知識(shí)講解
拋物線的定義
平面上一動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線：的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線
拋物線的圖形
數(shù)學(xué)表達(dá)式
標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)
設(shè)，由定義可知：，等式兩邊同時(shí)平方得：
拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)
通徑
通徑長：，半通徑長：
焦半徑（拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離）
焦點(diǎn)弦的性質(zhì)

考點(diǎn)一、拋物線的定義
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)，直線，若動(dòng)點(diǎn)到的距離等于，則點(diǎn)的軌跡是（ ）
A．橢圓B．雙曲線
C．拋物線D．直線
2．（2023·北京·高考）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上．若到直線的距離為5，則（ ）
A．7B．6C．5D．4
3．（2023·江西·校聯(lián)考三模）設(shè)圓與y軸交于A，B兩點(diǎn)（A在B的上方），過B作圓O的切線l，若動(dòng)點(diǎn)P到A的距離等于P到l的距離，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，則下列為真命題的是（ ）．
A．若，則點(diǎn)在圓上
B．若，則點(diǎn)在橢圓上
C．若，則點(diǎn)在雙曲線上
D．若，則點(diǎn)在拋物線上
5．（2023·江蘇常州·?？家荒＃ǘ噙x）已知定圓A的半徑為1，圓心A到定直線l的距離為d，動(dòng)圓C與圓A和直線l都相切，圓心C的軌跡為如圖所示的兩條拋物線，記這兩拋物線的焦點(diǎn)到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的距離分別為，，則（ ）
A．B．C．D．
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知?jiǎng)訄AM與直線y=2相切，且與定圓 外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為（ ）
A． B．C． D．
2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)，點(diǎn)B為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)B作直線的垂線l，且線段的中垂線與l交于點(diǎn)P．
(1)求點(diǎn)P的軌跡的方程；
(2)設(shè)與x軸交于點(diǎn)M，直線與交于點(diǎn)G（異于P），求四邊形面積的最小值．
3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知?jiǎng)狱c(diǎn)到定點(diǎn)的距離比到直線的距離小2，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程；
(2)設(shè)是軸上的點(diǎn)，曲線與直線交于，且的面積為，求點(diǎn)的坐標(biāo).
4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)，且與直線相切．
(1)求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；
(2)過點(diǎn)且斜率為的兩條直線分別交曲線于點(diǎn)，點(diǎn)分別是線段的中點(diǎn)，若，求點(diǎn)到直線的距離的最大值．
5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在直線上，過點(diǎn)M且垂直于x軸的直線與線段的垂直平分線交于點(diǎn)P，記點(diǎn)P的軌跡為曲線C．
(1)求曲線C的方程；
(2)已知圓的一條直徑為，延長分別交曲線C于兩點(diǎn)，求四邊形面積的最小值．
考點(diǎn)二、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程
1．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）拋物線的焦點(diǎn)到直線的距離為，則（ ）
A．1B．2C．D．4
2．（2023·四川成都·四川省成都列五中學(xué)?？既＃┤魭佄锞€上的點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離為8，到軸的距離為6，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·海南省直轄縣級(jí)單位·嘉積中學(xué)?？既＃ǘ噙x）設(shè)拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)，若，且，則拋物線的方程可以為（ ）
A．B．C．D．
1．（2023·遼寧遼陽·統(tǒng)考二模）已知拋物線的焦點(diǎn)為在拋物線上，且，則（ ）
A．2B．4C．8D．12
2．（2023·廣東梅州·統(tǒng)考三模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)，線段與拋物線相交于點(diǎn)，若拋物線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則拋物線的方程為（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)，過F的直線交C于M，N兩點(diǎn)．當(dāng)直線MD垂直于x軸時(shí)，．
(1)求C的方程；
(2)設(shè)直線與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A，B，記直線的傾斜角分別為．當(dāng)取得最大值時(shí)，求直線AB的方程．
考點(diǎn)三、拋物線的幾何性質(zhì)
1．（2023·天津和平·統(tǒng)考一模）拋物線的焦點(diǎn)為，其準(zhǔn)線與雙曲線的漸近線相交于兩點(diǎn)，若的周長為，則（ ）
A．2B．C．8D．4
2．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，與x軸平行的直線與l和拋物線C分別交于A，B兩點(diǎn)，且，則（ ）
A．2B．C．D．4
3．（2023·江蘇常州·江蘇省前黃高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知點(diǎn)是拋物線上的一點(diǎn)，，是拋物線的焦點(diǎn)，且，則的值為（ ）
A．1B．2C．D．
4．（2023·福建廈門·廈門一中?？寄M預(yù)測）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為上一點(diǎn)，為靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，若，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（ ）
A．2B．4C．6D．8
5．（2023·河北唐山·遷西縣第一中學(xué)?？级＃┮阎獟佄锞€，直線與C的一個(gè)交點(diǎn)為M，F(xiàn)為拋物線C的焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·湖南常德·常德市一中校考模擬預(yù)測）（多選）已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，其焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與拋物線交于點(diǎn)，，設(shè)直線，的斜率分別為，，則（ ）
A． B．
C．D．
7．（2023·湖北襄陽·襄陽四中?？寄M預(yù)測）（多選）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為C，過點(diǎn)C的直線l與拋物線E交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A和點(diǎn)C在點(diǎn)B的兩側(cè)），則下列命題正確的是（ ）
A．若BF為的中線，則
B．若BF為的角平分線，則
C．存在直線l，使得
D．對(duì)于任意直線l，都有
8．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，若，則 ．
1．（2023·甘肅隴南·統(tǒng)考一模）設(shè)為拋物線的焦點(diǎn)，為拋物線上一點(diǎn)，若，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 ．
2．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，A，B為C上兩點(diǎn)，且均在第一象限，過A，B作l的垂線，垂足分別為D，E.若，，則的外接圓面積為（ ）.
A．B．C．D．
3．（2023·河南濮陽·濮陽一高?？寄M預(yù)測）焦點(diǎn)為的拋物線上有一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則滿足的點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知拋物線，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，P為拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ垂直于拋物線的準(zhǔn)線，垂足為Q，若，則△PFQ的面積為（ ）
A．4B．C．D．
5．（2023·廣西南寧·南寧二中校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知拋物線C的焦點(diǎn)F在x軸的正半軸上，且焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，過點(diǎn)F且傾斜角為的直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，則（ ）．
A．B．5C．D．2
6．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)作直線與拋物線交于兩點(diǎn)且，則的值為（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·山東淄博·山東省淄博實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？既＃┮阎獟佄锞€的焦點(diǎn)為，直線與拋物線交于兩點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，過作軸的垂線交拋物線于點(diǎn)，則下列判斷不正確的是（ ）
A．若過點(diǎn)，則的準(zhǔn)線方程為B．若過點(diǎn)，則
C．若，則D．若，則點(diǎn)的坐標(biāo)為
8．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)校考模擬預(yù)測）（多選）已知點(diǎn)A是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為焦點(diǎn)，，且三點(diǎn)順時(shí)針排列，則（ ）
A．當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí)，
B．當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為
C．當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱時(shí)，
D．若，則點(diǎn)A與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱
考點(diǎn)四、拋物線中的最值問題
1．（2023·四川成都·校聯(lián)考二模）已知點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)，且點(diǎn)為拋物線上任意一點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．5B．6C．7D．8
2．（2023·廣東深圳·深圳中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知為拋物線的焦點(diǎn)，直線與交于，兩點(diǎn)，則的最小值是（ ）
A．10B．9C．8D．5
3．（2023·陜西商洛·統(tǒng)考一模）已知F為拋物線的焦點(diǎn)，P為該拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，則的最大值為（ ）
A．B．C．2D．
4．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知A，B是拋物線上兩個(gè)不同的點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，G為的重心．若，則的最小值為 ．
5．（2023·廣東深圳·深圳中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知點(diǎn)M為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為圓上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離與點(diǎn)M到點(diǎn)N的距離之和最小值為 ..
6．（2023·河南開封·開封高中校考模擬預(yù)測）已知拋物線，P為C上一點(diǎn)，，，當(dāng)最小時(shí)，點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為（ ）
A．B．C．D．8
7．（2023·山西朔州·懷仁市第一中學(xué)校?？级＃┮阎獟佄锞€的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A，B在拋物線上．若，則當(dāng)取得最大值時(shí)， ．
8．（2023·廣西南寧·南寧三中校考模擬預(yù)測）已知斜率為的直線過拋物線的焦點(diǎn)，且與該拋物線交于兩點(diǎn)，若為該拋物線上一點(diǎn)，為圓上一點(diǎn)，則的最小值為 .
9．（2023·河北·校聯(lián)考一模）（多選）拋物線的焦點(diǎn)為，為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)不在拋物線上，且滿足的最小值為，則的值可以為（ ）
A．B．3C．D．
1．（2023·江蘇無錫·校聯(lián)考三模）已如，是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)（異于頂點(diǎn)），過作圓的切線，切點(diǎn)為，則的最小值為 .
2．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知拋物線，其焦點(diǎn)為F，PQ是過點(diǎn)F的一條弦，定點(diǎn)A的坐標(biāo)是，當(dāng)取最小值時(shí)，則弦PQ的長是 .
3．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考二模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，為上的動(dòng)點(diǎn)，為圓上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)到軸的距離為，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為 .
5．（2023·江西南昌·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知拋物線，圓，P為E上一點(diǎn)，Q為C上一點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．2B．C．D．3
6．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知，是拋物線上兩個(gè)不同的點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，為的重心.若，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·浙江·校聯(lián)考二模）已知直線和直線，拋物線上一動(dòng)點(diǎn)到直線直線的距離之和的最小值是（ ）
A．2B．3C．D．
8．（2023·江西九江·統(tǒng)考一模）已知點(diǎn)分別是拋物線和圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離為，則的最小值為 ．
9．（2023·廣東茂名·統(tǒng)考二模）（多選）阿波羅尼奧斯是古希臘著名的數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德齊名，他的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡，幾乎使后人沒有插足的余地.其中給出了拋物線一條經(jīng)典的光學(xué)性質(zhì)：從焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過拋物線上的一點(diǎn)反射后，反射光線平行于拋物線的軸.此性質(zhì)可以解決線段和的最值問題，已知拋物線，是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，焦點(diǎn)，，下列說法正確的是（ ）

A．的方程為B．的方程為
C．的最小值為D．的最小值為
考點(diǎn)五、拋物線的簡單應(yīng)用
1．（2023·廣西玉林·統(tǒng)考二模）南宋晚期的龍泉窯粉青釉刻花斗笠盞如圖1所示，忽略杯盞的厚度，這只杯盞的軸截面如圖2所示，其中光滑的曲線是拋物線的一部分，已知杯盞盛滿茶水時(shí)茶水的深度為3cm，則該拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·湖北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）隨著科技的進(jìn)步，我國橋梁設(shè)計(jì)建設(shè)水平不斷提升，創(chuàng)造了多項(xiàng)世界第一，為經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展發(fā)揮了重要作用.下圖是某景區(qū)內(nèi)的一座拋物線拱形大橋，該橋拋物線拱形部分的橋面跨度為10米，拱形最高點(diǎn)與水面的距離為6米，為增加景區(qū)的夜晚景色，景區(qū)計(jì)劃在拱形橋的焦點(diǎn)處懸掛一閃光燈，則豎直懸掛的閃光燈距離水面的距離為（ ）（結(jié)果精確到0.01）
A．4.96B．5.06C．4.26D．3.68
3．（2023·江蘇南通·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖1所示，拋物面天線是指由拋物面（拋物線繞其對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)形成的曲面）反射器和位于焦點(diǎn)上的照射器（饋源，通常采用喇叭天線）組成的單反射面型天線，廣泛應(yīng)用于微波和衛(wèi)星通訊等領(lǐng)域，具有結(jié)構(gòu)簡單、方向性強(qiáng)、工作頻帶寬等特點(diǎn)．圖2是圖1的軸截面，A，B兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，∠AFB是饋源的方向角，記為，焦點(diǎn)F到頂點(diǎn)的距離f與口徑d的比值稱為拋物面天線的焦徑比，它直接影響天線的效率與信噪比等．如果某拋物面天線饋源的方向角滿足，，則其焦徑比為（ ）
A．B．C．D．
1．（2023·河南·襄城高中校聯(lián)考三模）清代青花瓷蓋碗是中國傳統(tǒng)茶文化的器物載體，具有“溫潤”“淡遠(yuǎn)”“清新”的特征．如圖，已知碗體和碗蓋的內(nèi)部均近似為拋物線形狀，碗蓋深為，碗蓋口直徑為，碗體口直徑為，碗體深，則蓋上碗蓋后，碗蓋內(nèi)部最高點(diǎn)到碗底的垂直距離為（碗和碗蓋的厚度忽略不計(jì)）（ ）

A．B．C．D．
2．（2023·海南省直轄縣級(jí)單位·校聯(lián)考二模）中國古代橋梁的建筑藝術(shù)，有不少是世界橋梁史上的創(chuàng)舉，充分顯示了中國勞動(dòng)人民的非凡智慧．一個(gè)拋物線型拱橋，當(dāng)水面離拱頂2m時(shí)，水面寬8m．若水面下降1m，則水面寬度為（ ）
A． mB． mC． mD．12 m
3．（2023·河北張家口·統(tǒng)考二模）探照燈?汽車前燈的反光曲面?手電筒的反光鏡面?太陽灶的鏡面等都是拋物鏡面.燈泡放在拋物線的焦點(diǎn)位置，通過鏡面反射就變成了平行光束，如圖所示，這就是探照燈?汽車前燈?手電筒的設(shè)計(jì)原理.已知某型號(hào)探照燈反射鏡的縱斷面是拋物線的一部分，光源位于拋物線的焦點(diǎn)處，燈口直徑是，燈深，則光源到反射鏡頂點(diǎn)的距離為（ ）
A．B．C．D．
【基礎(chǔ)過關(guān)】
一、單選題
1．（2023·湖南婁底·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知拋物線上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為4，則（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預(yù)測）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，若點(diǎn)在拋物線上，且，則（ ）
A．1B．2C．4D．8
3．（2023·廣東梅州·大埔縣虎山中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知是拋物線上一點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)，若，則的面積為（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·湖北十堰·統(tǒng)考二模）已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，拋物線C的準(zhǔn)線與坐標(biāo)軸相交于點(diǎn)P，點(diǎn)，且的面積為2，若Q是拋物線C上一點(diǎn)，則周長的最小值為（ ）．
A．B．C．D．
二、多選題
5．（2023·遼寧遼陽·統(tǒng)考一模）若拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離是它到直線的距離的8倍，則該拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離可以為（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·江蘇常州·?？级＃┤鐖D，已知拋物線，過拋物線焦點(diǎn)的直線自上而下，分別交拋物線與圓于四點(diǎn)，則（ ）
A．B．
C．D．
三、填空題
7．（2023·山東青島·統(tǒng)考三模）已知橢圓的長軸長為，它的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ．
8．（2023·福建泉州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與交于不同的兩點(diǎn)，.若，則 .
9．（2023·江蘇淮安·江蘇省鄭梁梅高級(jí)中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知拋物線的的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，，是的焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)，，則 .
10．（2023·河北衡水·河北衡水中學(xué)校考模擬預(yù)測）拋物線繞其頂點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)之后，得到的圖像正好對(duì)應(yīng)拋物線，則 .
【能力提升】
一、單選題
1．（2023·青海西寧·統(tǒng)考二模）已知點(diǎn)是拋物線上的一點(diǎn),點(diǎn)是圓上的一點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),則的最大值為( )
A．B．C．D．
2．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，動(dòng)點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)（與軸不垂直），過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，作交軸于點(diǎn)，若（），則實(shí)數(shù)的最大值為（ ）
A．3B．6C．9D．12
3．（2023·湖南長沙·長沙市明德中學(xué)?？既＃┮阎獟佄锞€的焦點(diǎn)為 ，準(zhǔn)線為，為上一點(diǎn)，，垂足為，與軸交點(diǎn)為，若，且的面積為，則的方程為（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B在拋物線上，且的重心坐標(biāo)為，則（ ）
A．B．6C．D．
5．（2023·重慶萬州·重慶市萬州第二高級(jí)中學(xué)校考三模）已知點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn)，，點(diǎn)M為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，點(diǎn)M恰好在以A，F(xiàn)為焦點(diǎn)的雙曲線C上，則雙曲線C的漸近線斜率的平方是（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·湖南岳陽·湖南省平江縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知拋物線，焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M是拋物線C上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)F作直線的垂線，垂足為P，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．3
7．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，直線l過焦點(diǎn)F與C交于A，B兩點(diǎn)，以為直徑的圓與y軸交于D，E兩點(diǎn)，且，則直線l的方程為（ ）
A．B．
C．D．
二、多選題
8．（2023·湖北黃岡·浠水縣第一中學(xué)?？既＃┮阎獟佄锞€C：的焦點(diǎn)為F，P，Q為C上兩點(diǎn)，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則的最小值為4
B．若，記，則
C．過點(diǎn)與C只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有且僅有兩條
D．以PQ為直徑的圓與C的準(zhǔn)線相切，則直線PQ過F
9．（2023·山東濟(jì)寧·嘉祥縣第一中學(xué)統(tǒng)考三模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過的直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，為線段中點(diǎn)，、、分別為、、在上的射影，且，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．的坐標(biāo)為B．
C．、、、四點(diǎn)共圓D．直線的方程為
10．（2023·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點(diǎn)為，定點(diǎn)和動(dòng)點(diǎn)，都在拋物線上，且（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為3，則下列說法正確的是（ ）
A．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
B．設(shè)點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程為
C．若（點(diǎn)在第一象限），則直線的傾斜角為
D．若弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)2，則弦長的最大值為7
三、填空題
11．（2023·廣西南寧·南寧二中?？寄M預(yù)測）已知點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線上運(yùn)動(dòng)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，連接PF并延長與圓交于點(diǎn)B，則的最小值是 .
12．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考三模）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯與歐幾里得、阿基米德齊名，他的著作《圓錐曲線論》是古代數(shù)學(xué)光輝的科學(xué)成果．他發(fā)現(xiàn)“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A，B的距離之比為定值（且）的點(diǎn)的軌跡是圓”，人們將這樣的圓稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓．在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，，Q為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q在直線上的射影為H，M為圓上的動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)P的軌跡是到A，B兩點(diǎn)的距離之比為的阿氏圓，則的最小值為 ．
【真題感知】
一、單選題
1．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)F為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在C上，點(diǎn)，若，則（ ）
A．2B．C．3D．
2．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）已知A為拋物線C:y2=2px（p>0）上一點(diǎn)，點(diǎn)A到C的焦點(diǎn)的距離為12，到y(tǒng)軸的距離為9，則p=（ ）
A．2B．3C．6D．9
3．（2020·北京·統(tǒng)考高考真題）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為，焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為．是拋物線上異于的一點(diǎn)，過作于，則線段的垂直平分線（ ）．
A．經(jīng)過點(diǎn)B．經(jīng)過點(diǎn)
C．平行于直線D．垂直于直線
二、多選題
4．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，過點(diǎn)的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，則（ ）
A．C的準(zhǔn)線為B．直線AB與C相切
C．D．
5．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過拋物線焦點(diǎn)F的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，其中A在第一象限，點(diǎn)，若，則（ ）
A．直線的斜率為B．
C．D．
6．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線過拋物線的焦點(diǎn)，且與C交于M，N兩點(diǎn)，l為C的準(zhǔn)線，則（ ）．
A．B．
C．以MN為直徑的圓與l相切D．為等腰三角形
三、填空題
7．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知點(diǎn)在拋物線C：上，則A到C的準(zhǔn)線的距離為 .
8．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線：()的焦點(diǎn)為，為上一點(diǎn)，與軸垂直，為軸上一點(diǎn)，且，若，則的準(zhǔn)線方程為 .
四、雙空題
9．（2021·北京·統(tǒng)考高考真題）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，垂直軸與于點(diǎn).若，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 ； 的面積為 ．
五、解答題
10．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知拋物線的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為2．
（1）求C的方程;
（2）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，點(diǎn)Q滿足，求直線斜率的最大值.
11．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓C1：(a>b>0)的右焦點(diǎn)F與拋物線C2的焦點(diǎn)重合，C1的中心與C2的頂點(diǎn)重合．過F且與x軸垂直的直線交C1于A，B兩點(diǎn)，交C2于C，D兩點(diǎn)，且|CD|=|AB|．
（1）求C1的離心率；
（2）若C1的四個(gè)頂點(diǎn)到C2的準(zhǔn)線距離之和為12，求C1與C2的標(biāo)準(zhǔn)方程．
不妨設(shè)在第一象限，因?yàn)闄E圓的方程為：，
所以當(dāng)時(shí)，有，因此的縱坐標(biāo)分別為，；
又因?yàn)閽佄锞€的方程為，所以當(dāng)時(shí)，有，
所以的縱坐標(biāo)分別為，，故，.
由得，即，解得（舍去），.
所以的離心率為.
（2）由（1）知，，故，所以的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，，的準(zhǔn)線為.
由已知得，即.
所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為，的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
【點(diǎn)睛】本題考查了求橢圓的離心率，考查了求橢圓和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)以及拋物線的準(zhǔn)線方程，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.
12．（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的頂點(diǎn)分別為，，，，其中點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，如圖所示.
（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若過點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，且，求直線的方程.
13．（2021·全國·高考真題）拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O．焦點(diǎn)在x軸上，直線l：交C于P，Q兩點(diǎn)，且．已知點(diǎn)，且與l相切．
（1）求C，的方程；
（2）設(shè)是C上的三個(gè)點(diǎn)，直線，均與相切．判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由．
焦點(diǎn)位置
軸正半軸
軸負(fù)半軸
軸正半軸
軸負(fù)半軸
圖形
標(biāo)準(zhǔn)方程
焦點(diǎn)坐標(biāo)
準(zhǔn)線方程

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