第I卷（選擇題，共58分）
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 直線的傾斜角為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出直線的斜率，利用斜率與傾斜角的關系可求得該直線的傾斜角.
直線的斜率為，故該直線的傾斜角為.
故選：B.
2. 若隨機事件A，B滿足，，，則（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由概率的性質(zhì)即可得到答案.
由概率的性質(zhì)，
.
故選：B.
3. 已知直線，互相平行，且之間的距離為，則（）
A. 或3B. 或4C. 或5D. 或2
【答案】A
【解析】
【分析】
先根據(jù)兩直線平行由系數(shù)的關系求出參數(shù)，然后由平行線間的距離公式求出參數(shù)，最后由即可求出答案.
由可得，解得，則直線的方程為，由，即，解得或，故或，即.
故選：A.
【點睛】本題考查了兩平行直線間系數(shù)的關系，考查了平行直線間距離公式的應用，考查了運算能力，屬于一般難度的題.
4. 下列命題中正確的是（）
A. 點關于平面對稱的點的坐標是
B. 若直線l的方向向量為，平面的法向量為，則
C. 若直線l的方向向量與平面的法向量的夾角為，則直線l與平面所成的角為
D. 已知O為空間任意一點，A，B，C，P四點共面，且任意三點不共線，若，則
【答案】C
【解析】
【分析】由空間點關于平面的對稱點的特點可判斷A；由向量的數(shù)量積的性質(zhì)可判斷B；由線面角的定義可判斷C；由共面向量定理可判斷D.
對于A，點關于平面對稱的點的坐標是，A選項錯誤；
對于B，若直線l的方向向量為，平面的法向量為，
，有，則或，B選項錯誤；
對于C，若直線l的方向向量與平面的法向量的夾角為，
則直線l與平面所成的角為，C選項正確；
對于D，已知O為空間任意一點，A，B，C，P四點共面，且任意三點不共線，
若，則，解得，D選項錯誤.
故選：C.
5. 已知，則“”是“直線和直線垂直”的（）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)直線垂直的等價條件，求出的取值，根據(jù)包含關系即可得到結(jié)論
直線和直線垂直，
則，解得或，
所以“”是“直線和直線垂直”的充分不必要條件，
故選：A，
【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合直線垂直的等價條件是解決本題的關鍵，屬于基礎題，
6. 平行六面體的底面是邊長為2的正方形，且，，為，的交點，則線段的長為（）
A. 3B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)空間向量的線性運算可得，進而結(jié)合數(shù)量積運算求模長.
由題意可知：，
則
，
所以.
故選：C.
7. 唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句為“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，其中隱含了一個有趣的數(shù)學問題——“將軍飲馬”，即將軍在白天觀望烽火臺之后黃昏時從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，已知軍營所在的位置為，若將軍從山腳下的點處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為（ ）
A. B. 5C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用點關于直線對稱點，找出最短路程.
先找出B關于直線的對稱點C再連接AC即為“將軍飲馬”的最短路程.
如圖所示，
設點關于直線的對稱點為，在直線上取點P，連接PC，則．由題意可得，解得，即點，所以，當且僅當A，P，C三點共線時等號成立，所以“將軍飲馬”的最短總路程為．
故選：A．
8. 如圖，在長方體中，已知.動點P從出發(fā)，在棱上勻速運動；動點Q同時從B出發(fā)，在棱BC上勻速運動，P的運動速度是Q的兩倍，各自運動到另一端點停止.它們在運動過程中，設直線PQ與平面ABCD所成的角為，則的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】設運動時間為且，構建如圖示空間直角坐標系，令，到面的距離恒為1且在面上的射影為，根據(jù)線面角定義求正切值.
設運動時間為，且，構建如圖示空間直角坐標系，不妨令，
顯然到面的距離恒為1，且在面上的射影為，
則，則，
所以.
故選：D
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 某中學三個年級學生共2000人，且各年級人數(shù)比例如以下扇形圖.現(xiàn)因舉辦校慶活動，以按比例分配的分層抽樣方法，從中隨機選出志愿服務小組，已知選出的志愿服務小組中高一學生有人，則下列說法正確的有（）
A. 該學校高一學生共人B. 志愿服務小組共有學生96人
C. 志愿服務小組中高三學生共有人D. 某高三學生被選入志愿服務小組的概率為
【答案】AC
【解析】
【分析】利用扇形圖特點和分層抽樣的概念，即可判斷.
對于A：由圖可知，高三年級學生人數(shù)占總?cè)藬?shù)的，高二年級學生人數(shù)占總?cè)藬?shù)的，
所以高一年級學生人數(shù)占總?cè)藬?shù)的，
所以高一學生共人，故A正確；
對于B：因為，所以志愿服務小組共有學生人，故B錯誤；
對于C：因志愿服務小組中高三學生共有人，故C正確；
對于D：高三學生共人，志愿服務小組中高三學生共有人，
所以某高三學生被選入志愿服務小組的概率為，故D錯誤；
故選：AC.
10. 下列說法正確的是（）
A. 直線的傾斜角的取值范圍是
B. 若三點在一條直線上，則
C. 過點，且在兩坐標軸上截距互為相反數(shù)的直線的方程為
D. 直線方向向量為，則該直線的斜率為
【答案】AD
【解析】
【分析】利用直線相關知識分別判斷每一個選項即可.
直線的斜率，所以其傾斜角為，A正確；
若三點在一條直線上，則斜率等于斜率，得，B錯誤；
過點，且在兩坐標軸上截距互為相反數(shù)的直線存在一條過原點，顯然不過原點，C錯誤；
直線的方向向量為，則斜率，D正確.
故選：AD
11. 據(jù)浙江省新高考規(guī)則，每名同學在高一學期結(jié)束后，需要從七門選考科目中選擇其中三門作為高考選考科目.某同學已經(jīng)選擇了物理、化學兩門學科，還需要從生物、技術這兩門理科學科和政治、歷史、地理這三門文科學科共五門學科中再選擇一門，設事件“選擇生物學科”，“選擇一門理科學科”，“選擇政治學科”，“選擇一門文科學科”，則下列說法正確的是（）
A. 和是互斥事件但不是對立事件B. 和是互斥事件也是對立事件
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根據(jù)互斥事件、對立事件的概念與性質(zhì)逐項判斷即可.
事件“選擇一門文科學科”，包含“選擇政治學科”、“選擇歷史學科”、“選擇地理學科”，
所以事件“選擇政治學科”，包含于事件，故事件、可以同時發(fā)生，不是互斥事件，A錯；
事件“選擇一門理科學科”，與事件“選擇一門文科學科”，不能同時發(fā)生，
且必有一個事件發(fā)生，故和是互斥事件也是對立事件，B對；
由題意可知，，所以，C錯；
事件事件“選擇生物學科”，與事件“選擇一門文科學科”，不能同時發(fā)生，
故和是互斥事件，所以，D對.
故選：BD.
第II卷（非選擇題，共92分）
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知圓的圓心坐標為，且點在圓上，則圓的一般方程為_________________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)點在圓上，可得半徑，進而可圓的方程.
由已知點在圓上，
則，
即圓的方程為，
即，
故答案為：.
13. 已知一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，方差為2，若這組數(shù)據(jù)，的平均數(shù)為，方差為，則________________________.
【答案】 ①. 19 ②. 8
【解析】
【分析】利用平均數(shù)的性質(zhì)和方差的性質(zhì)求解．
因為平均數(shù)為，方差為，
所以，的平均數(shù)為,
方差為.
故答案為：19；8.
14. 兩條異面直線a，b所成的角為，在直線上取點A，E，在直線上取點B，F(xiàn)，使，且.已知，則線段AB的長為____________.
【答案】12或
【解析】
【分析】根據(jù)題意，畫出相應示意圖，且，，，則，，分兩種情況求對應線段AB的長.
由題意，有如下兩種情況，且，，，則，，
如上圖，，又，即，
則，
又，則，
如上圖，，又，即，
則，
又，則，
所以線段AB的長為12或.
故答案為：12或
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知盒中有大小、質(zhì)地相同的紅球、黃球、藍球共4個，從中任取一球，得到紅球或黃球的概率是，得到黃球或藍球的概率是．
（1）求盒中紅球、黃球、藍球的個數(shù)；
（2）設置游戲規(guī)則如下：從盒中有放回的取球兩次，每次任取一球記下顏色．若取到兩個球顏色相同則甲勝，否則乙勝，從概率的角度判斷這個游戲是否公平，請說明理由．
【答案】（1）盒中紅球、黃球、藍球的個數(shù)分別是2，1，1；
（2）不公平，理由見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題設的概率可得關于球數(shù)的方程組，求出其解后可得不同顏色的求出.
（2）利用列舉法可求甲勝或乙勝的概率，從而可判斷游戲是否公平.
【小問1詳解】
設盒中紅球、黃球、藍球個數(shù)分別為x，y，z，從中任取一球，得到紅球或黃球為事件A，得到黃球或藍球為事件B，
則，
由已知得，解得，
所以盒中紅球、黃球、藍球的個數(shù)分別是2，1，1；
【小問2詳解】
由（1）知紅球、黃球、藍球個數(shù)分別為2個，1個，1個，
用，表示紅球，用表示黃球，用表示藍球，
表示第一次取出的球，表示第二次取出的球，表示試驗的樣本點，
則樣本空間，．
可得，
記“取到兩個球顏色相同”為事件，“取到兩個球顏色不相同”為事件，
則，所以，
所以，
因為，所以此游戲不公平．
16. 已知直線.
（1）若直線不經(jīng)過第四象限，求的取值范圍；
（2）若直線交軸負半軸于點，交軸正半軸于點，求的面積的最小值及此時直線的一般式方程.
【答案】（1）
（2）4，.
【解析】
【分析】（1）要使直線不經(jīng)過第四象限，則直線的斜率和直線在軸上的截距都是非負數(shù)，解出k的取值范圍；
（2）先求出直線在兩個坐標軸上的截距，代入三角形的面積公式，再使用基本不等式可求得面積的最小值.
【小問1詳解】
直線的方程為：，則
則直線l在y軸上的截距為，要使直線l不經(jīng)過第四象限，
則，解得，
的取值范圍是.
【小問2詳解】
由題意可知，再由的方程，得，.
依題意得，解得.
，
“”成立的條件是且，即，
，此時直線的方程為.
17. 如圖，在四棱錐中，平面，，且，，，，，為的中點.
（1）求證：平面；
（2）求點到平面的距離.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）過點在平面內(nèi)作，垂足為，求出、的長，然后以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可證得平面；
（2）利用空間向量法可求得點到平面的距離.
【小問1詳解】
過點在平面內(nèi)作，垂足為，
因為，，，，，則四邊形為矩形，
所以，，，則，且，
又因為平面，以點為坐標原點，
、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，
則A0,0,0、、、、、P0,0,1，
因為為的中點，則，，
，，
設平面的法向量為m=x,y,z，
則，令，得，
因為，即，
又因為平面，所以平面.
【小問2詳解】
又，由（1）知平面的一個法向量為，
所以，點到平面的距離為，
故點到平面的距離為.
18. 某班同學利用春節(jié)進行社會實踐，對本地歲的人群隨機抽取人進行了一次生活習慣是否符合低碳觀念的調(diào)查，將生活習慣符合低碳觀念的稱為“低碳族”，否則稱為“非低碳族”，得到如下統(tǒng)計表和各年齡段人數(shù)頻率分布直方圖．
（一）人數(shù)統(tǒng)計表（二）各年齡段人數(shù)頻率分布直方圖
（1）在答題卡給定的坐標系中補全頻率分布直方圖，并求出、、的值；
（2）從歲年齡段的“低碳族”中采用分層抽樣法抽取6人參加戶外低碳體驗活動．若將這6個人通過抽簽分成甲、乙兩組，每組的人數(shù)相同，求歲中被抽取的人恰好又分在同一組的概率．
【答案】（1）頻率分布直方圖見解析；，，；
（2）
【解析】
【分析】（1）先根據(jù)頻率分布直方圖中所有小長方形面積和為1得第二組的頻率，除以組距得高，再補全直方圖，根據(jù)頻率等于頻數(shù)除以總數(shù)求得、、
（2）先根據(jù)分層抽樣確定兩區(qū)間抽取人數(shù)，利用列舉法確定總的基本事件數(shù)，以及歲中被抽取的人恰好又分在同一組的基本事件數(shù)，最后根據(jù)古典概型概率公式求結(jié)果.
【小問1詳解】
結(jié)合頻率分布直方圖可知，第二組的頻率為，
所以第二組高為．故補全頻率分布直方圖如下：
結(jié)合人數(shù)統(tǒng)計表與頻率分布直方圖，可知第一組的人數(shù)為，頻率為，所以；
因為第二組的頻率為0.3，所以第二組的人數(shù)為，所以；
因為第四組的頻率為，所以第四組的人數(shù)為，所以．
【小問2詳解】
因為歲年齡段的“低碳族”與歲年齡段的“低碳族”的比為，
所以采用分層抽樣法抽取6人，則在歲中抽取4人，在歲中抽取2人．
設年齡在中被抽取的4個人分別為：；
年齡在歲中被抽取的2個人分別為：；
則總的基本事件有：,,,,,……，共20個；
記“歲中被抽取的人恰好有分在同一組” 為事件C，而事件C包含的基本事件有8個；
所以.
【點睛】頻率分布直方圖中小長方形面積等于對應區(qū)間的概率,所有小長方形面積之和為1; 頻率分布直方圖中組中值與對應區(qū)間概率乘積的和為平均數(shù); 頻率分布直方圖中小長方形面積之比等于對應概率之比,也等于對應頻數(shù)之比.
19. 如圖，在三棱柱中，，頂點在底面上的射影恰為點，且.
（1）求證：平面
（2）求棱與BC所成的角的大小；
（3）在線段上確定一點P，使，并求出二面角的平面角的余弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
（3）為棱的中點，
【解析】
【分析】（1）由線面垂直得線線垂直，再由線面垂直的判斷定理得到證明；
（2）建立空間直角坐標系，利用異面直線夾角的向量公式求解即可；
（3）利用已知條件求出點P的坐標，利用向量法求解平面角的余弦值.
【小問1詳解】
因為三棱柱中，，所以，
因為頂點在底面上的射影恰為點，即平面，
由平面，則，
且∥，可得，
又因為，平面，平面，
所以平面.
【小問2詳解】
以A為原點，射線，，分別為x，y，z軸正半軸建立空間直角坐標系，如圖，
則，，，，
可得，，
設棱與BC所成的角為，
所以，
又因為，所以，
故棱與BC所成的角為.
【小問3詳解】
設，則，
于是，解得，
則P為棱的中點，其坐標為，
設平面的一個法向量，則，
令，則，可得，
而平面的一個法向量，
則，
由題意可知：二面角為銳角，故二面角的平面角的余弦值是.
序號
分組（歲）
本組中“低碳族”人數(shù)
“低碳族”人數(shù)在本組所占的比例
1
[25, 30)
120
0.6
2
[30, 35)
195
p
3
[35, 40)
100
0.5
4
[40, 45)
a
0.4
5
[45, 50)
30
0.3
6
[55 60)
15
0.3

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