【分析】先作一等角，然后利用三線合一的性質(zhì)作角的平分線，取長(zhǎng)為a，再過(guò)此點(diǎn)作垂線交∠MAN的兩邊于B，C．
【詳解】作法：(1)作∠MAN=∠α，
(2)作∠MAN的平分線AP，并在射線AP上截取AD=a，
(3)過(guò)點(diǎn)D作直線BC⊥AD分別交∠MAN的兩邊于B，C，
則△ABC為所求的三角形．
【點(diǎn)睛】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)、尺規(guī)作圖，解決此題的關(guān)鍵是熟悉作等角，作角平分線，過(guò)已知點(diǎn)作垂線的尺規(guī)作圖．
22．（2023·吉林長(zhǎng)春·校聯(lián)考一模）用尺規(guī)作一個(gè)角的角平分線，下列作法中錯(cuò)誤的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)作圖軌跡及角平分線的定義判斷即可得出答案．
【詳解】A、如圖，
由作圖可知：OA=OC,AB=BC，
又∵OB=OB，
∴△OAB?△OCB，
∴∠AOB=∠COB，
∴OB平分∠AOC．
故A選項(xiàng)是在作角平分線，不符合題意；
B、如圖，
由作圖可知：OA=OB,OC=OD，
又∵∠COB=∠AOD，
∴△OBC?△OAD，
∴OA=OB，∠OAD=∠OBC，∠OCB=∠ODA，
∴AC=BD，
∵∠CEA=∠BED,∠ECA=∠EDB，
∴△AEC?△BED，
∴AE=BE，
∵∠EAO=∠EBO,OA=OB，
∴△OAE?△OBE，
∴∠AOE=∠BOE，
∴OE平分∠AOB．
故B選項(xiàng)是在作角平分線，不符合題意；
C、如圖，
由作圖可知：∠AOB=∠MCN,OC=CD，
∴CD∥OB,∠COD=∠CDO，
∴∠DOB=∠CDO，
∴∠COD=∠DOB，
∴OD平分∠AOB．
故C選項(xiàng)是在作角平分線，不符合題意；
D、如圖，
由作圖可知：OA=BC,OC=AB，
又∵OB=OB，
∴△AOB?△CBO，
∴∠AOB=∠OBC,∠COB=∠ABO,
故D選項(xiàng)不是在作角平分線，符合題意；
故選：D
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的作圖，全等三角形的性質(zhì)與判定，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
23．（2023·江蘇常州·常州實(shí)驗(yàn)初中?？家荒＃┤鐖D，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，由圖中的尺規(guī)作圖得到的射線與AC交于點(diǎn)D，則以下推斷錯(cuò)誤的是（ ）
A．BD=BCB．AD=BDC．∠ADB=108°D．CD=12AD
【答案】D
【分析】根據(jù)作圖過(guò)程可得BD平分∠ABC，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．
【詳解】解：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB=12（180°-36°）=72°，
根據(jù)作圖過(guò)程可知：BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=12∠ABC=36°，
∴∠BDC=180°-36°-72°=72°，∠ADB=∠DBC+∠ACB=36°+72°=108°，故選項(xiàng)C成立；
∵∠BDC=∠ACB=72°，
∴BD=BC，故選項(xiàng)A成立；
∵∠ABD=∠A=36°，
∴AD=BD，故選項(xiàng)B成立；
沒(méi)有條件能證明CD=12AD，故選項(xiàng)D不成立；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-基本作圖，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握基本作圖方法．
24．（2023·陜西·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的角平分線．
(1)作∠ACB的角平分線，交AB于點(diǎn)E（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；
(2)求證：AD＝AE．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)見(jiàn)解析
【分析】（1）按照角平分線的作圖步驟作圖即可．
（2）證明△ACE≌△ABD，即可得出AD＝AE．
【詳解】（1）解：如圖所示，CE即為所求．
（2）證明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵BD是∠ABC的角平分線，CE是∠ACB的角平分線，
∴∠ABD=12∠ABC，∠ACE=12∠ACB，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵AB＝AC，∠A＝∠A，
∴△ACE≌△ABD（ASA），
∴AD＝AE．
【點(diǎn)睛】本題考查尺規(guī)作圖、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握角平分線的作圖步驟以及全等三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
25．（2023·甘肅酒泉·統(tǒng)考一模）如圖，四邊形ABCD中，AB∥DC，AB=BC，AD⊥DC于點(diǎn)D．
(1)用尺規(guī)作∠ABC的角平分線，交CD于點(diǎn)E；（不寫作法，保留作圖痕跡）
(2)連接AE．求證：四邊形ABCE是菱形．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)角平分線的作圖步驟作圖即可；
（2）由角平分線的定義和平行線的性質(zhì)求出∠CBE=∠BEC，可得BC=EC，求出AB=EC，可得四邊形ABCE為平行四邊形，再結(jié)合AB＝BC，可證得四邊形ABCE為菱形．
【詳解】（1）解：如圖所示．
（2）證明：∵BE是∠ABC的角平分線，
∴∠ABE=∠CBE，
∵AB∥CD，
∴∠ABE=∠BEC，
∴∠CBE=∠BEC，
∴BC=EC，
∵AB=BC，
∴AB=EC，
∴四邊形ABCE為平行四邊形，
∵AB=BC，
∴平行四邊形ABCE為菱形．
【點(diǎn)睛】本題考查尺規(guī)作圖、角平分線的定義、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定、平行四邊形的判定以及菱形的判定，熟練掌握尺規(guī)作角平分線的步驟以及菱形的判定定理是解答本題的關(guān)鍵．
題型07 尺規(guī)作圖-作垂直平分線
26．（2023·山東泰安·統(tǒng)考一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，通過(guò)尺規(guī)作圖得到的直線MN分別交AB，AC于D，E，連接CD．若CE=13AE=1，則CD＝ ．
【答案】6
【分析】先求解AE，AC，再連結(jié)BE，證明AE=BE,AD=BD, 利用勾股定理求解BC，AB，從而可得答案．
【詳解】解：∵ CE=13AE=1，
∴AE=3,AC=4,
如圖，連結(jié)BE,
由作圖可得：MN是AB的垂直平分線，
∴AE=BE=3,AD=BD,
∵∠ACB=90°,
∴BC=32-12=22,
∴AB=42+(22)2=26,
∴CD=12AB=6.
故答案為：6
【點(diǎn)睛】本題考查的是線段的垂直平分線的作圖與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，二次根式的化簡(jiǎn)，熟悉幾何基本作圖與基本圖形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
27．（2023·新疆烏魯木齊·烏魯木齊八一中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=20°，分別以點(diǎn)A，B為圓心，大于12AB的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧分別相交于點(diǎn)M，N，作直線MN，交BC于點(diǎn)D，連接AD，則∠CAD的度數(shù)為 ．
【答案】50°/50度
【分析】根據(jù)作圖可知DA=DB，∠DAB=∠B=20°，根據(jù)直角三角形兩個(gè)銳角互余，可得∠CAB=70°，根據(jù)∠CAD=∠CAB-∠DAB即可求解．
【詳解】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=20°，
∴∠CAB=70°，
由作圖可知MN是AB的垂直平分線，
∴DA=DB，
∴ ∠DAB=∠B=20°，
∴ ∠CAD=∠CAB-∠DAB =70°-20°=50°，
故答案為：50°．
【點(diǎn)睛】本題考查了基本作圖，垂直平分線的性質(zhì)，等邊對(duì)等角，直角三角形的兩銳角互余，根據(jù)題意分析得出MN是AB的垂直平分線，是解題的關(guān)鍵．
28．（2022·遼寧沈陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，AD是△ABC的角平分線，分別以點(diǎn)A，D為圓心，大于12AD的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)M，N，作直線MN，分別交AB，AD，AC于點(diǎn)E，O，F(xiàn)，連接DE，DF．
(1)由作圖可知，直線MN是線段AD的______．
(2)求證：四邊形AEDF是菱形．
【答案】(1)垂直平分線
(2)見(jiàn)詳解
【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的尺規(guī)作圖可直接得出答案；
（2）由題意易得∠AOF=∠AOE=90°,∠FAO=∠EAO,AF=DF，然后可證△AOF≌△AOE，則有OF=OE，進(jìn)而問(wèn)題可求證．
【詳解】（1）解：由題意得：直線MN是線段AD的垂直平分線；
故答案為：垂直平分線；
（2）證明：∵直線MN是線段AD的垂直平分線，
∴∠AOF=∠AOE=90°,AO=DO,AF=DF，
∵AD是△ABC的角平分線，
∴∠FAO=∠EAO，
∵AO=AO，
∴△AOF≌△AOE（ASA），
∴OF=OE，
∵AO=DO，
∴四邊形AEDF是平行四邊形，
∵AF=DF，
∴四邊形AEDF是菱形．
【點(diǎn)睛】本題主要考查線段垂直平分線的尺規(guī)作圖、全等三角形的性質(zhì)與判定及菱形的判定，熟練掌握線段垂直平分線的尺規(guī)作圖、全等三角形的性質(zhì)與判定及菱形的判定是解題的關(guān)鍵．
題型08 尺規(guī)作圖-作三角形的中線與高
29．（2021·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正方形網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，請(qǐng)僅用無(wú)刻度直尺完成以下作圖．（保留作圖痕跡）
（1）在圖1中，作△ABC的高AM；
（2）在圖2中，作△ABC的高AN．（提示：三角形的三條高所在的直線交于一點(diǎn)）
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析
【分析】（1）格點(diǎn)△ABC中AB=AC且垂直，以AB、AC為邊作正方形，連接對(duì)角線AM即可得到BC的高AM；
（2）在正方形網(wǎng)格中，m×n格的對(duì)角線與n×m格的對(duì)角線互相垂直，AB是1×4格的對(duì)角線，那么4×1格的對(duì)角線與之垂直，又需過(guò)點(diǎn)C，所以如圖所示的CF⊥AB交AB與點(diǎn)H，同理AC是4×3格的對(duì)角線，那么3×4格的對(duì)角線與之垂直，又需過(guò)點(diǎn)B，所以如圖所示的BE⊥AC交AC與點(diǎn)D，又三角形的三條高所在的直線交于一點(diǎn)，所以連接AG并延長(zhǎng)交BC與點(diǎn)N，即AN為所求．
【詳解】（1）如圖1，∵格點(diǎn)△ABC中AB=AC且垂直，
∴以AB、AC為邊作正方形，連接對(duì)角線AM即AM⊥BC
（2）如圖2，∵AB是1×4格的對(duì)角線
∴過(guò)點(diǎn)C且是4×1格的對(duì)角線即為如圖所示的CF，
∴CF⊥AB
同理AC是4×3格的對(duì)角線，
∴過(guò)點(diǎn)B且是3×4格的對(duì)角線即為如圖所示的BE
∴BE⊥AC
∵三角形的三條高所在的直線交于一點(diǎn)
∴連接AG并延長(zhǎng)交BC與點(diǎn)N，即AN為所求．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了求作格點(diǎn)三角形的高線問(wèn)題，主要方法有：構(gòu)造特殊形狀，如：正方形，菱形，利用對(duì)角線垂直的性質(zhì)作高；正方形網(wǎng)格中，m×n格的對(duì)角線與n×m格的對(duì)角線互相垂直；三角形的三條高所在的直線交于一點(diǎn)，掌握以上的作圖方法是解題的關(guān)鍵．
30．（2022·浙江舟山·?？家荒＃┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，畫(huà)出點(diǎn)A0,2，點(diǎn)B4,0，點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱．
（1）連結(jié)AB、AC、BC，并畫(huà)出△ABC的BC邊上的中線AE．
（2）求出△ABE的面積．
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）4
【分析】（1）標(biāo)出點(diǎn)A0,2，點(diǎn)B4,0，依據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，即可得到點(diǎn)C，依次連結(jié)，再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得出E點(diǎn)坐標(biāo)，畫(huà)出AE即可；
（2）根據(jù)三角形面積計(jì)算公式，即可得到△ABE的面積S的值．
【詳解】解：∵點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱且A0,2，
∴C0,-2
如下圖所示，依次在圖中畫(huà)出點(diǎn)A、點(diǎn)B與點(diǎn)C并連接即可，
又∵ AE是BC邊上的中線，
∴E2,-1
如圖所示，連接AE即可；
（2）S△ABE=12S△ABC=12×12×4×4=4
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面直角坐標(biāo)系基礎(chǔ)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用軸對(duì)稱性質(zhì)求坐標(biāo)及面積．
31．（2022·陜西西安·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，且CD=2BD，請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在邊AC上找一點(diǎn)P，使得△PAD的面積等于△BAD的面積（保留作圖痕跡，不寫作法）．
【答案】見(jiàn)解析
【分析】根據(jù)CD=2BD，可得S△ADC=2S△ABD，，在邊AC上找一點(diǎn)P，使△PAD的面積等于△BAD的面積，即找到AC的中點(diǎn)即可，即作AC的垂直平分線交AC于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求．
【詳解】如圖，點(diǎn)P即為所求，
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中線的性質(zhì)，作垂直平分線，掌握垂直平分線的作法是解題的關(guān)鍵．
題型09 尺規(guī)作圖- 畫(huà)圓
32．（2022·福建·一模）如圖，在Rt△ABC中∠C=90°，∠A4”是假命題的一個(gè)反例．
【詳解】解：說(shuō)明命題“若X2>16，則X>4”是假命題的一個(gè)反例可以是：X=-5，
故答案為：X=-5．
【點(diǎn)睛】本題考查了命題與定理：判斷一件事情的語(yǔ)句，叫做命題，許多命題都是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)，一個(gè)命題可以寫成“如果…那么…”形式，有些命題的正確性是用推理證實(shí)的，這樣的命題叫做定理，任何一個(gè)命題非真即假，要說(shuō)明一個(gè)命題的正確性，一般需要推理、論證，而判斷一個(gè)命題是假命題，只需舉出一個(gè)反例即可．
59．（2023·江蘇無(wú)錫·校考二模）能說(shuō)明命題“兩個(gè)無(wú)理數(shù)a、b的和一定是無(wú)理數(shù)”是假命題的一組a，b的值可以是 ．
【答案】a=3，b=-3（答案不唯一）
【分析】作為反例，要滿足條件但不能得到結(jié)論，然后根據(jù)這個(gè)要求寫出一組a，b的值即可．
【詳解】解：當(dāng)a=3，b=-3時(shí)，
a+b=3-3=0，
∴a=3，b=-3時(shí)，a+b是有理數(shù)．
故答案為：a=3，b=-3（答案不唯一）．
【點(diǎn)睛】考查了命題與定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解如何寫出一個(gè)命題的反例．
題型19 寫出命題的逆命題
60．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考二模）下列命題的逆命題是假命題的是（ ）
A．在同一個(gè)三角形中，等邊對(duì)等角B．兩直線平行，同位角相等
C．兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等D．全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等
【答案】D
【分析】根據(jù)逆命題定義得到各選項(xiàng)的逆命題，再判斷即可得到答案；
【詳解】解：由題意可得，
A選項(xiàng)逆命題為：在同一個(gè)三角形中，等角對(duì)等邊，是真命題，不符合題意，
B選項(xiàng)逆命題為：同位角相等，兩直線平行，是真命題，不符合題意，
C選項(xiàng)逆命題為：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，是真命題，不符合題意，
D選項(xiàng)逆命題為：對(duì)應(yīng)角相等的三角形是全等三角形，是假命題，符合題意，
故選D；
【點(diǎn)睛】本題考查逆命題及命題真假判斷，解題的關(guān)鍵是將原命題的結(jié)論與題設(shè)對(duì)調(diào)得到逆命題．
61．（2023·山東聊城·統(tǒng)考三模）下列命題的逆命題是真命題的是（ ）
A．平行四邊形的對(duì)角線互相平分B．矩形的對(duì)角線相等
C．菱形的對(duì)角線互相垂直D．正方形的對(duì)角線互相平分且相等
【答案】A
【分析】先寫出各個(gè)選項(xiàng)的逆命題，再根據(jù)平行四邊形，矩形，菱形，正方形的判定定理，逐個(gè)進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：A、逆命題為“對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形”，是真命題，故A符合題意；
B、逆命題為“對(duì)角線相等的四邊形為矩形”，是假命題，故B不符合題意；
C、逆命題為“對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形”，是假命題，故C不符合題意；
D、逆命題為“對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是正方形”，是假命題，故D不符合題意；
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形，矩形，菱形，正方形的判定，解題的關(guān)鍵是正確寫出各個(gè)命題的逆命題，再進(jìn)行判斷．
62．（2023·安徽滁州·統(tǒng)考二模）命題“如果a，b互為相反數(shù)，那么a，b的絕對(duì)值相等”的逆命題是 ．
【答案】如果a，b的絕對(duì)值相等，那么a，b互為相反數(shù)
【分析】根據(jù)逆命題的定義，即可．
【詳解】∵逆命題：把原命題的條件當(dāng)成結(jié)論，把結(jié)論當(dāng)成條件得到的命題就是該命題的逆命題，
∴命題“如果a，b互為相反數(shù)，那么a，b的絕對(duì)值相等”的逆命題為：如果a，b的絕對(duì)值相等，那么a，b互為相反數(shù)，
故答案為：如果a，b的絕對(duì)值相等，那么a，b互為相反數(shù)．
【點(diǎn)睛】本題考查命題與定理，解題的關(guān)鍵是明確逆命題的定義．
63．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考一模）請(qǐng)寫出命題“如果a>b，那么a>b”的逆命題是 ．
【答案】如果a>b，那么a>b
【分析】把一個(gè)命題的條件和結(jié)論互換就得到它的逆命題，從而求出答案．
【詳解】解：命題“如果|a>b，那么a>b”的逆命題是：如果a>b，那么a>b．
故答案為：如果a>b，那么a>b．
【點(diǎn)睛】本題考查的是命題與定理，解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握逆命題的定義．
64．（2023·安徽宿州·統(tǒng)考一模）命題“如果3a+3b=0，那么a+b=0”的逆命題為 ．
【答案】如果a+b=0，那么3a+3b=0
【分析】根據(jù)逆命題的概念解答即可．
【詳解】解：命題“如果3a+3b=0，那么a+b=0”的逆命題為如果a+b=0，那么3a+3b=0，
故答案為：如果a+b=0，那么3a+3b=0．
【點(diǎn)睛】本題考查的是互逆命題的知識(shí)，兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的條件是第二個(gè)命題的結(jié)論，而第一個(gè)命題的結(jié)論又是第二個(gè)命題的條件，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題．
題型20 反證法證明中的假設(shè)
65．（2023·河南鄭州·鄭州外國(guó)語(yǔ)中學(xué)?？级＃┡ｎD曾說(shuō)過(guò)：“反證法是數(shù)學(xué)家最精良的武器之一．”那么我們用反證法證明：“在同一平面內(nèi)，若a⊥b，c⊥b，則a∥c”時(shí)，首先應(yīng)假設(shè)（ ）
A．a(chǎn)∥bB．c∥bC．a(chǎn)與b相交D．a(chǎn)與c相交
【答案】D
【分析】用反證法證明問(wèn)題的關(guān)鍵是清楚結(jié)論的反面是什么，寫出與結(jié)論相反的假設(shè)即可
【詳解】解：反證法證明命題“在同一平面內(nèi)，若a⊥b，c⊥b，則a∥c”時(shí)，
首先應(yīng)假設(shè)a與c不平行，即a與c相交．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查的是反證法的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是要懂得反證法的意義及步驟．在假設(shè)結(jié)論不成立時(shí)，要注意考慮結(jié)論的反面所有可能的情況，如果只有一種，那么否定一種就可以了，如果有多種情況，則必須一一否定．
66．（2020·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）用反證法證明“若a⊥b，b⊥c，則a//b”時(shí)，應(yīng)先假設(shè)（ ）
A．a(chǎn)與b不平行B．a(chǎn)⊥bC．a(chǎn)，b都不垂直于cD．a(chǎn)不垂直于c
【答案】A
【分析】反證法的步驟中，第一步是假設(shè)結(jié)論不成立，反面成立，可據(jù)此進(jìn)行判斷．
【詳解】解：用反證法證明“若a⊥b，b⊥c，則a∥b”時(shí)，第一步應(yīng)先假設(shè)a與b不平行，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查的是反證法，解此題關(guān)鍵要懂得反證法的意義及步驟．在假設(shè)結(jié)論不成立時(shí)要注意考慮結(jié)論的反面所有可能的情況，如果只有一種，那么否定一種就可以了，如果有多種情況，則必須一一否定．
67．（2018·江蘇泰州·統(tǒng)考一模）用反證法證明：如果AB⊥CD，AB⊥EF，那么CD∥EF．證明該命題的第一個(gè)步驟是（ ）
A．假設(shè)CD∥EFB．假設(shè)AB∥EFC．假設(shè)CD和EF不平行D．假設(shè)AB和EF不平行
【答案】C
【詳解】因?yàn)椤坝梅醋C法證明命題的第一步：通常是假設(shè)所證結(jié)論不成立”，
所以當(dāng)用反證法證明：“如果AB⊥CD，AB⊥EF，那么CD∥EF”，這一命題時(shí)，第一步應(yīng)該是：“假設(shè)CD和EF不平行”.
故選C.
題型21 用反證法證明命題
68．（2019·河北唐山·校聯(lián)考一模）已知△ABC中，AB=AC，求證：∠B180°，這與三角形內(nèi)角和為180°矛盾
②因此假設(shè)不成立．∴∠B180°，這與三角形內(nèi)角和為180°矛盾，
4、因此假設(shè)不成立．∴∠B90°，連接AE,BE，則△ABE即為所求；
（2）根據(jù)平移畫(huà)出MN，連接EN，勾股定理即可求解．
【詳解】（1）解：如圖所示，△ABE即為所求；

（2）解：如圖所示，MN，EN即為所求；

EN=12+12=2．
【點(diǎn)睛】本題考查了平移作圖，勾股定理與網(wǎng)格，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．
25．（2023·江西·統(tǒng)考中考真題）如圖是4×4的正方形網(wǎng)格，請(qǐng)僅用無(wú)刻度的直尺按要求完成以下作圖（保留作圖痕跡）．

(1)在圖1中作銳角△ABC，使點(diǎn)C在格點(diǎn)上；
(2)在圖2中的線段AB上作點(diǎn)Q，使PQ最短．
【答案】(1)作圖見(jiàn)解析
(2)作圖見(jiàn)解析
【分析】（1）如圖，取格點(diǎn)K，使∠AKB=90°，在K的左上方的格點(diǎn)C滿足條件，再畫(huà)三角形即可；
（2）利用小正方形的性質(zhì)取格點(diǎn)M，連接PM交AB于Q，從而可得答案．
【詳解】（1）解：如圖，△ABC即為所求作的三角形；

（2）如圖，Q即為所求作的點(diǎn)；

【點(diǎn)睛】本題考查的是復(fù)雜作圖，同時(shí)考查了三角形的外角的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，垂線段最短，熟記基本幾何圖形的性質(zhì)再靈活應(yīng)用是解本題的關(guān)鍵．
26．（2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考中考真題）圖①、圖②、圖③均是5×5的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．點(diǎn)A、B均在格點(diǎn)上，只用無(wú)刻度的直尺，分別在給定的網(wǎng)格中按下列要求作△ABC，點(diǎn)C在格點(diǎn)上．

(1)在圖①中，△ABC的面積為92；
(2)在圖②中，△ABC的面積為5
(3)在圖③中，△ABC是面積為52的鈍角三角形．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)見(jiàn)解析
(3)見(jiàn)解析
【分析】（1）以AB=3為底，設(shè)AB邊上的高為h，依題意得S△ABC=12AB·h=92，解得h=3，即點(diǎn)C在AB上方且到AB距離為3個(gè)單位的線段上的格點(diǎn)即可；
（2）由網(wǎng)格可知，AB=32+12=10，以AB=10為底，設(shè)AB邊上的高為h，依題意得S△ABC=12AB·h=5，解得h=10，將AB繞A或B旋轉(zhuǎn)90°，過(guò)線段的另一個(gè)端點(diǎn)作AB的平行線，與網(wǎng)格格點(diǎn)的交點(diǎn)即為點(diǎn)C；
（3）作BD=AB=5，過(guò)點(diǎn)D作CD∥AB，交于格點(diǎn)C，連接A、B、C即可．
【詳解】（1）解：如圖所示，
以AB=3為底，設(shè)AB邊上的高為h，
依題意得：S△ABC=12AB·h=92
解得：h=3
即點(diǎn)C在AB上方且到AB距離為3個(gè)單位的線段上的格點(diǎn)即可，
答案不唯一；
（2）由網(wǎng)格可知，
AB=32+12=10
以AB=10為底，設(shè)AB邊上的高為h，
依題意得：S△ABC=12AB·h=5
解得：h=10
將AB繞A或B旋轉(zhuǎn)90°，過(guò)線段的另一個(gè)端點(diǎn)作AB的平行線，與網(wǎng)格格點(diǎn)的交點(diǎn)即為點(diǎn)C，
答案不唯一，
（3）如圖所示，
作BD=AB=5，過(guò)點(diǎn)D作CD∥AB，交于格點(diǎn)C，

由網(wǎng)格可知，
BD=AB=22+12=5，AD=10，
∴△ABD是直角三角形，且AB⊥BD
∵CD∥AB
∴S△ABC=12AB·BD=52．
【點(diǎn)睛】本題考查了網(wǎng)格作圖，勾股定理求線段長(zhǎng)度，與三角形的高的有關(guān)計(jì)算；解題的關(guān)鍵是熟練利用網(wǎng)格作平行線或垂直．
27．（2023·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）如圖，為制作角度尺，將長(zhǎng)為10，寬為4的矩形OABC分割成4×10的小正方形網(wǎng)格．在該矩形邊上取點(diǎn)P，來(lái)表示∠POA的度數(shù)．閱讀以下作圖過(guò)程，并回答下列問(wèn)題：
（答題卷用）
(1)分別求點(diǎn)P3,P4表示的度數(shù)．
(2)用直尺和圓規(guī)在該矩形的邊上作點(diǎn)P5，使該點(diǎn)表示37.5°（保留作圖痕跡，不寫作法）．
【答案】(1)點(diǎn)P3表示60°；點(diǎn)P4表示15°
(2)見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可求出∠OP2C度數(shù)，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)∠P2OP3度數(shù)，即可求出∠P3OA的度數(shù)，從而知道P3點(diǎn)表示度數(shù)；利用半徑相等即可求出∠P2OD=∠P2DO，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求出∠P2OD=∠DOA以及對(duì)應(yīng)的度數(shù)，從而知道P3點(diǎn)表示度數(shù)．
（2）利用角平分線的性質(zhì)作圖即可求出答案．
【詳解】（1）解：①∵四邊形OABC是矩形，
∴BC∥OA．
∴∠OP2C=∠P2OA=30°
由作圖可知，EF是OP2的中垂線，

∴OP3=P3P2．
∴∠P3OP2=∠P3P2O=30°．
∴∠P3OA=∠P3OP2+∠P2OA=60°．
∴點(diǎn)P3表示60°．
②由作圖可知，P2D=P2O．
∴∠P2OD=∠P2DO．
又∵CB∥OA，
∴∠P2DO=∠DOA．
∴∠P2OD=∠DOA=12∠P2OA=15°．
∴點(diǎn)P4表示15°．
故答案為：點(diǎn)P3表示60°，點(diǎn)P4表示15°．
（2）解：如圖所示，
作∠P3OP4的角平分線等．如圖2，點(diǎn)P5即為所求作的點(diǎn)．

∵點(diǎn)P3表示60°，點(diǎn)P4表示15°．
∠P5OA= 12∠P3OA-∠P4OA+∠P4OA=12∠P3OA+∠P4OA=1260°+15°=37.5°．
∴P5表示37.5°．
【點(diǎn)睛】本題考查的是尺規(guī)作圖的應(yīng)用，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有線段垂直平分線、角平分線性質(zhì)、圓的相關(guān)性質(zhì)，解題的關(guān)鍵需要正確理解題意，清楚知道用到的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)．
作法（如圖）
結(jié)論

①在CB上取點(diǎn)P1，使CP1=4．
∠P1OA=45°，點(diǎn)P1表示45°．
②以O(shè)為圓心，8為半徑作弧，與BC交于點(diǎn)P2．
∠P2OA=30°，點(diǎn)P2表示30°．
③分別以O(shè),P2為圓心，大于OP2長(zhǎng)度一半的長(zhǎng)為半徑作弧，相交于點(diǎn)E,F，連結(jié)EF與BC相交于點(diǎn)P3．
…
④以P2為圓心，OP2的長(zhǎng)為半徑作弧，與射線CB交于點(diǎn)D，連結(jié)OD交AB于點(diǎn)P4．
…

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