1.
2.古典概率模型：我們將具有以下兩個特征的試驗稱為古典概型試驗，其數(shù)學模型稱為古典概率模型，簡稱古典概率：
（1）有限性：樣本空間的樣本點只有有限個；
（2）等可能性：每個樣本點發(fā)生的可能性相等.
3.古典概型的概率公式
（1）在基本事件總數(shù)為n的古典概型中，每個基本事件發(fā)生的概率都是相等的，即每個基本事件發(fā)生的概率都是.
（2）對于古典概型，任何事件的概率為.
4.離散型隨機變量的分布列
（1）如果隨機試驗的結(jié)果可以用一個變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機變量，按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量.
（2）一般地，若離散型隨機變量X可能取的不同值為取每一個值的概率，則下表稱為隨機變量X的概率分布列，簡稱為X的分布列.
5.離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)
根據(jù)概率的性質(zhì)，離散型隨機變量的分布列具有如下性質(zhì)：
（1）；
（2）；
（3）.
6.常見的離散型隨機變量的概率分布模型
（1）兩點分布
若隨機變量X的分布列為
則稱X服從兩點分布.
（2）超幾何分布
一般地，在含有M件次品的N件產(chǎn)品中任取n件，其中恰有X件次品，則
，其中，且，稱分布列
為超幾何分布.
7.離散型隨機變量的均值與方差
若離散型隨機變量X的分布列為
（1）均值
稱為隨機變量X的均值或數(shù)學期望，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平.
（2）方差
稱為隨機變量X的方差，它刻畫了隨機變量X與其均值的平均偏離程度，并稱為隨機變量X的標準差，記為.
8.均值與方差的性質(zhì)
（1）.
（2）.
9.兩點分布的均值、方差
若X服從兩點分布，則.
10.條件概率及其性質(zhì)
（1）一般地，設(shè)A，B為兩個事件，且，稱為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率.
（2）條件概率的性質(zhì)：
（i）；
（ii）如果B和C是兩個互斥事件，則.
11.全概率公式
一般地，設(shè)是一組兩兩互斥的事件，，且，則對任意的事件，有，稱此公式為全概率公式.
12.相互獨立事件
（1）對于事件A、B，若A的發(fā)生與B的發(fā)生互不影響，則稱A、B是相互獨立事件.
（2）若A與B相互獨立，則，.
（3）若A與B相互獨立，則A與，與B，與也都相互獨立.
（4）若，則A與B相互獨立.
13.獨立重復(fù)試驗與二項分布
14.二項分布的均值與方差：若，則，.
15.正態(tài)曲線的定義
函數(shù)（其中實數(shù)和為參數(shù)）的圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡稱正態(tài)曲線.
16.正態(tài)曲線的特點
（1）曲線位于x軸上方且與x軸不相交；
（2）曲線是單峰的，它關(guān)于直線對稱；
（3）曲線在處達到峰值；
（4）曲線與x軸之間的面積為1；
（5）當一定時，曲線隨著的變化而沿x軸移動；
（6）當一定時，曲線的形狀由確定，越小，曲線越“瘦高”；越大，曲線越“矮胖”.
17.正態(tài)分布的定義及表示
如果對于任何實數(shù)，隨機變量X滿足，則稱X的分布為正態(tài)分布，記作.
18.簡單隨機抽樣
（1）定義：一般地，設(shè)一個總體含有N（N為正整數(shù)）個個體，從中逐個不放回地抽取n（）個個體作為樣本，如果每次抽取時各個個體被抽到的機會都相等，就把這種抽樣方法叫做簡單隨機抽樣.
（2）最常用的簡單隨機抽樣方法有兩種：隨機數(shù)法和抽簽法.
19.分層抽樣
（1）定義：一般地，在抽樣時，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨立地抽取一定數(shù)量的個體，將各層取出的個體合在一起作為樣本，這種抽樣方法是分層抽樣.
（2）應(yīng)用范圍：總體是由差異明顯的幾個部分組成的.
（3）分層抽樣的關(guān)鍵是根據(jù)樣本特征的差異進行分層，實質(zhì)是等比例抽樣，抽樣比 .
20.頻率分布表與頻率分布直方圖
頻率分布表與頻率分布直方圖的繪制步驟如下：
（1）求極差，即求一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差；
（2）決定組距與組數(shù)；
（3）將數(shù)據(jù)分組；
（4）列頻率分布表，落在各小組內(nèi)的數(shù)據(jù)的個數(shù)叫做頻數(shù)，每小組的頻數(shù)與樣本容量的比值叫做這一小組的頻率，計算各小組的頻率，列出頻率分布表；
（5）畫頻率分布直方圖，依據(jù)頻率分布表畫出頻率分布直方圖，其中縱坐標（小長方形的高）表示頻率與組距的比值，其相應(yīng)組距上的頻率等于該組上的小長方形的面積，即每個小長方形的面積.
各個小長方形面積的總和等于1.
21.頻率分布折線圖和總體密度曲線
（1）頻率分布折線圖：連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的中點，就得到頻率分布折線圖.
（2）總體密度曲線：隨著樣本容量的增加，作頻率分布直方圖時所分的組數(shù)增加，組距減小，相應(yīng)的頻率分布折線圖會越來越接近于一條光滑曲線，統(tǒng)計中稱這條光滑曲線為總體密度曲線.
22.用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征
方差和標準差反映了數(shù)據(jù)波動程度的大小.
方差：；
標準差：.
23.百分位數(shù)
（1）把100個樣本數(shù)據(jù)按從小到大排序，得到第p個和第p+1個數(shù)據(jù)分別為.可以發(fā)現(xiàn)，區(qū)間內(nèi)的任意一個數(shù)，都能把樣本數(shù)據(jù)分成符合要求的兩部分.一般地，我們?nèi)∵@兩個數(shù)的平均數(shù)，并稱此數(shù)為這組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)，或p%分位數(shù).
（2）一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個值，且至少有的數(shù)據(jù)大于或等于這個值.
（3）四分位數(shù)
常用的分位數(shù)有第25百分位數(shù)，第50百分位數(shù)（即中位數(shù)），第75百分位數(shù).這三個分位數(shù)把一組由小到大排列后的數(shù)據(jù)分成四等份，因此稱為四分位數(shù).其中第25百分位數(shù)也稱為第一四分位數(shù)或下四分位數(shù)等，第75百分位數(shù)也稱為第三四分位數(shù)或上四分位數(shù)等.
24.變量間的相關(guān)關(guān)系
（1）常見的兩變量之間的關(guān)系有兩類：一類是函數(shù)關(guān)系，另一類是相關(guān)關(guān)系.與函數(shù)關(guān)系不同，相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系.
（2）在散點圖中，點散布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，兩個變量的這種相關(guān)關(guān)系稱為正相關(guān)，點散布在從左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)，兩個變量的相關(guān)關(guān)系稱為負相關(guān).
25.兩個變量的線性相關(guān)
（1）從散點圖上看，如果這些點從整體上看大致分布在通過散點圖中心的一條直線附近，稱兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線.
（2）回歸直線方程
①最小二乘法：通過求的最小值而得到回歸直線的方法，即使得樣本數(shù)據(jù)的點到回歸直線的距離的平方和最小的方法叫做最小二乘法.
②回歸方程：方程是兩個具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)
的回歸方程，其中是待定參數(shù).
，其中稱為樣本點的中心.
（3）相關(guān)系數(shù)r
①；
②當時，表明兩個變量正相關(guān)；當時，表明兩個變量負相關(guān).
r的絕對值越接近于1，表明兩個變量的線性相關(guān)性越強；r的絕對值越接近于0，表明兩個變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系.當r的絕對值大于或等于0.75時，認為兩個變量有很強的線性相關(guān)關(guān)系.
（4）回歸分析是對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種常用方法.在線性回歸模型中，因變量y的值由自變量x和隨機誤差e共同確定，即自變量x只能解釋部分y的變化，在統(tǒng)計中，我們把自變量x稱為解釋變量，因變量y稱為預(yù)報變量.
26.分類變量：變量的不同“值”表示個體所屬的不同類別，像這樣的變量稱為分類變量.
27.列聯(lián)表：列出兩個分類變量的頻數(shù)表，稱為列聯(lián)表.假設(shè)有兩個分類變量X和Y，它們的可能取值分別為和，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表（稱為2×2列聯(lián)表）為：
可構(gòu)造一個隨機變量，其中為樣本容量.
28.獨立性檢驗
利用獨立性假設(shè)、隨機變量來確定是否有一定把握認為“兩個分類變量有關(guān)系”的方法稱為兩個分類變量的獨立性檢驗.
兩個分類變量X和Y是否有關(guān)系的判斷標準：
統(tǒng)計學研究表明：當時，認為X與Y無關(guān)；
當時，有95%的把握說X與Y有關(guān)；
當時，有99%的把握說X與Y有關(guān)；
當時，有99.9%的把握說X與Y有關(guān).
29.排列與排列數(shù)
（1）排列：從n個不同元素中取出個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.
（2）排列數(shù)：從n個不同元素中取出個元素的所有不同排列的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，記作.
30.組合與組合數(shù)
（1）組合：從n個不同元素中取出個元素組成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合.
（2）組合數(shù)：從n個不同元素中取出個元素的所有不同組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，記作.
31.二項式定理
公式叫做二項式定理.公式中右邊的多項式叫做的二項展開式，其中各項的系數(shù)叫做二項式系數(shù)，式中的叫做二項展開式的通項，用表示，即通項為展開式的第項.
32.二項式系數(shù)的性質(zhì)
（1）對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等，即.
（2）增減性與最大值：對于二項式系數(shù)，當時，二項式系數(shù)是遞增的；當時，二項式系數(shù)是遞減的.當n是偶數(shù)時，二項展開式的中間一項（第項）的二項式系數(shù)最大，即最大的二項式系數(shù)為.當n是奇數(shù)時，二項展開式的中間兩項（第項和第項）的二項式系數(shù)相等且最大，即最大的二項式系數(shù)為和.
（3）二項式系數(shù)的和：的展開式的各個二項式系數(shù)的和等于，即.二項展開式中，偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和，即.
【易錯題練習】
1.從2至8的7個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù)，則這2個數(shù)互質(zhì)的概率為( )
A.B.C.D.
2.已知的展開式中常數(shù)項為240，則的展開式中的系數(shù)為( )
A.10B.-8C.-6D.4
3.為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟情況，對該地農(nóng)戶家庭年收入進行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：
根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是( )
A.該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計為
B.該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計為
C.估計該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元
D.估計該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間
4.某班50名同學參加體能測試，經(jīng)統(tǒng)計成績c近似服從，若，則可估計該班體能測試成績低于85分的人數(shù)為( )
A.5B.10C.15D.30
5.某中學教師節(jié)活動分上午和下午兩場，且上午和下午的活動均為A，B，C，D，E這5個項目.現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁四位教師參加教師節(jié)活動，每位教師上午、下午各參加一個項目，每場活動中的每個項目只能有一位老師參加，且每位教師上午和下午參加的項目不同.已知丁必須參加上午的項目E，甲、乙、丙不能參加上午的項目A和下午的項目E，其余項目上午和下午都需要有人參加，則不同的安排方法種數(shù)為( )
A.20B.40C.66D.80
6.（多選）我國新冠肺炎疫情防控進入常態(tài)化，各地有序推動復(fù)工復(fù)產(chǎn).下面是某地連續(xù)11天的復(fù)工、復(fù)產(chǎn)指數(shù)折線圖.
根據(jù)該折線圖，( )
A.這11天復(fù)工指數(shù)和復(fù)產(chǎn)指數(shù)均逐日增加
B.在這11天期間，復(fù)產(chǎn)指數(shù)的增量大于復(fù)工指數(shù)的增量
C.第3天至第11天，復(fù)工指數(shù)和復(fù)產(chǎn)指數(shù)都超過
D.第9天至第11天，復(fù)產(chǎn)指數(shù)的增量大于復(fù)工指數(shù)的增量
7.（多選）甲箱中有3個紅球和2個白球，乙箱中有2個紅球和2個白球（兩箱中的球除顏色外沒有其他區(qū)別），先從甲箱中隨機取出一球放入乙箱，分別用事件和表示從甲箱中取出的球是紅球和白球；再從乙箱中隨機取出兩球，用事件B表示從乙箱中取出的兩球都是紅球，則( )
A.B.C.D.
8.某銀行規(guī)定，一張銀行卡若在一天內(nèi)出現(xiàn)3次密碼嘗試錯誤，該銀行卡將被鎖定，小王到銀行取錢時，發(fā)現(xiàn)自己忘記了銀行卡的密碼，但是可以確定該銀行卡的正確密碼是他常用的6個密碼之一，小王決定從中不重復(fù)地隨機選擇1個進行嘗試.若密碼正確，則結(jié)束嘗試；否則繼續(xù)嘗試，直至該銀行卡被鎖定.則小王至少嘗試兩次才能成功的概率是__________.
9.從一批含有13件正品，2件次品的產(chǎn)品中不放回地抽3次，每次抽取1件，設(shè)抽取的次品數(shù)為，則__________.
10.中國跳水隊有“跳水夢之隊”的稱號，在國際賽場上有絕對的優(yōu)勢，同時跳水運動也得到了廣泛推廣，獲得了越來越多人的喜愛.現(xiàn)有A，B，C，…，J共10位跳水運動愛好者自發(fā)組建了跳水訓練營，并邀請教練甲幫助訓練.教練訓練前對10位跳水員進行測試打分，得分情況如圖中虛線所示；集訓后再進行測試打分，10位跳水員得分情況如圖中實線所示.規(guī)定滿分為10分，記得分在8分以上的為“優(yōu)秀”.
（1）將上面的列聯(lián)表補充完整，并根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，判斷跳水員的優(yōu)秀情況與訓練是否有關(guān)，并說明原因.
（2）從這10人中任選3人，在這3人中恰有2人訓練后為“優(yōu)秀”的條件下，求這3人中恰有1人訓練前也為“優(yōu)秀”的概率.
（3）跳水員A將對“，和”這三種高度的跳水運動進行集訓，且在訓練中進行了多輪測試.規(guī)定：在每輪測試中，都會有這3種高度，且至少有2個高度的跳水測試達到“優(yōu)秀”，則該輪測試才記為“優(yōu)秀”.每輪測試中，跳水員A在每個高度中達到“優(yōu)秀”的概率均為，每個高度的跳水運動是否達到“優(yōu)秀”互不影響且每輪測試互不影響.如果跳水員A在集訓測試中想獲得“優(yōu)秀”的輪數(shù)平均值為3，那么理論上至少要進行多少輪測試？
附：，其中.
答案以及解析
1.答案：D
解析：從2至8的7個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù)，取法有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共21種，其中這2個數(shù)互質(zhì)的情況有，，，，，，，，，，，，，，共14種.所以這2個數(shù)互質(zhì)的概率.故選D.
2.答案：C
解析：因為的展開式的通項為，令，得，所以的展開式中常數(shù)項為，又，解得，所以的展開式中含的項為，故所求系數(shù)為-6.
3.答案：C
解析：由頻率分布直方圖知年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計為，故A正確；年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計為，故B正確；該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值約為，故C錯誤；年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間的農(nóng)戶比率約為，故D正確.故選C.
4.答案：B
解析：由c近似服從，可知正態(tài)分布曲線的對稱軸為，
則，
所以,
則可估計該班體能測試成績低于85分的人數(shù)為人，
故選：B.
5.答案：C
解析：因為丁必須參加上午的項目E，甲、乙、丙不能參加上午的項目A，所以上午甲、乙、丙參加B，C，D這3個項目，共有種不同的安排方法.
易知甲、乙、丙、丁四人下午參加的項目為A，B，C，D，
分2類：①丁參加項目A，共有2種不同的安排方法；
②丁參加B，C，D這3個項目中的1個，從甲、乙、丙中選1人參加項目A，剩下兩人參加剩下的2個項目，共有種不同安排方法.
綜上，共有種不同的安排方法.故選C.
6.答案：CD
解析：由題圖可知第8，9天復(fù)工指數(shù)和復(fù)產(chǎn)指數(shù)均減小，故A錯誤；第1天時復(fù)工指數(shù)小于復(fù)產(chǎn)指數(shù)，第11天時兩指數(shù)相等，故復(fù)產(chǎn)指數(shù)的增量小于復(fù)工指數(shù)的增量，故B錯誤；由題圖可知第3天至第11天，復(fù)工復(fù)產(chǎn)指數(shù)都超過，故C正確；第9天至第11天，復(fù)產(chǎn)指數(shù)的增量大于復(fù)工指數(shù)的增量，故D正確.
7.答案：ACD
解析：依題意可得，，，，所以，故A正確、B錯誤、C正確；
，故D正確.
8.答案：
解析：由題意得，小王嘗試三次才成功的概率為，小王嘗試三次也沒成功的概率為，所以小王至少嘗試兩次才能成功的概率為.
9.答案：4
解析：解法一：依題意知服從參數(shù)為15，2，3的超幾何分布，所以，所以.
解法二：依題意得，的可能取值為0，1，2，則，，，
所以，
所以.
10.答案：（1）列聯(lián)表見解析，跳水員的優(yōu)秀情況與訓練有關(guān)，此推斷犯錯誤的概率不超過0.01
（2）
（3）至少要進行12輪測試
解析：（1）零假設(shè)：跳水員的優(yōu)秀情況與訓練無關(guān).
列聯(lián)表為
.
故根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，零假設(shè)不成立，即跳水員的優(yōu)秀情況與訓練有關(guān)，此推斷犯錯誤的概率不超過0.01.
（2）由題圖可知訓練前后均不“優(yōu)秀”的有C，F(xiàn)共2人，訓練前后均“優(yōu)秀”的有D，G共2人，訓練前不“優(yōu)秀”而訓練后“優(yōu)秀”的有6人.
設(shè)“所選3人中恰有2人訓練后為‘優(yōu)秀’”，“所選3人中恰有1人訓練前為‘優(yōu)秀’”，
則，，
所以.
（3）設(shè)跳水員A每輪測試為“優(yōu)秀”的概率為p，
則.
設(shè)測試輪數(shù)為n，則“優(yōu)秀”的輪數(shù).
所以，即，
故至少要進行12輪測試.名稱
定義
符號表示
包含關(guān)系
若事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，這時稱事件B包含事件A（或事件A包含于事件B）
（或）
相等關(guān)系
如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即且，則稱事件A與事件B相等
A=B
并事件
（和事件）
事件A與事件B至少有一個發(fā)生，這樣的一個事件中的樣本點或者在事件A中，或者在事件B中，則稱這個事件為事件A與事件B的并事件（或和事件）
（或）
交事件
（積事件）
事件A與事件B同時發(fā)生，這樣的一個事件中的樣本點既在事件A中，也在事件B中，則稱這樣的一個事件為事件A與事件B的交事件（或積事件）
（或）
互斥事件
若為不可能事件，那么稱事件A與事件B互斥
對立事件
若為不可能事件，為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對立事件
且（U為全集）
X
…
…
P
…
…
X
0
1
P
p
X
0
1
…
m
P
…
X
…
…
P
…
…
獨立重復(fù)試驗
二項分布
定義
一般地，在相同條件下重復(fù)做的n次試驗稱為n次獨立重復(fù)試驗（也叫n重伯努利試驗）
一般地，在n次獨立重復(fù)試驗（n重伯努利試驗）中，設(shè)事件A發(fā)生的次數(shù)為X，在每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p，此時稱隨機變量X服從二項分布，記作
計算公式
用表示第i次試驗結(jié)果，則
在n次獨立重復(fù)試驗中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為
數(shù)字特征
樣本數(shù)據(jù)
頻率分布直方圖
眾數(shù)
出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)
取最高的小長方形底邊中點的橫坐標
中位數(shù)
將數(shù)據(jù)按大小依次排列，處在最中間位置的一個數(shù)據(jù)（或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)）
把頻率分布直方圖劃分為左右兩個面積相等的部分，分界線與x軸交點的橫坐標
平均數(shù)
樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)
每個小長方形的面積乘小長方形底邊中點的橫坐標之和
總計
a
b
c
d
總計
“優(yōu)秀”人數(shù)
“非優(yōu)秀”人數(shù)
合計
訓練前
訓練后
合計
0.05
0.01
0.005
0.001
3.841
6.635
7.879
10.828
“優(yōu)秀”人數(shù)
非“優(yōu)秀”人數(shù)
合計
訓練前
2
8
10
訓練后
8
2
10
合計
10
10
20

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