一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.在等差數列中，，，則（ ）
A.1B.0C.D.
2.雙曲線C：的漸近線方程為（ ）
A.B.C.D.
3.頂點在原點，關于y軸對稱，并且經過點的拋物線方程為（ ）
A.B.C.D.
4.已知等差數列的前n項和為，若，則的最大值為（ ）
A.2B.4C.6D.8
5.已知數列中，則數列前2024項的和為（ ）
A.0B.1012C.2024D.4048
6.若橢圓E：的周長為C，則（ ）
A.B.C.D.
7.已知直線l：與雙曲線C：交于A，B兩點，點是弦AB的中點，則雙曲線C的離心率為（ ）
A.B.C.D.
8.已知拋物線E：的準線交y軸于點M，過點M作直線l交E于A，B兩點，且則直線l的斜率是（ ）
A.B.C.D.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。
9.下列數列中，為遞增數列的是（ ）
A.B.C.D.
10.已知點A，B是橢圓C：上關于原點對稱且不與C的頂點重合的兩點，，分別是C的左、右焦點，O為原點，則（ ）
A.C的離心率為
B.
C.的值可以為3
D.若的面積為，則
11.已知P為圓：上任意一點，，線段的垂直平分線交直線于點M，記點M的軌跡為曲線H，設，在曲線H上，且，，，則（ ）
A.曲線H的方程為
B.曲線H的離心率為
C.經過且與曲線H只有一個公共點的直線恰有兩條
D.四邊形面積的最小值為8
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知橢圓的焦距為2，則________.
13.若數列滿足，且，為其前n項和，則的最小值為________.
14.已知拋物線C：，P為拋物線C上任意一點，過點P向圓D：作切線，切點分別為A，B，則的最小值為________.
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15.（本小題滿分13分）
已知是數列的前n項和，若，是等差數列，.
（1）求；
（2）求數列的通項公式.
16.（本小題滿分15分）
已知兩點，，動點P在y軸上的射影是H，.
（1）求動點P的軌跡C的方程；
（2）設直線l：與曲線C相交于A，B兩點，當m為何值時，以線段AB為直徑的圓經過點.
17.（本小題滿分15分）
已知等差數列的前n項和為，.
（1）求證：數列是等差數列；
（2）若是遞增數列，，，求證：.
18.（本小題滿分17分）
設F為拋物線C：的焦點，，，為C上三個不同的點，且，.
（1）求C的方程；
（2）設過點F的直線l交C于P，Q兩點.
①若直線l交圓于M，N兩點，其中P，M位于第一象限，求的最小值；
②過點F作l的垂線m，直線m交C于A，B兩點，設線段PQ，AB的中點分別為D，E，求證：直線DE過定點.
19.（本小題滿分17分）
已知O為坐標原點，橢圓C：的左、右焦點分別為，，，P為橢圓C的上頂點，以P為圓心且過，的圓與直線相切.
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）已知直線l交橢圓C于M，N兩點，若直線l的斜率等于1，求面積的最大值.
洛陽強基聯盟高二12月聯考·數學
參考答案、提示及評分細則
1.A 由等差數列的性質可知，所以.故選A.
2.B 由題意知，，雙曲線C的焦點在y軸上，其漸近線的方程為，即.故選B.
3.C 由題意設拋物線方程為，將代入得，所以所求拋物線方程為.故選C.
4.B 因為所以，又，當且僅當時取等號，所以的最大值為4.故選B.
5.C 因為，，所以，，，，，…，所以數列是周期為4的周期數列，且，所以.故選C.
6.D 把化為標準方程為，以長軸為直徑的圓周長為，邊平行于E的對稱軸的外切矩形的周長為，所以，，所以A，C錯誤；
以短軸為直徑的圓周長為，以長軸和短軸為對角線的菱形的周長為，所以，，所以B錯誤，D正確.故選D.
7.D 設，，可得，，兩式相減可得，點是弦AB的中點，且直線l：，可得，，，即有，即，
∴，，故雙曲線C的離心率為，經驗證此時直線與雙曲線有兩個交點.故選D.
8.B 拋物線E：的準線為，所以，因為直線l交E于兩點，
所以直線l的斜率存在且不為0，故可設直線l的方程為，，，
由消去y得，所以，即，，，
因為，所以，得，
所以或
所以，滿足.故選B.
9.AD 對于A.所以，
所以為遞增數列，故A正確；
對于B，，所以為遞減數列，故B錯誤；
對于C，因為，則，，所以不單調，故C錯誤；
對于D，，所以，所以為遞增數列，故D正確.故選AD.
10.ABD 對于A，橢圓C：中，，，，離心率為，A正確；
對于B，由對稱性可得，所以，B正確；
對于C，設，且，則，故
所以，，C錯誤；
對于D，不妨設A在第一象限，，則，則，則，則，，故，故D正確.故選ABD.
11.AC 圓：的圓心為，半徑，因為線段的垂直平分線交直線于點M，則，所以，所以點M的軌跡是以，為焦點的雙曲線，其中，，所以，所以曲線H的方程為，故A正確；
對于B，因為，，所以該雙曲線的離心率為2，故B錯誤；
對于C，經過且與曲線H相切的直線恰有一條，滿足條件；經過的直線與曲線H的漸近線平行時，也滿足條件，所以符合條件的直線恰有兩條，故C正確；
對于D，因為，，則A，B分別在兩支上，且A，B都在x軸上方或x軸下方，不妨設都在x軸上方，又，則A在第二象限，B在第一象限，如圖所示，延長交雙曲線于點N，延長交雙曲線于點Q，由對稱性知四邊形為平行四邊形，且面積為四邊形面積的2倍.由題設，直線AN的方程為，直線BQ的方程為，聯立消去x并整理得，易得，因為，所以，所以，兩條直線AN與BQ間的距離，所以，令，，
所以，因為在上單調遞減，且，
所以在上單調遞增，當即時，取得最小值為12，故D錯誤.故選AC.
12.5或7 由題意知，所以.當橢圓的焦點在x軸上時，且，解得；當橢圓的焦點在y軸上時，且，解得，故m的值為5或7.
13.10 由，解得，所以數列中，只有，為負數，所以的最小值為或或，又，，所以的最小值為10.
14. 圓D：的標準方程是，則圓心為，半徑為，
設，，
所以，
所以的最小值為.
15.解：（1）設數列的公差為d，則由，得，1分
所以，即，4分
所以，，5分
因為，
所以，解得，7分
所以8分
（2）由（1）知，
所以時，，11分
上面這個式子對也適合，12分
所以時，.13分
16.解：（1）設動點，則，所以，，，2分
因為，所以.
即軌跡C的方程為.5分
（2）聯立方程消去y并整理得，6分
所以，且，所以且，8分
設，，則，.9分
若以AB為直徑的圓過點，則，所以，
即，
所以，12分
所以，
化簡，得，解得，滿足，
所以.15分
17.證明：（1）設等差數列的公差為d，
則，3分
所以，6分
所以數列是公差為的等差數列8分
（2）由（1）知數列是公差為的等差數列，
因為，9分
即，10分
因為，所以，11分
所以，12分
所以
15分
18.（1）解：由題意得焦點，設，，，
因為，所以，
即，2分
所以|
解得，
所以C的方程為.5分
（2）①解：圓化為標準式為，其圓心恰為F，半徑為1，6分
當直線l斜率存在時，根據題意可設直線l的方程為，，，
由得，，7分
，，8分
因為，
所以，
當且僅當，即，時等號成立，
當直線l斜率不存在時，，，，
所以的最小值為4.11分
②證明：由題知直線l的斜率k存在且不為0，
由①得，，則.12分
用替換k得點.13分
當，即時，直線DE的斜率，14分
所以直線DE的方程為，整理得，
所以直線DE恒過點；16分
當時，直線DE的方程為，也過點.
綜上所述，直線DE恒過點.17分
19.解：（1）因為，所以，即，2分
又且以P為圓心的圓與直線相切，所以此圓半徑，
又圓過點，所以，即，解得，5分
所以，即，故橢圓C的方程為.7分
（2）如圖所示，
不妨令直線l：，，，
聯立消去y并整理得，9分
所以，解得，即，
又11分
所以13分
又點O到直線l的距離為，14分
所以15分
當且僅當，即時，取到最大值，此時滿足，
所以面積的最大值為.17分

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