2021級(jí)普通高中學(xué)科素養(yǎng)水平監(jiān)測(cè)試卷數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1. （    ）．A. 15 B. 30 C. 45 D. 60【答案】C【解析】【分析】由排列數(shù)公式，組合數(shù)公式及性質(zhì)計(jì)算即可．【詳解】，故選：C．2. 已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表：X0123Pa若離散型隨機(jī)變量，則（    ）．A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)求出a，再根據(jù)隨機(jī)變量之間的函數(shù)關(guān)系即可求解.【詳解】由分布列的性質(zhì)可知： 解得 ，由 ， 等價(jià)于 ，由表可知 ；故選：A.3. 若函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（    ）．A. ， B. ，C.  D. 【答案】C【解析】【分析】求出函數(shù)的定義域，由，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】，函數(shù)定義域?yàn)?/span>，，令，解得，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選：C.4. 在的展開式中，含項(xiàng)的系數(shù)是（    ）．A. 110 B. 112 C. 114 D. 116【答案】D【解析】【分析】利用二項(xiàng)式定理展開二項(xiàng)式，找出含有的項(xiàng)，即可求得項(xiàng)的系數(shù).【詳解】在的展開式中，含項(xiàng)的系數(shù)為.故選：D5. “哥德巴赫猜想”被譽(yù)為數(shù)學(xué)皇冠上的一顆明珠，是數(shù)學(xué)界尚未解決的三大難題之一．其內(nèi)容是：“任意一一個(gè)大于2的偶數(shù)都可以寫成兩個(gè)素?cái)?shù)（質(zhì)數(shù)）之和．”若我們將10拆成兩個(gè)正整數(shù)的和，則拆成的和式中，在加數(shù)都大于2的條件下，兩個(gè)加數(shù)均為素?cái)?shù)的概率是（    ）．A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】求出兩個(gè)加數(shù)都大于2的情況，即兩個(gè)加數(shù)都為素?cái)?shù)的情況，即可得出概率.【詳解】記“兩個(gè)加數(shù)都大于2”為事件A，“兩個(gè)加數(shù)都為素?cái)?shù)”為事件B，在加數(shù)都大于2的條件下則事件A有這5種情況事件B有這3種情況，故.故選：B.6. 函數(shù)在時(shí)有極小值0，則（    ）A. 7 B. 6 C. 11 D. 4【答案】C【解析】【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)已知列出關(guān)系式，求解得出或.分別代入導(dǎo)函數(shù)，得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，檢驗(yàn)即可得出答案.【詳解】由已知可得，.因?yàn)?/span>在時(shí)有極小值0，所以有，即，解得或.當(dāng)時(shí)，恒成立，所以，在R上單調(diào)遞增，此時(shí)沒有極值點(diǎn)，舍去；當(dāng)時(shí)，.由可得，或.由可得，，所以在上單調(diào)遞減；由可得，或，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增.所以，在處取得極大值，在處取得極小值，滿足題意.所以，，.故選：C.7. 五一國(guó)際勞動(dòng)節(jié)，學(xué)校團(tuán)委舉辦“我勞動(dòng)，我快樂”的演講比賽．某班有甲、乙、丙等5名同學(xué)參加，抽簽確定出場(chǎng)順序．在“學(xué)生甲必須在學(xué)生乙的前面出場(chǎng)”的前提下，學(xué)生甲、乙相鄰出場(chǎng)的概率為（    ）．A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】設(shè)“學(xué)生甲、乙相鄰出場(chǎng)”為事件，“學(xué)生甲必須在學(xué)生乙的前面出場(chǎng)”為事件，根據(jù)倍縮法求出學(xué)生甲必須在學(xué)生乙的前面出場(chǎng)的種數(shù)，得出，再根據(jù)捆綁法求出學(xué)生甲必須在學(xué)生乙的前面出場(chǎng)且甲、乙相鄰出場(chǎng)的種數(shù)，求出，根據(jù)條件概率公式計(jì)算即可．【詳解】設(shè)“學(xué)生甲、乙相鄰出場(chǎng)”為事件，“學(xué)生甲必須在學(xué)生乙的前面出場(chǎng)”為事件，共有種情況，學(xué)生甲必須在學(xué)生乙的前面出場(chǎng)的情況有種，所以，甲乙同學(xué)按出場(chǎng)順序一定，且相鄰出場(chǎng)的情況共有種，所以，則，故選：B．8. 已知不等式恰有1個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（    ）．A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】不等式可轉(zhuǎn)化為，設(shè)，，作出與的圖像，結(jié)合圖像分類討論即可得解.詳解】由不等式，可得，設(shè)，，則，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，取極大值1.又，且時(shí)，，直線恒過點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，作出與的圖像如下所示，  恰有1個(gè)整數(shù)解，只需要滿足，解得，當(dāng)時(shí)，顯然有無窮多個(gè)整數(shù)解，不滿足條件，所以的取值范圍為.故選:D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9. 下列命題中，正確的是（    ）．A. 隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，若，，則B. 某投擲類游戲闖關(guān)規(guī)則是游戲者最多投擲5次，只要有一次投中，游戲者即闖關(guān)成功，并停止投擲，已知每次投中的概率為，則游戲者闖關(guān)成功的概率為C. 從3個(gè)紅球2個(gè)白球中，一次摸出3個(gè)球，則摸出紅球的個(gè)數(shù)X服從超幾何分布，D. 某人在10次射擊中，擊中目標(biāo)的次數(shù)為X，，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)概率最大【答案】BCD【解析】【分析】利用二項(xiàng)分布的期望方差公式計(jì)算，求得p,q的值，從而判斷A；利用間接法計(jì)算，可以判定B；利用超幾何分布，寫出分布列，計(jì)算期望，可以判定C；利用二項(xiàng)分布的性質(zhì)可以判定D.【詳解】A：，可得，A錯(cuò)；B：利用間接法有，B對(duì)；C：，，，，則期望,故C正確；D：，所以，當(dāng)時(shí)概率最大，所以D對(duì).故選：BCD.10. 已知函數(shù)，則（    ）．A. 有兩個(gè)極值點(diǎn)B. 點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心C. 有三個(gè)零點(diǎn)D. 若方程有兩個(gè)不同的根，則或5【答案】ABD【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，進(jìn)而判斷極值點(diǎn)、零點(diǎn)情況，根據(jù)是否成立判斷對(duì)稱中心，由函數(shù)性質(zhì)及其圖象判斷有兩個(gè)根對(duì)應(yīng)k值.【詳解】由，則或時(shí)，時(shí)，所以在、上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以分別是的極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)，A對(duì)；，則，故點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心，B對(duì)；由，，，結(jié)合單調(diào)性知：在存在一個(gè)零點(diǎn)，其它位置無零點(diǎn)，C錯(cuò)；若方程有兩個(gè)不同的根，由上分析知：或5，D對(duì).故選：ABD11. 已知，是兩個(gè)事件，且，，則下列結(jié)論一定成立的是（    ）．A. B. 若，則與獨(dú)立C. 若與獨(dú)立，且，則D. 若與獨(dú)立，且，，則【答案】BC【解析】【分析】假設(shè)與相互獨(dú)立得到，即可判斷A，根據(jù)條件概率公式及相互獨(dú)立事件的概率公式判斷B、C、D.【詳解】對(duì)于A：因?yàn)?/span>，當(dāng)與相互獨(dú)立時(shí)，此時(shí)，由于無法確定，的大小關(guān)系，故無法確定與的大小關(guān)系，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)?/span>，則，所以，即，所以與獨(dú)立，故B正確；對(duì)于C：若與獨(dú)立，則，又，所以，則，即，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)?/span>與獨(dú)立，且，，所以，則，所以，故D錯(cuò)誤；故選：BC12. 已知函數(shù)，是函數(shù)的極值點(diǎn)，以下幾個(gè)結(jié)論中正確的是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】AD【解析】【分析】求導(dǎo)數(shù),利用零點(diǎn)存在定理,可判斷A,B; ,可判斷C，D.【詳解】函數(shù),,∵是函數(shù)的極值點(diǎn)，∴，即，
,當(dāng)時(shí)，
,,即A選項(xiàng)正確,B選項(xiàng)不正確;
,即D正確,C不正確.
故答案為:AD.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,考查學(xué)生的計(jì)算能力,屬于中檔題.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13. 已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則__________．【答案】0.4##【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性可得.【詳解】  因隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，故該正態(tài)曲線關(guān)于對(duì)稱，因，所以，所以，，故答案為：0.414. 某大學(xué)四名學(xué)生利用暑期到學(xué)校的實(shí)踐基地進(jìn)行實(shí)習(xí)，每人從，，，四個(gè)基地中任選一個(gè)，不考慮其他條件，則不同的選法有__________．【答案】【解析】【分析】按照分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得.【詳解】依題意每位同學(xué)均有種選擇，按照分步乘法計(jì)數(shù)原理可得不同的選法有種.故答案為：15. 假設(shè)有兩箱零件，第一箱內(nèi)裝有10件，其中有3件次品；第二箱內(nèi)裝有20件，其中有2件次品．現(xiàn)從兩箱中隨意挑選一箱，然后從該箱中隨機(jī)取1個(gè)零件，已知取出的是次品，則它是從第一箱取出的概率為__________．【答案】0.75##【解析】【分析】利用條件概率求取出的是次品，求它是從第一箱取出的概率.【詳解】設(shè)事件表示從第箱中取一個(gè)零件，事件表示取出的零件是次品，則,所以已知取出的是次品，求它是從第一箱取出的概率為.故答案為：.16. 函數(shù)是定義在區(qū)間上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則不等式的解集為__________．【答案】【解析】【分析】令，，結(jié)合題設(shè)條件可得該函數(shù)為增函數(shù)，故可求不等式的解.【詳解】令，，則，化簡(jiǎn)得到，故在上增函數(shù)，而由可得，即，故即，故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17. 甲、乙兩種品牌手表，它們的日走時(shí)誤差分別為X和Y（單位：s），其分布列為    （1）求和；（2）求和，并比較兩種品牌手表的性能．【答案】（1），    （2），，性能比較答案見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)期望公式計(jì)算，即可得出答案；（2）根據(jù)方差公式，求出方差.比較期望與方差，即可判斷得出性能優(yōu)劣.【小問1詳解】由已知可得，，.小問2詳解】由（1）知，，所以，.又，所以，.所以，，，所以，兩品牌手表的誤差平均水平相當(dāng)，但是甲品牌的手表走時(shí)更穩(wěn)定.18. 已知函數(shù).（1）若在處取得極小值，求實(shí)數(shù)的值；（2）若在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；    （2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)求參數(shù)a，驗(yàn)證是否在處取得極小值即可.（2）將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，結(jié)合不等式右側(cè)的單調(diào)性求范圍.【小問1詳解】因?yàn)?/span>，所以，得，此時(shí)，所以在上，單調(diào)遞減，在上，單調(diào)遞增，所以在處取得極小值，符合題意，故實(shí)數(shù)的值為.【小問2詳解】由（1）知，，因在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立.因?yàn)?/span>，所以在上恒成立，即在上恒成立.因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞減，所以，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.19. 已知展開式的前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為22，所有項(xiàng)的系數(shù)之和為1．（1）求n和a的值；（2）展開式中是否存在常數(shù)項(xiàng)？若有，求出常數(shù)項(xiàng)；若沒有，請(qǐng)說明理由．【答案】（1），    （2）有，．【解析】【分析】（1）結(jié)合題意可得，根據(jù)組合數(shù)公式求得，然后利用賦值法即可求出a的值；（2）先根據(jù)二項(xiàng)式通項(xiàng)公式得到，再根據(jù)的次數(shù)為零解得常數(shù)項(xiàng)即可.【小問1詳解】由題意，，即．解得或（舍去），所以．因?yàn)樗许?xiàng)的系數(shù)之和為1，所以，解得（舍去）或．所以.【小問2詳解】展開式中存在常數(shù)項(xiàng)，因?yàn)?/span>，所以．令，解得，所以展開式中常數(shù)項(xiàng)為．20. 甲、乙兩箱各有6個(gè)大小相同的小球，其中甲箱2個(gè)紅球，4個(gè)藍(lán)球，乙箱3個(gè)紅球，3個(gè)藍(lán)球．先從甲箱隨機(jī)摸出2個(gè)球放入乙箱，再?gòu)囊蚁潆S機(jī)摸出1個(gè)球．（1）從甲箱摸出的2個(gè)球至少有一個(gè)藍(lán)球的概率；（2）從乙箱摸出的小球是藍(lán)球的概率．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）設(shè)事件“從甲箱摸出的藍(lán)球個(gè)數(shù)”，（，，），根據(jù)互斥事件的概率公式計(jì)算可得；（2）利用全概率公式計(jì)算可得.【小問1詳解】設(shè)事件“從甲箱摸出的藍(lán)球個(gè)數(shù)”，（，，），事件“從甲箱摸出的個(gè)球至少有一個(gè)藍(lán)球”，則且與互斥，所以，所以從甲箱摸出的個(gè)球至少有一個(gè)藍(lán)球的概率為．【小問2詳解】記事件“從乙箱中摸出的是藍(lán)球”，則，  ，所以從乙箱摸出的是藍(lán)球概率為．21. 基礎(chǔ)學(xué)科招生改革試點(diǎn)，也稱強(qiáng)基計(jì)劃，是教育部開展的招生改革工作，主要是為了選拔培養(yǎng)有志于服務(wù)國(guó)家重大戰(zhàn)略需求且綜合素質(zhì)優(yōu)秀或基礎(chǔ)學(xué)科拔尖的學(xué)生．強(qiáng)基計(jì)劃的校考由試點(diǎn)高校自主命題，某試點(diǎn)高校?？歼^程中筆試通過后才能進(jìn)入面試環(huán)節(jié)．2022年報(bào)考該試點(diǎn)高校的學(xué)生的筆試成績(jī)X近似服從正態(tài)分布．其中，近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差．已知的近似值為76.5，s的近似值為5.5，以樣本估計(jì)總體．（1）假設(shè)有84.135%學(xué)生的筆試成績(jī)高于該校預(yù)期的平均成績(jī)，求該校預(yù)期的平均成績(jī)大約是多少？（2）若筆試成績(jī)高于76.5進(jìn)入面試，若從報(bào)考該試點(diǎn)高校的學(xué)生中隨機(jī)抽取10人，設(shè)其中進(jìn)入面試學(xué)生數(shù)為，求隨機(jī)變量的期望．（3）現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四名學(xué)生進(jìn)入了面試，且他們通過面試的概率分別為、、、．設(shè)這4名學(xué)生中通過面試的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考數(shù)據(jù)：若，則：；；．【答案】（1）71    （2）    （3）分布列見解析，【解析】【分析】（1）X近似服從正態(tài)分布，根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性可得，即可求解；（2）隨機(jī)變量服從且即可求出分布列，由二項(xiàng)分布的期望公式即可計(jì)算期望；（3）求出的可能值，分別求出對(duì)應(yīng)的概率值，寫出分布列，進(jìn)而計(jì)算期望作答.【小問1詳解】由.又，，，所以該校預(yù)期的平均成績(jī)大約是.【小問2詳解】由得，，即從所有參加筆試的學(xué)生中隨機(jī)抽取1名學(xué)生，該生筆試成績(jī)76.5以上的概率為.所以隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，所以.【小問3詳解】X的可能取值為0，1，2，3，4，由題意可知，，，，，.所以，的分布列為X01234所以.22. 已知函數(shù)，函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，若與的圖象在區(qū)間上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求k的取值范圍．【答案】（1）答案見解析；    （2）【解析】【分析】（1）求解導(dǎo)函數(shù)，然后分類討論求單調(diào)區(qū)間；（2）利用參變分離法，將題目條件轉(zhuǎn)化為在上有兩個(gè)不同的實(shí)根，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)判斷單調(diào)性并求解最值，從而得k的取值范圍.【小問1詳解】由題意可得的定義域?yàn)?/span>，且．①當(dāng)時(shí)，由，得；由，得．故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．②當(dāng)時(shí)，由，得；由，得．故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．綜上，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，令，得，即，則與的圖象在上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，等價(jià)于在上有兩個(gè)不同的實(shí)根．設(shè)，則．由，得；由，得．函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故．因?yàn)?/span>，，且，所以要使在上有兩個(gè)不同的實(shí)根，則，即k的取值范圍為．【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值（最值）最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：（1）考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．（3）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（極值），解決生活中的優(yōu)化問題．（4）考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
 

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