1. 已知集合，，且，則實數(shù)______．
【正確答案】
【分析】根據(jù)集合中元素的互異性求的值.
【詳解】，或，由互異性，.
故．
2. 已知扇形的半徑是3，弧長為6，則扇形圓心角的弧度數(shù)是__________.
【正確答案】2
【分析】利用扇形的弧長得到關于圓心角的方程，解之即可得解.
【詳解】依題意，設扇形的圓心角為，
因為扇形的半徑是，弧長為，
所以由，得，則.
故答案為.
3. 已知點是角終邊上一點，若，則_________.
【正確答案】
【分析】由任意角的三角函數(shù)定義即可求解.
【詳解】，又，
解得：，
所以，
故
4. 已知，向量與的夾角為.向量在方向上的數(shù)量投影為________.
【正確答案】1
【分析】由投影數(shù)量的公式求解即可.
【詳解】向量在方向上的數(shù)量投影為.
故1
5. 已知直線，若，則實數(shù)的值為______.
【正確答案】
【分析】直接根據(jù)兩直線垂直的公式計算即可.
【詳解】由，得，解得.
故答案為.
6. 若有兩個復數(shù)，滿足，則_________.
【正確答案】
【分析】由題意得是方程的兩個虛根，由此計算即可.
【詳解】，同理
所以為方程的兩個虛根，
解方程得
所以.
故
7. 重慶是一座魔幻都市，有著豐富的旅游資源.甲、乙兩人相約來到重慶旅游，兩人分別從四個景點中隨機選擇一個景點游覽，甲、乙兩人恰好選擇同一景點的概率為______.
【正確答案】##
【分析】利用古典概型的概率公式進行求解即可.
【詳解】甲、乙選擇的景點可能為：
共16種可能；
甲、乙兩人恰好選擇同一景點的可能為共4種可能；
因此甲、乙兩人恰好選擇同一景點的概率為.
故答案為.
8. 若，則_________.
【正確答案】
【分析】根據(jù)題意，求導可得f′x，然后令代入計算，即可得到結果.
【詳解】對函數(shù)y=fx求導得，；
令，得，整理得.
因此，，故.
故
9. 已知函數(shù)的值域是，則實數(shù)的取值范圍是_________.
【正確答案】
【分析】對符合函數(shù)進行拆分，由外函數(shù)值域得出內函數(shù)值域，再通過討論參數(shù)，列出不等式求得參數(shù)范圍.
【詳解】令，則，要使得的值域為，則函數(shù)的值域滿足，
當時，即函數(shù)開口向上，且最小值小于等于0，
∴，∴，
當時，滿足題意，
綜上所述.
故
10. 中國剪紙是一種用剪刀或刻刀在紙上剪刻花紋的中國古老民間藝術之一.已知某剪紙的裁剪工藝如下:取一張半徑為1的圓形紙片，記為，在內作內接正方形，接著在該正方形內作內切圓，記為，并裁剪去該正方形與內切圓之間的部分（如圖所示陰影部分），記為一次裁剪操作，，不斷重復上述裁剪操作，則被裁剪部分的面積之和的極限為_________.
【正確答案】##
【分析】設的半徑為，由題意可知，根據(jù)等比數(shù)列求和公式即可求.
【詳解】設的半徑為，
則，的半徑為，即，
故，
所以的面積為，
又第次裁剪操作的正方形邊長為，
故第次裁剪操作裁剪掉的面積為：，
所以被裁剪掉的總面積為，
所以被裁剪掉的總面積的極限為.
故
11. 為雙曲線右支上兩不同點，則取值范圍是_________.
【正確答案】
【分析】方法一：利用向量數(shù)量積的坐標表示，再求最值即可；
方法二：設，利用向量數(shù)量積的坐標表示，再通過三角恒等變形化簡，再求最值即可；
方法三：設出直線AB方程，直曲聯(lián)立消元，由韋達定理代入向量數(shù)量積的坐標表示，再求最值即可；
方法四：雙曲線圖像與函數(shù)圖像全等，由，再求最值即可.
【詳解】方法一：因為為雙曲線右支上兩不同點，
設Ax1,y1,Bx2,y2，則，，
則
，
取等號條件是，顯然該式可以取到無限大，
所以取值范圍是.
方法二：設，
則
，所以，
取等號條件是，所以取值范圍是.
方法三：設直線AB方程為與雙曲線右支交于兩點，
聯(lián)立得，
設Ax1,y1,Bx2,y2，
則
即取值范圍是.
方法四：雙曲線圖像與函數(shù)圖像全等，
在上取兩點Ax1,y1,Bx2,y2，
可知，
時，取等號條件為，
所以取值范圍是.
12. ，和的零點按從小到大順序可以分別構成兩個等差數(shù)列，則所構成的集合為_________.
【正確答案】或
【分析】求出的解，由等差數(shù)列的定義和定義域得到，再求出的解，分類討論的氛圍，驗證是否滿足方程得解能形成等差數(shù)列，然后得出取值范圍.
【詳解】①令，則，即，
∵當取時，的值為：滿足等差數(shù)列，即，即即可.
②令，則，時，，當時，
若，即時，則的解與相同，滿足題意；
若，即時，令，即，則，
則的解：，滿足等差數(shù)列；
若，即時，因為時已存在至少三個解：，
由三角函數(shù)圖像可知，在存在兩個解，且成等差數(shù)列，即，
則，即，
綜上所述：或.
故或
方法點睛：因為三角函數(shù)有界，所以討論是否大于1：大于1，則的解與相同；等于1，則求出和方程得根；小于1，結合三角函數(shù)圖像的對稱性和已有的解，得到成等差數(shù)列，得到方程的一個根，代回原方程求出的值.
二、選擇題（本題共4小題，前2題每小題4分；后2題每小題5分，共18分）
13. 在中，若，則的形狀是
A. 鈍角三角形B. 直角三角形
C. 銳角三角形D. 不能確定
【正確答案】A
【分析】由正弦定理得，再由余弦定理求得，得到，即可得到答案.
【詳解】因為在ΔABC中，滿足，
由正弦定理知，代入上式得，
又由余弦定理可得，因為C是三角形的內角，所以，
所以ΔABC為鈍角三角形，故選A.
本題主要考查了利用正弦定理、余弦定理判定三角形的形狀，其中解答中合理利用正、余弦定理，求得角C的范圍是解答本題的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.
14. 將某學校一次物理測試學生的成績統(tǒng)計如下圖所示，則估計本次物理測試學生成績的平均分為（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）（ ）
A. 68B. 70C. 72D. 74
【正確答案】C
【分析】根據(jù)小矩形面積和為1解得的值，再根據(jù)頻率分布直方圖計算平均數(shù)即可.
【詳解】依題意，，解得，
則平均分為.
故選：C.
15. 設與是兩個不同的冪函數(shù)，記，則中的元素個數(shù)的可能是（ ）.
A. 0、1、2、B. 1、2、3C. 1、2、3、4D. 0、1、2、3
【正確答案】B
【分析】由冪函數(shù)的函數(shù)圖像及性質可以得出結論.
詳解】設，，
由冪函數(shù)圖像可知，，故至少存在一個解；
②若，在0處都有定義，則，故可能存在解，
③若，同奇函數(shù)或者偶函數(shù)，由對稱性可知，或，故可能存在解，
綜上所述：中的元素個數(shù)的可能是：1,2,3.
故選:B.
16. 已知定圓，點A是圓所在平面內一定點，點是圓上的動點，若線段的中垂線交直線于點，則點的軌跡可能是：(1)橢圓；(2)雙曲線；(3)拋物線；(4)圓；(5)直線；(6)一個點.其中所有可能的結果有（ ）.
A 2個B. 3個C. 4個D. 5個
【正確答案】C
【分析】作出圖像，通過橢圓，雙曲線，圓的定義和圓的性質，判斷結論.
【詳解】(1)橢圓（點A在圓內，不包括圓心）
如圖：

∵，∴，即點的軌跡是以為焦點的橢圓.
(2)雙曲線（點A在圓外）
如圖：

∵∵，∴，即點的軌跡是以為焦點的雙曲線.
(4)圓（點A恰為圓心）

當與重合時，在中點，所以點的軌跡是以為圓心，半徑為的圓.
(6)一個點（點A在圓上）

當在圓上時，為弦，所以一定與重合，所以點的軌跡是點.
故選.
三、解答題.（本大題共5小題，滿分78分）
17. 如圖所示五面體中，四邊形為長方形，平面和是全等的等邊三角形.

（1）求證：；
（2）若已知，求該五面體的體積.
【正確答案】（1）證明見解析；
（2）.
【分析】（1）根據(jù)線面平行的性質定理可求證；
（2）將組合體分為四棱錐和后即可求解；
【小問1詳解】
五面體中，因為平面，平面，
平面 平面，所以.
【小問2詳解】
過點作，作，垂足分別為，過點作，
作，垂足分別為，連接，如圖，

取中點，連接，
由對稱性可得，
所以，因為，所以，
又平面，，
所以平面，又平面，
所以，又因為，
平面，所以平面，
因為平面，所以，
又平面，所以平面；
因為，
所以由、和以及圖形對稱性可得在底面中，
所以在中，，可得，
∴四棱錐和的體積均為，
三棱柱的體積，
所以，該五面體的體積為.
18. 設，，（常數(shù)）.
（1）y=fx為上的嚴格增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；
（2）設，若對于任意，，都有成立，求實數(shù)的取值范圍.
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）根據(jù)的單調性得到在上恒成立，列不等式求解即可.
（2）根據(jù)（1）的結論將轉化為，構造函數(shù)，根據(jù)的單調性得到在恒成立，再結合基本不等式求解即可.
【小問1詳解】
因為為上嚴格增函數(shù)，
故在上恒成立，
所以在上恒成立，
所以等號不同時取到，
故實數(shù)的取值范圍是；
【小問2詳解】
不妨設，由（1）可知函數(shù)在上嚴格增，故，
此時，不等式等價于，
令，，
所以函數(shù)在是嚴格增函數(shù)，
故在上恒成立，只需，
求導可得
因為，，
所以，
當且僅當，即時等號成立，
解得.
19. 仰暉樓有A、B兩部電梯.已知電梯每上一層需要5秒，電梯在某層樓停留時開門到關門所花時間為10秒（人員均能在電梯開關門時間內完成進出電梯和按樓層等操作）.某天清晨，樓上還沒有人，1樓已經(jīng)有若干人均欲乘坐電梯上樓，目的地分別是樓.現(xiàn)兩部電梯均恰好在1樓（兩部電梯互相獨立運行，可以獨立開關門，在1樓按下按鈕后將同時打開門），且每部電梯容量足夠容納所有人.定義為：從A（B）電梯開門時刻算起，到電梯內最后一人到達目標樓層后A（B）電梯門關閉為止，所花時間.記"運輸完成時間".
（1）若所有人均乘坐一部電梯，求；
（2）為了研究的最小值，我們需要對電梯的"乘坐安排"作出一些合理假設.例如：假設兩部電梯都有人乘坐.理由：分開乘坐，比如去2層的人都坐電梯A，其余人坐電梯B，則均小于（1）中，故"運輸完成時間"也小于（1）中，所以要使得最小，兩部電梯一定都有人乘坐.請你在此基礎上再提出1至2條關于電梯"乘坐安排"的合理假設，并簡述作出這些假設的理由（若有多條假設，請按重要性從高到低寫出最重要的兩條）；
（3）求出最小值.
【正確答案】（1）145秒
（2）答案見解析 （3）95秒
【分析】（1）根據(jù)題意，知總時間包括開門的兩次及中途上樓的層數(shù)；
（2）分目的地為同一層樓的人都坐同一部電梯，即A、B電梯所到樓層不重疊和不妨設A電梯到達10層，則可假設B電梯停留層數(shù)均小于A電梯停留層數(shù)，兩種情況討論，進而可得出結論；
（3）根據(jù)題意求出與的關系，進而可得出答案.
【小問1詳解】
包括1樓，電梯共開關門10次數(shù)，上升9層，
所以完成運輸所花時間為秒；
【小問2詳解】
假設一：目的地為同一層樓的人都坐同一部電梯，即A、B電梯所到樓層不重疊.
理由：將目的地為同一層樓的人調整到同一部電梯可以使得其中一部電梯至少節(jié)約10秒，這樣調整后方案的"運輸完成時間"必然不大于原方案.
假設二：不妨設A電梯到達10層，則可假設B電梯停留層數(shù)均小于A電梯停留層數(shù).
理由：記B電梯最高到達樓，若存在A電梯到達樓，且的情況.兩部電梯交換這兩層的人，則不變，至少減少5秒，新方案"運輸完成時間"必然不大于原方案；
【小問3詳解】
設A電梯到達樓層為層，，B電梯到達樓層為層，
，
，
時，取得最小值95秒，即A電梯目的地為710層，B電梯目的地為層.
20. 如圖，已知橢圓經(jīng)過點，離心率．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）橢圓上任意點軸上一點，若的最小值為，求實數(shù)的取值范圍；
（3）設是經(jīng)過右焦點的任一弦（不經(jīng)過點），直線與直線相交于點，記的斜率分別為，求證:成等差數(shù)列.
【正確答案】（1）
（2）
（3）證明見解析
【分析】（1）根據(jù)長軸長和離心率求出，從而求出，得到橢圓方程；
（2）設，，討論對稱軸與定義域的關系即可得出答案.
（3）先得到直線的斜率一定存在，設出直線的方程，求出，直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，得到兩根之和，兩根之積，進而表達出，從而得證.
【小問1詳解】
由題意，點在橢圓上得，可得 ①
又由，所以 ②
由①②聯(lián)立且，可得，，，
故橢圓的標準方程為．
【小問2詳解】
設，，
令，對稱軸為，因為，
當，即，
，故符合題意；
當，即，
，
所以，解得，不符合題意；
當，即，
，解得；
所以實數(shù)的取值范圍為.
【小問3詳解】
由（1）知，橢圓的方程為，可得橢圓右焦點坐標，
顯然直線斜率存在，設的斜率為，則直線的方程為，
聯(lián)立方程組，整理得，
易知，設，，則有，，
由直線的方程為，令，可得，即，
從而，，，
又因為共線，則有，即有，
所以
，
將，代入得，
又由，所以，即，，成等差數(shù)列．
方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：
（1）設直線方程，設交點坐標為；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關于（或）的一元二次方程，注意的判斷；
（3）列出韋達定理；
（4）將所求問題或題中的關系轉化為、（或、）的形式；
（5）代入韋達定理求解.
21. 已知y=fx是定義在上的函數(shù)，滿足恒成立.數(shù)列滿足:，.
（1）若函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍;
（2）若函數(shù)y=fx是上的減函數(shù)，求證：對任意正實數(shù)，均存在，使得時，均有；
（3）求證："函數(shù)y=fx是上的增函數(shù)"是"存在，使得"的充分非必要條件.
【正確答案】（1）
（2）證明見解析 （3）證明見解析
【分析】（1）將恒成立轉化為，然后求最值即可；
（2）利用放縮的思路得到，然后利用累加法得到，最后取即可得證；
（3）取特殊函數(shù)來證明非必要性，利用反證法的思路來證明充分性.
【小問1詳解】
由，即對一切恒成立，所以，
當時，在上單調遞增，所以對任意，均有，
綜上，實數(shù)的取值范圍為.
【小問2詳解】
證明：由函數(shù)在上單調遞減，即對一切，均有，
所以對一切，均有，可得:，
所以:，對一切，
對任意正實數(shù)，取，為表示為取整，
當時.
【小問3詳解】
非必要性:取，在上不是增函數(shù)，
但，，，，，
充分性:假設對一切，均有，
所以，
由遞推式，
因為為增函數(shù)，所以，
由可知:對一切均成立，
記可知，當時，上述不等式不成立，
所以假設錯誤，即存在，使得.
方法點睛：反證法的一般步驟：
①反設：作出與求證結論相反的假設；
②歸謬：將反設作為條件，并由此通過一系列的正確推理導出矛盾；
③結論：說明反設不成立，從而肯定原命題成立.
【附加題】（共10分）
22. 世界上除了圓形的輪子之外，還有一些好事之徒制作了不少形狀的多邊形輪子.
（1）如圖，平面直角坐標系內有一個邊長為1的正方形，其初始位置為，，，D0,1.
①將整個正方形繞點順時針旋轉，使點首次旋轉到軸正半軸上停止：
②再將整個正方形繞點順時針旋轉，使點首次選擇到軸正半軸上停止；
③再將整個正方形繞點順時針旋轉，使點首次選擇到軸正半軸上停止；
④再將整個正方形繞點順時針旋轉，使點首次選擇到軸正半軸上停止.
我們將上述四個步驟依次操作一遍，稱為將正方形“滾動”一周.
為使點向軸正方向移動100個單位長度，需要將正方形“滾動”______周，在這個過程中，點經(jīng)過的路徑總長度為______個單位長度；
（2）如果制造一個正邊形的“輪子”，該正邊形的中心到任意一個頂點的距離為1，并將該正邊形的“輪子”滾動一周，求點經(jīng)過的路徑總長度；
（3）根據(jù)（2）中結果猜想：半徑為1的圓形輪子在平地上滾動一周，則圓周上任意一點經(jīng)過的路徑總長度是多少？（不必說明理由）
【正確答案】（1）25；
（2）；
（3）8.
【分析】（1）根據(jù)正方形的滾動路徑，建立模型，即可得到答案；
（2）建立模型，找出每次滾動的半徑，即可寫出式子，利用三角函數(shù)的積化和差公式 ，即可得到答案；
（3）圓是正多邊形時的情形，所以對第（2）問的答案取極限即可.
【小問1詳解】
因為“滾動”1周，移動4個單位長度，所以移動100個單位長度，需要“滾動”25周；
如圖，正方形“滾動”一周時，點經(jīng)過的路徑為：以點為圓心，長為半徑的四分之一圓弧、以點為圓心，長為半徑的四分之一圓弧，以及點為圓心，長為半徑的四分之一圓弧，即，
所以整個活動中，點經(jīng)過的路徑總長為：；
【小問2詳解】
如圖，正多邊形中心到頂點的距離為1，每條邊對應的中心角為，
則由余弦定理可知，正多邊形的邊長為，
.同理：，
以此類推，相隔 條邊的對角線長就是.
點在滾動時經(jīng)過的路徑是個分別以為半徑的個圓弧，
所以總路徑為，
因為由三角函數(shù)積化和差公式可知：
，所以
【小問3詳解】
.

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