1. 已知，．若，則__________．
2. 已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則__________．
3. 已知等差數(shù)列滿足，，則____________.
4. 設(shè)關(guān)于的不等式的解集為，則__________.
5. 函數(shù)f(x)=sin22x的最小正周期是__________．
6. 設(shè)x、y均為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為________.
7. 已知，，則向量在向量方向上投影向量為_________.
8. 冪函數(shù)在定義域上是非奇非偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a取值范圍是________.
9. 不等式的解集為集合A，不等式的解集為集合B，則______.
10. 在中，.為所在平面內(nèi)的動點(diǎn)，且，則的取值范圍是___________.
11. 設(shè)且，滿足，則的取值范圍為________________．
12. 2020年12月17日，嫦娥五號返回器在內(nèi)蒙古安全著陸，激動人心！“切線數(shù)列”在航空航天中應(yīng)用廣泛，若數(shù)列滿足，則數(shù)列為函數(shù)的“切線數(shù)列”.若函數(shù)的“切線數(shù)列”為，其中，數(shù)列滿足，上，數(shù)列的前n項和為，則________.
二、選擇題：本大題共4題，13－14小題每題4分，15－16小題每題5分，共18分，在每個題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.
13. 已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則下列不等式中一定成立的是（ ）
A B. C. D.
14. 下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又是在區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
15. 已知等比數(shù)列的前項和為，且，，則（ ）
A. 9B. 16C. 21D. 25
16. 符號表示不超過的最大整數(shù)，如，，定義函數(shù)，那么下列命題中正確的序號是（ ）
① 函數(shù)的定義域為，值域為； ② 方程，有無數(shù)解；
③ 函數(shù)是周期函數(shù)； ④ 函數(shù)是增函數(shù)；
A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④
三、解答題：本大題共5題，共76分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17. 的內(nèi)角所對的邊分別為．
（1）若a，b，c成等差數(shù)列，證明：；
（2）若成等比數(shù)列，求的最小值．
18. 已知函數(shù)為奇函數(shù)，且，其中，．
（1）求，的值；
（2）若，，，求的值．
19. 上海地鐵四通八達(dá)，給市民出行帶來便利.已知某條線路運(yùn)行時，地鐵的發(fā)車時間間隔t（單位：分鐘）滿足：，.經(jīng)測算，地鐵載客量與發(fā)車時間間隔t滿足：，其中.
（1）請你說明的實(shí)際意義；
（2）若該線路每分鐘凈收益為（元），問當(dāng)發(fā)車時間間隔為多少時，該線路每分鐘的凈收益最大？并求最大凈收益.
20. 已知函數(shù).
（1）當(dāng)時，求函數(shù)的零點(diǎn)；
（2）若關(guān)于x方程的解集中恰好有一個元素，求實(shí)數(shù)a的值；
（3）設(shè)a>0，若對任意，函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差不超過，求a的取值范圍.
21. 設(shè)是定義在上的奇函數(shù).若是嚴(yán)格減函數(shù)，則稱為“D函數(shù)”.
（1）分別判斷和是否為D函數(shù)，并說明理由；
（2）若是D函數(shù)，求正數(shù)a的取值范圍；
（3）已知奇函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)定義域均為.證明：“在上嚴(yán)格減”不是“為D函數(shù)”的必要條件。
2024-2025學(xué)年上海市青浦賢區(qū)高三上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)檢測試卷
一、填空題：本大題共12題，1－6小題每題4分，7－12小題每題5分，共54分.
1. 已知，．若，則__________．
【正確答案】
【分析】根據(jù)集合，則集合中的所以元素均相同，即可列方程求解的值.
【詳解】解：已知，．若，
所以，解得，或，無解
綜上，.
故答案為.
2. 已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則__________．
【正確答案】
【分析】把已知等式變形，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡得答案.
【詳解】解：由，得，
∴.
故答案為.
本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題.
3. 已知等差數(shù)列滿足，，則____________.
【正確答案】5
【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得.
【詳解】因為是等差數(shù)列，所以，
則有，解得.
故答案為.
4. 設(shè)關(guān)于的不等式的解集為，則__________.
【正確答案】
【分析】根據(jù)一元二次不等式與方程的關(guān)系求解.
【詳解】因為關(guān)于不等式的解集為，
所以一元二次方程的兩個根為，
所以根據(jù)韋達(dá)定理可得，解得，
所以，
故答案為: .
5. 函數(shù)f(x)=sin22x的最小正周期是__________．
【正確答案】.
【分析】將所給的函數(shù)利用降冪公式進(jìn)行恒等變形，然后求解其最小正周期即可.
【詳解】函數(shù),周期為
本題主要考查二倍角的三角函數(shù)公式?三角函數(shù)的最小正周期公式，屬于基礎(chǔ)題.
6. 設(shè)x、y均為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為________.
【正確答案】25
【分析】根據(jù)給定條件，利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性及基本不等式求出最小值.
【詳解】正數(shù)滿足，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
所以的最小值為25.
故25
7. 已知，，則向量在向量方向上的投影向量為_________.
【正確答案】
【分析】利用在方向上的投影向量公式即可得到答案.
【詳解】向量在向量方向上的投影，
即.
故答案為.
8. 冪函數(shù)在定義域上是非奇非偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.
【正確答案】
【分析】利用給定的冪函數(shù)性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)奇偶性定義求出的范圍.
【詳解】當(dāng)時，，則，且，函數(shù)是奇函數(shù)，不符合題意；
當(dāng)且時，關(guān)于數(shù)0不對稱，此時冪函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
故
9. 不等式的解集為集合A，不等式的解集為集合B，則______.
【正確答案】
【分析】解不等式求出集合，再利用交集的定義求出結(jié)果.
【詳解】不等式，解得或，即，
不等式，解得，即，
所以.
故
10. 在中，.為所在平面內(nèi)的動點(diǎn)，且，則的取值范圍是___________.
【正確答案】
【分析】依題意建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，表示出，，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示、輔助角公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得
【詳解】解：依題意如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，
因為，所以在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動，
設(shè)，，
所以，，
所以
，其中，，
因為，所以，即
故
11. 設(shè)且，滿足，則的取值范圍為________________．
【正確答案】
【分析】判斷出對應(yīng)點(diǎn)的軌跡，從而求得的取值范圍.
【詳解】設(shè)，
，則，
所以，
，所以，
即對應(yīng)點(diǎn)在以為圓心，半徑為的圓上.
，對應(yīng)點(diǎn)為，
與關(guān)于對稱，
所以點(diǎn)在以為圓心，半徑為的圓上，
表示與兩點(diǎn)間的距離，
圓與圓相交，圓心距為，如圖所示，
所以的最小值為，最大值為，
所以的取值范圍為.
故
12. 2020年12月17日，嫦娥五號返回器在內(nèi)蒙古安全著陸，激動人心！“切線數(shù)列”在航空航天中應(yīng)用廣泛，若數(shù)列滿足，則數(shù)列為函數(shù)“切線數(shù)列”.若函數(shù)的“切線數(shù)列”為，其中，數(shù)列滿足，上，數(shù)列的前n項和為，則________.
【正確答案】
【分析】求導(dǎo)化簡得，從而得為等比數(shù)列，結(jié)合求和公式即可求解問題．
【詳解】由，求導(dǎo)得，
依題意，，，
所以，
由，得，
又，因此數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，
所以.
故
二、選擇題：本大題共4題，13－14小題每題4分，15－16小題每題5分，共18分，在每個題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.
13. 已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則下列不等式中一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】A
【分析】作差比較大小判斷A；舉例說明判斷BCD.
【詳解】對于A，，而，
則（當(dāng)且僅當(dāng)時）因此，A正確；
對于B，取，滿足，而，B錯誤；
對于C，取，滿足，而無意義，C錯誤；
對于D，取，滿足，不成立，D錯誤.
故選：A
14. 下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又是在區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】D
【分析】根據(jù)給定條件，借助正余弦函數(shù)、對數(shù)函數(shù)性質(zhì)，逐項判斷即得.
【詳解】對于AB，余弦函數(shù)、正弦函數(shù)在上都不單調(diào)，AB不合題意；
對于C，常數(shù)函數(shù)在上不單調(diào)，C不合題意；
對于D，函數(shù)定義域為，，
函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，D符合題意.
故選：D
15. 已知等比數(shù)列的前項和為，且，，則（ ）
A. 9B. 16C. 21D. 25
【正確答案】C
【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求，即可求解.
【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，，即，得，
.
故選：C
16. 符號表示不超過的最大整數(shù)，如，，定義函數(shù)，那么下列命題中正確的序號是（ ）
① 函數(shù)的定義域為，值域為； ② 方程，有無數(shù)解；
③ 函數(shù)是周期函數(shù)； ④ 函數(shù)是增函數(shù)；
A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④
【正確答案】B
【詳解】①由于表示不超過的最大整數(shù)，則，
∴函數(shù)的定義域為，值域為，故①錯誤；
②若，則，，，，
∴方程，有無數(shù)解，故②正確；
③，
所以函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，故③正確；
④函數(shù)在每一個單調(diào)區(qū)間上是增函數(shù)，但在整個定義域上不是增函數(shù)，故④錯誤．
命題中正確的序號是②③．
故選．
三、解答題：本大題共5題，共76分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17. 的內(nèi)角所對的邊分別為．
（1）若a，b，c成等差數(shù)列，證明：；
（2）若成等比數(shù)列，求的最小值．
【正確答案】（1）證明見解析；
（2）
【分析】（1）利用等差中項和正弦定理的性質(zhì)即可證得；
（2）先利用余弦定理求得的解析式，再利用均值定理即可求得的最小值．
【小問1詳解】
成等差數(shù)列，，由正弦定理得
，
【小問2詳解】
成等比數(shù)列，
由余弦定理得
（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立），
（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）
（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立），
即，所以的最小值為
18. 已知函數(shù)為奇函數(shù)，且，其中，．
（1）求，的值；
（2）若，，，求的值．
【正確答案】（1），；（2）.
【分析】（1）把代入函數(shù)解析式可求得的值，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)推斷出，進(jìn)而求得，則的值可得．
（2）利用和函數(shù)的解析式可求得，進(jìn)而求得，進(jìn)而利用二倍角公式分別求得，，最后利用兩角和與差的正弦公式求得答案．
【詳解】解：（1），
．
，
，即
為奇函數(shù)，
，
，．
（2）由（1）知，
，
，，，
，
．
19. 上海地鐵四通八達(dá)，給市民出行帶來便利.已知某條線路運(yùn)行時，地鐵的發(fā)車時間間隔t（單位：分鐘）滿足：，.經(jīng)測算，地鐵載客量與發(fā)車時間間隔t滿足：，其中.
（1）請你說明的實(shí)際意義；
（2）若該線路每分鐘的凈收益為（元），問當(dāng)發(fā)車時間間隔為多少時，該線路每分鐘的凈收益最大？并求最大凈收益.
【正確答案】（1）當(dāng)?shù)罔F的發(fā)車時間隔為5分鐘時，地鐵載客量；
（2）發(fā)車時間間隔為6分鐘，最大凈收益為120元.
【分析】（1）根據(jù)給定的函數(shù)，直接得答案.
（2）分段計算凈收益，并求最值，比較大小得解.
【小問1詳解】
依題意，的實(shí)際意義是：當(dāng)?shù)罔F的發(fā)車時間隔為5分鐘時，地鐵載客量.
【小問2詳解】
當(dāng)時，
，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號；
當(dāng)時，，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，而，
所以當(dāng)發(fā)車時間間隔為6分鐘時，該線路每分鐘的凈收益最大，最大凈收益為120元.
20. 已知函數(shù).
（1）當(dāng)時，求函數(shù)的零點(diǎn)；
（2）若關(guān)于x的方程的解集中恰好有一個元素，求實(shí)數(shù)a的值；
（3）設(shè)a>0，若對任意，函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差不超過，求a的取值范圍.
【正確答案】（1）；
（2）或；
（3）.
【分析】（1）把代入，解方程即得函數(shù)的零點(diǎn).
（2）將問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)時，方程只有1個解，再結(jié)合一元二次型方程根的情況求解.
（3）利用單調(diào)性求出在指定區(qū)間上的最值，建立不等式并分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)并借助對勾函數(shù)的單調(diào)性求出最值即可.
【小問1詳解】
當(dāng)時，函數(shù)，由，得，即，解得，
所以函數(shù)的零點(diǎn)為.
【小問2詳解】
方程，則，方程化為，
因此方程的解集中恰好有一個元素，當(dāng)且僅當(dāng)時，方程只有1個解，
當(dāng)時，，符合題意，則；
當(dāng)時，若，則，此時，符合題意，于是，
若，則，方程的二根為，，
當(dāng)時，由，得或，顯然，，
，即，此時方程有兩個解，不符合題意；
當(dāng)時，由，得，，
，即，此時方程有兩個解，不符合題意，
所以實(shí)數(shù)的值為或.
【小問3詳解】
函數(shù)在上單調(diào)遞增，而函數(shù)在上單調(diào)遞減，
則函數(shù)在上單調(diào)遞減，，，
由函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差不超過，得，
而，則不等式，
依題意，對任意的恒成立，
當(dāng)時，不等式成立，
當(dāng)時，令，，
函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，
因此當(dāng)時，，則，
所以的取值范圍為.
方法點(diǎn)睛：處理多變量函數(shù)最值問題的方法有：（1）消元法：把多變量問題轉(zhuǎn)化單變量問題，消元時可以用等量消元，也可以用不等量消元.（2）基本不等式：即給出的條件是和為定值或積為定值等，此時可以利用基本不等式來處理，用這個方法時要關(guān)注代數(shù)式和積關(guān)系的轉(zhuǎn)化.
21. 設(shè)是定義在上奇函數(shù).若是嚴(yán)格減函數(shù)，則稱為“D函數(shù)”.
（1）分別判斷和是否為D函數(shù)，并說明理由；
（2）若是D函數(shù)，求正數(shù)a的取值范圍；
（3）已知奇函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)定義域均為.證明：“在上嚴(yán)格減”不是“為D函數(shù)”的必要條件.
【正確答案】（1）是函數(shù),不是函數(shù)，理由見解析.
（2）；
（3）證明見解析.
【分析】（1）根據(jù)“函數(shù)”的定義結(jié)合函數(shù)的奇偶性以及單調(diào)性判斷即可.
（2）令，利用導(dǎo)數(shù)分類討論其單調(diào)性即可求解.
（3）令函數(shù)結(jié)合必要條件的定義，推理判斷即得.
【小問1詳解】
函數(shù)的定義域為，，
則函數(shù)和均為定義在R上的奇函數(shù)，
當(dāng)時，函數(shù)嚴(yán)格減，因此函數(shù)函數(shù)；
當(dāng)和時，，即函數(shù)在上不單調(diào)，因此函數(shù)不是函數(shù).
【小問2詳解】
函數(shù)的定義域為R，
，
則函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，
當(dāng)時，不是函數(shù)，則且，
當(dāng)時，令，
求導(dǎo)得，
令函數(shù)，
求導(dǎo)得.
令，當(dāng)時，，當(dāng)時，，
函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，即恒成立，
則當(dāng)時，，
若，則，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，
，則函數(shù)在上嚴(yán)格單調(diào)遞增，不是D函數(shù)；
若，則，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，
，則函數(shù)在上嚴(yán)格單調(diào)遞減，是D函數(shù)，
所以正數(shù)的取值范圍是.
【小問3詳解】
令函數(shù)，其是定義域為R，，上的奇函數(shù)，
函數(shù)在上嚴(yán)格單調(diào)遞減，因此函數(shù)為函數(shù)，
，而，則函數(shù)在上不單調(diào)，
所以“在上嚴(yán)格減”不是“為函數(shù)”的必要條件.
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問的關(guān)鍵在于證明的導(dǎo)函數(shù)恒成

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