1. 若集合，則_________.
2. 已知全集，集合，．若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．
3. 已知冪函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)，則的定義域?yàn)開_______
4. 若函數(shù)偶函數(shù)，則_____．
5. 已知，則的最小值為__________．
6. 已知函數(shù)，則不等式的解集為_________.
7. 設(shè)都是正實(shí)數(shù)，則是_________條件.
8. 已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a取值范圍是______．
9. 已知，不等式恒成立，則取值范圍為___________.
10. 已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若在區(qū)間內(nèi)，有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是______．
11. 設(shè)、均為實(shí)數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，則的取值范圍是___________．
12. 設(shè)，記，則它的最大值和最小值的差為_______.
二、選擇題（本大題共4題，滿分18分，第13-14題4分，第15-16題5分）
13. 若,則下列不等式恒成立的是
A. B. C. D.
14. 已知函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
15. 設(shè)，若、是方程的兩相異實(shí)根，則有（ ）
A. ，B. ，
C. D.
16. 已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)滿足，給出兩個(gè)命題：
①對(duì)任意，都有；②若的值域?yàn)?，則對(duì)任意都有.
則下列判斷正確的是（ ）
A. ①②都是假命題B. ①②都是真命題
C. ①是假命題，②是真命題D. ①是真命題，②是假命題
三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）
17. 已知三個(gè)集合： ， ， .
（1）求；
（2）已知，求實(shí)數(shù)取值范圍.
18. 記函數(shù)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)?
（1）求集合；
（2）若，求的取值范圍.
19. 某個(gè)體戶計(jì)劃經(jīng)銷、兩種商品，據(jù)調(diào)查統(tǒng)計(jì)，當(dāng)投資額為（）萬(wàn)元時(shí)，在經(jīng)銷、商品中所獲得的收益分別為萬(wàn)元與萬(wàn)元、其中（）；，（）已知投資額為零時(shí)，收益為零.
（1）試求出，的值；
（2）如果該個(gè)體戶準(zhǔn)備投入5萬(wàn)元經(jīng)營(yíng)這兩種商品，請(qǐng)你幫他制定一個(gè)資金投入方案，使他能獲得最大收益，并求出其收入的最大值.（精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：）.
20. 已知，
（1）若，求的最大值；
（2）若，求關(guān)于的不等式的解集；
（3），對(duì)于給定實(shí)數(shù)，均有滿足，求的取值范圍．
21. 若定義在上的函數(shù)和分別存在導(dǎo)函數(shù)和．且對(duì)任意均有，則稱函數(shù)是函數(shù)的“導(dǎo)控函數(shù)”．我們將滿足方程的稱為“導(dǎo)控點(diǎn)”．
（1）試問(wèn)函數(shù)是否為函數(shù)的“導(dǎo)控函數(shù)”？
（2）若函數(shù)是函數(shù)的“導(dǎo)控函數(shù)”，且函數(shù)是函數(shù)的“導(dǎo)控函數(shù)”，求出所有的“導(dǎo)控點(diǎn)”；
（3）若，函數(shù)為偶函數(shù)，函數(shù)是函數(shù)的“導(dǎo)控函數(shù)”，求證：“”的充要條件是“存在常數(shù)使得恒成立”．
2024-2025學(xué)年上海市普陀區(qū)高三上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷
一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）
1. 若集合，則_________.
【正確答案】
【分析】解對(duì)數(shù)不等式得出集合，然后再根據(jù)交集的定義即可得出答案.
【詳解】，所以.
故
2. 已知全集，集合，．若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．
【正確答案】
【詳解】試題分析：由題意，，，由，得，即．
考點(diǎn)：集合運(yùn)算．
3. 已知冪函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)，則的定義域?yàn)開_______
【正確答案】(0,+∞)
【分析】依題意可求得，從而可求f（x）的定義域．
【詳解】依題意，得：，所以，
，所以，定義域?yàn)椋海?br>故答案為
本題考查冪函數(shù)的性質(zhì)，求得α是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．
4. 若函數(shù)為偶函數(shù)，則_____．
【正確答案】1
【詳解】試題分析：由函數(shù)為偶函數(shù)函數(shù)為奇函數(shù)，
．
考點(diǎn)：函數(shù)的奇偶性．
【方法點(diǎn)晴】本題考查導(dǎo)函數(shù)的奇偶性以及邏輯思維能力、等價(jià)轉(zhuǎn)化能力、運(yùn)算求解能力、特殊與一般思想、數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想，具有一定的綜合性和靈活性，屬于較難題型．首先利用轉(zhuǎn)化思想，將函數(shù)為偶函數(shù)轉(zhuǎn)化為 函數(shù)為奇函數(shù)，然后再利用特殊與一般思想，?。?br>5. 已知，則的最小值為__________．
【正確答案】-1
【分析】變形為，利用基本不等式求解.
【詳解】解：∵，
又∵，
∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
∴最小值為
故
6. 已知函數(shù)，則不等式的解集為_________.
【正確答案】
【分析】利用函數(shù)解析式可判斷該函數(shù)為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，不等式等價(jià)為，可得結(jié)果.
【詳解】根據(jù)可知定義域?yàn)椋?br>且該函數(shù)為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增，
因此即為；
即可得，解得且，
因此不等式的解集為.
故
7. 設(shè)都是正實(shí)數(shù)，則是的_________條件.
【正確答案】充分不必要
【分析】充分性用基本不等式證明，必要性用特殊值排除.
【詳解】由基本不等式可知：，
三式相加得：，即，
又因?yàn)椋?，取等條件為，所以是充分條件；
取，可知不等式成立，此時(shí)，所以必要性不成立.
故充分不必要
8. 已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．
【正確答案】
【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合二次不等式恒成立問(wèn)題，列不等式組求解即可.
【詳解】由復(fù)合而成.
而單調(diào)遞增，只需要單調(diào)遞減.
且在上恒成立.則即可，解得.
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
故答案為.
9. 已知，不等式恒成立，則的取值范圍為___________.
【正確答案】
【分析】設(shè)，即當(dāng)時(shí)，，則滿足
解不等式組可得x的取值范圍．
【詳解】，不等式恒成立
即，不等式恒成立
設(shè)，即當(dāng)時(shí)，
所以 ，即，解得或
故
10. 已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若在區(qū)間內(nèi)，有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是______．
【正確答案】
【分析】由得，分別求出函數(shù)的解析式以及兩個(gè)函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．
【詳解】當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)，可得，
可知函數(shù)在上的解析式為，
由得，
可將函數(shù)f（x）在上的大致圖象呈現(xiàn)如圖：
根據(jù)的幾何意義，
x軸位置和圖中直線位置為表示直線的臨界位置，
當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，可得，
因此直線的斜率t的取值范圍是
故答案為
本題考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．
11. 設(shè)、均為實(shí)數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，則的取值范圍是___________．
【正確答案】．
【分析】
根據(jù)零點(diǎn)的定義，轉(zhuǎn)化為方程在區(qū)間上有實(shí)數(shù)根，然后根據(jù)一元二次方程的實(shí)數(shù)根的分布的性質(zhì)，結(jié)合重要不等式進(jìn)行求解即可.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，
所以方程在區(qū)間上有實(shí)數(shù)解，
即在區(qū)間上有實(shí)數(shù)解，
設(shè)，要想在區(qū)間上有實(shí)數(shù)解，
當(dāng)在區(qū)間上有唯一實(shí)數(shù)解時(shí)，
只需，
而，
當(dāng)在區(qū)間上有二個(gè)不相等實(shí)數(shù)根時(shí)，設(shè)為，
則有，
由，而，所以不等式顯然成立，
因此有 ，
綜上所述：，
故
方法點(diǎn)睛：解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題往往轉(zhuǎn)化為方程的根的問(wèn)題，通過(guò)方程實(shí)數(shù)根的分布進(jìn)行求解.
12. 設(shè)，記，則它的最大值和最小值的差為_______.
【正確答案】
【分析】由得到S的最大值，再令，利用導(dǎo)數(shù)法求得其最大值，從而得到S的最小值即可.
【詳解】解：，
因?yàn)?，所以?br>所以，
當(dāng)或時(shí)等號(hào)成立，所以的最大值為1.
令，
則，
令，則，
令，得或（舍去），，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，
從而，當(dāng)，及時(shí)等號(hào)成立，
所以的最小值為.
所以S的最大值和最小值的差為，
故
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是利用基本不等式變形，，再令轉(zhuǎn)化為函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)法而得解.
二、選擇題（本大題共4題，滿分18分，第13-14題4分，第15-16題5分）
13. 若,則下列不等式恒成立的是
A. B. C. D.
【正確答案】D
【詳解】∵
∴設(shè)
代入可知均不正確
對(duì)于，根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)即可判斷正確
故選D
14. 已知函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】B
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和分界點(diǎn)的大小關(guān)系即可得到不等式組，解出即可.
【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且時(shí)，單調(diào)遞增，
則需滿足，解得，
即a的范圍是.
故選：B.
15. 設(shè)，若、是方程的兩相異實(shí)根，則有（ ）
A. ，B. ，
C. D.
【正確答案】D
【分析】利用特殊值法可判斷AB選項(xiàng)；利用可得出，利用韋達(dá)定理可判斷CD選項(xiàng).
【詳解】若取，則方程為，解得，，AB都錯(cuò)；
由題意可知，，則，
由韋達(dá)定理可得，，
所以，與的大小關(guān)系不確定，C錯(cuò)；
，
所以，，D對(duì).
故選：D.
16. 已知定義在上函數(shù)的導(dǎo)數(shù)滿足，給出兩個(gè)命題：
①對(duì)任意，都有；②若的值域?yàn)?，則對(duì)任意都有.
則下列判斷正確的是（ ）
A. ①②都是假命題B. ①②都是真命題
C. ①假命題，②是真命題D. ①是真命題，②是假命題
【正確答案】B
【分析】對(duì)于①，根據(jù)不等式，構(gòu)造函數(shù)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性證明即可；對(duì)于②，根據(jù)函數(shù)的值域和單調(diào)性，結(jié)合不等式求解即可.
【詳解】，故在上遞增，
對(duì)于①，設(shè)，，
設(shè)，
，，
單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，
，即，
，即，
故，故①是真命題.
對(duì)于②，由①知，，
即，
，故.
且在上遞增，故，
，
故的值域?yàn)?br>所以，
即，故，
②是真命題.
故選：B
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題①判斷的關(guān)鍵是首先根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系得到在上遞增，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得到其單調(diào)性，最后得到，則可判斷①.
三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）
17. 已知三個(gè)集合： ， ， .
（1）求；
（2）已知，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【正確答案】（1）.
（2）.
【分析】（1）解方程求出集合、，計(jì)算；
（2）根據(jù)，求出集合的元素特征，根據(jù)元素特征，求出實(shí)數(shù)的取值范圍．
【小問(wèn)1詳解】
,
,
【小問(wèn)2詳解】
,

設(shè)，
則
即解得
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是
18. 記函數(shù)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)?
（1）求集合；
（2）若，求的取值范圍.
【正確答案】（1）
（2），
【分析】(1)利用根號(hào)內(nèi)大于等于0解不等式即可.
(2)根據(jù)(1)中的可分當(dāng)與兩種情況進(jìn)行分析.
【小問(wèn)1詳解】
由題意.
即，解得：或.
所以
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)?則根據(jù)子集與推出關(guān)系,
即當(dāng)時(shí),可以使得恒成立,可知
當(dāng)時(shí)，恒成立，所以必有恒成立，即恒成立，
所以；
當(dāng)時(shí),恒成立，所以必有ax+1?1xmax?a≥12；
綜上：，
19. 某個(gè)體戶計(jì)劃經(jīng)銷、兩種商品，據(jù)調(diào)查統(tǒng)計(jì)，當(dāng)投資額為（）萬(wàn)元時(shí)，在經(jīng)銷、商品中所獲得的收益分別為萬(wàn)元與萬(wàn)元、其中（）；，（）已知投資額為零時(shí)，收益為零.
（1）試求出，的值；
（2）如果該個(gè)體戶準(zhǔn)備投入5萬(wàn)元經(jīng)營(yíng)這兩種商品，請(qǐng)你幫他制定一個(gè)資金投入方案，使他能獲得最大收益，并求出其收入最大值.（精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：）.
【正確答案】（1）；（2）個(gè)體戶可對(duì)商品投入3萬(wàn)元，對(duì)商品投入2萬(wàn)元，這樣可以獲得12.6萬(wàn)元的最大收益.
【分析】(1)由關(guān)系投資額為零時(shí)收益為零，列方程求，的值；(2)設(shè)投入商品的資金為萬(wàn)元，求總收益的函數(shù)解析式，再利用導(dǎo)數(shù)求其最值.
【詳解】(1)根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義，可知，
即：，
(2)由(1)的結(jié)果可得：，依題意，可設(shè)投入商品的資金為萬(wàn)元（），則投入商品的資金為萬(wàn)元，若所獲得的收入為萬(wàn)元，則有
（）
∴ ，令，得
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
∴是在區(qū)間上的唯一極大值點(diǎn)，此時(shí)取得最大值：
（萬(wàn)元），（萬(wàn)元）
答：該個(gè)體戶可對(duì)商品投入3萬(wàn)元，對(duì)商品投入2萬(wàn)元，這樣可以獲得12.6萬(wàn)元的最大收益.
20. 已知，
（1）若，求的最大值；
（2）若，求關(guān)于的不等式的解集；
（3），對(duì)于給定實(shí)數(shù)，均有滿足，求的取值范圍．
【正確答案】（1）
（2）若，解集為；若，解集為且；若，解集為.
（3）當(dāng)或時(shí)， ；當(dāng)或時(shí)， ；當(dāng)時(shí)，.
【分析】（1）換元令，可得，結(jié)合二次函數(shù)分析求解；
（2）換元令，可得，分類討論的符號(hào)，結(jié)合分式不等式求解；
（3）令,，按照、、分類討論，表示出，即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)?，可知的定義域?yàn)?，此時(shí)，
若，則，
可得，
令，則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以的最大值為.
【小問(wèn)2詳解】
若，則，
對(duì)于，即，
令，則，
若，則，可得，
解得，可得；
若，則，可得，
解得，可得且；
若，則，可得，
解得或，可得或；
綜上所述：若，解集為；
若，解集為且；
若，解集為.
【小問(wèn)3詳解】
令, 則,
①當(dāng)時(shí),
,
當(dāng) 時(shí), 即 或 時(shí), ；
當(dāng)時(shí), 即或時(shí), , 所以;
當(dāng) 時(shí), .
②當(dāng)時(shí)，,
,
當(dāng) 時(shí), , 所以;
當(dāng) 時(shí), , 所以;
當(dāng) 時(shí),.
③當(dāng) 時(shí), 成立.
綜上所述, 當(dāng)或時(shí)， ；
當(dāng)或時(shí)， ；
當(dāng)時(shí)，.
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第三問(wèn)關(guān)鍵點(diǎn)令,，通過(guò)分類討論表示出，再按照的范圍分類求解.
21. 若定義在上的函數(shù)和分別存在導(dǎo)函數(shù)和．且對(duì)任意均有，則稱函數(shù)是函數(shù)的“導(dǎo)控函數(shù)”．我們將滿足方程的稱為“導(dǎo)控點(diǎn)”．
（1）試問(wèn)函數(shù)是否為函數(shù)的“導(dǎo)控函數(shù)”？
（2）若函數(shù)是函數(shù)的“導(dǎo)控函數(shù)”，且函數(shù)是函數(shù)的“導(dǎo)控函數(shù)”，求出所有的“導(dǎo)控點(diǎn)”；
（3）若，函數(shù)為偶函數(shù)，函數(shù)是函數(shù)的“導(dǎo)控函數(shù)”，求證：“”的充要條件是“存在常數(shù)使得恒成立”．
【正確答案】（1）是 （2）
（3）證明見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)“導(dǎo)控函數(shù)”得定義求解即可；
（2）由題意可得，再根據(jù)“導(dǎo)控點(diǎn)”的定義可得，求出，進(jìn)而可求出，進(jìn)而可得出答案；
（3）根據(jù)“導(dǎo)控函數(shù)”的定義結(jié)合充分條件和必要條件的定義求證即可.
【小問(wèn)1詳解】
由，得，由，得，
因?yàn)椋院瘮?shù)是函數(shù)的“導(dǎo)控函數(shù)”；
【小問(wèn)2詳解】
由，得，
由，得，
由，得，
由題意可得恒成立，
令，解得，
故，從而有，所以，
又恒成立，即恒成立，
所以，所以，
故且“導(dǎo)控點(diǎn)”為；
【小問(wèn)3詳解】
充分性：若存在常數(shù)使得恒成立，
則為偶函數(shù)，
因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以，
則，即，
所以恒成立，所以；
必要性：若，則，所以函數(shù)為偶函數(shù)，
函數(shù)是函數(shù)的“導(dǎo)控函數(shù)”，
因此，
又，
因此函數(shù)是函數(shù)的“導(dǎo)控函數(shù)”，
所以，即恒成立，
用代換有，
綜上可知，記，
則，
因此存在常數(shù)使得恒成立，
綜上可得，“”的充要條件是“存在常數(shù)使得恒成立”．
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：理解“導(dǎo)控函數(shù)”和“導(dǎo)控點(diǎn)”的定義是解決本題的關(guān)鍵.

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