知識講解
1．數(shù)列的有關(guān)概念
2.數(shù)列的分類
數(shù)列的表示方法
4．若數(shù)列{an}的前n項和為Sn，通項公式為an，則an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))
（1）已知Sn求an的三個步驟
(1)先利用a1＝S1求出a1.
(2)用n－1替換Sn中的n得到一個新的關(guān)系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出當n≥2時an的表達式．
(3)注意檢驗n＝1時的表達式是否可以與n≥2的表達式合并．
（2）Sn與an關(guān)系問題的求解思路
根據(jù)所求結(jié)果的不同要求，將問題向兩個不同的方向轉(zhuǎn)化．
(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含Sn，Sn－1的關(guān)系式，再求解．
(2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含an，an－1的關(guān)系式，再求解．
5．在數(shù)列{an}中，若an最大，則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an≥an－1，,an≥an＋1.))若an最小，則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an≤an－1，,an≤an＋1.))
6. 根據(jù)形如an＋1＝an＋f(n)(f(n)是可以求和的)的遞推公式求通項公式時，常用累加法求出an－a1與n的關(guān)系式，進而得到an的通項公式．
7. 根據(jù)形如an＋1＝an·f(n)(f(n)是可以求積的)的遞推公式求通項公式時，常用累乘法求出eq \f(an,a1)與n的關(guān)系式，進而得到an的通項公式．
8.形如an＋1＝eq \f(pan,qan＋r)(p，q，r是常數(shù))的數(shù)列，將其變形為eq \f(1,an＋1)＝eq \f(r,p)·eq \f(1,an)＋eq \f(q,p).若p＝r，則eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))是等差數(shù)列，且公差為eq \f(q,p)，即可用公式求通項．
9.根據(jù)形如an＋1＝pan＋q的遞推關(guān)系式求通項公式時，一般先構(gòu)造公比為p的等比數(shù)列{an＋x}，即將原遞推關(guān)系式化為an＋1＋x＝p(an＋x)的形式，再求出數(shù)列{an＋x}的通項公式，最后求{an}的通項公式．
10. 數(shù)列的周期性
對于無窮數(shù)列,如果存在一個正整數(shù),對于任意正整數(shù)恒有成立,則稱是周期為的周期數(shù)列.的最小值稱為最小正周期,簡稱周期.
考點一、數(shù)列周期性的應用
1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知等差數(shù)列的公差為，集合，若，則（ ）
A．－1B．C．0D．
【答案】B
【分析】根據(jù)給定的等差數(shù)列，寫出通項公式，再結(jié)合余弦型函數(shù)的周期及集合只有兩個元素分析、推理作答.
【詳解】依題意，等差數(shù)列中，，
顯然函數(shù)的周期為3，而，即最多3個不同取值，又，
則在中，或，
于是有，即有，解得，
所以，.
故選：B
2．（湖南·高考真題）已知數(shù)列滿足， ，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】計算出的前四項的值，可得出，由此可求得的值.
【詳解】因為數(shù)列滿足，，，
，，，
由上可知，對任意的，，.
故選：B.
1．（2023·安徽合肥·合肥一六八中學?？寄M預測）在數(shù)列中，已知，當時，是的個位數(shù)，則（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【分析】由題意，列出數(shù)列的前若干項，分析出數(shù)列變化規(guī)律，進而得出答案.
【詳解】因為，當時，是的個位數(shù)，
所以，，，，，，，，，，
可知數(shù)列中，從第3項開始有，
即當時，的值以6為周期呈周期性變化，
又，
故.
故選：C.
2．（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預測）已知數(shù)列滿足，，為數(shù)列的前n項和，則 .
【答案】
【分析】利用已知條件變形得出數(shù)列的遞推公式，利用遞推公式找出周期，利用周期計算即可.
【詳解】由可知，，
所以，
由，可得，，，，，，
所以是周期為的周期數(shù)列，
且，
所以，
故答案為：.
3．（2023·湖南長沙·長沙市實驗中學?？既＃┤魯?shù)列中，，，且（），記數(shù)列的前n項積為，則的值為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)數(shù)列的周期性，即可求解.
【詳解】因為，，且，所以，
則，，，，，，
發(fā)現(xiàn)數(shù)列是以6為周期的數(shù)列，且前6項積為1，
則，，
所以.
故答案為：.
考點二、數(shù)列單調(diào)性的應用
1．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）等比數(shù)列的公比為q，前n項和為，設甲：，乙：是遞增數(shù)列，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件
B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件
D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
【答案】B
【分析】當時，通過舉反例說明甲不是乙的充分條件；當是遞增數(shù)列時，必有成立即可說明成立，則甲是乙的必要條件，即可選出答案．
【詳解】由題，當數(shù)列為時，滿足，
但是不是遞增數(shù)列，所以甲不是乙的充分條件．
若是遞增數(shù)列，則必有成立，若不成立，則會出現(xiàn)一正一負的情況，是矛盾的，則成立，所以甲是乙的必要條件．
故選：B．
【點睛】在不成立的情況下，我們可以通過舉反例說明，但是在成立的情況下，我們必須要給予其證明過程．
2．（遼寧·高考真題）已知數(shù)列滿足則的最小值為__________.
【答案】
【分析】先利用累加法求出an＝33+n2﹣n，所以，設f（n），由此能導出n＝5或6時f（n）有最小值．借此能得到的最小值．
【詳解】解：∵an+1﹣an＝2n，∴當n≥2時，an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1＝2[1+2+…+（n﹣1）]+33＝n2﹣n+33
且對n＝1也適合，所以an＝n2﹣n+33．
從而
設f（n），令f′（n），
則f（n）在上是單調(diào)遞增，在上是遞減的，
因為n∈N+，所以當n＝5或6時f（n）有最小值．
又因為，，
所以的最小值為
故答案為
【點睛】本題考查了利用遞推公式求數(shù)列的通項公式，考查了累加法．還考查函數(shù)的思想，構(gòu)造函數(shù)利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性．
3．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）嫦娥二號衛(wèi)星在完成探月任務后，繼續(xù)進行深空探測，成為我國第一顆環(huán)繞太陽飛行的人造行星，為研究嫦娥二號繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列：，，，…，依此類推，其中．則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)，再利用數(shù)列與的關(guān)系判斷中各項的大小，即可求解.
【詳解】[方法一]:常規(guī)解法
因為，
所以，，得到，
同理，可得，
又因為，
故，；
以此類推，可得，，故A錯誤；
，故B錯誤；
，得，故C錯誤；
，得，故D正確.
[方法二]：特值法
不妨設則
故D正確.
1．（2023·北京密云·統(tǒng)考三模）設數(shù)列的前n項和為，則“對任意，”是“數(shù)列為遞增數(shù)列”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不是充分也不是必要條件
【答案】A
【分析】根據(jù)題意，分別判斷充分性和必要性是否成立即可.
【詳解】數(shù)列中，對任意，，
則，
所以數(shù)列為遞增數(shù)列，充分性成立；
當數(shù)列為遞增數(shù)列時，，
即，所以，，
如數(shù)列不滿足題意，必要性不成立；
所以“對任意，”是“數(shù)列為遞增數(shù)列”的充分不必要條件.
故選：A
2．（2023·重慶巴南·統(tǒng)考一模）若數(shù)列的前項積，則的最大值與最小值的和為（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】C
【分析】由題可得，利用數(shù)列的增減性可得最值.
【詳解】∵數(shù)列的前項積，
當時，，
當時，，
，
時也適合上式，
∴，
∴當時，數(shù)列單調(diào)遞減，且，
當時，數(shù)列單調(diào)遞減，且，
故的最大值為，最小值為，
∴的最大值與最小值之和為2.
故選：C.
3．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預測）已知等差數(shù)列的公差為，前項和記為，滿足，若數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，則公差的取值范圍為 .
【答案】
【分析】根據(jù)給定條件，確定恒成立，再分析判斷，結(jié)合已知等式求解作答.
【詳解】因為數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，則當時，，
而等差數(shù)列的公差，若，由知，數(shù)列單調(diào)遞減，
存在正整數(shù)，當時，，與數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列矛盾，
因此，由，得，即，解得，則，
所以公差的取值范圍為.
故答案為：
考點三、用與關(guān)系求通項或項
1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）設為數(shù)列的前n項和，已知．
(1)求的通項公式；
(2)求數(shù)列的前n項和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)即可求出；
（2）根據(jù)錯位相減法即可解出．
【詳解】（1）因為，
當時，，即；
當時，，即，
當時，，所以，
化簡得：，當時，，即，
當時都滿足上式，所以．
（2）因為，所以，
，
兩式相減得，
，
，即，．
2．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）記為數(shù)列的前n項和．已知．
(1)證明：是等差數(shù)列；
(2)若成等比數(shù)列，求的最小值．
【答案】(1)證明見解析；
(2)．
【分析】（1）依題意可得，根據(jù)，作差即可得到，從而得證；
（2）法一：由（1）及等比中項的性質(zhì)求出，即可得到的通項公式與前項和，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計算可得．
【詳解】（1）因為，即①，
當時，②，
①②得，，
即，
即，所以，且，
所以是以為公差的等差數(shù)列．
（2）[方法一]：二次函數(shù)的性質(zhì)
由（1）可得，，，
又，，成等比數(shù)列，所以，
即，解得，
所以，所以，
所以，當或時，．
[方法二]：【最優(yōu)解】鄰項變號法
由（1）可得，，，
又，，成等比數(shù)列，所以，
即，解得，
所以，即有.
則當或時，．
【整體點評】（2）法一：根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出的最小值，適用于可以求出的表達式；
法二：根據(jù)鄰項變號法求最值，計算量小，是該題的最優(yōu)解．
3．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）記為數(shù)列的前n項和，為數(shù)列的前n項積，已知．
（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列;
（2）求的通項公式．
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【分析】（1）由已知得,且，取,得,由題意得,消積得到項的遞推關(guān)系,進而證明數(shù)列是等差數(shù)列;
（2）由（1）可得的表達式,由此得到的表達式,然后利用和與項的關(guān)系求得.
【詳解】（1）[方法一]：
由已知得,且，,
取,由得,
由于為數(shù)列的前n項積，
所以,
所以，
所以,
由于
所以，即,其中
所以數(shù)列是以為首項，以為公差等差數(shù)列;
[方法二]【最優(yōu)解】：
由已知條件知 ①
于是． ②
由①②得． ③
又， ④
由③④得．
令，由，得．
所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列．
[方法三]：
由，得，且，，．
又因為，所以，所以．
在中，當時，．
故數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列．
[方法四]：數(shù)學歸納法
由已知，得，，，，猜想數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，且．
下面用數(shù)學歸納法證明．
當時顯然成立．
假設當時成立，即．
那么當時，．
綜上，猜想對任意的都成立．
即數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列．
（2）
由（1）可得，數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，
,
,
當n=1時，,
當n≥2時,,顯然對于n=1不成立,
∴.
【整體點評】（1）方法一從得，然后利用的定義，得到數(shù)列的遞推關(guān)系，進而替換相除消項得到相鄰兩項的關(guān)系，從而證得結(jié)論；
方法二先從的定義，替換相除得到，再結(jié)合得到，從而證得結(jié)論，為最優(yōu)解；
方法三由，得，由的定義得，進而作差證得結(jié)論；方法四利用歸納猜想得到數(shù)列，然后利用數(shù)學歸納法證得結(jié)論．
（2）由（1）的結(jié)論得到，求得的表達式,然后利用和與項的關(guān)系求得的通項公式；
4．（2023·福建莆田·統(tǒng)考二模）已知正項數(shù)列滿足．
(1)求的通項公式；
(2)設，記數(shù)列的前n項和為，證明：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）分類討論與兩種情況，利用數(shù)列遞推式的性質(zhì)，結(jié)合作差法即可求得；
（2）結(jié)合（1）中結(jié)論，利用錯位相減法求得，由此得證.
【詳解】（1）因為，
當時，，
因為，所以，
當時，，
兩式相減得，，
因為，所以，
經(jīng)檢驗，上式對于也適合，
所以的通項公式為.
（2）由（1）得，
所以，
，
兩式相減得，
所以，
由于，顯然，所以.
1．（2023·江蘇徐州·?？寄M預測）已知數(shù)列的前項和為，且，．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)集合，將集合的所有非空子集中最小的元素相加，其和記為，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接利用數(shù)列的遞推關(guān)系求出數(shù)列的通項公式；
（2）利用（1）的結(jié)論和乘公比錯位相減法求出數(shù)列的和．
【詳解】（1）當時，，則，且；
當時，，，兩式相減得，
∴（），
∴當時，，即，
則，∴．
綜上，對任意都成立．
（2），集合的非空子集有個，
其中最小元素為1的集合中，含1個元素的集合有1個，含2個元素的集合有個，
含3個元素的集合有個，……，含個元素的集合有個，
所以最小元素為1的子集個數(shù)為個，
同理，最小元素為2的子集個數(shù)為個，
……，最小元素為的子集個數(shù)為1個，
∴，
，
∴，則．
2．（2023·海南?？凇ずＤ先A僑中學?？家荒＃┮阎黜椌鶠檎龜?shù)的數(shù)列滿足，其中是數(shù)列的前n項和.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若對任意，且當時，總有恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）由與的關(guān)系式即可證得數(shù)列是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，即可求出數(shù)列的通項公式；
（2）由等差數(shù)列的前n項和公式求出，再由裂項相消法可證明，即可求出實數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1）∵，∴
當時，，解得.
當時，，
即，
∵，∴，
∴數(shù)列是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，
∴.
（2）因為，所以
∴當時， ，
∴
，
∴，
∴實數(shù)的取值范圍為.
3．（2023·福建漳州·統(tǒng)考模擬預測）已知數(shù)列的前項和為，且，.
(1)求的通項公式；
(2)記數(shù)列的前項和為，求集合中元素的個數(shù).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)遞推關(guān)系及與的關(guān)系化簡得出，即可求出通項公式；
（2）利用裂項相消法求出，再解不等式即可得解.
【詳解】（1）因為，所以，
所以
所以，即.
又因為，所以，
所以.
（2）因為，
所以
令，得，
所以集合中元素的個數(shù)為.
4．（2023·山西運城·山西省運城中學校?？级＃┮阎獢?shù)列滿足.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)記數(shù)列的前項和為，證明：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)題意，求得；當時，可得，兩式相減得，得到，進而求得數(shù)列的通項公式；
（2）令，得到，結(jié)合裂項法求和，求得，即可得證.
【詳解】（1）解：由題意，數(shù)列滿足，
當時，可得，解得；
當時，可得，
兩式相減得，所以，
當時，，適合上式，
所以數(shù)列的通項公式為.
（2）解：令，由，
可得，
所以，
因為，可得，所以.
考點四、累加法求數(shù)列通項公式
1．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中學?？寄M預測）數(shù)列中，
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設，數(shù)列的前項和為，證明.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）利用累加法計算可得；
（2）由（1）可得，再利用裂項相消法求和即可得證.
【詳解】（1）因為，即，
所以當時，，
將以上各式相加，得，則，
當時也符合上式，故.
（2）由題意.
所以
2．（天津·高考真題）已知數(shù)列滿足．
(1)求；
(2)證明：．
【答案】(1)，；
(2)證明見解析.
【分析】(1)將代入遞推式求解即可；
(2)用累加法求出數(shù)的通項公式即得證明.
【詳解】（1）解：因為，
所以，
；
（2）證明：因為，
所以，
，
，
…
，
將以上個式子相加，
得.
也滿足
所以．
3．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知數(shù)列滿足，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先通過遞推關(guān)系式確定除去，其他項都在范圍內(nèi)，再利用遞推公式變形得到，累加可求出，得出，再利用，累加可求出，再次放縮可得出．
【詳解】∵，易得，依次類推可得
由題意，，即，
∴，
即，，，…，，
累加可得，即，
∴，即，,
又，
∴，，，…，，
累加可得，
∴，
即，∴，即；
綜上：．
故選：B．
【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵是利用遞推關(guān)系進行合理變形放縮.
1．（2023·湖北武漢·華中師大一附中?？寄M預測）已知數(shù)列滿足．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)求的前項和．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根據(jù)給定的遞推公式，變形并換元，利用累加法求通項作答.
（2）由（1）的結(jié)論，利用裂項相消法求和作答.
【詳解】（1）由，得，
令，有，，
當時，，
又滿足上式，于是，則，
當時，，
又滿足上式，因此，
所以數(shù)列的通項公式是．
（2）由（1）知，，
所以．
2．（2023·福建寧德·?？寄M預測）已知數(shù)列，，，，．
(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的前n項和；
(2)求數(shù)列的前n項和．
【答案】(1)證明見解析；
(2)
【分析】（1）根據(jù)遞推關(guān)系式可得，根據(jù)累加法對進行分奇偶討論，確定，即可證明數(shù)列為等差數(shù)列，從而求解前n項和即可；
（2）根據(jù)裂項相消法求解數(shù)列前n項和即可．
【詳解】（1）因為，所以，
當時，
當時，
所以
則當為偶數(shù)時，
累加得：，所以
當為奇數(shù)時，為偶數(shù)，則，則此時，
綜上可得
所以，則數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，
其前n項和
（2）由（1）可得
則
故其前n項和
．
考點五、累乘法求數(shù)列通項公式
1．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）記為數(shù)列的前n項和，已知是公差為的等差數(shù)列．
(1)求的通項公式；
(2)證明：．
【答案】(1)
(2)見解析
【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項公式求得，得到，利用和與項的關(guān)系得到當時，,進而得：，利用累乘法求得，檢驗對于也成立，得到的通項公式；
（2）由（1）的結(jié)論，利用裂項求和法得到，進而證得.
【詳解】（1）∵，∴,∴,
又∵是公差為的等差數(shù)列，
∴,∴,
∴當時，，
∴,
整理得：,
即,
∴
，
顯然對于也成立，
∴的通項公式；
（2）
∴
2．（2021·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知數(shù)列滿足.記數(shù)列的前n項和為，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】顯然可知，，利用倒數(shù)法得到，再放縮可得，由累加法可得，進而由局部放縮可得，然后利用累乘法求得，最后根據(jù)裂項相消法即可得到，從而得解．
【詳解】因為，所以，．
由
，即
根據(jù)累加法可得，，當且僅當時取等號，
，
由累乘法可得，當且僅當時取等號，
由裂項求和法得：
所以，即．
故選：A．
【點睛】本題解題關(guān)鍵是通過倒數(shù)法先找到的不等關(guān)系，再由累加法可求得，由題目條件可知要證小于某數(shù)，從而通過局部放縮得到的不等關(guān)系，改變不等式的方向得到，最后由裂項相消法求得．
3．（2020·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知數(shù)列{an}，{bn}，{cn}中，．
（Ⅰ）若數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，且公比，且，求q與{an}的通項公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，且公差，證明：．
【答案】（I）；（II）證明見解析.
【分析】（I）根據(jù)，求得，進而求得數(shù)列的通項公式，利用累加法求得數(shù)列的通項公式.
（II）利用累乘法求得數(shù)列的表達式，結(jié)合裂項求和法證得不等式成立.
【詳解】（I）依題意，而，即，由于，所以解得，所以.
所以，故，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以.
所以（）.
所以，又，符合，
故.
（II）依題意設，由于，
所以，
故
.
又，而，
故
所以
.
由于，所以，所以.
即， .
【點睛】本小題主要考查累加法、累乘法求數(shù)列的通項公式，考查裂項求和法，屬于中檔題.
1．（2023·河北衡水·衡水市第二中學?？既＃┮阎獢?shù)列的前項和為，．
(1)證明：是等差數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前項積．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)與的關(guān)系化簡，可得，由等差數(shù)列的定義得證；
（2）由（1）求出，再由累乘法求解.
【詳解】（1）由，得．
所以，
即，整理得，
上式兩邊同時除以，得．
又，所以，即，
所以是首項為2，公差為1的等差數(shù)列．
（2）由（1）知，．
所以．
所以．
2．（2023·山東·沂水縣第一中學校聯(lián)考模擬預測）已知數(shù)列的前項和為，，．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)證明：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）解法一：由已知等式變形可得，計算出的值，再利用累乘法可求得數(shù)列的通項公式；
解法二：由已知條件計算出的值，推導出數(shù)列為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項和公比，即可求得數(shù)列的通項公式，進而可求得數(shù)列的通項公式；
（2）利用錯位相減法求出，進而可證得結(jié)論成立.
【詳解】（1）解：解法一：由題①，，即②，由①②得，
由得，
所以當時，，
也滿足，
所以數(shù)列的通項公式為；
解法二：由題，①，，即②，由①②得，
由，得，
所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，，
所以數(shù)列的通項公式為．
（2）證明：由（1）知，
所以，
兩式作差得，
所以.
3．（2023·安徽銅陵·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列的前項和滿足，且.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)求證：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）利用累乘法求出，再利用求解的通項公式；
（2）對通項公式變形，利用裂項相消法求和即可證明.
【詳解】（1）由題意可知：，則時有，
∴，
∴，
∵，∴.經(jīng)驗證符合題意；
∴時，，經(jīng)驗證，符合題意.
∴.
（2）由（1）可知，∴
∵，
∴
∴
∴.
考點六、遞推數(shù)列構(gòu)造等差數(shù)列
1．（安徽·高考真題）數(shù)列滿足，，.
（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；
（2）設，求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)證明見解析；(2).
【詳解】試題分析：（1）將的兩邊同除以 ，得到，由等差數(shù)列的定義，即可作出證明；
（2）有（1）求出，利用錯位相減法即可求解數(shù)列的前項和.
試題解析：
(1)證明：由已知可得＝＋1，即－＝1.
所以是以＝1為首項，1為公差的等差數(shù)列．
(2)由(1)得＝1＋(n－1)·1＝n，所以an＝n2.
從而bn＝n·3n.
Sn＝1·31＋2·32＋3·33＋…＋n·3n，①
3Sn＝1·32＋2·33＋…＋(n－1)·3n＋n·3n＋1.②
①－②得－2Sn＝31＋32＋…＋3n－n·3n＋1
＝－n·3n＋1
＝.
所以Sn＝.
點睛：本題主要考查了等差數(shù)列的定義、等差數(shù)列的判定與證明和數(shù)列的求和，著重考查了學生分析問題和解答問題的能力，本的解答中利用等差數(shù)列的定義得到數(shù)列為等差數(shù)列，求解的表達式，從而化簡得到，利用乘公比錯位相減法求和中，準確計算是解答的一個難點.
3．（2023·福建三明·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列滿足，.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設，的前項和為，證明：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）取倒數(shù)結(jié)合等差數(shù)列的通項計算即可；
（2）利用裂項法求得，結(jié)合，即可證明結(jié)論.
【詳解】（1）因為，，所以，
所以.
所以，
所以為等差數(shù)列，首項為，公差，
所以，
所以
（2）證明：因為，
所以.
所以，
因為，所以，
即.
1．（2023·全國·模擬預測）已知數(shù)列滿足，，且．
(1)求數(shù)列的通項公式．
(2)是否存在正整數(shù)n，使得，，等差數(shù)列？若存在，求出n的值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)不存在，理由見解析
【分析】（1）化簡已知等式，，判斷數(shù)列是等差數(shù)列，由此求得數(shù)列的通項公式；
（2）假設成立，則應滿足化簡后解答，無解，則不存在正整數(shù)n，使得，，成等差數(shù)列．
【詳解】（1）由題意知，．
所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列．
因此，
故，即．
（2）假設存在正整數(shù)n，使得，，成等差數(shù)列，
則．
化簡得，
即，顯然該等式不成立，
故假設不成立，因此不存在正整數(shù)n，使得，，成等差數(shù)列．
【點睛】方法技巧：求解此類開放探究問題的關(guān)鍵：
（1）假設存在，即讀懂題意，準確把握題目所提供的信息，并假設存在滿足題設條件的結(jié)論；
（2）會轉(zhuǎn)化，即分析題目的整體結(jié)構(gòu)，找好解題的切入口，并適時進行轉(zhuǎn)化，尋找能使假設成立的更簡單的問題，或?qū)ふ沂辜僭O不成立，能產(chǎn)生矛盾的問題；
（3）會證明，對判斷存在的問題，給出嚴謹?shù)倪壿嬐评碜C明，對判斷不存在的問題，能呈現(xiàn)矛盾的內(nèi)容；
（4）回歸問題，判斷假設是否成立，回歸是否存在問題．
2．（2022·湖南岳陽·統(tǒng)考二模）數(shù)列滿足，.
(1)求，；
(2)證明是等差數(shù)列，并求的通項公式.
【答案】(1)，
(2)證明見解析，
【分析】（1）根據(jù)數(shù)列的遞推式，分別令n=1,n=2，可求得結(jié)果；
（2）根據(jù)可得，然后證明等于常數(shù)，繼而求得數(shù)列的通項公式.
【詳解】（1）由，，
，,
，;
（2）證明：由已知得，
∵
，
又∵，
∴是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，
∴，
解得：
考點七、遞推數(shù)列構(gòu)造等比數(shù)列
1．（安徽·高考真題）設數(shù)列滿足其中為實數(shù)，且
(1)求數(shù)列的通項公式
(2)設，,求數(shù)列的前項和；
(3)若對任意成立，證明
【答案】(1)；
(2)；
(3)證明見解析．
【分析】（1）先由題意，得到，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式，即可得出結(jié)果；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，先得到，再由錯位相減法，即可得出結(jié)果；
（3）根據(jù)（2）的結(jié)果，先證明，再由反證法，證明即可.
【詳解】（1），
當時，是首項為，公比為的等比數(shù)列．
，即．當時，仍滿足上式．
數(shù)列的通項公式為．
（2）由（1）得
；
（3）由（1）知
若，則
由對任意成立，知．
下面證，用反證法
假設，由函數(shù)的性質(zhì)知，當趨于無窮大時，趨于無窮大
不能對恒成立，導致矛盾．．
.
2．（四川·高考真題）設數(shù)列的前n項和為，已知．
(1)證明：當時，是等比數(shù)列；
(2)求的通項公式．
【答案】(1)證明見解析.
(2)當時，;當時.
【分析】（1）當 時，由題設條件知 ,由此可知 ，即可證明結(jié)論．
（2）當時，由題設條件結(jié)合（1）可求得；當時，則，當時，由題設推出 ，求得，綜合可得出的通項公式．
【詳解】（1）當時，由題意知，
令，則 ，解得 ，
且，，
兩式相減得，
于是，
又 ，所以是首項為1，公比為2的等比數(shù)列；
（2）當時，由（1）知，即,
當時，則，
當且時，由得，
兩式相減得，即，
故
，
因此 ，
令 ，則即，
即為首項為，公比為b的等比數(shù)列，
故 ，
則,時，適合上式，
故.
3．（陜西·高考真題）已知數(shù)列的首項，，．
（1）求的通項公式；
（2）證明：對任意的，，；
（3）證明：．
【答案】（1）
（2）證明見解析．
（3）證明見解析．
【分析】（1）對兩邊取倒數(shù)，構(gòu)造等比數(shù)列，求出通項公式；（2）對不等式右邊變形，是證明的關(guān)鍵；（3）在第二問的基礎上，取，利用等比數(shù)列求和公式，進行證明.
【詳解】（1），，，
又，是以為首項，為公比的等比數(shù)列．
，．
（2）由（1）知，其中
，原不等式成立．
（3）由（2）知，對任意的，有
．
取，
則．
原不等式成立．
【點睛】數(shù)列相關(guān)不等式的證明，往往難度比較大，要對不等式進行變形，或者借助于基本不等式，數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)，或者利用導函數(shù)進行證明.
1．（2023·河南·開封高中?？寄M預測）已知數(shù)列滿足，．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)求數(shù)列的前n項和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由遞推關(guān)系可得，由等比數(shù)列的定義及通項公式求解；
（2）根據(jù)等比數(shù)列、等差數(shù)列的求和公式，利用分組求和即可得解.
【詳解】（1）
，
則，又，
是以為首項，為公比的等比數(shù)列.
，解得.
（2）由（1）知，
故其前項和為.
數(shù)列的前項和為.
2．（2023·湖南張家界·統(tǒng)考二模）數(shù)列中，，.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知等式變形得出，結(jié)合等比數(shù)列的定義可證得結(jié)論成立；
（2）求出數(shù)列的通項公式，利用分組求和法可求得.
【詳解】（1）因為，所以，
又，所以數(shù)列是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列.
，即.
（2）由（1）可知，，所以，
又由題知
.
3．（2022·全國·模擬預測）在數(shù)列中，，．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)令，求數(shù)列的前項和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）對已知等式進行變形，利用累乘法求解；（2）先寫出數(shù)列的通項公式，再利用裂項相消法求解．
【詳解】（1）（1）解法一 由知，
可得，，…，，
則，（累乘法的應用）
即，又，所以，
當時，也滿足上式，（注意驗證的情況）
所以．
解法二 由知，
又，則是以－2為首項，2為公比的等比數(shù)列，
所以，
所以．
（2）由（1）知
，
故．
4．（2022·全國·校聯(lián)考模擬預測）已知數(shù)列滿足.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)求的前項和.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根據(jù)給定條件，變形等式，利用等比數(shù)列定義判斷作答.
（2）由（1）的結(jié)論，利用錯位相減法求解作答.
【詳解】（1）在數(shù)列中，因，則，
于是得，因此數(shù)列是首項為，公比為2的等比數(shù)列，
所以.
（2）由（1）知，，
則，
于是得，
兩式相減得：，
所以.
【點睛】方法點睛：一般地，如果數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，求數(shù)列的前n項和時，可采用錯位相減法求和，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列的公比，然后作差求解．
【基礎過關(guān)】
一、單選題
1．（2023·浙江寧波·鎮(zhèn)海中學?？寄M預測）數(shù)列滿足，，則（ ）
A．B．C．D．3
【答案】A
【分析】首先根據(jù)遞推公式，求數(shù)列中的項，并得到數(shù)列的周期，再求的值.
【詳解】因為，，
所以，解得，
又，解得，
又，，，
顯然，接下去，
所以數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，
則.
故選：A.
2．（2023·重慶萬州·重慶市萬州第三中學?？寄M預測）若數(shù)列滿足，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題意，由遞推公式可得數(shù)列是等比數(shù)列，即可得到數(shù)列的通項公式，從而得到結(jié)果.
【詳解】因為，，所以，又，
所以數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，
所以，即，所以.
故選：B
3．（2023·甘肅張掖·高臺縣第一中學?？寄M預測）已知數(shù)列的前n項和為，若，，（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由，可得，由此得到數(shù)列為等比數(shù)列，求出，再求出即可.
【詳解】由，得，
所以，所以，
因為，
所以是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，
所以，所以，
所以．
故選：D
4．（2023·安徽滁州·安徽省定遠中學?？寄M預測）已知數(shù)列中，，，則數(shù)列前項的和（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推公式求出數(shù)列的奇數(shù)項都等于，偶數(shù)項都等于，進而求解.
【詳解】依題意，，
則，兩式相減得到，又，
??????所以數(shù)列的奇數(shù)項都等于，偶數(shù)項都等于，
所以，
故選：B．
5．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預測）已知數(shù)列各項均為正數(shù)，，且有，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】設，根據(jù)題設中的遞推關(guān)系可得，故利用等比數(shù)列的通項公式可求，從而可求的通項公式.
【詳解】，，
顯然若，則，則，，與題意矛盾，
所以，，兩邊同時取倒數(shù)，得：，
設，，，，
因為，故，故，所以為等比數(shù)列，
所以，故，所以，
故，
故選：D.
二、填空題
6．（2023·上海浦東新·華師大二附中?？寄M預測）已知，且（為正整數(shù)），則 .
【答案】
【分析】利用已知關(guān)系式推導出是以為周期的數(shù)列，所以根據(jù)周期性即可求出結(jié)果.
【詳解】因為，且，
所以，，
，，
，，，
所以是以為周期的數(shù)列，
因為，
所以.
故答案為：
三、解答題
7．（2023·江蘇揚州·揚州中學?？寄M預測）已知數(shù)列的前項和為，且.
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)若，求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用與的關(guān)系得到為等比數(shù)列求解即可;
（2）利用裂項相消法求和即可.
【詳解】（1）因為，
當時，，
當時，，
所以，
即，
又因為，滿足上式，
所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，
則.
（2）因為，
所以.
8．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預測）已知數(shù)列的前項和為,且滿足,數(shù)列的前項積.
(1)求數(shù)列和的通項公式;
(2)求數(shù)列的前n項和.
【答案】(1),
(2)
【分析】（1）對于數(shù)列,根據(jù),利用和的關(guān)系求解;對于數(shù)列,因為其前項積,根據(jù)即可求解;
（2）由（1）知,利用錯位相減法求解即可.
【詳解】（1）當時,,
∴,
當時,,
化簡得,
∵,∴,
∴數(shù)列是首項為,公差為的等差數(shù)列,
∴.
當時,,
當時,，當時也滿足，
所以.
（2）,
設①,
則②,
①-②得,
∴.
9．（2023·新疆喀什·?？寄M預測）已知數(shù)列的首項為1，前項和；
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用與之間的關(guān)系可得，注意要驗證首項是否符合通項公式；
（2）一個等差數(shù)列乘以一個等比數(shù)列構(gòu)成一個新數(shù)列，利用錯位相減法求這個新數(shù)列的前項和.
【詳解】（1）因為①，所以有②，
②①得，即，
經(jīng)驗證符合，
所以數(shù)列的通項公式為.
（2），
所以①，
②，
①②可得，
即，化簡得，
所以數(shù)列的前項和.
10．（2023·江蘇鹽城·鹽城中學?？寄M預測）若數(shù)列的前項的和為，且，
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依題意，即可求出、，再根據(jù)作差得到的通項公式；
（2）由（1）可得，再利用裂項相消法計算可得.
【詳解】（1）因為，且，，
所以，解得，所以，
當時，所以，
即，
當時也成立，所以；
（2）由（1）可得，
所以
.
【能力提升】
一、單選題
1．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預測）在數(shù)列中，，，且，則下列結(jié)論成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)，可得，，兩式相除即可求得數(shù)列通項，再逐一分析各個選項即可.
【詳解】因為，所以，，
兩式相除，得，
又，所以，
所以是以為公比的等比數(shù)列，
所以，
記，則，所以，所以，
所以，
即，故A錯誤；
因為，所以，
所以，
同理，，，
所以，
即，故B錯誤；
，
所以，故C正確；
，所以，故D錯誤.
故選：C.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)，可得，，兩式相除得出是以為公比的等比數(shù)列，是解決本題得關(guān)鍵.
二、多選題
2．（2023·浙江·校聯(lián)考二模）已知遞增數(shù)列的各項均為正整數(shù)，且其前項和為，則（ ）
A．存在公差為1的等差數(shù)列，使得
B．存在公比為2的等比數(shù)列，使得
C．若，則
D．若，則
【答案】ABC
【分析】運用公式法計算A，B選項，根據(jù)數(shù)列的性質(zhì)推導C，D選項.
【詳解】對于A，設數(shù)列的首項為，則 ，解得 ，
即當?shù)炔顢?shù)列的首項為138，公差為1時， ，正確；
對于B，設首項為 ，則 ，正確；
對于C，欲使得盡可能地大，不妨令 ，則有 ，
又 ，即 ，
，
即 ，正確；
對于D， ， ，即 ，
比如， ，
則 ，D錯誤；
故選：ABC.
【點睛】思路點睛：數(shù)列中與整數(shù)有關(guān)的不等式或方程問題，注意利用整數(shù)的性質(zhì)來處理.
3．（2023·廣東茂名·統(tǒng)考二模）已知數(shù)列和滿足：，，，，，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A．數(shù)列是公比為的等比數(shù)列B．僅有有限項使得
C．數(shù)列是遞增數(shù)列D．數(shù)列是遞減數(shù)列
【答案】ABD
【分析】由題意，，將第二個式子乘以后與第一和式子相加可得，令，解得，取，利用等比數(shù)列的定義和通項公式對各選項依次判斷即可.
【詳解】由題意可知，
第二個式子乘以后與第一和式子相加可得，
令，解得，
取可得，
因為，，所以，
所以，
所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，選項A說法錯誤；
因為，，所以，
所以當為正奇數(shù)時，，即，
當為正偶數(shù)時，，即，選項B說法錯誤；
由，，，，可知，，且數(shù)列和均為遞增數(shù)列，
而，
所以數(shù)列是遞增數(shù)列，選項C說法正確；
因為，所以數(shù)列是遞增數(shù)列，選項D說法錯誤；
故選：ABD
三、解答題
4．（2023·海南?？凇ずＤ先A僑中學校考模擬預測）已知數(shù)列中，，是與9的等差中項，記為數(shù)列的前項和，滿足（）.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若，求實數(shù)的最小值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根據(jù)給定的遞推公式，結(jié)合前項和意義可得數(shù)列是等比數(shù)列，再利用等差中項的意義求解作答.
（2）由（1）的信息，利用等比數(shù)列的前項和公式求出，再變形給定不等式，構(gòu)造數(shù)列，探討數(shù)列單調(diào)性求解作答.
【詳解】（1）依題意，，，當時，，兩式相減得，即，
當時，，又，有，則當，，
因此數(shù)列是首項為3，公比的等比數(shù)列，
而，即，解得，則，
所以數(shù)列的通項公式是.
（2）由（1）知，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，，
于是不等式化為：，設，
，
當時，，當時，，
即當時，數(shù)列遞增，當時，數(shù)列遞減，
從而，則，所以實數(shù)的最小值為.
5．（2023·寧夏石嘴山·統(tǒng)考一模）已知是數(shù)列的前項和，且．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前項和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)與的關(guān)系求解即可；
（2）利用裂項相消法求解即可.
【詳解】（1）時，，
時，
經(jīng)驗證時滿足，
；
（2），
.
6．（2023·海南省直轄縣級單位·文昌中學?？寄M預測）已知數(shù)列的前項和，且.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由和與項的關(guān)系求得，進而判斷數(shù)列是等差數(shù)列，從而利用等差數(shù)列的通項公式即可求解；
（2）由（1）求得，進而，最后利用裂項相消求和法即可求解.
【詳解】（1）當時，，
當時，
因為對也成立.
所以，所以數(shù)列是等差數(shù)列，
則公差，
故.
（2）因為，
所以，
故.
7．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預測）已知是數(shù)列的前項和，，．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前項和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用與的關(guān)系，結(jié)合累乘法即可求出數(shù)列的通項公式；
（2）分和利用等差數(shù)列的求和公式求解即可.
【詳解】（1）由，則，
兩式相減得：，
整理得：，
即時，，
所以時，，
又時，，得，也滿足上式．
故．
（2）由（1）可知：．
記，設數(shù)列的前項和．
當時，；
當時，
綜上：
8．（2023·云南·云南師大附中校考模擬預測）數(shù)列的前項積為，.
(1)若，求；
(2)若，設，求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由首項，再結(jié)合條件，以及，即可求解；
（2）首先求數(shù)列的通項公式，代入，求通項，最后求得數(shù)列的前項和.
【詳解】（1），.
，，，；
（2），當時，，
當時，，又也滿足.
，
，
數(shù)列的前n項和.
9．（2023·山西·校聯(lián)考模擬預測）已知正項數(shù)列的前項和滿足關(guān)系式.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設，證明.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）利用，得到，進而得到，得到為等差數(shù)列，求出通項公式；
（2）由得到，
當時，，當時，顯然成立，當時，，當（且）時，，，故當時，有.
【詳解】（1）由得，
當時，，
兩式相減得，
，
當時，由，得，也滿足上式.
.
當時，，則，
又，所以，
∴數(shù)列是等差數(shù)列，.
（2）證明：由（1）得，
，
注意到當時，
.
當時，.
當時，顯然成立.
當時，，
從而時，.
當（且）時，，
.
綜上可知當時，有.
【點睛】對于公式，
（1）當時，用替換中的得到一個新的關(guān)系式，利用，可得時的表達式，
（2）當時，，求出，
（3）對時的結(jié)果進行檢驗，看是否符合時的表達式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項公式合寫，如果不符合，則要分開寫.
10．（2023·海南·海南華僑中學校考模擬預測）數(shù)列中，，對任意正整數(shù)n都有.
(1)求的通項公式；
(2)設的前項和為，證明：
①；
②.
【答案】(1)
(2)①證明見解析；②證明見解析
【分析】（1）根據(jù)題意化簡得，得到數(shù)列為等比數(shù)列，進而求得數(shù)列的通項公式；
（2）①易得；
②由①得，設，利用乘公比錯位相減法求得，即可求解.
【詳解】（1）解：因為，
所以，即，
又因為，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，
從而，則.
（2）①因為，所以；
②由①得，
設，
則，
兩式相減得，
即，
從而，故.
【真題感知】
一、單選題
1．（2020·北京·統(tǒng)考高考真題）在等差數(shù)列中，，．記，則數(shù)列（ ）．
A．有最大項，有最小項B．有最大項，無最小項
C．無最大項，有最小項D．無最大項，無最小項
【答案】B
【分析】首先求得數(shù)列的通項公式，然后結(jié)合數(shù)列中各個項數(shù)的符號和大小即可確定數(shù)列中是否存在最大項和最小項.
【詳解】由題意可知，等差數(shù)列的公差，
則其通項公式為：，
注意到，
且由可知，
由可知數(shù)列不存在最小項，
由于，
故數(shù)列中的正項只有有限項：，.
故數(shù)列中存在最大項，且最大項為.
故選：B.
【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項公式，等差數(shù)列中項的符號問題，分類討論的數(shù)學思想等知識，屬于中等題.
2．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）已知數(shù)列滿足，則（ ）
A．當時，為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立
B．當時，為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立
C．當時，為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立
D．當時，為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立
【答案】B
【分析】法1：利用數(shù)列歸納法可判斷ACD正誤，利用遞推可判斷數(shù)列的性質(zhì)，故可判斷B的正誤.
法2：構(gòu)造，利用導數(shù)求得的正負情況，再利用數(shù)學歸納法判斷得各選項所在區(qū)間，從而判斷的單調(diào)性；對于A，構(gòu)造，判斷得，進而取推得不恒成立；對于B，證明所在區(qū)間同時證得后續(xù)結(jié)論；對于C，記，取推得不恒成立；對于D，構(gòu)造，判斷得，進而取推得不恒成立.
【詳解】法1：因為，故，
對于A ，若，可用數(shù)學歸納法證明：即，
證明：當時，，此時不等關(guān)系成立；
設當時，成立，
則，故成立，
由數(shù)學歸納法可得成立.
而，
，，故，故，
故為減數(shù)列，注意
故，結(jié)合，
所以，故，故，
若存在常數(shù)，使得恒成立，則，
故，故，故恒成立僅對部分成立，
故A不成立.
對于B，若可用數(shù)學歸納法證明：即，
證明：當時，，此時不等關(guān)系成立；
設當時，成立，
則，故成立即
由數(shù)學歸納法可得成立.
而，
，，故，故，故為增數(shù)列，
若，則恒成立，故B正確.
對于C，當時， 可用數(shù)學歸納法證明：即，
證明：當時，，此時不等關(guān)系成立；
設當時，成立，
則，故成立即
由數(shù)學歸納法可得成立.
而，故，故為減數(shù)列，
又，結(jié)合可得：，所以，
若，若存在常數(shù)，使得恒成立，
則恒成立，故，的個數(shù)有限，矛盾，故C錯誤.
對于D，當時， 可用數(shù)學歸納法證明：即，
證明：當時，，此時不等關(guān)系成立；
設當時，成立，
則，故成立
由數(shù)學歸納法可得成立.
而，故，故為增數(shù)列，
又，結(jié)合可得：，所以，
若存在常數(shù)，使得恒成立，則，
故，故，這與n的個數(shù)有限矛盾，故D錯誤.
故選：B.
法2：因為，
令，則，
令，得或；
令，得；
所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
令，則，即，解得或或，
注意到，，
所以結(jié)合的單調(diào)性可知在和上，在和上，
對于A，因為，則，
當時，，，則，
假設當時，，
當時，，則，
綜上：，即，
因為在上，所以，則為遞減數(shù)列，
因為，
令，則，
因為開口向上，對稱軸為，
所以在上單調(diào)遞減，故，
所以在上單調(diào)遞增，故，
故，即，
假設存在常數(shù)，使得恒成立，
取，其中，且，
因為，所以，
上式相加得，，
則，與恒成立矛盾，故A錯誤；
對于B，因為，
當時，，，
假設當時，，
當時，因為，所以，則，
所以，
又當時，，即，
假設當時，，
當時，因為，所以，則，
所以，
綜上：，
因為在上，所以，所以為遞增數(shù)列，
此時，取，滿足題意，故B正確；
對于C，因為，則，
注意到當時，，，
猜想當時，，
當與時，與滿足，
假設當時，，
當時，所以，
綜上：，
易知，則，故，
所以，
因為在上，所以，則為遞減數(shù)列，
假設存在常數(shù)，使得恒成立，
記，取，其中，
則，
故，所以，即，
所以，故不恒成立，故C錯誤；
對于D，因為，
當時，，則，
假設當時，，
當時，，則，
綜上：，
因為在上，所以，所以為遞增數(shù)列，
因為，
令，則，
因為開口向上，對稱軸為，
所以在上單調(diào)遞增，故，
所以，
故，即，
假設存在常數(shù)，使得恒成立，
取，其中，且，
因為，所以，
上式相加得，，
則，與恒成立矛盾，故D錯誤.
故選：B.
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題解決的關(guān)鍵是根據(jù)首項給出與通項性質(zhì)相關(guān)的相應的命題，再根據(jù)所得命題結(jié)合放縮法得到通項所滿足的不等式關(guān)系，從而可判斷數(shù)列的上界或下界是否成立.
二、填空題
3．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）數(shù)列滿足，前16項和為540，則 .
【答案】
【分析】對為奇偶數(shù)分類討論，分別得出奇數(shù)項、偶數(shù)項的遞推關(guān)系，由奇數(shù)項遞推公式將奇數(shù)項用表示，由偶數(shù)項遞推公式得出偶數(shù)項的和，建立方程，求解即可得出結(jié)論.
【詳解】，
當為奇數(shù)時，；當為偶數(shù)時，.
設數(shù)列的前項和為，
，
.
故答案為：.
【點睛】本題考查數(shù)列的遞推公式的應用，以及數(shù)列的并項求和，考查分類討論思想和數(shù)學計算能力，屬于較難題.
4．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）已知數(shù)列各項均為正數(shù)，其前n項和滿足．給出下列四個結(jié)論：
①的第2項小于3； ②為等比數(shù)列；
③為遞減數(shù)列； ④中存在小于的項．
其中所有正確結(jié)論的序號是 ．
【答案】①③④
【分析】推導出，求出、的值，可判斷①；利用反證法可判斷②④；利用數(shù)列單調(diào)性的定義可判斷③.
【詳解】由題意可知，，，
當時，，可得；
當時，由可得，兩式作差可得，
所以，，則，整理可得，
因為，解得，①對；
假設數(shù)列為等比數(shù)列，設其公比為，則，即，
所以，，可得，解得，不合乎題意，
故數(shù)列不是等比數(shù)列，②錯；
當時，，可得，所以，數(shù)列為遞減數(shù)列，③對；
假設對任意的，，則，
所以，，與假設矛盾，假設不成立，④對.
故答案為：①③④.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題在推斷②④的正誤時，利用正面推理較為復雜時，可采用反證法來進行推導.
三、解答題
5．（2021·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知數(shù)列的前n項和為，，且.
（1）求數(shù)列的通項；
（2）設數(shù)列滿足，記的前n項和為，若對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由，結(jié)合與的關(guān)系，分討論，得到數(shù)列為等比數(shù)列，即可得出結(jié)論；
（2）由結(jié)合的結(jié)論，利用錯位相減法求出，對任意恒成立，分類討論分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為與關(guān)于的函數(shù)的范圍關(guān)系，即可求解.
【詳解】（1）當時，，
，
當時，由①，
得②，①②得
，
又是首項為，公比為的等比數(shù)列，
；
（2）由，得，
所以，
，
兩式相減得
，
所以，
由得恒成立，
即恒成立，
時不等式恒成立；
時，，得；
時，，得；
所以.
【點睛】易錯點點睛：（1）已知求不要忽略情況；（2）恒成立分離參數(shù)時，要注意變量的正負零討論，如（2）中恒成立，要對討論，還要注意時，分離參數(shù)不等式要變號.
6．（2020·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知數(shù)列{an}，{bn}，{cn}中，．
（Ⅰ）若數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，且公比，且，求q與{an}的通項公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，且公差，證明：．
【答案】（I）；（II）證明見解析.
【分析】（I）根據(jù)，求得，進而求得數(shù)列的通項公式，利用累加法求得數(shù)列的通項公式.
（II）利用累乘法求得數(shù)列的表達式，結(jié)合裂項求和法證得不等式成立.
【詳解】（I）依題意，而，即，由于，所以解得，所以.
所以，故，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以.
所以（）.
所以，又，符合，
故.
（II）依題意設，由于，
所以，
故
.
又，而，
故
所以
.
由于，所以，所以.
即， .
【點睛】本小題主要考查累加法、累乘法求數(shù)列的通項公式，考查裂項求和法，屬于中檔題.
7．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）記為數(shù)列的前n項和，為數(shù)列的前n項積，已知．
（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列;
（2）求的通項公式．
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【分析】（1）由已知得,且，取,得,由題意得,消積得到項的遞推關(guān)系,進而證明數(shù)列是等差數(shù)列;
（2）由（1）可得的表達式,由此得到的表達式,然后利用和與項的關(guān)系求得.
【詳解】（1）[方法一]：
由已知得,且，,
取,由得,
由于為數(shù)列的前n項積，
所以,
所以，
所以,
由于
所以，即,其中
所以數(shù)列是以為首項，以為公差等差數(shù)列;
[方法二]【最優(yōu)解】：
由已知條件知 ①
于是． ②
由①②得． ③
又， ④
由③④得．
令，由，得．
所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列．
[方法三]：
由，得，且，，．
又因為，所以，所以．
在中，當時，．
故數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列．
[方法四]：數(shù)學歸納法
由已知，得，，，，猜想數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，且．
下面用數(shù)學歸納法證明．
當時顯然成立．
假設當時成立，即．
那么當時，．
綜上，猜想對任意的都成立．
即數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列．
（2）
由（1）可得，數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，
,
,
當n=1時，,
當n≥2時,,顯然對于n=1不成立,
∴.
【整體點評】（1）方法一從得，然后利用的定義，得到數(shù)列的遞推關(guān)系，進而替換相除消項得到相鄰兩項的關(guān)系，從而證得結(jié)論；
方法二先從的定義，替換相除得到，再結(jié)合得到，從而證得結(jié)論，為最優(yōu)解；
方法三由，得，由的定義得，進而作差證得結(jié)論；方法四利用歸納猜想得到數(shù)列，然后利用數(shù)學歸納法證得結(jié)論．
（2）由（1）的結(jié)論得到，求得的表達式,然后利用和與項的關(guān)系求得的通項公式；概念
含義
數(shù)列的定義
按照一定順序排列的一列數(shù)
數(shù)列的項
數(shù)列中的每一個數(shù)
數(shù)列的通項
數(shù)列{an}的第n項an
通項公式
數(shù)列{an}的第n項an與n之間的關(guān)系能用公式an＝f(n)表示，這個公式叫做數(shù)列的通項公式
前n項和
數(shù)列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做數(shù)列的前n項和
分類標準
類型
滿足條件
項數(shù)
有窮數(shù)列
項數(shù)有限
無窮數(shù)列
項數(shù)無限
項與項間的大小關(guān)系
遞增數(shù)列
an＋1＞an
其中n∈N*
遞減數(shù)列
an＋1＜an
常數(shù)列
an＋1＝an
擺動數(shù)列
從第二項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列
列表法
列表格表示n與an的對應關(guān)系
圖象法
把點(n，an)畫在平面直角坐標系中
公式法
通項公式
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