考生注意：
1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.
2．答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚.
3．考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.
4．本卷命題范圍：人教A版選擇性必修第二冊第五章.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)等于（ ）
A. 2B. 1C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，進(jìn)而求出導(dǎo)函數(shù)的值.
【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，所以.
故選：A
2. 下列求導(dǎo)錯(cuò)誤的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法則與導(dǎo)數(shù)運(yùn)算公式逐項(xiàng)計(jì)算可判斷.
【詳解】對(duì)于A，，故A正確；
對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，故C正確；
對(duì)于D，，故D正確．
故選：B．
3. 如圖是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的部分圖象，則的一個(gè)極大值點(diǎn)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)極大值點(diǎn)的定義結(jié)合圖象判斷即可.
【詳解】極大值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0，且在該點(diǎn)左側(cè)附近導(dǎo)數(shù)值為正，在該點(diǎn)右側(cè)附近導(dǎo)數(shù)值為負(fù)，
選項(xiàng)中只有符合.
故選：．
4. 已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若，且，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)求導(dǎo)運(yùn)算法則和基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式直接求解即可.
【詳解】因?yàn)?，?br>所以，
所以．
故選：D
5. 已知函數(shù)，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則計(jì)算可得結(jié)果.
【詳解】設(shè)，則，
∴，即，
∴.
故選：D.
6. 若函數(shù)是增函數(shù)，則a的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先根據(jù)題意得到恒成立，接著參變分離得到恒成立，最后根據(jù)基本不等式求出最小值即可.
【詳解】，因?yàn)槭窃龊瘮?shù)，所以，
即對(duì)恒成立，所以，
又時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以．
故選：A．
7. 若函數(shù)與的零點(diǎn)個(gè)數(shù)相同，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用導(dǎo)數(shù)確定的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)確定的極值，進(jìn)而由，求解即可.
【詳解】由，得，
當(dāng)，，所以在上單調(diào)遞增，
當(dāng)，，所以上單調(diào)遞減，
又，所以只有一個(gè)零點(diǎn)．
由，可得，
令，得或，，，
若只有1個(gè)零點(diǎn)，則，所以或．
故選：C．
8. 若直線既是曲線的切線，也是曲線的切線，則直線的方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】設(shè)直線與，的切點(diǎn)分別為，，求導(dǎo)，寫出切線的斜率和切線方程，聯(lián)立即可求出切點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得到切線方程.
【詳解】已知直線是，的公切線，設(shè)切點(diǎn)分別為，．
由，得，所以的斜率為，
方程為，即，
由，得，所以的斜率為，
方程為，即，
因?yàn)橹本€是的公切線，
所以解得
所以直線的斜率為，與的切點(diǎn)為，
所以直線的方程為.
故選：A．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知函數(shù)，則當(dāng)自變量從變?yōu)闀r(shí)，下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 函數(shù)值減少了6B. 函數(shù)的平均變化率為2
C. 函數(shù)在處的瞬時(shí)變化率為D. 函數(shù)值先變大后變小
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)平均變化率的定義判斷A、B，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義判斷C，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可判斷D.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>所以函數(shù)值減少了，函數(shù)的平均變化率為，故A正確，B錯(cuò)誤；
又，所以，即函數(shù)在處的瞬時(shí)變化率為，故C正確；
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以 在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)自變量從變?yōu)闀r(shí)，函數(shù)值先變小，后變大，再變小，故D錯(cuò)誤.
故選：AC.
10. 已知點(diǎn)P在函數(shù)的圖象上，點(diǎn)Q在直線上，若線段取得最小值n時(shí)，P點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，則（ ）
A B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根據(jù)在點(diǎn)處的切線與直線平行，求出點(diǎn)坐標(biāo)，求得，再由點(diǎn)到直線的距離公式求解.
【詳解】過函數(shù)的圖象上點(diǎn)作切線，使得此切線與直線平行，
因?yàn)椋谑牵?，，此時(shí)，即，
點(diǎn)P到直線的距離為，即.
故選：BD.
11. 已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)的導(dǎo)函數(shù)為，與都是偶函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A. 的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
B. 的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
C. 若時(shí)，，則
D. 若時(shí)，，則
【答案】ACD
【解析】
【分析】由是偶函數(shù)，所以，兩邊求導(dǎo)得，即，即可判斷選項(xiàng)A；設(shè)，則的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且滿足是偶函數(shù)，但的圖象不關(guān)于直線對(duì)稱，即可判斷選項(xiàng)B；因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，設(shè)，則，所以，進(jìn)而得到，求解即可判斷選項(xiàng)C；對(duì)求導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性比較大小即可判斷選項(xiàng)D.
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，
兩邊求導(dǎo)得，即，
所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故A正確；
對(duì)于B，設(shè)，則的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，
且滿足是偶函數(shù)，但的圖象不關(guān)于直線對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，
設(shè)，則，所以，
的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，時(shí)，，，
．因?yàn)榈膱D象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，
所以，故C正確；
對(duì)于D，由時(shí)，，得gx=1?sinx>0，
又的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以時(shí)，，單調(diào)遞增，
又，故，所以f1+ln2>f32，故D正確．
故選：ACD．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知函數(shù)，則____________．
【答案】##0.25
【解析】
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可知原式等于，通過求導(dǎo)可得結(jié)果.
【詳解】∵，∴，
∴.
故答案為：.
13. 已知定義在上的函數(shù)滿足，且，則不等式的解集為______．
【答案】
【解析】
【分析】由題意構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得單調(diào)性，結(jié)合指對(duì)轉(zhuǎn)換以及指數(shù)函數(shù)單調(diào)性，可得答案.
【詳解】設(shè)，則，所以在上是增函數(shù)，
不等式可化為，即，所以．解得．
故答案為：.
14. 要做一個(gè)圓錐形的漏斗，其母線長為，要使其體積最大，則其底面半徑應(yīng)為__________.
【答案】
【解析】
【分析】
由題意得，，令，，求導(dǎo)得到最大值后即可得解.
【詳解】設(shè)圓錐的高為，底面半徑為，
由題意得，，，
，，
令，，
則，得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.
當(dāng)時(shí)，最大即最大，此時(shí).
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查了函數(shù)思想，屬于中檔題.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知函數(shù)，．
（1）若，求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程；
（2）若，求函數(shù)在區(qū)間上的最值．
【答案】（1）
（2）最大值是，最小值是
【解析】
【分析】（1）把代入，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程.
（2）把代入，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，確定單調(diào)區(qū)間并求出最值.
【小問1詳解】
當(dāng)時(shí)，函數(shù)，求導(dǎo)得，則，而，
所以所求切線方程是，即.
【小問2詳解】
當(dāng)時(shí)，函數(shù)，，求導(dǎo)得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，
，因此，
所以函數(shù)的最大值是，最小值是.
16 已知函數(shù)．
（1）若，判斷的單調(diào)性；
（2）若在上沒有極值點(diǎn)，求的取值范圍．
【答案】（1）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減
（2）
【解析】
【分析】（1）解不等式即可；
（2）分兩種情況：即在上恒成立，或在上恒成立。
【小問1詳解】
當(dāng)時(shí)，，其定義域?yàn)椋?br>，
由，得．由，得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
【小問2詳解】
因?yàn)椋?，
當(dāng)時(shí)，，
若在上沒有極值點(diǎn)，則在上單調(diào)，
即在上恒成立，或在上恒成立．
若上恒成立，則，解得，
若在恒成立，則，解得．
綜上所述，a的取值范圍為．
17. 已知函數(shù)在及處取得極值．
（1）求a，b的值；
（2）若關(guān)于x的方程有三個(gè)不同的實(shí)根，求c的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求導(dǎo)，利用求出a，b的值，再進(jìn)行檢驗(yàn)；
（2）結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和極值情況，只需滿足，解之即得.
【小問1詳解】
由題意得，
由函數(shù)在及處取得極值，得
解得，此時(shí)，，
則得或；得，
則在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
則和分別為的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn).
故.
【小問2詳解】
由（1）可知， 在處取得極大值，在處取得極小值．
又有三個(gè)不同的實(shí)根，所以
解得，所以實(shí)數(shù)c的取值范圍是．
18. 已知函數(shù).
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若對(duì)恒成立，求a的取值范圍.
【答案】（1）答案見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得，對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論得出其單調(diào)性即可；
（2）將恒成立轉(zhuǎn)化為恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，得出最小值即可求得a的取值范圍為.
【小問1詳解】
由題意知的定義域?yàn)椋?br>，
當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，令，得，
令，得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
【小問2詳解】
由，得，
即，
令，將問題轉(zhuǎn)化為恒成立，
，
令，則當(dāng)時(shí)，
所以也就是在上單調(diào)遞增，所以.
①當(dāng)，即時(shí)，在上恒成立，
所以在上單調(diào)遞增，所以，滿足題意；
②當(dāng)時(shí)，即時(shí)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，
所以存在，使得，所以存在，使得，
所以對(duì)，，所以在上單調(diào)遞減，
所以，不合題意.
綜上所述，滿足條件的a的取值范圍為.
19. 對(duì)于函數(shù)，若存在區(qū)間和，使得在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，則稱函數(shù)為含峰函數(shù)，為峰點(diǎn)，區(qū)間稱為函數(shù)的一個(gè)含峰區(qū)間．
（1）判斷函數(shù)是不是含峰函數(shù)？并說明你的理由；
（2）證明函數(shù)是含峰函數(shù)，并指出該函數(shù)的峰點(diǎn)；
（3）若實(shí)數(shù)，是含峰函數(shù)，且是它的一個(gè)含峰區(qū)間，求m的取值范圍．
【答案】（1）不是，理由見解析
（2）證明見解析，
（3）
【解析】
【分析】（1）由，利用含峰函數(shù)的定義判斷；
（2）由，求導(dǎo)，再令和，利用含峰函數(shù)的定義證明；
（3）法1：求導(dǎo)，易得在區(qū)間上單調(diào)遞減，由題意求解；法2：求導(dǎo)，令，得到，根據(jù)題意，由求解.
【小問1詳解】
因?yàn)椋?br>所以在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，
不存在先增后減的區(qū)間，
所以不是含峰函數(shù)．
【小問2詳解】
證明：由，得，
令，得，；
令，得，，
所以對(duì)于任意整數(shù)k，都存在，
使函數(shù)在上是增函數(shù)，
在上是減函數(shù)，
因此，函數(shù)含峰函數(shù)，峰點(diǎn)為．
【小問3詳解】
法1：函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>令，則，
因?yàn)?，所以，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，
即在區(qū)間上單調(diào)遞減．
根據(jù)題意，存在峰點(diǎn)，使函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，
在區(qū)間上是減函數(shù)、
所以時(shí)，時(shí)，
因此，，
解得，故m的取值范圍是．
法2：函數(shù)的定義域?yàn)?，?br>令，則（不合題意舍去），
由，解得．
檢驗(yàn)：，時(shí)，
若，則．
所以此時(shí)；同理若，則，
因此函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，
所以函數(shù)在上是含峰函數(shù)，
故m的取值范圍是．

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