考生注意：
1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．滿分150分，考試時間120分鐘．
2．答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚．
3．考生作答時，請將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效．
4．本卷命題范圍：人教A版必修第一冊，必修第二冊第六章~第七章第2節(jié)．
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點位于（ ）
A 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)四則運算求得復(fù)數(shù)，利用復(fù)數(shù)的幾何意義即可判斷.
【詳解】，
該復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，位于第三象限．
故選：C．
2. 已知集合，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解一元二次不等式化簡集合，再根據(jù)集合交集的概念求解即可.
【詳解】由解得，
所以，所以，
故選：C
3. 在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用正弦定理代值計算即得.
【詳解】由正弦定理，代值可得，
解得．
故選：A．
4. 中，，則一定是
A. 銳角三角形B. 直角三角形C. 鈍角三角形D. 不確定
【答案】C
【解析】
【分析】表示出向量的點乘，結(jié)合已知條件進行判定三角形形狀
【詳解】因為中，，則，
即，，角為鈍角，
所以三角形為鈍角三角形
故選
【點睛】本題考查了由向量的點乘判定三角形形狀，只需運用公式進行求解，較為簡單
5. 已知向量滿足，向量與的夾角為，則（ ）
A. 12B. 4C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量數(shù)量積公式得到，從而得到.
【詳解】因為，向量與的夾角為．所以，
所以．
故選：C．
6. 如圖，為了測量某鐵塔的高度，測量人員選取了與該塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個觀測點C與D，現(xiàn)測得，米，在點C處測得塔頂A的仰角為，在點D處測得塔頂A的仰角為，則鐵塔的高度為（ ）
A. 80米B. 100米C. 112米D. 120米
【答案】B
【解析】
【分析】設(shè)，則有，，在中用余弦定理求解.
【詳解】設(shè)，由，，，，
知，．
在中，因，米，
由余弦定理，得，解得米．
故選：B．
7. 已知復(fù)數(shù)，則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模長性質(zhì)和充分不必要條件即可得到答案。
【詳解】或。
因為或，
例如取，此時，不滿足或，
故選：A．
8. 已知點P是菱形ABCD所在平面內(nèi)的一點，若菱形的邊長為定值，且的最小值為，則該菱形的邊長為（ ）
A. B. C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】依題意建系，設(shè)菱形對角線長,,，將相關(guān)向量用坐標表示，利用向量數(shù)量積的運算律化簡計算，根據(jù)平方數(shù)的非負性即可求得.
【詳解】由已知可得，可建立如圖所示的平面直角坐標系，設(shè),,
則，，，，．
于是，，，．
則，，
由
，
當(dāng)且僅當(dāng)時，即點為坐標原點時，等號成立.
此時，解得.
故選:D．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9. 關(guān)于向量，，，下列說法正確的是（ ）
A. B. 若，則
C. 若，則D. 若，，則
【答案】AB
【解析】
【分析】由向量的三角不等式可判斷選項，結(jié)合相等向量的條件可以判斷選項，結(jié)合的規(guī)定可以判斷選項.
【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)，方向相同或，中至少有一個零向量時等號成立，A正確；
當(dāng)時，，的模與方向均相同，所以，B正確；
對于C，和無法比較大小，C錯誤；
因為規(guī)定與任何向量都共線，所以當(dāng)時，與可能不共線，D錯誤．
故選AB．
10. 在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則下列說法正確的是（ ）
A. 若，，，則符合條件的有且僅有兩個
B. 若，則
C. 若，則為鈍角三角形
D. 若為銳角三角形，則
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)余弦定理以及正弦定理，逐項檢驗，可得答案.
【詳解】對于A：若，，，
由余弦定理得，
故符合條件的有且僅有一個，故A錯誤；
對于B：反證法：假設(shè)，根據(jù)三角形內(nèi)大邊對大角，則，
由正弦定理可得，與題干矛盾，故B正確；
對于C：若，由正弦定理得，
由余弦定理得，故，所以為鈍角三角形，故C正確；
對于D：若為銳角三角形，則，所以，
因為在上單調(diào)遞增，所以，故D正確．
故選：BCD．
11. 已知函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A. B. 當(dāng)時，
C. 函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱D. 當(dāng)時，
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)解析式明確定義域，利用奇函數(shù)定義可得函數(shù)的奇偶性，結(jié)合對數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)的性質(zhì)以及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合選項，可得答案.
【詳解】由，則定義域為，
由，則函數(shù)為偶函數(shù)，
當(dāng)時，，
由在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，
由，則，由，則，故A正確；
當(dāng)時，易知，由函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，故B正確；
由函數(shù)為偶函數(shù)，則圖象關(guān)于軸對稱，故C錯誤；
當(dāng)時，，由函數(shù)在上單調(diào)遞增，
則，故D正確.
故選：ABD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 若向量，則向量在向量上的投影向量的坐標為__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用投影向量的計算公式得到答案.
【詳解】向量，
所以向量在向量上的投影向量的坐標為：
．.
故答案為：
13. 若函數(shù)的定義域為，則的值域為________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性求解即可.
【詳解】因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，
又函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，
所以，所以的值域為，
故答案為：
14. 在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，點D是邊CA上的一點，，，則的最小值為________．
【答案】##
【解析】
【分析】首先由余弦定理有，進一步，從而通過等面積法得，結(jié)合基本不等式的乘“1”法即可得解.
【詳解】
因為，所以，由余弦定理得
，又，所以．
又，所以，因為，所以有
，即，所以，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立，
所以的最小值為．
故答案為：.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 已知復(fù)數(shù)滿足為純虛數(shù)，．
（1）求以及；
（2）設(shè)，若，求實數(shù)的值．
【答案】（1）；
（2）1或5
【解析】
【分析】（1）設(shè)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，利用復(fù)數(shù)的乘法運算化簡，根據(jù)純虛數(shù)概念求解；
（2）利用復(fù)數(shù)的乘除、乘方化簡，再由模的公式建立方程求解.
小問1詳解】
設(shè)，則，
由為純虛數(shù)，
得①，且，
由，得②，
由①②解得，驗證知，滿足題意.
所以.
【小問2詳解】
由（1）可知，，
由，得，
整理，得，
解得或.
故實數(shù)的值為1或5.
16. 已知向量．
（1）若，求實數(shù)的值；
（2）若向量滿足且，求向量的坐標．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先根據(jù)的坐標，得到的坐標，再由求解；
（2）設(shè)，由，求解．
【小問1詳解】
解：由，
得，
所以，
由，得，
解得．
【小問2詳解】
設(shè)，
所以，
，
由，得，
所以，①
由，得，所以，則，②
由①②得，
故．
17. 在中，內(nèi)角的對邊分別為的面積為，且．
（1）證明：；
（2）若，求．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)三角形的面積公式化簡可得，解之即可求解；
（2）由（1）并根據(jù)余弦定理可得，再次利用余弦定理計算即可求解.
【小問1詳解】
因為的面積，又．
所以，
又．所以．所以．
所以，又，所以．
【小問2詳解】
因為．所以，
所以．所以，
所以．
18. 如圖，在直角梯形中，//，，，為上靠近點的一個三等分點，為線段上的一個動點．
（1）用和表示；
（2）設(shè)，求的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）從三等分點條件出發(fā)，利用“插點”的辦法，在向量中加入即可；
（2）易得，根據(jù)題干條件將等式右邊寫成有關(guān)表達式，根據(jù)平面向量基本定理得出關(guān)于的等量關(guān)系即可求解.
【小問1詳解】
依題意，，
∴，
∴
【小問2詳解】
由已知，
因是線段上動點，則令，
，
又，不共線，根據(jù)平面向量基本定理，則有，
，
在上遞增，
所以，，，，
故的取值范圍是．
19. 記的內(nèi)角的對邊分別為，已知，.
（1）求角與；
（2）若點為的所在平面內(nèi)一點，且滿足，求的值；
（3）若點為的重心，且，求的面積.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)正弦定理和余弦定理可得，再利用三角恒等變換可求得；
（2）利用向量數(shù)量積定義可得為的外心，再由正弦定理可得；
（3）利用重心性質(zhì)可得，再利用余弦定理可得，可得面積.
【小問1詳解】
因為，
由正弦定理可得，整理得，
由余弦定理可得.
又因為，所以.
又因為，由正弦定理得，
即，
因為，所以，且，
所以.
【小問2詳解】
由，
可得，
解得，即，
所以為的外心，
由正弦定理得，
所以.
【小問3詳解】
設(shè)的延長線交于點，因為點為的重心，所以點為中點，如下圖所示：

又因為，所以.
在中，由和，可得.
在和中，有，
由余弦定理可得，
故，
所以，
所以的面積為.

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