軸對稱30道壓軸題訓(xùn)練
【重難點訓(xùn)練】
一、單選題
1．如圖，在△ABC中，∠B、∠C的平分線交于點F，過點F作DE∥BC交AB于點D，交AC于點E，下列結(jié)論：①△BDF，△ADE都是等腰三角形；②DE＝BD＋CE；③△ADE的周長等于AB＋AC；④BF＝CF；⑤若∠A＝80°，則∠BFC＝130°，其中正確的有（ ）
A．2個B．3個C．4個D．5個
2．如圖，E是BC延長線上的一點，AD∥BC，BD，CD，AP，DP分別平分∠ABC，∠ACE，∠BAC，∠BDC，則∠P的度數(shù)為（ ）
A．30°B．42°C．45°D．50°
3．如圖，直線，相交于點，，點在直線上，直線上存在點，使以點，，為頂點的三角形是等腰三角形，則點的個數(shù)是（ ）
A．2B．3C．4D．5
4．如圖，△ABC中，∠A=30°，BC=3，△ABC的面積9，點D、E、F分別是三邊AB、BC、CA上的動點，則△DEF周長的最小值為（ ）
A．5B．6C．8D．10
5．若二元一次方程組的解x，y的值恰好是一個等腰三角形兩邊的長，且這個等腰三角形的周長為7，則m的值為（ ）
A．4B．1.5或2C．2D．4或2
6．如圖，AD是△ABC 的角平分線，DF⊥AB，垂足為F，且DE＝DG，則∠AED＋∠AGD和是（ ）
A．180°B．200°C．210°D．240°
7．如圖，長方形ABKL，延CD第一次翻折，第二次延ED翻折，第三次延CD翻折，這樣繼續(xù)下去，當(dāng)?shù)谖宕畏蹠r，點A和點B都落在∠CDE＝內(nèi)部（不包含邊界），則的取值值范圍是（ ）
A．B．C．D．
8．如圖，△ABC中，∠CAB＝∠CBA＝48°，點O為△ABC內(nèi)一點，∠OAB＝12°，∠OBC＝18°，則∠ACO+∠AOB＝（ ）
A．190°B．195°C．200°D．210°
9．如圖，在中，，過點作于點，點是上一點，將沿著翻折得到，連接，若，，三點恰好在同一條直線上，則的度數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
10．如圖，在中，，以AC為底邊向外作等腰，，在CD上截取，連接BE．若，則的度數(shù)為（ ）
A．10°B．15°C．20°D．30°
二、填空題
11．如圖，在中，，的平分線交于點，的平分線交于點，點在邊上，，連接，則________．
12．如圖，中，、的角平分線、交于點，延長、，，，則下列結(jié)論中正確的是 ___．（填序號）①平分；②；③；④．
13．如圖，在等腰中，，于點，以為邊作等邊三角形，與在直線的異側(cè)，直線交直線于點，連接交于點．若，，則______．
14．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，BD平分∠ABC，且BD=AB，連接AD、DC．則∠BDC的度數(shù)為__________°．
15．如圖，等邊中，，M是高所在直線上的一個動點，連接，將線段點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到，連接．在點M運動過程中，線段長度的最小值是___________．
16．如圖，M，N是∠AOB的邊OA上的兩個點(OM＜ON)，∠AOB＝30°，OM＝a，MN＝4．若邊OB上有且只有1個點P，滿足△PMN是等腰三角形，則a的取值范圍是__________．
17．如圖，已知∠MON=30點A1，A2，A3，…在射線ON上，點B1，B2，B3，…在射線OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均為等邊三角形，若OA1=1，則△A2021B2021A2022的邊長為______．
18．如圖，△ABD與△ACE都是等邊三角形，且AB≠AC，下列結(jié)論：①BE=CD；②∠BOD=60°；③∠BDO=∠CEO；④若∠BAC=90°，DA∥BC，則BC⊥EC．其中正確的是 _____（填序號）．
19．如圖，△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝90°，AB＝2，D在BC上，將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得AP，則CP的最小值為_____．
20．如圖，在四邊形ABCD中，，E、F分別是AD、BC上的點，將四邊形CDEF沿直線EF翻折，得到四邊形C′D′EF．C′F交AD于點G，若是等腰三角形，則______．
三、解答題
21．如圖，在Rt△ABC中，，，F(xiàn)為直線AB上一點，連接FC．作于點D，連接AD，過點A作交BD于點E．
(1)如圖1，求證：AD=AE
(2)如圖2，若點H是BD中點，連接AH、CE，求證：
(3)如圖3，當(dāng)點F運動到線段AB上且不與A、B重合時，連接CE，過點A作交BD于點H，猜想CE與AH之間的數(shù)量關(guān)系并證明．
22．知Rt△ABC和Rt△ADE，AB＝AC，AD＝AE．連接BD、CE，過點A作AH⊥CE于點H，反向延長線段AH交BD于點F．
(1)如圖1，當(dāng)AB＝AD時
①請直接寫出BF與DF的數(shù)量關(guān)系：BF_________DF（填“＞”、“＜”、“＝”）
②求證：CE＝2AF
(2)如圖2，當(dāng)AB≠AD時，上述①②結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．
23．探究與應(yīng)用
(1)【操作發(fā)現(xiàn)】如圖1，為等邊三角形，點D為邊上的一點，，將線段繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接、，請直接寫出下列結(jié)果：
①的度數(shù)為___________；
②與之間的數(shù)量關(guān)系為______________；
(2)【類比探究】如圖2，為等腰直角三角形，，點D為邊上的一點，，將線段繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接、．
則線段，，之間有什么數(shù)量關(guān)系？請說明理由；
(3)【拓展應(yīng)用】如圖3，是一個三角形的余料，小張同學(xué)量得，，他在邊上取了D、E兩點，并量得、，這樣、將分成三個小三角形，則________________．
24．等邊ΔABC的邊BC上有一點E，點D在直線AB上，以DE為邊作等邊ΔDEF；
(1)如圖①當(dāng)D與A重合時，在DE的左側(cè)作等邊ΔDEF，連接BF，求證：BF∥AC；
(2)如圖②當(dāng)D在射線BA上時，在DE的左側(cè)作等邊ΔDEF，請直接寫出：DA、BF、EC這三條線段之間的數(shù)量關(guān)系；
(3)如圖③當(dāng)D是AB中點時，在DE的右側(cè)作等邊ΔDEF，連接CD，請直接寫出點E在線段BC上運動時，∠CFD與∠CDE之間的關(guān)系．
25．已知△ABC是等邊三角形，點D在射線BC上（與點B，C不重合），點D關(guān)于直線AC的對稱點為點E，連接AD，AE，CE，DE．
(1)如圖1，當(dāng)點D為線段BC的中點時，求證：△ADE是等邊三角形；
(2)當(dāng)點D在線段BC的延長線上時，連接BE，F(xiàn)為線段BE的中點，連接CF．根據(jù)題意在圖2中補全圖形，用等式表示線段AD與CF的數(shù)量關(guān)系，并證明．
26．（1）【探究發(fā)現(xiàn)】如圖①，等腰△ACB，∠ACB =90°，D為 AB 的中點，∠MDN=90°，將∠MDN繞點D旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中，∠MDN的兩邊分別與線段 AC、線段 BC交于點 E、F（點 F與點 B、C不重合），寫出線段 CF、CE、BC 之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）【類比應(yīng)用】如圖②，等腰△ACB，∠ACB=120°，D 為 AB 的中點，∠MDN=60°，將∠MDN 繞點 D 旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中，∠MDN 的兩邊分別與線段 AC、線段 BC 交于點 E、F（點 F 與點 B、C 不重合），直接寫出線段 CF、CE、 BC 之間的數(shù)量關(guān)系為______；
（3）【拓展延伸】如圖③，在四邊形 ABCD 中，AC 平分∠BCD，∠BCD=120°，DAB=60°，過點 A 作 AE⊥AC， 交 CB 的延長線于點 E，若 CB=6，DC=2，則 BE 的長為 ．
27．（1）如圖1，在中，，，是邊上的中線，延長到點使，連接，把，，集中在中，利用三角形三邊關(guān)系可得的取值范圍是______；
（2）如圖2，在中，是邊上的中線，點，分別在，上，且，求證：；
（3）如圖3，在四邊形中，為鈍角，為銳角，，，點，分別在，上，且，連接，試探索線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．
28．如圖1，已知等邊ABC邊長為4cm，點P、Q分別是邊AB、BC上的動點，點P、Q分別從點A、B同時出發(fā)，且它們的速度都為1cm/s．連接AQ、CP交于點M．
(1)求證：ABQ≌CAP；
(2)在整個運動過種中，∠CMQ會發(fā)生變化嗎？若變化，則說明理由；若不變，求出它的度數(shù)．
(3)連接PQ，何時PBQ是直角三角形？
(4)如圖2，若點P、Q在運動到終點后繼續(xù)在射線AB、BC上運動，直線AQ、CP交于點M，求∠CMQ的度數(shù)．
29．【閱讀】
通過構(gòu)造恰當(dāng)?shù)膱D形，可以對線段長度大小進(jìn)行比較，直觀地得到線段之間的數(shù)量關(guān)系，這是“數(shù)形結(jié)合”思想的典型應(yīng)用．
【理解】
（1）如圖1，，AC平分，求證：．
【拓展】
（2）如圖2，其他條件不變，將圖1中的繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)，CD交MA的延長線于點D，CB交射線AN于點B，寫出線段AD，AB，AC之間的數(shù)量關(guān)系，并就圖2的情形說明理由．
【應(yīng)用】
（3）如圖3，為等邊三角形，，P為BC邊的中點，，將繞點P轉(zhuǎn)動使射線PM交直線AC于點M，射線PN交直線AB于點N，當(dāng)時，請直接寫出AN的長．
30．如果一個三角形能用一條直線將其分割出兩個等腰三角形，那么我們稱這個三角形為“活三角形”，這條直線稱為該“活三角形”的“生命線”．
(1)小明在研究“活三角形”問題時（如圖），他發(fā)現(xiàn)，在△ABC中，若∠BAC＝3∠C時，這個△ABC一定是“活三角形”．點D在BC邊上一點，連接AD，他猜測：當(dāng)∠DAC＝∠C時，AD就是這個三角形的“生命線”，請你幫他說明AD是△ABC的“生命線”的理由；
(2)如小明研究結(jié)果可以總結(jié)為：
，該三角形是一個“活三角形”．請通過自己操作研究，并根據(jù)上述結(jié)論，總結(jié)“活三角形”的其他特征；（注意從三角形邊、角特征及相互間關(guān)系總結(jié)）
(3)如果一個等腰三角形是一個“活三角形”那么它的頂角大小為 度．（直接寫出結(jié)果即可）

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