高三第二次考試數(shù)學(xué)試卷10.6注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡規(guī)定位置.2.答選擇題時(shí)，使用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)答案，需用橡皮擦將原標(biāo)號(hào)擦干凈，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).3.所有試題必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效.4.答非選擇題時(shí)，必須用0.5毫米黑色簽字筆將答案書寫在答題卡規(guī)定位置.一、單選題（本題共有8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）.1. 若集合，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】求出集合后可求.【詳解】，故，故選：D 2. 若，則（    ）A.  B.  C. 1 D. 2【答案】D【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法可求，從而可求.【詳解】由題設(shè)有，故，故，故選：D 3. 從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】由古典概型概率公式結(jié)合組合、列舉法即可得解.【詳解】從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，共有種不同的取法，若兩數(shù)不互質(zhì)，不同的取法有：，共7種，故所求概率.故選：D. 4. 嫦娥二號(hào)衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后，繼續(xù)進(jìn)行深空探測(cè)，成為我國(guó)第一顆環(huán)繞太陽(yáng)飛行的人造行星，為研究嫦娥二號(hào)繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列：，，，…，依此類推，其中．則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)，再利用數(shù)列與的關(guān)系判斷中各項(xiàng)的大小，即可求解.【詳解】[方法一]:常規(guī)解法因?yàn)?/span>，所以，，得到，同理，可得，又因?yàn)?/span>，故，；以此類推，可得，，故A錯(cuò)誤；，故B錯(cuò)誤；，得，故C錯(cuò)誤；，得，故D正確.[方法二]：特值法不妨設(shè)則故D正確. 5. 若為偶函數(shù)，則（    ）．A.  B. 0 C.  D. 1【答案】B【解析】【分析】根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)，利用特殊值法求出值，再檢驗(yàn)即可.【詳解】因?yàn)?/span> 為偶函數(shù)，則 ，解得，當(dāng)時(shí)，，，解得或，則其定義域?yàn)?/span>或，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.，故此時(shí)為偶函數(shù).故選：B. 6. 記函數(shù)的最小正周期為T．若，且的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則（    ）A. 1 B.  C.  D. 3【答案】A【解析】【分析】由三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)可求得參數(shù)，進(jìn)而可得函數(shù)解析式，代入即可得解.【詳解】由函數(shù)的最小正周期T滿足，得，解得，又因?yàn)楹瘮?shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，且，所以，所以，，所以.故選：A 7. 有甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有（    ）A. 12種 B. 24種 C. 36種 D. 48種【答案】B【解析】【分析】利用捆綁法處理丙丁，用插空法安排甲，利用排列組合與計(jì)數(shù)原理即可得解【詳解】因?yàn)楸∫谝黄?，先把丙丁捆綁，看做一個(gè)元素，連同乙，戊看成三個(gè)元素排列,有種排列方式；為使甲不在兩端，必須且只需甲在此三個(gè)元素的中間兩個(gè)位置任選一個(gè)位置插入，有2種插空方式；注意到丙丁兩人的順序可交換，有2種排列方式，故安排這5名同學(xué)共有：種不同的排列方式，故選：B 8. 已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，且對(duì)任意實(shí)數(shù)，滿足，若，則（    ）A.  B.  C. 0 D. 1【答案】B【解析】【分析】利用賦值法，結(jié)合周期性求得正確答案.【詳解】因?yàn)?/span>且，令，，則，故，即，所以：，，所以函數(shù)是周期為6的周期函數(shù).在中，令，，得，則；令，，得，則；由得：，，，，所以故由函數(shù)的周期性知中，任意連續(xù)6個(gè)數(shù)之和為，而，所以.故選：B【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于抽象函數(shù)求值的問題，解題方法主要有兩個(gè)，一個(gè)是賦值法，根據(jù)已知條件進(jìn)行賦值，可求得相關(guān)的函數(shù)值，由此來對(duì)問題進(jìn)行求解；第二個(gè)是利用周期性進(jìn)行求值，函數(shù)周期性的表現(xiàn)形式有很多，但最重要的是.二、多選題（本題共有4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）.9. 有一組樣本數(shù)據(jù)，其中是最小值，是最大值，則（    ）A. 的平均數(shù)等于的平均數(shù)B. 的中位數(shù)等于的中位數(shù)C. 的標(biāo)準(zhǔn)差不小于的標(biāo)準(zhǔn)差D. 的極差不大于的極差【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合平均數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差以及極差的概念逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：設(shè)的平均數(shù)為，的平均數(shù)為，則，因?yàn)闆]有確定的大小關(guān)系，所以無法判斷的大小，例如：，可得；例如，可得；例如，可得；故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：不妨設(shè)，可知的中位數(shù)等于的中位數(shù)均為，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?/span>是最小值，是最大值，則的波動(dòng)性不大于的波動(dòng)性，即的標(biāo)準(zhǔn)差不大于的標(biāo)準(zhǔn)差，例如：，則平均數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差，，則平均數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差，顯然，即；故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：不妨設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故D正確；故選：BD. 10. 已知數(shù)列滿足，，則（    ）A.  B. 為等比數(shù)列C.  D. 數(shù)列的前項(xiàng)和為【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于A，由遞推式直接求解，對(duì)于B，對(duì)遞推式變形進(jìn)行判斷，對(duì)于C，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解，對(duì)于D，利用裂項(xiàng)相消法求解.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?/span>，，所以，，所以A正確；對(duì)于B，因?yàn)?/span>，所以，即，所以為等差數(shù)列且非常數(shù)列，所以 B不正確；對(duì)于C，由選項(xiàng)B可知，所以，所以，所以 C正確；對(duì)于D，，所以，所以D正確，故選：ACD.11. 聲音是由物體振動(dòng)產(chǎn)生的聲波，其中包含著正弦函數(shù).純音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，我們聽到的聲音是由純音合成的，稱之為復(fù)合音.若一個(gè)復(fù)合音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（    ）A. 的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱B. 在上是增函數(shù)C. 的最大值為D. 若，則【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的對(duì)稱性、單調(diào)性、最值、周期等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】依題意，，，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，A選項(xiàng)正確.，，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.由于，所以，C選項(xiàng)錯(cuò)誤. ，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，，，結(jié)合的單調(diào)性可知的最小正周期為，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值為：，當(dāng)時(shí)，取得最小值為：，而，所以，D選項(xiàng)正確.故選：AD12. 若實(shí)數(shù)，滿足，則下列結(jié)論正確的是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】ABC【解析】【分析】利用基本不等式或者三角換元法對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】（時(shí)等號(hào)成立）對(duì)于A，法1由得，即，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，故A正確.法2由變形可得，可設(shè)，（三角換元），則，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，或，時(shí)，，故A正確.對(duì)于B，由得，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，故B正確.對(duì)于C，D，由得，即，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：ABC【點(diǎn)睛】利用基本不等式求解不等式的問題，主要是通過化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，然后選擇中的一個(gè)，或利用整體代換的方法來求得正確答案.在解題的過程中，要注意基本不等式等號(hào)成立的條件.三、填空題（本題共有4小題，每小題5分，共20分）.13. 已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則______.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性求得正確答案.【詳解】依題意，，所以.故答案為：14. 的展開式中的系數(shù)為________________（用數(shù)字作答）．【答案】-28【解析】【分析】可化為，結(jié)合二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式求解.【詳解】因?yàn)?/span>，所以的展開式中含的項(xiàng)為，的展開式中的系數(shù)為-28故答案為：-28 15. 已知向量，滿足，，則______．【答案】【解析】【分析】法一：根據(jù)題意結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算律運(yùn)算求解；法二：換元令，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律運(yùn)算求解.【詳解】法一：因?yàn)?/span>，即，則，整理得，又因?yàn)?/span>，即，則，所以.法二：設(shè)，則，由題意可得：，則，整理得：，即.故答案為：. 16. 已知函數(shù)若方程有四個(gè)不同的實(shí)根，滿足，則的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】畫出函數(shù)的圖象，由有四個(gè)根，可得，結(jié)合圖象，找到四個(gè)根，的關(guān)系可解決.詳解】由圖可知，且，所以，又因?yàn)?/span>，由二次函數(shù)的對(duì)稱性可知，則，，令，所以函數(shù)單調(diào)遞增，由二次函數(shù)求值域可知.故答案為：四、解答題（本題共有6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）.17. 已知函數(shù).（1）求的最小正周期；（2）當(dāng)時(shí)，求的值域.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）化簡(jiǎn)的解析式，然后根據(jù)三角函數(shù)最小正周期的求法求得正確答案.（2）根據(jù)三角函數(shù)值域的求法求得正確答案.【小問1詳解】∵∴函數(shù)的最小正周期為【小問2詳解】∵當(dāng)時(shí)，，∴，故函數(shù)的值域?yàn)?/span>.18. 已知函數(shù)求曲線在點(diǎn)處的切線方程若函數(shù)，恰有2個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍【答案】(1) x+y-1=0.(2) .【解析】【分析】(1)求得f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切點(diǎn)，即可得到所求切線方程；(2) 函數(shù)恰有2個(gè)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，數(shù)形結(jié)合解題即可.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，所以.   所以   又   所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為   即.（5分）（2）由題意得，，   所以.   由，解得，   故當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；   當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增.   所以.   又，，若函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，   則解得. 所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)零點(diǎn)問題.函數(shù)零點(diǎn)問題有兩種解決方法，一個(gè)是利用二分法求解，另一個(gè)是化原函數(shù)為兩個(gè)函數(shù)，利用兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)來求解.19. 在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，已知.（1）求角；（2）若的面積為1，求的周長(zhǎng)的最小值.【答案】（1）    （2）（或?qū)懗?/span>）【解析】【分析】（1）利用正弦定理邊角互化，結(jié)合三角函數(shù)恒等變形，化簡(jiǎn)求，即可求解；（2）首先由面積公式得，再結(jié)合余弦定理和基本不等式，即可求解周長(zhǎng)的最小值.【小問1詳解】因?yàn)?/span>，所以，即,由正弦定理得，，，即，且，所以，，則；【小問2詳解】由題知，，則，，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，，，即，所以當(dāng)（或?qū)懗?/span>），時(shí)，周長(zhǎng)的最小值是（或?qū)懗?/span>）20. 記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）已知數(shù)列滿足________，記為數(shù)列的前項(xiàng)和，證明：．從①  ②兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在第（2）問中的橫線上并作答.【答案】（1）    （2）證明見解析【解析】【分析】（1）分類討論和，利用作差法得，從而根據(jù)等比數(shù)列定義求出；（2）若選擇①利用裂項(xiàng)相消求和，若選擇②利用錯(cuò)位相減求和，最后證明結(jié)論即可.【小問1詳解】①，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，②①-②得，即又，∴數(shù)列是從第2項(xiàng)起的等比數(shù)列，即當(dāng)時(shí)，．．【小問2詳解】若選擇①：，．若選擇②，則③，④，③-④得，．21. 某學(xué)校為了提升學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，舉行了“趣味數(shù)學(xué)”闖關(guān)比賽，每輪比賽從10道題中任意抽取3道回答，每答對(duì)一道題積1分.已知小明同學(xué)能答對(duì)10道題中的6道題.（1）求小明同學(xué)在一輪比賽中所得積分的分布列和期望；（2）規(guī)定參賽者在一輪比賽中至少積2分才視為闖關(guān)成功，若參賽者每輪闖關(guān)成功的概率穩(wěn)定且每輪是否闖關(guān)成功相互獨(dú)立，問：小明同學(xué)在5輪闖關(guān)比賽中，需幾次闖關(guān)成功才能使得對(duì)應(yīng)概率取值最大？【答案】（1）分布列見解析，    （2）3次或4次【解析】【分析】（1）根據(jù)超幾何分布的知識(shí)求得分布列并求得數(shù)學(xué)期望.（2）根據(jù)二項(xiàng)分布的知識(shí)求得闖關(guān)成功的次數(shù)的分布列，由此求得正確答案.【小問1詳解】由題知：可取0，1，2，3，則:，，，，故的分布列為：0123則的期望為：.【小問2詳解】方法1、參賽者在一輪比賽中至少積2分才視為闖關(guān)成功，記概率為若小明同學(xué)在5輪闖關(guān)比賽中，記闖關(guān)成功的次數(shù)為，則.故所以的分布列為：012345故小明同學(xué)5輪闖關(guān)比賽中，需3次或4次闖關(guān)成功才能使得對(duì)應(yīng)概率取值最大.方法2、參賽者在一輪比賽中至少積2分才視為闖關(guān)成功，記概率為若小明同學(xué)在5輪闖關(guān)比賽中，記闖關(guān)成功次數(shù)為，則故∴假設(shè)當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)概率取值最大，則解得，而故小明同學(xué)在5輪闖關(guān)比賽中，需3次或4次闖關(guān)成功才能使得對(duì)應(yīng)概率取值最大.22. 已知函數(shù)，且.（1）求；（2）證明：存在唯一的極大值點(diǎn)，且.【答案】（1）    （2）證明見解析【解析】【分析】（1）第一問轉(zhuǎn)換為，對(duì)參數(shù)分類討論首先得出，然后轉(zhuǎn)換為即可求解.（2）對(duì)連續(xù)求導(dǎo)，得出的根的情況即可得出存在唯一的極大值點(diǎn)，進(jìn)而即可證明.【小問1詳解】定義域?yàn)?/span>,設(shè)，則，等價(jià)于.而，若，則，所以此時(shí)在上單調(diào)遞減，又注意到，所以當(dāng)時(shí)，不成立，因此只能，令，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，所以的最小值為，若恒成立只需即可，不妨設(shè)，則只需，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以    ，若要，則，由以上分析可知該方程有唯一解符合題意，綜上所述：.小問2詳解】由（1）知，.設(shè)，則.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.又，，所以在有唯一零點(diǎn)，在有唯一零點(diǎn)1，因?yàn)?/span>，且當(dāng)時(shí)，,此時(shí)單調(diào)遞增；當(dāng)，，此時(shí)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增.所以是的唯一極大值點(diǎn).由得，故.由得.因?yàn)?/span>是在的最大值點(diǎn)，由，得，，綜上，函數(shù)存在唯一的極大值點(diǎn)，且.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決第一問的關(guān)鍵是用分析法將問題轉(zhuǎn)換為存在使得，而第二問的關(guān)鍵是要求二階導(dǎo)數(shù)，從而結(jié)合分析法即可求證.  

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