勾股定理30道經(jīng)典壓軸題型
【重難點(diǎn)題型】
1．如圖，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，△ABC的頂點(diǎn)A在△ECD的斜邊DE上．下列結(jié)論：其中正確的有（ ）
①△ACE≌△BCD；②∠DAB＝∠ACE；③AE+AC＝AD；④AE+AD＝2AC
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】C
【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到CA＝CB，∠CAB＝∠CBA＝45°，CD＝CE，∠E＝∠CDE＝45°，則可根據(jù)“SAS”證明△ACE≌△BCD，于是可對①進(jìn)行判斷；利用三角形外角性質(zhì)得到∠DAB+∠BAC＝∠E+∠ACE，加上∠CAB＝∠E＝45°，則可得對②進(jìn)行判斷；由全等三角形得性質(zhì)和等邊三角形得性質(zhì)得出③不正確；證出△ADB是直角三角形，由勾股定理得出④正確．
【詳解】解：∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，
∴CA＝CB，∠CAB＝∠CBA＝45°，CD＝CE，∠E＝∠CDE＝45°，
∵∠ACE+∠ACD＝∠ACD+∠BCD，
∴∠ACE＝∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD(SAS)，所以①正確；
∵∠DAC＝∠E+∠ACE，即∠DAB+∠BAC＝∠E+∠ACE，
而∠CAB＝∠E＝45°，
∴∠DAB＝∠ACE，所以②正確；
在AD上截取DF=AE，連接CF，如圖所示，
在△ACE和△FCD中，
∴△ACE△FCD(SAS)，
∴AC=FC，
當(dāng)，△ACF是等邊三角形，
則AC=AF，此時(shí)AE+AC=DF+AF=AD，
但無法求證，
故③不正確；
由①得，△ACE≌△BCD，
∴AE=BD，CEA=CDB=45°，
∴ADB=CDB+EDC=90°，
∴△ADB是直角三角形，
∴，
∴，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴，
∴，故④正確；
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形得判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理和直角三角形的判定和性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定和性質(zhì)．
2．在中，，，、為上兩點(diǎn)，，為外一點(diǎn)，且，，則下列結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的是（ ）
A．①②③④B．②③C．①②④D．①③④
【答案】C
【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，判斷出，即可得出，根據(jù)勾股定理與等量代換可得②正確，根據(jù)在等腰三角形中，角平分線與中線為一條直線即可得出③，再根據(jù)勾股定理以及等量代換即可得出④．
【詳解】解：∵，，，
∴，
，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故①正確；
由①中證明，
∴，
∵，，
∴，
∴，
連接，
∵，
∴，
∵，，
∴，故②正確；
設(shè)與的交點(diǎn)為，
∵，，
∴，，
∴，故③錯(cuò)誤，
∵，，
∴，
在中，，
，
∴，
∴，故④正確．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、全等三角形的判定定理以及等腰直角直角三角形的性質(zhì)，此題涉及的知識面比較廣，解題時(shí)要注意仔細(xì)分析，難度較大．
3．如圖，三角形紙片ABC中，點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)，連接AD，把△ABD沿著直線AD翻折，得到△AED，DE交AC于點(diǎn)G，連接BE交AD于點(diǎn)F．若DG＝EG，AF＝4，AB＝5，△AEG的面積為，則的值為（ ）
A．13B．12C．11D．10
【答案】A
【分析】首先根據(jù)SAS證明△BAF≌△EAF可得AF⊥BE，根據(jù)三角形的面積公式求出AD，根據(jù)勾股定理求出BD即可．
【詳解】解：由折疊得，，∠BAF=∠EAF，
在△BAF和△EAF中，
，
∴△BAF≌△EAF(SAS)，
∴BF=EF，
∴AF⊥BE，
又∵AF＝4，AB＝5，
∴，
在△ADE中，EF⊥AD，DG＝EG，設(shè)DE邊上的高線長為h，
∴，
即，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在Rt△BDF中，，，
∴，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換、三角形的面積、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，運(yùn)用三角形的面積求出AD的長度是解答本題的關(guān)鍵．
4．如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，以BC為邊在△ABC外作△BQC≌△BPA，連接PQ，則以下結(jié)論中正確有（ ）
①△BPQ是等邊三角形；②△PCQ是直角三角形；③∠APB＝150°；④∠APC＝120°．
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
【答案】A
【分析】①根據(jù)△ABC是等邊三角形，得出∠ABC=60°，根據(jù)△BQC≌△BPA，得出∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4，PA=QC=3，∠BPA=∠BQC，求出∠PBQ=60°，即可判斷①；②根據(jù)勾股定理的逆定理即可判斷得出②；③根據(jù)△BPQ是等邊三角形，△PCQ是直角三角形即可判斷；④求出∠APC=150°-∠QPC，和PC≠2QC，可得∠QPC≠30°，即可判斷④．
【詳解】解：①∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=60°，
∵△BQC≌△BPA，
∴∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4，PA=QC=3，∠BPA=∠BQC，
∴∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°，
∴△BPQ是等邊三角形，
所以①正確；
∴PQ=PB=4，
∵PQ2+QC2=42+32=25，
PC2=52=25，
∴PQ2+QC2=PC2，
∴∠PQC=90°，
∴△PCQ是直角三角形，
所以②正確；
∵△BPQ是等邊三角形，
∴∠PQB=∠BPQ=60°，
∴∠APB=∠BQC=∠BQP+∠PQC=60°+90°=150°，
所以③正確；
∠APC=360°-150°-60°-∠QPC=150°-∠QPC，
∵∠PQC=90°，PC≠2QC，
∴∠QPC≠30°，
∴∠APC≠120°．
所以④錯(cuò)誤．
所以正確的有①②③．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理的逆定理，解決本題的關(guān)鍵是綜合應(yīng)用以上知識．
5．如圖，P是等邊三角形內(nèi)的一點(diǎn)，且，，，以為邊在外作，連接，則以下結(jié)論中不正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)△ABC是等邊三角形，得出∠ABC=60°，根據(jù)△BQC≌△BPA，得出∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4，PA=QC=3，∠BPA=∠BQC，求出∠PBQ=60°，即可判斷A；根據(jù)勾股定理的逆定理即可判斷B；根據(jù)△BPQ是等邊三角形，△PCQ是直角三角形即可判斷D；求出∠APC=150°-∠QPC，和PC≠2QC，可得∠QPC≠30°，即可判斷C．
【詳解】解：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=60°，
∵△BQC≌△BPA，
∴∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4，
PA=QC=3，∠BPA=∠BQC，
∴∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°，
所以A正確，不符合題意；
PQ=PB=4，
PQ2+QC2=42+32=25，
PC2=52=25，
∴PQ2+QC2=PC2，
∴∠PQC=90°，
所以B正確，不符合題意；
∵PB=QB=4，∠PBQ=60°，
∴△BPQ是等邊三角形，
∴∠BPQ=60°，
∴∠APB=∠BQC=∠BQP+∠PQC=60°+90°=150°，
所以D正確，不符合題意；
∠APC=360°-150°-60°-∠QPC=150°-∠QPC，
∵PC=5，QC=PA=3,
∴PC≠2QC，
∵∠PQC=90°，
∴∠QPC≠30°，
∴∠APC≠120°．
所以C不正確，符合題意．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理的逆定理，解決本題的關(guān)鍵是綜合應(yīng)用以上知識．
6．如圖1，是傳統(tǒng)的手工磨豆腐設(shè)備，根據(jù)它的原理設(shè)計(jì)了圖2的機(jī)械設(shè)備，磨盤半徑OM＝20cm，把手MQ＝15cm，點(diǎn)O，M，Q在同一直線，用長為135cm的連桿將點(diǎn)Q與動力裝置P相連（∠PQM大小可變），點(diǎn)P在軌道AB上來回滑動并帶動磨盤繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動，OA⊥AB，OA＝80cm．若磨盤轉(zhuǎn)動1周，則點(diǎn)P在軌道AB上滑過的路徑長為（ ）
A．90cmB．150cmC．180cmD．70πcm
【答案】C
【分析】連接OP，求出OP的取值范圍，再求出PA的取值范圍，即可得結(jié)論．
【詳解】解：由題意可知OQ＝OM+MQ＝35cm，PQ＝135cm，
當(dāng)Q、O、P三點(diǎn)共線且Q在線段OP左上方延長線上時(shí)，OP取得最小值，
此時(shí)cm；
當(dāng)Q、O、P三點(diǎn)共線且Q在右下方線段OP上時(shí)，OP取得最大值，
此時(shí)cm．
∵cm，
∴①當(dāng)OP＝170cm時(shí)，（cm）；
②當(dāng)OP＝100cm時(shí)，（cm）．
∵每轉(zhuǎn)一周，AP從最小值到最大值再到最小值，
∴點(diǎn)P的運(yùn)動路徑長為：（150﹣60）×2＝180（cm）．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)的運(yùn)動軌跡，勾股定理，找出AP的最小值和最大值是解題的關(guān)鍵．
7．如圖，在△ABC中，AB＝13，BC=14，S△ABC=84，D是BC的中點(diǎn)，直線l經(jīng)過點(diǎn)D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分別為E，F(xiàn)，則AE+BF的最大值為（ ）
A．15B．12C．10D．9
【答案】A
【分析】如圖，連接AD，作，垂足分別為，可證，；由，求得的值，在中，由勾股定理得，求得的值，，求得的值，在中，由勾股定理得，求得的值；，可得，可知當(dāng)時(shí)，最小，最大，此時(shí)有，解得的值，進(jìn)而求解的值，故可知的最大值．
【詳解】解：如圖，連接AD，作，垂足分別為
由題意知
在和中
∵
∴
∴
∵
∴
在中，由勾股定理得
∴
在中，由勾股定理得
∵
∴
∴當(dāng)時(shí)，最小，最大
∴此時(shí)
解得
∴
∴的最大值為15
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識．解題的關(guān)鍵在于將線段和與面積聯(lián)系求解．
8．如圖，正方形ABCD的邊長為6，點(diǎn)E在邊CD上，且CD＝3DE．將△ADE沿AE對折至△AFE，延長EF交邊BC于點(diǎn)G，連接AG，CF．則下列結(jié)論：①△ABG≌△AFG；②∠AGB＋∠AED＝135°；③BG＝CG；④S△EGC＝S△AFE．其中正確的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】根據(jù)題意，證明Rt△ABG≌Rt△AFG，即可判斷①；設(shè)BG＝GF＝x，則CG＝6﹣x，在Rt△EGC中，EG＝x+2，CG＝6﹣x，CE＝4，在Rt△EGC中，勾股定理建立方程，解方程即可判斷③；根據(jù)①的結(jié)論可得，進(jìn)而可得，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得∠AGB+∠AED＝135°進(jìn)而判斷②；根據(jù)題中數(shù)據(jù)分別計(jì)算S△EGC，S△AFE，即可判斷④
【詳解】解：由題意可求得DE＝2，CE＝4，AB＝BC＝AD＝6，
四邊形是正方形，
∵將△ADE沿AE對折至△AFE，
∴∠AFE＝∠ADE＝∠ABG＝90°，AF＝AD＝AB，EF＝DE＝2
在Rt△ABG和Rt△AFG中
，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），
∴①正確；
∴BG＝GF，∠BGA＝∠FGA，
設(shè)BG＝GF＝x，則CG＝6﹣x，在Rt△EGC中，EG＝x+2，CG＝6﹣x，CE＝4，
∴（x+2）2＝（6﹣x）2+42，
解得x＝3，
∴BG＝CG＝3，
∴③正確；
將△ADE沿AE對折至△AFE，Rt△ABG≌Rt△AFG
∴∠AGB+∠AED＝135°，
∴②正確；
∵S△EGC＝GC?CE＝×3×4＝6，S△AFE＝AF?EF＝×6×2＝6，
∴S△EGC＝S△AFE，
∴④正確；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，三角形全等的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，勾股定理，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
9．如圖，分別平分和，且點(diǎn)在上，分別是延長線上的點(diǎn)，和的平分線交于點(diǎn)．下列結(jié)論：①；②；③平分；④恒為．其中結(jié)論正確的有（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】C
【分析】根據(jù)∠MAD+∠NDA=180°，得到AB∥CD，再根據(jù)平行公理可判斷①；根據(jù)平行線的性質(zhì)判斷出∠BAD+∠CDA=180°，結(jié)合角平分線的定義可得∠3+∠4=90°，得到AE⊥DE，李用勾股定理可判斷②；再利用平行線的性質(zhì)和角平分線的定義判斷出∠EAF+∠EDF=135°，結(jié)合∠AED=90°，可求出∠F，可判斷④；而由于無其他條件可得∠3與∠DAF的關(guān)系，可判斷③．
【詳解】解：∵∠MAD+∠NDA=180°，
∴AB∥CD，
∵AB⊥BC，
∴CD⊥BC，故①正確；
∵AB∥CD，
∴∠BAD+∠CDA=180°，
∵AE和DE分別平分∠BAD和∠CDA，
∴∠3+∠4=（∠BAD+∠CDA）=90°，
∴∠AED=90°，即AE⊥DE，
∴在△ADE中，，故②正確；
∵∠1+∠2=90°，
∴∠EAM+∠EDN=360°-90°=270°．
∵∠EAM和∠EDN的平分線交于點(diǎn)F，
∴∠EAF+∠EDF=×270°=135°，
∵AE⊥DE，
∴∠3+∠4=90°，
∴∠FAD+∠FDA=135°-90°=45°，
∴∠F=180°-（∠FAD+∠FDA）=180-45°=135°，故④正確，
而無法證明∠3與∠DAF的關(guān)系，故③錯(cuò)誤；
故選C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定、三角形內(nèi)角和定理、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理以及角平分線的性質(zhì)，熟知三角形的內(nèi)角和等于180°是解答此題的關(guān)鍵．
10．如圖，矩形中，，，點(diǎn)為射線上的一個(gè)動點(diǎn)，將沿折疊得到，連接，當(dāng)為直角三角形時(shí)，的長為（ ）
A．1或4B．或9C．1或9D．或1
【答案】C
【分析】分兩種情況：①當(dāng)E點(diǎn)在線段DC上時(shí)，②當(dāng)E點(diǎn)在線段DC的延長線上時(shí)，利用全等三角形的判定和性質(zhì)進(jìn)行解答即可．
【詳解】解：分兩種情況討論：
①當(dāng)E點(diǎn)在線段DC上時(shí)，如圖所示：
∵△AD'E≌△ADE，
∴∠AD'E=∠D=90°，
∵∠AD'B=90°，
∴∠AD'B+∠AD'E=180°，
∴B、D'、E三點(diǎn)共線，
∵△ABE的面積=BE×AD'=AB×AD，AD'=AD，
∴BE=AB=5，
∵BD'==4，
∴DE=D'E=5-4=1；
②當(dāng)E點(diǎn)在線段DC的延長線上，且ED″經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，滿足條件，如圖所示：
∵∠ABD″+∠CBE=∠ABD″+∠BAD″=90°，
∴∠CBE=∠BAD″，
在△ABD″和△BEC中，
，
∴△ABD″≌△BEC（ASA），
∴BE=AB=5，
∵BD''==4，
∴DE=D″E=BD''+BE=4+5=9；
綜上所知，DE的長為1或9，
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查了翻折的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，勾股定理，掌握翻折的性質(zhì)，分類探討的思想方法是解決問題的關(guān)鍵，有一定難度．
11．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，D為AC邊上的中點(diǎn)，E為AB邊上一點(diǎn)，AB＝4BE，連接CE、DE，延長DE交CB延長線于F，若BF＝3，AB＝10，則＝________．
【答案】
【分析】取AB的中點(diǎn)G，連接DG，則AB＝2BG，可得BE＝EG，再利用三角形中位線定理得BC＝2DG，DGBF，利用ASA證明△GDE≌△BFE，得DG＝BF＝3，DE＝EF，再根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，從而解決問題．
【詳解】解：取AB的中點(diǎn)G，連接DG，則AB＝2BG，
∵AB＝4BE，
∴BE＝EG，
∵D為AC邊上的中點(diǎn)，G為AB的中點(diǎn)，
∴DG為△ABC的中位線，
∴BC＝2DG，DGBF，
∴∠GDE＝∠F，
在△GDE和△BFE中，
，
∴△GDE≌△BFE（AAS），
∴DG＝BF＝3，DE＝EF，
∴BC＝6，
∴CF＝9，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝8，
∴CD＝4，
在Rt△CDF中，由勾股定理得：，
∵∠ACB＝90°，EF＝DE，
∴CE＝DF，
∴＝＝，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理，三角形中位線定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是證明點(diǎn)E是DF的中點(diǎn)．
12．已知任意直角三角形的兩直角邊a，b和斜邊c之間存在關(guān)系式：a2+b2=c2．如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D在BC上，BD=3，CD=4，以AD為一邊作△ADE，使∠DAE=90°，AD=AE．若點(diǎn)M是DE上一個(gè)動點(diǎn)，則線段CM長的最小值為_________．
【答案】
【分析】連接CE，過點(diǎn)C作于點(diǎn)H，首先證明，可推導(dǎo)，，再證明，在中，由勾股定理計(jì)算，然后借助三角形面積求出，根據(jù)“垂線段最短”可知，當(dāng)，即M、H重合時(shí)，線段CM的長取最小值，即可獲得答案．
【詳解】解：連接CE，過點(diǎn)C作于點(diǎn)H，如下圖，
∵，即，
∴，
∵AB=AC，AD=AE，
∴，
∴，，
∵∠BAC=90°，
∴，
∴，即，
∴在中，，
∵，
∴，即，
解得，
∵點(diǎn)M是DE上一個(gè)動點(diǎn)，則當(dāng)，即M、H重合時(shí)，線段CM的長取最小值，
此時(shí)．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，正確作圖輔助線構(gòu)建全等三角形是解題關(guān)鍵．
13．如圖，∠AOB＝60°，點(diǎn)C是BO延長線上一點(diǎn)，OC＝6cm，動點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿射線CB以2cm/s的速度移動，動點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)沿射線OA以1cm/s的速度移動，如果點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，用t（s）表示移動的時(shí)間，當(dāng)t＝___s時(shí)，△POQ是等腰三角形．
【答案】2或6##6或2
【分析】根據(jù)等腰三角形的判定，分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)P在線段OC上時(shí)；當(dāng)點(diǎn)P在CO的延長線上時(shí)，分別列式計(jì)算即可；
【詳解】根據(jù)題意分兩種情況：
當(dāng)點(diǎn)P在線段OC上時(shí)，
設(shè)t秒后是等腰三角形，
有，即，解得：；
當(dāng)點(diǎn)P在CO的延長線上時(shí)，此時(shí)經(jīng)過CO時(shí)的時(shí)間已用3s，
當(dāng)是等腰三角形時(shí)，，
∴是等邊三角形，
∴，
即，解得：；
故答案是：2或6．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定；解題時(shí)把幾何問題轉(zhuǎn)化為方程求解，是常用的方法，解決本題的關(guān)鍵要注意分類討論，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)O的左側(cè)還是在右側(cè)分別求解．
14．如圖，在中，，，，是的中線，將沿直線翻折，點(diǎn)是點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的點(diǎn)，如果，那么______．
【答案】##1.8##
【分析】先證明，，結(jié)合得到，利用等面積法求出，再利用勾股定理求出即可．
【詳解】解：如圖，∵是由翻折，

∴，，，
∴．
∵，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴，．
∵，
∴，
∴．
∴．
∵，
∴．
在中，，，
∴．
∵，
∴，
解得：．
在中，．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，三角形外角性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，屬于中考?？碱}型．
15．在中，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿線段以每秒的速度運(yùn)動到．當(dāng)點(diǎn)的運(yùn)動時(shí)間______秒時(shí)，的面積為．
【答案】或
【分析】根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)得到，再由三角形的面積公式推出，結(jié)合圖形可以分點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)和點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)兩種情況進(jìn)行討論，由線段之間的和差關(guān)系及行程問題公式時(shí)間路程速度進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，
∴，
又，即，

解得，
當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)時(shí)，
，則，
此時(shí)點(diǎn)的運(yùn)動時(shí)間秒．
當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)時(shí)，
，則，
此時(shí)點(diǎn)的運(yùn)動時(shí)間秒，
綜上，點(diǎn)的運(yùn)動時(shí)間為或秒．
故答案為：或．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，解題的關(guān)鍵是求得長度后結(jié)合圖形分情況進(jìn)行討論點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)和點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)．
16．如圖，四邊形ABCD中，AB⊥AD，CD＝CB，∠ACB＝∠ACD，AE⊥BC于點(diǎn)E，AE交BD于點(diǎn)F，AC＝DF，CE＝5，BE＝12，則AE＝_____．
【答案】20
【分析】首先證明DG=BG=AG，CG=GF，設(shè)CG=GF=x，AG=BG=DG=y．構(gòu)建方程組即可解決問題．
【詳解】解：∵CD=CB，∠ACB=∠ACD，CA=CA，
∴△CAB≌△CAD（SAS），
∴AD=AB，∠DAC=∠BAC，
∵AB⊥AD，
∴∠BAD=90°，
∴∠DAC=∠BAC=45°，
∵CD=CB，AD=AB，
∴AC垂直平分線段BD，
∴DG=BG=AG，
∵AC=DF，
∴CG=GF，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC=∠BGC=∠AGF=90°，
∴∠BCG+∠CBG=90°，∠BCG+∠FAG=90°，
∴∠CBG=∠FAG，
∵BG=AG，
∴△BGC≌△AGF（ASA），
∴AF=BC=CE+BE=5+12=17，
設(shè)CG=GF=x，AG=BG=DG=y．
①
∵
②
①×12得到：172×12=12x2+12y2，
②×17得到172×12=17y2-17xy，
∴12x2+12y2=17y2-17xy，
∴12x2+17xy-5y2=0，
∴（3x+5y）（4x-y）=0，
∵3x+5y≠0
∴y=4x，
∴12×17=4x×3x，
∴x2=17，
連接CF，可得CF2=2x2=34，
．
故答案為：20．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，因式分解法解一元二次方程，根據(jù)勾股定理建立方程組是解題的關(guān)鍵．
17．由4個(gè)直角邊分別是、全等的直角三角形拼接而成的圖形如圖所示，如果圖中大小正方形的面積分別為52和4，則=________．
【答案】10
【分析】根據(jù)勾股定理得到大正方形面積為，小正方形的面積為，利用完全平方公式即可求出結(jié)果．
【詳解】解：由題意可知
，
∵
∴
即
故答案為10
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用、完全平方公式，勾股定理與正方形面積相結(jié)合并靈活運(yùn)用完全平方公式是解題的關(guān)鍵．
18．如圖，在中，，，，平分交于點(diǎn)D，點(diǎn)E、F分別在、上，則的最小值為________．
【答案】
【分析】在AB上取點(diǎn)，使，過點(diǎn)C作，垂足為，先說明可得，推出當(dāng)C、E、共線，且點(diǎn)與H重合時(shí)，的值最?。?br>【詳解】解：如圖所示：在AB上取點(diǎn)，使，過點(diǎn)C作，垂足為H．
∵AE平分，
∴∠EAF=∠EA，
∵，AE=AE，
∴△EAF≌△EA，
∴，
∴，
當(dāng)C，E，共線，且點(diǎn)與H重合時(shí)，的值最小
在中，依據(jù)勾股定理可知，
∵
，
的最小值為．
故答案為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查的是勾股定理的應(yīng)用、垂線段最短、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是利用垂線段最短解答最短路徑問題．
19．如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1，點(diǎn)A，B，C，D，P都在格點(diǎn)上，連接AP，CP，CD，則∠PAB－∠PCD＝________．
【答案】45°
【分析】如圖，取CD邊上的格點(diǎn)E，連接AE，PE，易得∠BAE＝∠PCD,證明為等腰直角三角形，從而可得答案．
【詳解】如圖，取CD邊上的格點(diǎn)E，連接AE，PE，易得∠BAE＝∠PCD．
由題意可得AP2＝PE2＝12+22＝5，AE2＝12+32＝10．
∴AE2＝AP2+PE2．
∴△APE是等腰直角三角形．
∴∠PAE＝45
∴∠PAB－∠PCD＝∠PAB－∠BAE＝∠PAE＝45°．
【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，勾股定理的逆定理的應(yīng)用，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
20．在中，，AD是BC邊上的高，AD上有一點(diǎn)E，連接CE，，在BC上取一點(diǎn)F使，，，則______．
【答案】12
【分析】延長至，是的，連接，設(shè)，，則，證明，可得，進(jìn)而導(dǎo)角可得，可得，在中，，勾股定理列出方程解方程即可求解．
【詳解】如圖，延長至，使，連接，
，AD是BC邊上的高，，，
是等腰直角三角形，
設(shè)，
，
則，
在與中，
，
，
， ，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
在中，，
即，
，
解得．
故答案為：12．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，等角對等邊，證明是解題的關(guān)鍵．
21．如圖1，在中，，，．
(1)求證：；
(2)如圖2，交于點(diǎn)，若，求證：，，三點(diǎn)共線；
(3)如圖3，在（2）的條件下，若于，過點(diǎn)作于，，，求，的長度．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)，
【分析】（1）由“”可證，可得；
（2）由得，，從而得出，，根據(jù)和進(jìn)一步得出結(jié)論；
（3）作于，作于，設(shè)，根據(jù)，，從而，設(shè)，，則，同理可求得和，根據(jù)列出方程，從而求得，進(jìn)一步求得結(jié)果．
（1）
證明：在和中，
，
，
，
（2）
證明：由（1）知：，
，，
，
即：，
根據(jù)外角的性質(zhì)：，，
，
，
，
，
，
，
，
，，三點(diǎn)共線；
（3）
解：如圖，
作于，作于，
設(shè)，
，
，
，
，
，
，
，
，
設(shè)，，則，
同理可得：設(shè)，，，
，
，
，，
在和中，由勾股定理得，
，，
，
，
，
，，，
，
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形性質(zhì)，勾股定理，全等三角形判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是作輔助線，根據(jù)面積法求得線段間關(guān)系，在根據(jù)列出方程．
22．[問題發(fā)現(xiàn)]小明遇到這樣-一個(gè)問題:
如圖1，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，且滿足∠ADE=60°，DE交等邊三角形外角平分線CE所在直線于點(diǎn)E.
(1)小明發(fā)現(xiàn)，過點(diǎn)D作DFAC，交AC于點(diǎn)F，通過構(gòu)造全等三角形，經(jīng)過推理論證，能夠使問題得到解決，請直接寫出AD與DE的數(shù)量關(guān)系:
(2)[類比探究] 如圖2，當(dāng)點(diǎn)D是線段BC上(除B，C外)任意一點(diǎn)時(shí)(其它條件不變) ，試猜想AD與DE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.
(3)[拓展應(yīng)用] 當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上，且滿足CD=BC(其它條件不變)時(shí)，請直接寫出△ABC與△ADE的面積之比，
【答案】(1)AD=DE
(2)AD=DE，證明見解析
(3)
【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得到∠BDF=∠BFD=60°，于是得到△BDF是等邊三角形，再證明△AFD≌△DCE即可得到結(jié)論；
（2）由等邊三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得到∠BDF=∠BFD=60°，于是得到△BDF是等邊三角形，再證明△AFD≌△DCE即可得到結(jié)論；
（3）由BC=CD，得到AC=CD，得到CE垂直平分AD，證出△ADE是等邊三角形，過點(diǎn)A作AF⊥BC，垂足為F，設(shè)AB=BC=AC=x，利用直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求出AF，OE和AD，結(jié)合三角形面積公式即可得到結(jié)論．
（1）
解：證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC，∠B=∠ACB=∠ABC=60°．
又∵DFAC，
∴∠BDF=∠BFD=60°，
∴△BDF是等邊三角形，
∴DF=BD，∠BFD=60°，
∵BD=CD，
∴DF=CD
∴∠AFD=120°．
∵EC是外角的平分線，
∠DCE=120°=∠AFD，
∵∠ADB=∠ADC=90°，
∴∠ADF=∠EDC=30°，
在△AFD與△EDC中，
，
∴△AFD≌△ECD（ASA），
∴AD=DE；
（2）
AD=DE；
證明：如圖2，過點(diǎn)D作DFAC，交AB于點(diǎn)F，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC，∠B=∠ACB=∠ABC=60°，
又∵DFAC，
∴∠BDF=∠BFD=60°，
∴△BDF是等邊三角形，BF=BD，∠BFD=60°，
∴AF=CD，∠AFD=120°，
∵EC是外角的平分線，
∠DCE=120°=∠AFD，
∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC=∠B+∠FAD=60°+∠FAD，
∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=60°+∠EDC，
∴∠FAD=∠EDC，
在△AFD和△DCE中，
，
∴△AFD≌△ECD（ASA），
∴AD=DE；
（3）
∵BC=CD，
∴AC=CD，
∵CE平分∠ACD，
∴CE垂直平分AD，
∴AE=DE，
∵∠ADE=60°，
∴△ADE是等邊三角形，
設(shè)AB=AC=BC=x，
∵∠ACD=120°，
∴∠ACE=∠DCE=60°，
∵AD⊥CE，
∴
∴OC=，
∴AO==，
∴AE=2AO=，AD=2AO=，
∴OE==，
過點(diǎn)A作AF⊥BC，垂足為F，
∴AF==，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．
23．在ABC中，，，點(diǎn)D在BC上（不與點(diǎn)B，C重合）．
(1)如圖1，若ADC是直角三角形，
①當(dāng)AD⊥BC時(shí)，求AD的長；
②當(dāng)AD⊥AC時(shí)，求CD的長．
(2)如圖2，點(diǎn)E在AB上（不與點(diǎn)A，B重合），且．
①若，求證：DBE≌ACD；
②若ADE是等腰三角形，求CD的長．
【答案】(1)①6；②
(2)①見解析；②或
【分析】（1）①過A作AD⊥BC于點(diǎn)D，由等腰三角形的性質(zhì)可知，再由勾股定理計(jì)算AD的長即可；②過點(diǎn)A作AD⊥AC交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)A作AH⊥BC交BC于點(diǎn)H，在和中借助勾股定理計(jì)算DH的長，然后由計(jì)算AD的長即可；
（2）①由、，可知，即有，然后在根據(jù)即可證明△DBE≌△ACD；②由可知，若△ADE是等腰三角形，則或，然后分兩種情況討論，分別計(jì)算CD的長即可．
（1）
解：①如圖3，過A作AD⊥BC于點(diǎn)D，
∵，，
∴，
∴；
②如圖4，過點(diǎn)A作AD⊥AC交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)A作AH⊥BC交BC于點(diǎn)H，
由（1）得，，
由勾股定理可知，，
∴，
解得，
∴；
（2）
①∵，，
∴，
∴，
∵，
∴△DBE≌△ACD（ASA）；
②∵，
若△ADE是等腰三角形，則或，
當(dāng)時(shí)，則，
∵△DBE≌△ACD，
∴，；
當(dāng)，如圖5，
則，，
在中，，即，
解得，．
綜上所述，或．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)，并運(yùn)用分類討論的思想分析問題是解題的關(guān)鍵．
24．如圖，由邊長為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，的頂點(diǎn)在格點(diǎn)上.請用無刻度尺按要求作圖：
(1)在圖1中，作的高；
(2)在圖2中作圖：
①找一格點(diǎn)使，且；
②連接，在上畫出一點(diǎn)，連，使將四邊形的面積平分．
【答案】(1)見解析；
(2)①見解析；②見解析．
【分析】（1）根據(jù)三角形的高的定義畫出圖形即可；
（2）①結(jié)合勾股定理和網(wǎng)格圖即可；②在上取格點(diǎn)，使，再取線段的中點(diǎn)，即可．
（1）
如圖1，線段為所求；
證明：取網(wǎng)格點(diǎn)M、N、P，連接PN、PB、AM，如圖，
結(jié)合網(wǎng)格易得：△BNP≌△APM，即有∠PAM=∠PBN，
∵∠PAM+∠MPA=90°，
∴∠PBN+∠MPA=90°，
∴在△PBH中，∠PHB=90°，
即AH⊥BC，
AH符合要求；
（2）
①如圖2，點(diǎn)為所求；
②如圖2，點(diǎn)為所求．
①證明：結(jié)合網(wǎng)格圖和勾股定理，可得，，
即，，
即△ACD是直角三角形，∠CAD=90°，
即有：AC⊥AD，，即D點(diǎn)滿足要求；
②證明：由割補(bǔ)法，可求得的面積為，
根據(jù)，則的面積，
∴與的面積相等，
根據(jù)網(wǎng)格作圖可知，線段的中點(diǎn)為，
∴，
∴，
則線段平分四邊形的面積．
【點(diǎn)睛】本題考查作圖?應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，三角形的高，中線等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．
25．如圖，在長方形ABCD中，AB＝4，BC＝6．延長BC到點(diǎn)E，使CE＝3，連接DE．動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿著射線BE以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動，點(diǎn)P運(yùn)動的時(shí)間為t秒．
(1)DE的長為_______．
(2)如果動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿著B﹣C﹣D﹣A以每秒1個(gè)單位的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動，直接寫出當(dāng)t為何值時(shí)，△ABP≌△DCE；
(3)連接DP．
①求當(dāng)t為何值時(shí)，△PDE是直角三角形；
②直接寫出當(dāng)t為何值時(shí)，△PDE是等腰三角形．
【答案】(1)5
(2)t＝3
(3)①當(dāng)t＝或t＝6時(shí)，△PDE是直角三角形；②當(dāng)t＝3或4或時(shí)，△PDE為等腰三角形
【分析】（1）根據(jù)題意可得：CD=4，根據(jù)勾股定理可求DE的長；
（2）利用全等三角形的對應(yīng)邊BP=CE建立方程求解，即可得出結(jié)論；
（3）①分兩種情況，利用勾股定理建立方程求解，即可得出結(jié)論；
②分PD=DE，PE=DE，PD=PE三種情況討論，根據(jù)勾股定理和等腰三角形的性質(zhì)可求t的值．
（1）
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝4，CD⊥BC，
在Rt△DCE中，DE＝＝5，
故答案為5．
（2）
如圖1，在長方形ABCD中，AB＝DC，∠B＝∠DCB＝90°，
∴∠DCE＝∠B＝90°，
∵△ABP≌△DCE，
∴BP＝CE，
∴1×t＝3，
∴t＝3；
（3）
①當(dāng)∠PDE＝90°時(shí)，如圖2，
在Rt△PDE中，，
在Rt△PCD中，，
∴，
∴，
∴t＝．
當(dāng)∠DPE＝90°時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，
∴BP＝BC，
∴t＝6．
綜上所述，當(dāng)t＝或t＝6時(shí)，△PDE是直角三角形；
②若△PDE為等腰三角形，
則PD＝DE或PE＝DE或PD＝PE，
當(dāng)PD＝DE時(shí)，如圖3，
∵PD＝DE，DC⊥BE，
∴PC＝CE＝3，
∵BP＝BC﹣CP＝3，
∴t＝＝3，
當(dāng)PE＝DE＝5時(shí)，如圖4，
∵BP＝BE﹣PE，
∴BP＝9﹣5＝4，
∴t＝＝4，
當(dāng)PD＝PE時(shí)，如圖5，
∴PE＝PC+CE＝3+PC，
∴PD＝3+PC，
在Rt△PDC中，，
∴，
∴PC＝，
∵BP＝BC﹣PC，
∴BP＝，
∴t＝，
綜上所述：當(dāng)t＝3或4或時(shí)，△PDE為等腰三角形．
【點(diǎn)睛】此題是四邊形綜合題，主要考查了勾股定理，全等三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，用分類討論的思想解決問題是解本題的關(guān)鍵．
26．如圖，在四邊形中，，，，，，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以的速度向點(diǎn)D運(yùn)動；點(diǎn)Q從點(diǎn)C同時(shí)出發(fā)，以的速度向點(diǎn)B運(yùn)動、規(guī)定其中一個(gè)動點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動．設(shè)點(diǎn)P，Q運(yùn)動的時(shí)間為．
(1)邊的長度為__________；
(2)從運(yùn)動開始，當(dāng)t取何值時(shí)，？
(3)是否存在t，使得是直角三角形？若存在，直接寫出t值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)5cm
(2)t=4或t=7
(3)存在，t=3或t=
【分析】（1）過點(diǎn)D作DE⊥BC，根據(jù)勾股定理求解即可；
（2）分兩種情況討論，當(dāng)PQCD時(shí)或當(dāng)PQ與CD不平行時(shí)，根據(jù)兩種情況分別討論并求解即可；
（3）以B為原點(diǎn)，BC為x軸，BA為y軸建立直角坐標(biāo)系，根據(jù)前兩問題的條件標(biāo)出各點(diǎn)的坐標(biāo)，依此求解即可．
（1）
如圖，過點(diǎn)D作DE⊥BC，
故DE=AB=4，
EC=BC-AD=11-8=3，
∵DE⊥EC，
∴△DEC為直角三角形，
∴．
故答案為：5．
（2）
設(shè)經(jīng)過t s時(shí)，PQ=CD，
圖①
①當(dāng)PQCD時(shí)，如圖①，
四邊形PQCD為平行四邊形，
∴PD＝CQ．
∵PD＝(8－t)cm，CQ＝t cm，
∴8－t＝t，
∴t＝4，
圖②
②當(dāng)PQ與CD不平行時(shí)，如圖②，
分別過點(diǎn)P，D作BC邊的垂線PE，DF，垂足分別為E，F(xiàn)．
∴∠PEQ＝∠PEF＝∠DFE＝∠DFC=90°，
∵ADBC，∠B＝90°，
∴∠A+∠B=180°，
∴∠A=180°-90°=90°，
∴∠B＝∠A＝∠DFB＝90°，
∴四邊形ABFD是矩形，
∴AD＝BF，∠ADF=90°，
∵AD＝8cm，BC＝11cm，
∴CF＝BC－BF＝BC－AD=3cm．
又∠PEF＝∠DFE=∠ADF=90°，
∴四邊形PDEF是矩形，
∴PE=DF，EF=PD，
又PQ=CD，∠PEQ＝∠DFC=90°，
∴Rt△PQE ≌Rt△DCF (HL)，
∴QE=CF=3cm，
CQ=CF+EF+QE=CF+PD+QE，
∴t=3+8-t+3，
解得t=7．
（3）
存在，理由如下：
以B為原點(diǎn)，BC為x軸，BA為y軸建立直角坐標(biāo)系，
則B（0，0），A（0，4），C（11，0），D（8，4），P（t，4），Q（11-t，0），
若∠PDQ=90°，則PD⊥DQ，
∴11-t=8，
∴t=3，
若∠DPQ為90°，則PD⊥PQ，
∴t=11-t，
∴，
若∠DQP=90°，則PQ⊥DQ，
∴，
∴，
∵，
∴不存在這樣的t使得∠DQP＝90°，
綜上所示：t=3或t=．
【點(diǎn)睛】本題考查動點(diǎn)問題，勾股定理，平面直角坐標(biāo)系的應(yīng)用，能夠掌握數(shù)形結(jié)合思想是解決本題的關(guān)鍵．
27．已知，△ABC和△DBE都是等邊三角形，連接AD、EC．
(1)如圖1，求證：AD＝CE；
(2)如圖2，延長CE交AD于點(diǎn)F，連接BF，求證：BF平分∠DFE；
(3)如圖3，在（2）的條件下，若BF＝6，AF＝4，求CF的長．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)10
【分析】（1）由SAS證得△BDA≌△BEC，即可得出結(jié)論；
（2）過點(diǎn)B作BM⊥AD，交AD延長線于M，作BN⊥CF于N，由全等三角形的在得AD＝CE，,則BM＝BN，再由角平分線的判定即可得出結(jié)論；
（3）過點(diǎn)B作BM⊥AD，交AD延長線于M，作BN⊥CF于N，由全等三角形的性質(zhì)得∠BAD＝∠BCE，再由三角形的外角性質(zhì)得∠AFN＝∠ABC＝60°，然后由含30°角的直角三角形的性質(zhì)得MF＝NF＝3，則AM＝AF＋MF＝7，BM＝BN＝，得AB＝，即可解決問題．
（1）
證明：∵△ABC和△DBE都是等邊三角形，
∴BD＝BE，BA＝BC，∠DBE＝∠ABC＝60°，
∵∠ABD＋∠ABE＝∠CBE＋∠ABE＝60°，
∴∠ABD＝∠CBE，
在△BDA和△BEC中，
，
∴△BDA≌△BEC（SAS），
∴AD＝CE；
（2）
證明：過點(diǎn)B作BM⊥AD，交AD延長線于M，作BN⊥CF于N，如圖2所示：
同（1）得：△BDA≌△BEC（SAS），
∴AD＝CE，,
∵BM是△BDA底邊AD上的高，BN是△BEC底邊CE上的高，
∴BM＝BN，
∴BF平分∠DFE；
（3）
解：過點(diǎn)B作BM⊥AD，交AD延長線于M，作BN⊥CF于N，如圖3所示：
則∠BMF＝∠BNF＝∠BNC＝90°，
同（1）得：△BDA≌△BEC（SAS），
∴∠BAD＝∠BCE，
∵∠AFN＋∠BAD＝∠ABC＋∠BCE，
∴∠AFN＝∠ABC＝60°，
∴∠DFE＝120°，
由（2）可知，BF平分∠DFE，
∴∠BFM＝∠BFN＝×120°＝60°，
∴∠MBF＝∠NBF＝90°﹣60°＝30°，
∴MF＝NF＝BF＝3，
∴AM＝AF＋MF＝4＋3＝7，BM＝BN＝＝，
∴AB＝＝＝，
∴BC＝AB＝，
∴CN＝＝＝7，
∴CF＝CN＋NF＝7＋3＝10，
即CF的長為10．
【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題目，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理以及三角形的外角性質(zhì)等知識，本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．
28．如圖，已知在△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，P、Q是△ABC邊上的兩個(gè)動點(diǎn)，其中點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿A→B方向運(yùn)動，且速度為每秒1cm，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿B→C方向運(yùn)動，且速度為每秒2cm，它們同時(shí)出發(fā)，設(shè)出發(fā)的時(shí)間為t秒，0．
(1)當(dāng)t=2秒時(shí)，求PQ的長；
(2)求出發(fā)時(shí)間為幾秒時(shí)，△PQB是等腰三角形？
(3)若Q沿B→C→A方向運(yùn)動，則當(dāng)點(diǎn)Q在邊CA上運(yùn)動時(shí)，求能使△BCQ成為等腰三角形的運(yùn)動時(shí)間．（直接寫答案）
【答案】(1)2
(2)秒
(3)5.5秒或6秒或6.6秒
【分析】（1）可求得AP和BQ，則可求得BP，在Rt△BPQ中，由勾股定理可求得PQ的長；
（2）用t可分別表示出BP和BQ，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得到BP=BQ，可得到關(guān)于t的方程，可求得t；
（3）用t分別表示出BQ和CQ，利用等腰三角形的性質(zhì)可分BQ=BC、CQ=BC和BQ=CQ三種情況，分別得到關(guān)于t的方程，可求得t的值．
（1）
解：BQ=2×2=4cm， BP=AB﹣AP=8﹣2×1=6cm，
∵∠B=90°，
在Rt△BPQ中，由勾股定理可得PQ=2；
（2）
解：根據(jù)題意得：BQ=BP， 即2t=8﹣t，
解得：；
即出發(fā)時(shí)間為秒時(shí)，△PQB是等腰三角形；
（3）
解：分三種情況：①當(dāng)CQ=BQ時(shí)，如圖1所示：
則∠C=∠CBQ，
∵∠ABC=90°，
∴∠CBQ+∠ABQ=90°，∠A+∠C=90°，
∴∠A=∠ABQ
∴BQ=AQ，
∴CQ=AQ=5
∴BC+CQ=11，
∴t=11÷2=5.5秒．
②當(dāng)CQ=BC時(shí)，如圖2所示：
則BC+CQ=12
∴t=12÷2=6秒．
③當(dāng)BC=BQ時(shí)，如圖3所示： 過B點(diǎn)作BE⊥AC于點(diǎn)E，
則BE=4.8（cm）
∴CE==3.6cm，
∴CQ=2CE=7.2cm，
∴BC+CQ=13.2cm，
∴t=13.2÷2=6.6秒．
由上可知，當(dāng)t為5.5秒或6秒或6.6秒時(shí)， △BCQ為等腰三角形；
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、三角形的面積以及等腰三角形的判定和性質(zhì)；本題有一定難度，注意分類討論思想的應(yīng)用．
29．如圖1，在中，，點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，DE，DF分別交AC于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，且．
(1)如果，連接CD．
①求證：；
②求證：；
(2)如圖2，如果，探索AE，BF和EF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．
【答案】(1)①見解析；②見解析
(2)，證明見解析
【分析】（1）①根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可知，．由，可證明．即可利用“ASA”證明，即得出；②由全等三角形的性質(zhì)可知，結(jié)合題意可求出．在Rt中，再由勾股定理，得，即得出；
（2）延長FD至點(diǎn)M，使，連接AM，EM．易證，得出，從而判斷，即證明．再根據(jù)線段垂直平分線的判定和性質(zhì)可知．最后在中，由勾股定理，得，即得出．
（1）
①證明：，
是等腰直角三角形．
點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，
∴．
又，
．
，
．
在與中．
．
；
②由①可知，
．
，
∴，即．
在Rt中，由勾股定理，得，
；
（2）
．證明如下：
如圖，延長FD至點(diǎn)M，使，連接AM，EM．
點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，
．
，
，
，
．
．
又∵，
是FM的垂直平分線，
．
在中，由勾股定理，得，
．
【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理，線段垂直平分線的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)等知識．掌握三角形全等的判定條件和正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．
30．問題背景
定義：若兩個(gè)等腰三角形有公共底邊，且兩個(gè)頂角的和是，則稱這兩個(gè)三角形是關(guān)于這條底邊的互補(bǔ)三角形．如圖1，四邊形中，是一條對角線，，，且，則與是關(guān)于的互補(bǔ)三角形．
(1)初步思考：如圖2，在中，，，、為外兩點(diǎn)，，，為等邊三角形．則關(guān)于的互補(bǔ)三角形是_______，并說明理由．
(2)實(shí)踐應(yīng)用：如圖3，在長方形中，，．點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，若與是關(guān)于互補(bǔ)三角形，試求的長．
(3)思維探究：如圖4，在長方形中，，．點(diǎn)是線段上的動點(diǎn)，點(diǎn)是平面內(nèi)一點(diǎn)，與是關(guān)于的互補(bǔ)三角形，直線與直線交于點(diǎn)．在點(diǎn)運(yùn)動過程中，線段與線段的長度是否會相等？若相等，請直接寫出的長；若不相等，請說明理由．
【答案】(1)△BCD；
(2)3
(3)或2或或18．
【分析】（1）根據(jù)互補(bǔ)三角形的定義即可判斷．
（2）根據(jù)互補(bǔ)三角形可得BE=FE，BC=FC，在Rt△FDC中用勾股定理可計(jì)算出FD的長度，進(jìn)而得到AF的長，然后設(shè)AE=x，則BE=EF=8-x，然后用勾股定理列方程計(jì)算即可；
②分四種情形：如圖4-1中，當(dāng)BE=AF時(shí)．如圖4-2中，當(dāng)BE=BC=AF時(shí)，此時(shí)點(diǎn)F與D重合．如圖4-3中，當(dāng)BE=AF時(shí)．如圖4-4中，當(dāng)BE=CB=AF時(shí)，點(diǎn)F與點(diǎn)D重合，分別求解即可解決問題．
（1）
解：如圖2中，
∵△BDC是等邊三角形，
∴∠D=60°，
∵AB=AC，∠ABC=30°，
∴∠ABC=∠ACB=30°，
∴∠BAC=120°，
∴∠A+∠D=180°，
∴則△ABC關(guān)于的互補(bǔ)三角形是△BCD，
故答案為：△BCD；
（2）
∵與是關(guān)于互補(bǔ)三角形，
∴BE=FE，BC=FC，
在長方形中，，，
∴CD=AB=8，CB=CF=10，
∴DF=,
∴AF=AD-DF=4，
設(shè)AE=x，則BE=EF=8-x，
∴，解得,
∴AE=3；
（3）
如圖4-1中，當(dāng)BE=AF時(shí)，設(shè)AE=x，連接EF．
∵BE=EP=AF，EF=EF，∠EAF=∠FPE=90°，
∴Rt△EAF≌Rt△FPE（HL），
∴PF=AE=x，
在Rt△DCF中，DF=10-（8-x）=2+x，CD=8，CF=10-x，
∴（10-x）2=82+（2+x）2，
解得x=，
∴AE=
如圖4-2中，當(dāng)BE=BC=AF時(shí)，此時(shí)點(diǎn)F與D重合，可得AE=BE-AB=10-8=2．
如圖4-3中，當(dāng)BE=AF時(shí)，設(shè)AE=x，
同法可得PF=AE=x，
在Rt△CDF中，則有（10+x）2=82+（18-x）2，
解得x=，
∴AE=，
如圖4-4中，當(dāng)BE=CB=AF時(shí)，點(diǎn)F與點(diǎn)D重合，此時(shí)AE=AB+BE=AB+BC=18．
綜上所述，滿足條件的AE的值為或2或或18．
【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會用分類討論的思想思考問題．

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