一、單選題（本大題共8小題）
1．命題“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
2．設(shè)i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為，若 ，則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第（ ）象限
A．一B．二C．三D．四
3．已知，則（ ）
A．B．C．D．
4．已知平面向量是兩個(gè)單位向量，在上的投影向量為，則（ ）
A．1B．C．D．
5．已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)在上，過(guò)作的垂線，垂足為.若，則到軸的距離為（ ）
A．B．C．D．2
6．已知是遞增的等比數(shù)列，若，則當(dāng)取得最小值時(shí)，（ ）
A．
B．1
C．4
D．16
7．如圖是一塊高爾頓板示意圖：在一木塊上釘著若干排互相平行但相互錯(cuò)開(kāi)的圓柱形小木釘，小木釘之間留著適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ?，前面擋有一塊玻璃，將小球從頂端放入，小球在下落過(guò)程中，每次碰到小木釘后都等可能地向左或右落下，最后落入底部的格子中，格子從左到右分別編號(hào)為、、、、，用表示小球落入格子的號(hào)碼，則下列不正確的是（ ）
A．B．
C．D．
8．函數(shù)，因其圖像類似于漢字“囧”，故被稱為“囧函數(shù)”，下列5個(gè)結(jié)論：
①函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>②；
③函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱；
④當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為；
⑤方程有四個(gè)不同的實(shí)根；
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（ ）
A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)
二、多選題（本大題共3小題）
9．已知隨機(jī)事件、滿足：，，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A．若，則與相互獨(dú)立B．若與相互獨(dú)立，則
C．若與互斥，則D．若，則
10．已知函數(shù)（，）的部分圖象如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（ ）

A．的最小正周期為B．
C．是函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心D．在區(qū)間的最小值為
11．如圖，四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥ 平面ABCD，SA=AB，O，P分別是AC，SC的中點(diǎn)，M是棱SD上的動(dòng)點(diǎn)，則( )
A．OM⊥AP
B．存在點(diǎn)M，使OM//平面SBC
C．存在點(diǎn)M，使直線OM與AB所成的角為30°
D．點(diǎn)M到平面ABCD與平面SAB的距離和為定值
三、填空題（本大題共3小題）
12．2025春節(jié)檔國(guó)產(chǎn)影片《哪吒之魔童鬧?！方舆B破全球票房記錄，影片中哪吒與敖丙是不可分割的二人組，其中敖丙的武器“盤(pán)龍冰錘”相撞后形成了如圖所示的曲線，可以用來(lái)表示數(shù)學(xué)上特殊的曲線.如圖所示的曲線C過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，C上的點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之積為定值.當(dāng)時(shí)，C上第一象限內(nèi)的點(diǎn)P滿足的面積為，則 .
13．在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，已知，，則的內(nèi)切圓半徑r的最大值為 .
14．項(xiàng)數(shù)為的數(shù)列滿足，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)（其中，規(guī)定：），稱為“好數(shù)列”．在項(xiàng)數(shù)為6且的所有中，隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)列，該數(shù)列是“好數(shù)列”的概率為 ．
四、解答題（本大題共5小題）
15．如圖，在四面體中，，，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)為棱上的動(dòng)點(diǎn)．
(1)求證：平面平面；
(2)已知二面角的大小為，當(dāng)直線與平面所成角的正弦值的最大值為時(shí)，求此時(shí)四面體的體積．
16．2025年1月1日，某地舉行馬拉松比賽，某服務(wù)部門為提升服務(wù)質(zhì)量，隨機(jī)采訪了120名參賽人員，得到下表：
(1)求的值；
(2)依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為不同性別的參賽人員對(duì)該部門服務(wù)質(zhì)量的評(píng)價(jià)有差異？
(3)用頻率估計(jì)概率，現(xiàn)隨機(jī)采訪1名女性參賽人員與1名男性參賽人員，設(shè)表示這2人中對(duì)該部門服務(wù)質(zhì)量非常滿意的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
附：，.
17．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.
(1)求證：；
(2)若.
（i）求；
（ii）若，且的面積為，求的周長(zhǎng).
18．已知橢圓過(guò)點(diǎn)，離心率為．
(1)求橢圓的方程．
(2)過(guò)點(diǎn)的直線（與軸不重合）交橢圓于，兩點(diǎn)．
（i）若，求的方程；
（ii）已知分別是的左、右頂點(diǎn)，直線，分別交直線于，兩點(diǎn)，證明：與的面積之比為定值．
19．已知函數(shù)的圖象與x軸的三個(gè)交點(diǎn)為A，O，B（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）.
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍；
(3)若，點(diǎn)P在的圖象上，且異于A，O，B，點(diǎn)Q滿足，，求的最小值.
參考答案
1．【答案】A
【詳解】由存在量詞命題的否定的定義知：命題“”的否定是,
故選A.
2．【答案】A
【詳解】由題意得，
所以，則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，
故選A.
3．【答案】C
【詳解】因?yàn)椋?br>所以
故選C．
4．【答案】B
【詳解】由題意，在上的投影向量為，則，
因?yàn)槭菃挝幌蛄?，即，所以?br>則.
故選B.
5．【答案】A
【詳解】如圖，不妨設(shè)點(diǎn)在軸上方，準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，
因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，，
又，為正三角形，，
又，在中，，即，
解得或（舍去），所以到軸的距離為.
故選A.
6．【答案】D
【詳解】設(shè)的公比為q，由得，，故，
又因?yàn)槭沁f增的數(shù)列，所以，
因?yàn)?，所以取得最小值等價(jià)于函數(shù)取得最小值，
求導(dǎo)得，
令得，令得，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí).
故選D.
7．【答案】C
【詳解】設(shè)，則，再根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式及期望方差公式逐一分析即可．
8．【答案】B
【詳解】對(duì)于①，由得：，的定義域?yàn)?，①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，，，②正確；
對(duì)于③，，，，
不關(guān)于直線對(duì)稱，③錯(cuò)誤；
對(duì)于④，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；
綜上所述：當(dāng)時(shí)，，④正確；
對(duì)于⑤，在平面直角坐標(biāo)系中，作出與的大致圖象，
由圖象可知與有四個(gè)不同交點(diǎn)，
方程有四個(gè)不同的根，⑤正確.
所以正確的個(gè)數(shù)為3.
故選B.
9．【答案】ACD
【詳解】對(duì)于A，，故與相互獨(dú)立，即A正確；
對(duì)于B，若與相互獨(dú)立，則與也相互獨(dú)立，
則，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，若與互斥，則，
，故C正確；
對(duì)于D，由全概率公式可得，
所以，故D正確；
故選ACD.
10．【答案】ACD
【詳解】由題意得，由圖象可得，
又，所以，由五點(diǎn)法可得，
所以.
A：由以上解析可得，，故A正確；
B：由以上解析可得，故B錯(cuò)誤；
C：的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)為，則對(duì)稱中心為，令則C正確；
D：當(dāng)時(shí)，，所以最小值為，故D正確.
故選ACD.
11．【答案】ABD
【解析】依題意可知AB,AD,AS兩兩相互垂直，以A為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
設(shè)AB=AD=AS=2，則A0,0,0,S0,0,2,C2,2,0,P1,1,1,O1,1,0，設(shè)M0,t,2-t，t∈[0,2],OM=(-1,t-1,2-t)，AP=1,1,1,
所以O(shè)M?AP=-1+t-1+2-t=0，所以O(shè)M⊥AP，A選項(xiàng)正確.
點(diǎn)M到平面ABCD與平面SAB的距離和為2-t+t=2，為定值，D選項(xiàng)正確.
易知B2,0,0，SB=2,0,-2,BC=0,2,0，
設(shè)平面SBC的法向量為n=x,y,z，
則n?SB→=2x-2z=0,n?BC→=2y=0,令x=1，可得n=1,0,1，又OM? 平面SBC，
要使OM//平面SBC，
則OM?n=-1,t-1,2-t?1,0,1=-1+2-t=1-t=0，
解得t=1，所以存在點(diǎn)M，使OM//平面SBC，B選項(xiàng)正確.
AB=2,0,0,
若直線OM與直線AB所成的角為30° ，則cs30°=OM?ABOMAB=-21+t-12+2-t2×2=12t2-6t+6=32，
即3t2-9t+7=0,Δ=81-4×3×7=-3

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