一、單項選擇題
1．兩條直線a，b分別和異面直線c，d都相交，則直線a，b的位置關(guān)系是( )
A．一定是異面直線
B．一定是相交直線
C．可能是平行直線
D．可能是異面直線，也可能是相交直線
2．在三棱錐A-BCD的邊AB，BC，CD，DA上分別取E，F(xiàn)，G，H四點，如果EF∩HG＝P，則點P( )
A．一定在直線BD上
B．一定在直線AC上
C．在直線AC或BD上
D．不在直線AC上，也不在直線BD上
3．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AC＝AA1，∠BAC＝60°，則直線AB1與BC所成角的余弦值等于( )
A．22 B．32
C．24 D．0
4．如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P是邊A1C1上的動點，則下列直線中，始終與直線BP異面的是( )
A．DD1 B．AC
C．AD1 D．B1C
5．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是DD1，DB的中點，則異面直線EF與AD1所成角的正切值為( )
A．2 B．22
C．33 D．3
6．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝BC＝AC＝AA1，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值等于( )
A．32 B．12
C．13 D．14
7．《幾何原本》是古希臘數(shù)學家歐幾里得的一部不朽之作，其第十一卷中稱軸截面為等腰直角三角形的圓錐為直角圓錐．如圖，若AB，CD都是直角圓錐SO底面圓的直徑，且∠AOD＝π3，則異面直線SA與BD所成角的余弦值為( )
A．13 B．24
C．64 D．63
8．如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱CC1的中點，過A，D1，E三點的截面把正方體ABCD-A1B1C1D1分成兩部分，則該截面的周長為( )
A．32＋25 B．22+5＋3
C．92 D．22＋25＋2
二、多項選擇題
9．已知α，β是兩個不同的平面，則下列命題正確的是( )
A．若α∩β＝l，A∈α且A∈β，則A∈l
B．若A，B，C是平面α內(nèi)不共線的三點，A∈β，B∈β，則C?β
C．若A∈α且B∈α，則直線AB?α
D．若直線a?α，直線b?β，則a與b為異面直線
10．如圖，M，N為正方體中所在棱的中點，過M，N兩點作正方體的截面，則截面的形狀可能為( )
A．三角形
B．四邊形
C．五邊形
D．六邊形
三、填空題
11．有下列四個命題：
①空間四點共面，則其中必有三點共線；
②空間四點不共面，則其中任意三點不共線；
③空間四點中有三點共線，則此四點共面；
④空間四點中任意三點不共線，則此四點不共面．
其中真命題的所有序號為________．
12．在平行四邊形ABCD中，∠A＝45°，AB＝2AD＝2，現(xiàn)將平行四邊形ABCD沿對角線BD折起，當異面直線AD和BC所成的角為60°時，AC的長為________．
13．如圖，正四棱柱ABCP-A′B′C′P′.
(1)請在正四棱柱ABCP-A′B′C′P′中，畫出經(jīng)過P，Q，R三點的截面(無需證明)；
(2)若Q，R分別為A′B′，B′C′的中點，證明：AQ，CR，BB′三線共點．
14．正多面體被古希臘圣哲認為是構(gòu)成宇宙的基本元素，加上它們的多種變體，一直是科學、藝術(shù)、哲學靈感的源泉之一．如圖，該幾何體是一個高為4的正八面體，G為BC的中點，求異面直線EG與BF所成角的正弦值．
參考答案
1．D [已知直線c與d是異面直線，直線a與直線b分別和直線c與直線d相交于點A，B，C，D，
根據(jù)題意可得當點D與點B重合時，兩條直線相交，當點D與點B不重合時，兩條直線異面，
所以直線a，b的位置關(guān)系是異面或相交．故選D.]
2．B [如圖所示，
因為EF?平面ABC，
HG?平面ACD，EF∩HG＝P，
所以P∈平面ABC，P∈平面ACD.
又因為平面ABC∩平面ACD＝AC，所以P∈AC.]
3．C [連接AC1，
因為BC∥B1C1，所以直線AB1與BC所成的角即為∠AB1C1，
設(shè)AB＝a，易得AB1＝2a，AC1＝2a，B1C1＝a，則由余弦定理的推論知，
cs ∠AB1C1＝AB12+B1C12?AC122AB1·B1C1＝2a2+a2?2a222a·a＝24.
故選C.]
4．B [對于A，當P是A1C1的中點時，BP與DD1是相交直線；
對于B，根據(jù)異面直線的定義知，BP與AC是異面直線；
對于C，當點P與點C1重合時，BP與AD1是平行直線；
對于D，當點P與點C1重合時，BP與B1C是相交直線．
故選B.]
5．B [如圖，連接BD1，則EF∥BD1，
所以∠AD1B為異面直線EF與AD1所成角，
因為AB⊥AD，AB⊥AA1，且AD∩AA1＝A，所以AB⊥平面ADD1A1，AD1?平面ADD1A1，所以AB⊥AD1，所以△BAD1為直角三角形，所以tan ∠BD1A＝ABAD1＝12＝22.
故選B.]
6．D [如圖，將該幾何體補成一個直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，由題易得底面ABCD為菱形，且△ABC為等邊三角形．
連接DC1，BD，易得AB1∥DC1，所以∠BC1D(或其補角)是異面直線AB1與BC1所成的角．
設(shè)AB＝1，則BC1＝DC1＝2，BD＝21?122＝3，
所以cs ∠BC1D＝22+22?322×22＝14.
故選D.]
7．C [如圖，連接AD，BC，AC，SC.
因為O為AB，CD中點，且AB＝CD，所以四邊形ADBC為矩形，所以DB∥AC，所以∠SAC或其補角為異面直線SA與BD所成的角．
設(shè)圓O的半徑為1，則SA＝SC＝2.
因為∠AOD＝π3，所以∠ADO＝π3.
在Rt△DAC中，CD＝2，得AC＝3.
所以cs∠SAC＝22+32?222×2×3＝64，
所以異面直線SA與BD所成角的余弦值為64.故選C.]
8．A [如圖，取BC的中點F，連接EF，AF，BC1，
因為E，F(xiàn)分別為棱CC1，BC的中點，則EF∥BC1，正方體中BC1∥AD1，則有EF∥AD1，所以平面AFED1為所求截面，
因為正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，所以EF＝2，D1E＝AF＝22+12＝5，AD1＝22，所以四邊形AFED1的周長為32＋25.
故選A.]
9．ABC [由根據(jù)A∈α且A∈β，則A是平面α和平面β的公共點，
又α∩β＝l，由基本事實3可得A∈l，A正確；
由基本事實1：過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面，
又A∈β，B∈β，且A，B，C∈α，則C?β，B正確；
由基本事實2：如果一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi)，C正確；
由于平面α和平面β位置不確定，則直線a與直線b位置亦不確定，可能異面、相交、平行、重合，D錯誤．故選ABC.]
10．BD [根據(jù)題意，過M，N兩點作正方體的截面，則截面的形狀可能為四邊形和六邊形，
如圖：
故選BD.]
11．②③ [①中，對于平面四邊形來說不成立，故①是假命題；②中，若四點中有三點共線，則根據(jù)“直線與直線外一點可以確定一個平面”知四點共面，與四點不共面矛盾，故②是真命題；由②的分析可知③是真命題；④中，平面四邊形的四個頂點中任意三點不共線，但四點共面，故④是假命題．]
12．2或22 [由題設(shè)，BD2＝AD2＋AB2－2AD·AB cs 45°＝2，即BD＝2，
所以由平行四邊形的性質(zhì)及勾股定理易知，△ABD、△BDC為等腰直角三角形，
將平行四邊形ABCD沿對角線BD折起，當異面直線AD和BC所成的角為60°，
如圖所示，作DE∥BC，CE∥BD，且DE，CE交于點E，顯然四邊形BCED為正方形，
所以∠ADE＝60°或120°.
又AD＝DE＝2，則EC＝2，AE＝2或6.
因為CE⊥DE，BD⊥AD，BD∥CE，所以AD⊥CE，
結(jié)合DE∩AD＝D，所以CE⊥平面ADE，CE⊥AE，
在Rt△AEC中，當AE＝2時，AC＝AE2+EC2＝2；
當AE＝6時，AC＝AE2+EC2＝22.]
13．[解] (1)作直線QR分別交P′A′，P′C′的延長線于點M，N，連接MP交AA′于點S，
連接PN交CC′于點T，連接SQ，TR，
如圖五邊形PSQRT即為所求．
(2)證明：如圖，連接QR，AC，A′C′，則AC＝A′C′，AC∥A′C′，
∵Q，R分別為A′B′，B′C′的中點，
∴QR∥A′C′，又AC∥A′C′，
∴QR∥AC，而AC＝2QR，可得四邊形AQRC為梯形，
設(shè)AQ∩CR＝O，則O∈AQ，
∵AQ?平面A′AB，∴O∈平面A′AB，同理O∈平面C′CB，
又平面A′AB∩平面C′CB＝BB′，∴O∈BB′，
即AQ，CR，BB′三線共點．
14．[解] 如圖，連接BD，取BD的中點O，連接EO，DG，
由正八面體的性質(zhì)知EO＝2，BF∥DE，
所以∠DEG(或補角)為異面直線EG與BF所成的角，
在Rt△BOE中，EO2＋BO2＝BE2，
則22＋22BE2＝BE2，解得BE＝22，
即正八面體的棱長為22，
在Rt△DCG中，CD2＋12BC2＝DG2，
所以(22)2＋(2)2＝DG2．即DG＝10，
在等邊△BCE中，EG＝32×22＝6，
在△DEG中，由余弦定理得
DG2＝DE2＋EG2－2DE·EG·cs ∠DEG，
所以10＝8＋6－2×22×6×cs ∠DEG，
所以cs ∠DEG＝36，且∠DEG為銳角，
所以sin ∠DEG＝336.
即異面直線EG與BF所成角的正弦值為336

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