1.向量加法的法則：三角形法則和平行四邊形法則.
2.對于零向量與任意向量a，有.
3.向量加法的運(yùn)算律：
交換律：；
結(jié)合律：.
4.向量形式的三角不等式：，當(dāng)且僅當(dāng)方向相同時(shí)等號成立.
5.相反向量：
①定義：與a長度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，記作－a，并且規(guī)定，零向量的相反向量仍是零向量.
②性質(zhì)：零向量的相反向量仍是零向量；
和互為相反向量，于是；
若互為相反向量，則，，.
6.向量數(shù)乘的定義：規(guī)定實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作：，它的長度與方向規(guī)定如下：①；②當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相同；當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相反.當(dāng)或時(shí)，.
7.向量數(shù)乘的運(yùn)算律：設(shè)為任意實(shí)數(shù)，則有：
①；
②；
③.
特別地，有；.
8.向量的線性運(yùn)算：向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算，向量線性運(yùn)算的結(jié)果仍是向量.對于任意向量，以及任意實(shí)數(shù)，恒有.
9.向量共線（平行）定理：向量與共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使.
10.平面向量基本定理：如果是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實(shí)數(shù)，使.
11.基底：若不共線，則把叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底.
12.平面向量的正交分解：把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
13.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：
設(shè)向量，則有下表：
14.平面向量共線的坐標(biāo)表示
（1）設(shè)，其中共線的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使.
（2）如果用坐標(biāo)表示，向量共線的充要條件是.
15.向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量，如圖，是平面上的任意一點(diǎn)，作，則叫做向量與的夾角.記作.
當(dāng)時(shí)，向量同向；當(dāng)時(shí)，向量垂直，記作；當(dāng)時(shí)，向量反向.
16.平面向量數(shù)量積的定義：已知兩個(gè)非零向量與，它們的夾角為，把數(shù)量叫做向量與的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作，即.
17.投影向量：如圖，設(shè)是兩個(gè)非零向量，，過的起點(diǎn)和終點(diǎn)，分別作所在直線的垂線，垂足分別為，得到，這種變換稱為向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量.
18.向量數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)是非零向量，它們的夾角是是與方向相同的單位向量，則
（1）；
（2）；
（3）當(dāng)與同向時(shí)，；當(dāng)與反向時(shí)，，特別地，或；
（4）由可得，；
（5）
19.向量數(shù)量積的運(yùn)算律
（1）交換律：；
（2）數(shù)乘結(jié)合律：；
（3）分配律：.
20.平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示：設(shè)向量，則.
這就是說，兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和.
21.向量模的坐標(biāo)表示：
（1）若向量，則；
（2）若點(diǎn)，向量，則.
由此可知，向量的模的坐標(biāo)運(yùn)算的實(shí)質(zhì)是平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間的距離的運(yùn)算.
22.向量夾角的坐標(biāo)表示：設(shè)都是非零向量，，是與的夾角，則.
23.向量垂直的坐標(biāo)表示：設(shè)向量，則.
【易錯(cuò)題練習(xí)】
1.已知，，若，則( )
A.-1B.C.D.
2.在中，AD為BC邊上的中線，，則( )
A.B.
C.D.
3.向量，，，若，且，則的值為( )
A.2B.C.3D.
4.已知中，，，，點(diǎn)D在BC邊上，且，則線段AD的長度為( )
A.B.C.D.
5.已知向量a，b滿足，，且，則( )
A.B.C.D.1
6.已知，，.若P是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則的最大值為( )
A.13B.C.D.
7.（多選）已知向量，，，則( )
A.B.向量a，b的夾角為
C.D.a在b上的投影向量是
8.（多選）若正方形ABCD中，O為正方形ABCD所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，，則下列說法正確的是( )
A.可以是平面內(nèi)任意一個(gè)向量
B.若，則O在直線BD上
C.若，，則
D.若，則
9.設(shè)D為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，.若，則__________.
10.在中，已知，，，，邊上兩條中線AM，BN相交于點(diǎn)P，則的余弦值為__________.
答案以及解析
1.答案：B
解析：因?yàn)?，，且，所以，即，解?故選B.
2.答案：A
解析：如圖，因?yàn)椋?由已知可得，所以，
所以.故選A.
3.答案：C
解析：由題意，得，.
因?yàn)?，所以，解得?br>則，即解得故.故選C.
4.答案：D
解析：由題意得，因?yàn)?，，，所?br>，即線段AD的長度為.故選D.
5.答案：B
解析：由，得，所以.將的兩邊同時(shí)平方，得，即，解得，所以，故選B.
6.答案：B
解析：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
則，，，，
所以，即，
故，，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立.故選B.
7.答案：BD
解析：，，，
，，
，，故A錯(cuò)誤；
，
又，向量a，b的夾角為，故B正確；
，，故C錯(cuò)誤；
a在b上的投影向量為，故D正確.故選BD.
8.答案：ABD
解析：對于A，由題意，又，，以為基底的坐標(biāo)系中，根據(jù)平面向量基本定理易知可以是平面內(nèi)任意一個(gè)向量，故A正確；
對于B，由向量共線的推論知，若，則O在直線BD上，故B正確；
對于C，由題設(shè)，則，所以，故C錯(cuò)誤；
對于D，由，則，作E為BC的中點(diǎn)，連接OE，則，即，且，如圖所示，所以，故D正確.故選ABD.
9.答案：-3
解析：因?yàn)?，所以，即，又，所以，解?
10.答案：
解析：方法一：如圖，以A為原點(diǎn)，AC所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系.
由，，，得，，.由M，N分別為BC，AC的中點(diǎn)，得，，故，，
所以.
方法二：由已知得即為向量與的夾角.
因?yàn)镸，N分別是BC，AC邊上的中點(diǎn)，所以，.
又因?yàn)椋?br>所以
，
，
，
所以.三角形法則
如圖，已知非零向量a，b，在平面內(nèi)取任意一點(diǎn)A，作，，則向量叫做a與b的和，記作，即.
平行四邊形法則
已知兩個(gè)不共線向量a，b，作，，以，為鄰邊作，則對角線上的向量.
運(yùn)算
文字描述
符號表示
加法
兩個(gè)向量和的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和
減法
兩個(gè)向量差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的差
數(shù)乘
實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)
向量坐標(biāo)公式
一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)
已知，
則

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