2023屆上海市普陀區(qū)高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．對于常數(shù)、，“”是“方程的曲線是橢圓”的（    ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】時，如果，或，方程不是橢圓；當(dāng)方程的曲線是橢圓時，，則成立，即可得出結(jié)論.【詳解】當(dāng)時，方程的曲線不一定是橢圓，例如：當(dāng)時，方程的曲線不是橢圓而是圓；或者是，都是負(fù)數(shù)，曲線表示的也不是橢圓；故前者不是后者的充分條件；當(dāng)方程的曲線是橢圓時，應(yīng)有，都大于0，且兩個量不相等，得到；由上可得：“”是“方程的曲線是橢圓”的必要不充分條件.故選:B.【點睛】本題考查必要不充分條件的判定，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于基礎(chǔ)題.2．設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，若，則(　　)A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】由又，可得公差，從而可得結(jié)果.【詳解】是等差數(shù)列又，∴公差，，故選C．【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項公式與求和公式的應(yīng)用，意在考查靈活應(yīng)用所學(xué)知識解答問題的能力，屬于中檔題.3．設(shè)函數(shù)，若函數(shù)恰有三個零點，，，則的值是（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出在的對稱軸和，根據(jù)圖像判斷出，關(guān)于對稱，，關(guān)于對稱，即可求得.【詳解】函數(shù)令，可得：，.∵∴令，可得一條對稱軸方程.∴令，可得一條對稱軸方程.函數(shù)恰有三個零點，可知，關(guān)于其中一條對稱是對稱的，即，關(guān)于其中一條對稱是對稱的.即那么.故選：B.【點睛】求幾個零點的和通常利用對稱軸即可求解.4．記，已知均是定義在實數(shù)集上的函數(shù)，設(shè)，有下列兩個命題：①若函數(shù)都是偶函數(shù)，則也是偶函數(shù)；②若函數(shù)都是奇函數(shù)，則也是奇函數(shù)．則關(guān)于兩個命題判斷正確的是（    ）A．①②都正確 B．①正確②錯誤 C．①錯誤②正確 D．①②都錯誤【答案】B【分析】對于①，根據(jù)偶函數(shù)的定義判斷；對于②，舉反例即可.【詳解】對于①，若函數(shù)都是偶函數(shù)，則，所以 ，所以也是偶函數(shù)；命題①正確；對于②，若函數(shù)都是奇函數(shù)，如都是R上的奇函數(shù)，而不是定義在R上的奇函數(shù)，命題②錯誤；故選：B. 二、填空題5．設(shè)全集，若集合，則____________．【答案】【分析】解出絕對值不等式，求出集合A，再求.【詳解】或，因此，.故答案為：.6．已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則____________．【答案】5【分析】利用共軛復(fù)數(shù)概念與復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算即可得解.【詳解】因為，所以，故.故答案為：.7．在的二項展開式中，項的系數(shù)為____________．【答案】【分析】直接利用二項式定理計算得到答案.【詳解】的二項展開式的通項為，當(dāng)時，系數(shù)為.故答案為：8．已知，則____________．【答案】2【分析】解出x的值，應(yīng)用換底公式后根據(jù)對數(shù)運(yùn)算即可得到結(jié)果.【詳解】由已知得，，則，所以，.故答案為：2.9．若，則_____；【答案】【解析】逆用誘導(dǎo)公式結(jié)合二倍角公式得出答案.【詳解】故答案為：10．若，則的最小值是____________．【答案】##【分析】根據(jù)結(jié)合基本不等式即可得解.【詳解】解：因為，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，所以的最小值是.故答案為：.11．2022年4月16日，神舟十三號載人飛船返回艙在東風(fēng)著陸場預(yù)定區(qū)域成果著陸．如圖，在返回過程中使用的主降落傘外表面積達(dá)到1200平方米，若主降落傘完全展開后可以近似看著一個半球，則完全展開后傘口的直徑約為____________米（精確到整數(shù)）【答案】28【分析】根據(jù)球體的表面積公式，結(jié)合題意，直接求解即可.【詳解】設(shè)主降落傘展開后所在球體的半徑為，由題可得，解得，故完全展開后傘口的直徑約為米.故答案為：.12．某醫(yī)院需要從4名男醫(yī)生和3名女醫(yī)生中選出3名醫(yī)生去擔(dān)任“上海進(jìn)博會”三個不同區(qū)域的核酸檢測服務(wù)工作，則選出的3名醫(yī)生中，至少有1名女醫(yī)生的概率是____________（用數(shù)字作答）【答案】【分析】先求出從4名男醫(yī)生和3名女醫(yī)生中選出3名醫(yī)生的所有組合，再求出選出的3名醫(yī)生中，全是男醫(yī)生的組合，然后用對立事件的概率能得到至少有1名女醫(yī)生的概率.【詳解】從4名男醫(yī)生和3名女醫(yī)生中選出3名醫(yī)生的所有組合有種，再求出選出的3名醫(yī)生中，全是男醫(yī)生的組合有種，  所以至少有1名女醫(yī)生的概率.故答案為：13．已知雙曲線滿足條件：（1）焦點為；（2）離心率為，求得雙曲線的方程為．若去掉條件（2），另加一個條件求得的雙曲線的方程仍然為．則下列四個條件中，符合添加的條件可以為____________（填序號）①雙曲線上的任意一點P都滿足：；②雙曲線的虛軸長為4；③雙曲線的一個頂點與拋物線的焦點重合；④雙曲線的漸近線的方程為：．【答案】①④【分析】利用雙曲線的定義及性質(zhì)求解．【詳解】對于①，∵  ∴ 又∵ 焦點為   ∴ ∴ 離心率 ，故①符合條件；對于②，雙曲線的虛軸長為4，∴，∴離心率，故②不符合條件；對于③，雙曲線的一個頂點與拋物線的焦點重合，∴ ，，故③不符合條件；對于④，∵ 近線方程為∴ 又∵ ∴離心率，故④符合條件．故答案為：①④．14．如圖，在四棱錐中，平面ABCD，底面ABCD為正方形，，M、N分別為線段AC上的點，若，則三棱錐體積的最小值為____________．【答案】【分析】根據(jù)，則要求體積的最小值，只要求出面積的最小值即可，在中，作交于，設(shè)，分別求出，再根據(jù)三角形的面積公式結(jié)合三角函數(shù)求出的最小值，即可得解.【詳解】解：在中，作交于，則，因為，則，因為，所以點在線段上，設(shè)，則，則，，，因為，所以，則當(dāng)，即時，取得最大值，此時，，所以三棱錐體積的最小值為.故答案為：.15．若圓O的半徑為2，圓O的一條弦長為2，P是圓O上任意一點，點P滿足，則的最大值為_________.【答案】10【分析】法一、以中點C為原點建系，求出圓O的參數(shù)方程，從而設(shè)，，根據(jù)，求出點坐標(biāo)，從而得即可求解；法二、由已知根據(jù)向量的線性運(yùn)算求出，從而得，利用投影的定義即可求解.【詳解】解：法一、如圖以中點C為原點建系，則，，，所以圓O方程為，所以設(shè)，因為，，，所以，所以，因為，所以的最大值為10.法二、連接OA，OB過點O作，垂足為C，則，∴，因為，所以，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)且同向時取等號，所以的最大值為10，故答案為：10.【點睛】關(guān)鍵點點睛：法一、建立恰當(dāng)直角坐標(biāo)系，求出圓O的參數(shù)方程，從而設(shè)，，根據(jù)，求出點坐標(biāo)；法二、將用，，線性表示，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律求出，再利用投影的定義即可求解.16．已知數(shù)列{}的前n項和為，若對任意恒成立，則____．【答案】1011【分析】由題設(shè)有，根據(jù)的關(guān)系得，再應(yīng)用分組求和求目標(biāo)式的值.【詳解】由題設(shè)，，故，所以，即，故，所以.故答案為： 三、解答題17．如圖，長方體中，，點P為棱的中點．(1)求證：直線平面；(2)求直線與平面所成的角．（用反三角函數(shù)表示）【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）根據(jù)線面平行判定定理證明即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，按照空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解直線與平面所成的角．【詳解】（1）解：設(shè)AC與BD的交點為O，聯(lián)結(jié)POP、O分別是和DB的中點  又因為PO在平面PAC內(nèi)，不在平面PAC內(nèi) 平面PAC（2）解：以D為原點，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）則，，，，，，設(shè)平面PAC的一個法向量為 ，因為則 ，所以向量  設(shè)直線與平面PAC所成的角為所以   所以直線與平面PAC所成的角為.18．已知函數(shù).（1）寫出函數(shù)的最小正周期以及單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在中，角所對的邊分別為，若，且，求的值.【答案】（1）， ；（2）【分析】（1）利用輔助角公式化簡函數(shù)的解析式，利用正弦型函數(shù)的最小正周期公式和單調(diào)性直接求解即可；（2）由可以求出，再由平面向量的數(shù)量積的定義可由求出的值，結(jié)合、余弦定理可以求出的值.【詳解】解：（1），所以的最小正周期，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是；（2），故，所以或，因為是三角形內(nèi)角，所以；而，所以，，又，所以，所以，，所以.【點睛】本題考查了輔助角公式，考查了正弦型函數(shù)的最小正周期和單調(diào)性，考查了余弦定理、平面向量數(shù)量積的定義，考查了特殊角的三角函數(shù)值,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.19．疫情防控期間，某小微企業(yè)計劃采用線下與線上相結(jié)合的銷售模式進(jìn)行產(chǎn)品銷售運(yùn)作．經(jīng)過測算，若線下銷售投入資金x（萬元），則可獲得純利潤（萬元）；若線上銷售投入資金x（萬元），則獲得純利潤（萬元）．(1)當(dāng)投入線下和線上的資金相同時，為使線上銷售比線下銷售獲得的純利潤高，求投入線下銷售的資金x（萬元）的取值范圍；(2)若該企業(yè)籌集了用于促進(jìn)銷售的資金共30萬元，如果全部用于投入線下與線上銷售，問：該企業(yè)如何分配線下銷售與線上銷售的投入資金，可以使銷售獲得的純利潤最大？并出求最大的純利潤．【答案】(1)(2)投入線下銷售的資金10萬元，投入線上銷售的資金為20萬元時，純利潤最大，最大值為62.5萬元 【分析】（1）根據(jù)題意分與進(jìn)行討論求出即可；（2）設(shè)投入線下銷售的資金為x（萬元），投入線上銷售的資金y（萬元），結(jié)合題意寫出總利潤的表達(dá)式，利用函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】（1）當(dāng)時，由得或，所以    當(dāng)時，由得，所以                  綜上所述，投入線下的資金x（萬元）的取值范圍為（2）設(shè)投入線下銷售的資金為x（萬元），投入線上銷售的資金y（萬元），所以    當(dāng)即時，總利潤 易得在區(qū)間上嚴(yán)格遞減，在區(qū)間上嚴(yán)格遞增又   所以當(dāng)時， 當(dāng)即時，總利潤緣上所運(yùn)，投入線下銷售的資金10萬元，投入線上銷售的資金為20萬元時，純利潤最大，最大值為62.5萬元．20．己知函數(shù)．(1)若經(jīng)過點的直線與函數(shù)的圖像相切于點，求實數(shù)a的值；(2)設(shè)，若函數(shù)在區(qū)間當(dāng)為嚴(yán)格遞減函數(shù)時，求實數(shù)a的取值范圍；(3)對于（2）中的函數(shù)，若函數(shù)有兩個極值點為，且不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求過點的直線方程，結(jié)合直線過，即可求得的值；（2）由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，可知其導(dǎo)數(shù)恒成立，分離參數(shù)，求解函數(shù)的最大值即可；（3）依題意可知有兩個不相等的實數(shù)根，結(jié)合韋達(dá)定理，可將問題轉(zhuǎn)化為恒成立問題，進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)求的最大值即可.【詳解】（1）由得,所以過點切線的斜率為 ,因為切線過點,所以 ,解得：.（2）由得，依題意對區(qū)間上的任意實數(shù)恒成立，即對區(qū)間上的任意實數(shù)恒成立，易得在區(qū)間單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，所以在上的最大值為，所以，實數(shù)a的取值范圍為（3）依題意：在上有兩個不同的根，即在上有兩個不同的根,所以，可得，由于不等式，可得又.令,所以，又,所以，即在區(qū)間上嚴(yán)格遞減，所以,所以.【點睛】導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．21．記項數(shù)為2022且每一項均為正整數(shù)的有窮數(shù)列所構(gòu)成的集合為A．若對于任意的，當(dāng)時，都有，則稱集合A為“子列封閉集合”．(1)若，判斷集合A是否為“子列封閉集合”，說明理由；(2)若數(shù)列的最大項為，且，證明：集合A不是“子列封閉集合”；(3)若數(shù)列為嚴(yán)格遞增數(shù)列，，且集合A為“子列封閉集合”，求數(shù)列的通項公式．【答案】(1)集合A不是“子列封閉集合”，理由見解析；(2)證明見解析；(3)或. 【分析】（1）根據(jù)子列封閉集合的定義，結(jié)合已知通項公式，即可直接證明；（2）利用反證法，由，所以，結(jié)合題意，推出矛盾即可；（3）根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性，結(jié)合以及子列封閉集合的定義，分類討論即可.【詳解】（1）因為，所以對于任意的，當(dāng)時，都有， 所以集合A為“子列封閉集合”.（2）假設(shè)集合A是“子列封閉集合”，因為，所以存在正整數(shù)，使得 即 因為，所以 ，與為集合A的最大元素矛盾， 所以，假設(shè)錯誤，即集合A不是“子列封閉集合”．（3）由（2）知，集合A是“子列封閉集合”時，有 因為數(shù)列為嚴(yán)格遞增數(shù)列，，所以或 ①當(dāng)時，因為則若  此時由于，所以，因為與矛盾所以  又  所以所以，數(shù)列的通項公式為 ②當(dāng)時，因為則若由于，所以，因為，所以，與矛盾若，此時由于，所以，因為，所以，與矛盾所以又所以所以，數(shù)列的通項公式為 綜上所述，數(shù)列的通項公式為或【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查數(shù)列新定義問題；處理問題的關(guān)鍵是能夠緊扣定義，深度結(jié)合已知條件和定義中包含的數(shù)學(xué)關(guān)系，屬綜合困難題. 

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