3.5 認(rèn)識(shí)二元一次方程組
一、教學(xué)目標(biāo)
1. 了解二元一次方程、二元一次方程組和它的一個(gè)解的含義.
2. 能根據(jù)簡(jiǎn)單的實(shí)際問題列二元一次方程組，會(huì)檢驗(yàn)一對(duì)數(shù)是不是某個(gè)二元一次方程 (組) 的解.
3. 通過問題情境得出二元一次方程 (組)，體會(huì)方程 (組)是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)有效模型，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生探究創(chuàng)新的精神，增強(qiáng)合作交流的意識(shí).
4.實(shí)際生活與數(shù)學(xué)息息相關(guān)，存在緊密的聯(lián)系，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.
二、教學(xué)重難點(diǎn)
重點(diǎn)：理解二元一次方程(組)及其解的有關(guān)概念．
難點(diǎn)：二元一次方程(組)的解.
三、教學(xué)用具
多媒體課件
教學(xué)過程設(shè)計(jì)
環(huán)節(jié)一 創(chuàng)設(shè)情境
教師活動(dòng)：通過情景設(shè)置，讓學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容更加感興趣
《九章算術(shù)》中有一題:“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉免各幾何.”大意為:有若干只雞和兔同在一個(gè)籠子里，從上面數(shù)有35個(gè)頭，從下面數(shù)有94只腳.問籠中各有多少只雞和兔？
(1) 找出，上述趣題中的等量關(guān)系：
兔的只數(shù)＋雞的只數(shù)＝35；
兔的腳數(shù)＋雞的腳數(shù)＝94.
(2) 根據(jù)等量關(guān)系，你能列出一元一次方程嗎？
解：設(shè)兔有 x 只，則雞有 (35－x) 只.
根據(jù)題意，可列方程
4x + 2(35－x) = 94.
思考：能否設(shè)兩個(gè)未知數(shù)解決呢？
設(shè)計(jì)意圖：通過情境問題，得到列一個(gè)未知數(shù)能解決實(shí)際問題，在此基礎(chǔ)上引發(fā)學(xué)生思考，列兩個(gè)未知數(shù)是否可以解決，從而引出本節(jié)課將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容.
環(huán)節(jié)二 探究新知
教師活動(dòng)：通過嘗試用二元一次方程解決情境問題，從而歸納得出二元一次方程的概念.
【思考】
若上述趣題，設(shè)兔有 x 只，雞有 y 只，你能根據(jù)兩個(gè)等量關(guān)系列出兩個(gè)方程嗎？
分析：兔的只數(shù)＋雞的只數(shù)＝35；兔的腳數(shù)＋雞的腳數(shù)＝94.
設(shè)兔有 x 只，雞有 y 只，根據(jù)等量關(guān)系，列出方程:
x＋y＝35，4x＋2y＝94
【觀察】
觀察方程x＋y＝35和4x＋2y＝94，它們有什么共同的特征？能否類比一元一次方程嘗試總結(jié)定義？
上述兩個(gè)方程都含有兩個(gè)未知數(shù)，并且含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是 1，這樣的方程叫作二元一次方程.
注意：(1)“一次”是指含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)是 1，而不是未知數(shù)的次數(shù)，如含有 xy 項(xiàng)的方程就不是一次方程；
(2) 兩個(gè)未知數(shù)，方程的左右兩邊都是整式.
設(shè)計(jì)意圖：對(duì)比所列出的方程的共同特征，總結(jié)歸納得出二元一次方程的概念，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力.
【做一做】
判斷下列方程是否為二元一次方程：
(1)4y-3z=z+6; (2)2y+1.5x;
(3)x2+2y=0; (4)x=3y+1;
(5)2x2+2x+y=2x2; (6)4-xy=0.
預(yù)設(shè)：（1）（5）是，其它的都不是.
總結(jié)：判斷要點(diǎn)：①是否為整式方程；②是否含兩個(gè)未知數(shù)；③未知數(shù)次數(shù)是否為 1；④化簡(jiǎn)后未知數(shù)的系數(shù)不為 0.
設(shè)計(jì)意圖：鞏固二元一次方程的概念.
【思考】
如何解決上述“雞兔同籠”問題呢？
要解決上述問題，兩個(gè)等量關(guān)系需要同時(shí)成立，也即未知數(shù)x,y需同時(shí)滿足方程x＋y＝35和4x＋2y＝94.
預(yù)設(shè)：用大括號(hào)聯(lián)立起來(lái).
x+y=354x+2y=94
像這樣，只含有兩個(gè)未知數(shù)，并且含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是 1 的方程組叫作二元一次方程組.
設(shè)計(jì)意圖:通過思考環(huán)節(jié)，明確二元一次方程組的概念.
【做一做】
滿足方程 x＋y＝35，且符合問題的實(shí)際意義 (雞兔的只數(shù)) 的值有哪些？把它們填入表中.
思考1 如果不考慮方程表示的實(shí)際意義，還可以取哪些值？這些值是有限的嗎？
預(yù)設(shè)：還可以取一些非整數(shù)，一般地，一個(gè)二元一次方程有無(wú)數(shù)組解.
思考2 上述表格中是否存在同時(shí)滿足方程①和方程②的值呢？
預(yù)設(shè)：存在x=12,y=23.
一般地，使二元一次方程左右兩邊的值相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫作二元一次方程的解.
一般地，對(duì)于未知數(shù)為 x，y 的二元一次方程組，若 x，y 分別用數(shù) c1，c2 代入，能使每個(gè)方程左右兩邊的值相等，則把 (c1，c2) 叫作這個(gè)方程組的一個(gè)解.
習(xí)慣上記作 x=c1y=c2,求方程組的解的過程叫作解方程組.
設(shè)計(jì)意圖：通過做一做環(huán)節(jié)，讓學(xué)生初步體驗(yàn)二元一次方程（組）的解，并由此歸納得出二元一次方程（組）的解.
環(huán)節(jié)三 應(yīng)用新知
【典型例題】
教師提出問題，學(xué)生先獨(dú)立思考，解答.然后再小組交流探討，如遇到有困難的學(xué)生適當(dāng)點(diǎn)撥，最終教師展示答題過程.
例 小玲在文具店買了 3 本練習(xí)本，2 支圓珠筆，共花去 17 元，其中購(gòu)買練習(xí)本比圓珠筆多花 1 元.
(1) 設(shè)練習(xí)本的單價(jià)是 x 元，圓珠筆的單價(jià)是 y 元，試列出相應(yīng)的二元一次方程組.
(2) x=3y=4,是列出的二元一次方程組的一個(gè)解嗎？
分析：本題中等量關(guān)系如下：
購(gòu)買練習(xí)本所花的錢＋購(gòu)買圓珠筆所花的錢＝17 元，
購(gòu)買練習(xí)本所花的錢－購(gòu)買圓珠筆所花的錢＝1 元.
解：(1)根據(jù)等量關(guān)系，得方程組
3x+2y=17,①3x?2y=1，②
（2）(2)把 x 用 3，y 用 4 分別代入方程 ①② 可得：
方程 ① 左邊的值是 3×3＋2×4＝17，
方程①右邊的值也是 17；
方程 ② 左邊的值為 3×3－2×4＝1，
方程②右邊的值也是 1.
因此，x=3y=4是列出的二元一次方程組的一個(gè)解.
設(shè)計(jì)意圖：鞏固列二元一次方程組解決實(shí)際問題及二元一次方程的解，培養(yǎng)學(xué)生的歸納總結(jié)能力.
環(huán)節(jié)四 鞏固新知
【隨堂練習(xí)】
教師給出練習(xí)，隨時(shí)觀察學(xué)生完成情況并相應(yīng)指導(dǎo)，最后給出答案，根據(jù)學(xué)生完成情況適當(dāng)分析講解.
1.一艘輪船順流航行的速度為24 km/h，逆流航行的速度為18 km/h.它在靜水中的速度為xkm/h，水的流速為vkm/h，請(qǐng)列出相應(yīng)的二元一次方程組.
分析：本題中等量關(guān)系如下：順流速度＝靜水速度+水流速度，逆流速度＝靜水速度-水流速度，
解：根據(jù)題意，可得，
x+v=25x?v=18
2.下列不是二元一次方程組的是( )

答案：B
若一個(gè)二元一次方程組的解為x=2y=?1，則這個(gè)方程組可以是_____________(只要求寫一個(gè)).
答案：x+y=1x?y=3
4. x=2y=1是二元一次方程組3x?4y=2,①4x?3y=6,② 的解嗎？
解：把 x 用 2，y 用 1 分別代入方程 ①② 可得：
方程 ① 左邊的值是 3×2-4×1＝2，
方程①右邊的值也是 17；
方程 ② 左邊的值為 4×2－3×1＝5，
方程②右邊的值是 6.左邊≠右邊.
因此，x=2y=1不是二元一次方程組的解.
設(shè)計(jì)意圖：通過課堂練習(xí)及時(shí)鞏固本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，并考查學(xué)生的知識(shí)應(yīng)用能力，培養(yǎng)獨(dú)立完成練習(xí)的習(xí)慣.
環(huán)節(jié)五 課堂小結(jié)
思維導(dǎo)圖的形式呈現(xiàn)本節(jié)課的主要內(nèi)容：
設(shè)計(jì)意圖：回顧知識(shí)點(diǎn)形成知識(shí)體系，養(yǎng)成回顧梳理知識(shí)的習(xí)慣

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3.5 認(rèn)識(shí)二元一次方程組

版本： 湘教版（2024）

年級(jí)： 七年級(jí)上冊(cè)（2024）

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