知識講解
橢圓的斜率式焦點弦長公式
(1)為橢圓的左、右焦點，過(或)斜率為的直線與橢圓交于兩點，則
(2)為橢圓的下、上焦點，過(或斜率為的直線與橢圓交于兩點，則
雙曲線的斜率式焦點弦長公式
(1)為雙曲線的左、右焦點，過斜率為的直線與雙曲線交于兩點，則
(1)在同支弦，
(2)在異支弦，
綜合(1)(2)可統(tǒng)一為:
(2)為雙曲線的上、下焦點，過斜率為的直線與雙曲線交于兩點，則
(1)在同支弦，
(2)在異支弦，
綜合(1)(2)可統(tǒng)一為:
橢圓的傾斜角式焦點弦長公式
(1)為橢圓的左、右焦點，過傾斜角為的直線與橢圓交于兩點，則
其中，焦準(zhǔn)距（焦點到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離）為
(2)為橢圓的上、下焦點，過傾斜角為的直線與橢圓交于兩點，則
其中，焦準(zhǔn)距（焦點到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離）為
特殊情形，對于焦點在軸上的橢圓，當(dāng)傾斜角為時，即為橢圓的通徑，通徑長.
雙曲線的傾斜角式焦點弦長公式
(1)為雙曲線的左、右焦點，過傾斜角為的直線與雙曲線交于兩點，則
其中，焦準(zhǔn)距(焦點到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離)為
(2)為雙曲線的上、下焦點，過傾斜角為的直線與雙曲線交于兩點，則
其中，焦準(zhǔn)距(焦點到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離)為
特殊情形，對于焦點在軸上的雙曲線，當(dāng)傾斜角為時，即為橢圓的通徑，通徑長.
拋物線的的傾斜角式焦點弦長公式
(1) 焦點在 軸上,
(2) 焦點在 軸上,
橢圓的角度式焦半徑公式
設(shè)是橢圓上任意一點，為它的一個焦點，，則
注:上述公式定義為圓錐曲線上的點,為焦點
雙曲線的角度式焦半徑公式
設(shè) 是雙曲線 上任意一點， 為它的一個焦點， ，則
式中“ 的記憶規(guī)律: 同正異負(fù).即當(dāng) 與 位于 軸的同側(cè)時取正，否則取負(fù).
取 ，無需討論焦點位置
拋物線的角度式焦半徑公式
已知 是拋物線 上任意一點， 為它的一個焦點， ，則
定比分點的定義
若 , 則稱點 為線段 的定比分點, 為點 分 的比.
一般地, 設(shè)點 , 且 , 則點 的坐標(biāo)為 .
考點一、橢圓、雙曲線、拋物線的通徑問題
1．（2023秋·四川內(nèi)江·高三期末）橢圓的焦點為、，點在橢圓上且軸，則到直線的距離為（ ）
A．B．3C．D．
2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）過雙曲線的一個焦點且與雙曲線的實軸垂直的弦叫做雙曲線的通徑，則雙曲線的通徑長是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022秋·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知點到拋物線的準(zhǔn)線的距離為4，那么拋物線的通徑（過焦點并垂直于軸的弦）長是（ ）
A．8B．8或24C．12D．12或24
4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點分別是、，點在橢圓上.若、、是一個直角三角形的三個頂點，則點到軸的距離為（ ）
A．B．C．D．或
1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）拋物線的通徑（過拋物線的焦點且與其對稱軸垂直的弦）的長為 ．
2．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知拋物線C：x2＝2py的焦點為F，過F且垂直于y軸的直線與C相交于A，B兩點，若△AOB(O為坐標(biāo)原點)的面積為18，則p＝ ．
3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線的焦點為F，過F的直線l交拋物線C于AB兩點，且，則p的值為 ．
4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）過橢圓的焦點的弦中最短弦長是（ ）
A．B．C．D．
考點二、橢圓中的焦點弦及焦半徑問題
1．（2023·湖北武漢·華中師大一附中?？寄M預(yù)測）已知橢圓的左焦點為，離心率為．傾斜角為的直線與交于兩點，并且滿足，則的離心率為（ ）
A．B．C．D．
2．（2023秋·浙江·高三校聯(lián)考期末）已知為坐標(biāo)原點，橢圓的左、右焦點分別為、，為第一象限內(nèi)上一點．若，則直線的斜率為（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全國·高三對口高考）已知、分別是橢圓的左、右焦點，過的直線交橢圓于A、B兩點，若，則 ．
4．（2023·全國·高三對口高考）如圖，把橢圓的長軸分成等份，過每個分點作軸的垂線交橢圓的上半部分于七個點，是橢圓的一個焦點，則___
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，分別是橢圓的左、右焦點，過點的直線交橢圓E于A，B兩點．若，軸，則橢圓E的方程為 ．
2．（2022秋·四川樂山·高三期末）設(shè)、分別為橢圓：的左、右兩個焦點，過作斜率為1的直線，交于、兩點，則
3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點分別為、，上頂點為，且，若第一象限的點、在上，，，，則直線的斜率為 .
4．（2022秋·上海普陀·高三曹楊二中?？茧A段練習(xí)）已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓的左，右焦點，點A，B是橢圓C上異于長軸端點的兩點，且滿足，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A．△ABF2的周長為定值B．AB的長度最小值為2
C．若AB⊥AF2，則D．λ的取值范圍是
考點三、雙曲線中的焦點弦及焦半徑問題
1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）過雙曲線的右焦點作傾斜角為直線，交雙曲線于兩點，求弦長．
2．（2021·全國·高三專題練習(xí)）分別是雙曲線的左、右焦點，過的直線分別交該雙曲線的左、右兩支于A、B兩點，若，則（ ）
A．2B．C．4D．
3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的左?右焦點分別為，，一條漸近線方程為，過雙曲線C的右焦點作傾斜角為的直線交雙曲線的右支于A，B兩點，若的周長為36，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A．B．C．D．
4．（2023春·重慶沙坪壩·高三重慶八中?？茧A段練習(xí)）（多選）在平面直角坐標(biāo)系中，已知，過點可作直線與曲線交于，兩點，使，則曲線可以是（ ）
A．B．
C．D．
1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，為雙曲線的左、右焦點，以，為直徑的圓與雙曲線在第一象限的交點為，，，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ．
2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若分別是雙曲線的左、右焦點，是雙曲線左支上過點的弦，且，的周長是20，則m= ．
3．（2023秋·江西·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）（多選）已知、是雙曲線的左、右焦點，以為圓心，為半徑的圓與的一條漸近線切于點，過的直線與交于、兩個不同的點，若的離心率，則（ ）
A．
B．的最小值為
C．若，則
D．若、同在的左支上，則直線的斜率
考點四、拋物線中的焦點弦及焦半徑問題
1．（全國·高考真題）已知直線與拋物線相交于A、B兩點，F(xiàn)為C的焦點，若,則k=
A．B．C．D．
2．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）（多選）設(shè)O為坐標(biāo)原點，直線過拋物線的焦點，且與C交于M，N兩點，l為C的準(zhǔn)線，則（ ）．
A．B．
C．以MN為直徑的圓與l相切D．為等腰三角形
3．（山東·統(tǒng)考高考真題）斜率為的直線過拋物線C：y2=4x的焦點，且與C交于A，B兩點，則= ．
4．（重慶·高考真題）過拋物線的焦點作直線交拋物線于兩點，若則= ．
5．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測）（多選）如圖，已知拋物線，過拋物線焦點的直線自上而下，分別交拋物線與圓于四點，則（ ）．
A．B．
C．D．
1．（2023·湖南郴州·安仁縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）經(jīng)過拋物線的焦點，作斜率為的直線與拋物線交于兩點，若，則（ ）
A．B．或3C．或2D．3
2．（2023·陜西商洛·鎮(zhèn)安中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知拋物線的焦點為，過點的直線與拋物線及其準(zhǔn)線分別交于兩點，，則直線的斜率為（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·云南昭通·校聯(lián)考模擬預(yù)測）（多選）已知A，B是拋物線：上兩動點，為拋物線的焦點，則（ ）
A．直線AB過焦點F時，最小值為4
B．直線AB過焦點F且傾斜角為時，
C．若AB中點M的橫坐標(biāo)為2，則最大值為5
D．
4．（2023·北京·人大附中校考三模）已知拋物線的焦點為F，過點F的直線與該拋物線交于A，B兩點，，AB的中點橫坐標(biāo)為4，則 ．
5．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考二模）已知拋物線與圓，過圓心的直線與拋物線和圓分別交于，，，，其中，在第一象限，，在第四象限，則最小值是 .
考點五、定比分點問題
1 已知過定點 的直線與橢圓 交于兩個不同的點 , 且滿足 , 求 的取值范圍.
解: 設(shè)點 , 則由 知點 ,
又已知點 , 所以 (1).
由點 在脒圓上得 ,
兩式作差得 .
于是, 將(1) 代入 (2) 化簡得 .
由 可得 ,
解得 .
1．（浙江·高考真題）已知點P(0，1)，橢圓 (m>1)上兩點A，B滿足，則當(dāng)m= 時，點B橫坐標(biāo)的絕對值最大．
【能力提升】
一、單選題
1．（2023秋·高三課時練習(xí)）拋物線的通徑長為（ ）
A．8B．4C．D．
2．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點為，則過點且斜率為的直線截拋物線所得弦長為（ ）
A．B．C．D．
3．（2023秋·陜西西安·高三長安一中校考期末）設(shè)經(jīng)過點的直線與拋物線相交于，兩點，若線段中點的橫坐標(biāo)為，則（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）過橢圓的左焦點作直線和橢圓交于A、B兩點，且，則這樣直線的條數(shù)為（ ）
A．0B．1C．2D．3
5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)為雙曲線：上的點，，分別是雙曲線的左，右焦點，，則的面積為（ ）
A．B．C．30D．15
6．（2023秋·高三課時練習(xí)）已知拋物線的焦點為，若直線與交于，兩點，且，則（ ）
A．4B．5C．6D．7
7．（2023春·山西呂梁·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知拋物線 直線與交于，兩點，直線 與交于，兩點，則||+2||的最小值為（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知為拋物線的焦點，過的直線交拋物線于兩點，若，則（ ）
A．1B．C．3D．4
9．（2023·湖南郴州·安仁縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）經(jīng)過拋物線的焦點，作斜率為的直線與拋物線交于兩點，若，則（ ）
A．B．或3C．或2D．3
10．（2023·湖南長沙·雅禮中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知拋物線：的焦點為F，過F且斜率大于零的直線l與及拋物線：的所有公共點從右到左分別為點A，B，C，則（ ）
A．4B．6C．8D．10
11．（2021·全國·模擬預(yù)測）如圖，橢圓的左?右焦點分別為，，過點，分別作弦，.若，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
12．（2023·陜西·校聯(lián)考三模）已知定點，直線：與拋物線交于兩點A，B，若，則( )
A．4B．6C．8D．10
13．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知斜率不為0的直線過橢圓的左焦點且交橢圓于，兩點，軸上的點滿足，則的取值范圍為（ ）
A．，B．，C．，D．，
二、多選題
14．（2022秋·河北衡水·高三?？茧A段練習(xí)）已知拋物線的焦點為，過點的直線與拋物線相交于兩點，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則的最小值為5
C．以線段為直徑的圓與直線相切
D．若，則直線的斜率為
15．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓的左，右焦點，點A，B是橢圓C上異于長軸端點的兩點，且滿足，則（ ）
A．△ABF2的周長為定值B．AB的長度最小值為1
C．若AB⊥AF2，則λ=3D．λ的取值范圍是[1，5]
三、填空題
16．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓C的離心率，左右焦點分別為，P為橢圓C上一動點，則的取值范圍為 .
17．（2022秋·四川樂山·高三期末）設(shè)、分別為橢圓：的左、右兩個焦點，過作斜率為1的直線，交于、兩點，則
18．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點分別為、，上頂點為，且，若第一象限的點、在上，，，，則直線的斜率為 .
19．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，分別為雙曲線的左、右焦點，點，點的坐標(biāo)為，為的角平分線，則
20．（2021·全國·高三專題練習(xí)）已知，為雙曲線的左、右焦點，以，為直徑的圓與雙曲線在第一象限的交點為，，，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ．

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