知識(shí)講解
函數(shù)的零點(diǎn)
一般的，對(duì)于函數(shù)，我們把方程的實(shí)數(shù)根叫作函數(shù)的零點(diǎn)。
零點(diǎn)存在性定理
如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)必有零點(diǎn)，即，使得
注：零點(diǎn)存在性定理使用的前提是在區(qū)間連續(xù)，如果是分段的，那么零點(diǎn)不一定存在
函數(shù)單調(diào)性對(duì)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的影響
如果一個(gè)連續(xù)函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，那么它的零點(diǎn)至多有一個(gè)。因此分析一個(gè)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)前，可嘗試判斷函數(shù)是否單調(diào)
4、幾個(gè)“不一定”與“一定”（假設(shè)在區(qū)間連續(xù)）
（1）若，則“一定”存在零點(diǎn)，但“不一定”只有一個(gè)零點(diǎn)。要分析的性質(zhì)與圖象，如果單調(diào)，則“一定”只有一個(gè)零點(diǎn)
（2）若，則“不一定”存在零點(diǎn)，也“不一定”沒(méi)有零點(diǎn)。如果單調(diào)，那么“一定”沒(méi)有零點(diǎn)
（3）如果在區(qū)間中存在零點(diǎn)，則的符號(hào)是“不確定”的，受函數(shù)性質(zhì)與圖象影響。如果單調(diào)，則一定小于0
5、零點(diǎn)與單調(diào)性配合可確定函數(shù)的符號(hào)
是一個(gè)在單增連續(xù)函數(shù)，是的零點(diǎn)，且，則時(shí)，；時(shí)，
6、判斷函數(shù)單調(diào)性的方法
（1）可直接判斷的幾個(gè)結(jié)論：
① 若為增（減）函數(shù)，則也為增（減）函數(shù)
② 若為增函數(shù)，則為減函數(shù)；同樣，若為減函數(shù)，則為增函數(shù)
③ 若為增函數(shù)，且，則為增函數(shù)
（2）復(fù)合函數(shù)單調(diào)性：判斷的單調(diào)性可分別判斷與的單調(diào)性（注意要利用的范圍求出的范圍），若，均為增函數(shù)或均為減函數(shù)，則單調(diào)遞增；若，一增一減，則單調(diào)遞減（此規(guī)律可簡(jiǎn)記為“同增異減”）
（3）利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行判斷——求出單調(diào)區(qū)間從而也可作出圖象
7、證明零點(diǎn)存在的步驟
（1）將所證等式中的所有項(xiàng)移至等號(hào)一側(cè)，以便于構(gòu)造函數(shù)
（2）判斷是否要對(duì)表達(dá)式進(jìn)行合理變形，然后將表達(dá)式設(shè)為函數(shù)
（3）分析函數(shù)的性質(zhì)，并考慮在已知范圍內(nèi)尋找端點(diǎn)函數(shù)值異號(hào)的區(qū)間
（4）利用零點(diǎn)存在性定理證明零點(diǎn)存在
考點(diǎn)一、求函數(shù)的零點(diǎn)
1．（2022·安徽宣城·統(tǒng)考二模）已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，若a1，a6為函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，則a3a4＝（ ）
A．-14B．9C．14D．20
2．（2023·吉林·通化市第一中學(xué)校校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，則的值為（ ）
A．B．C．D．
1．（2023·北京·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）的零點(diǎn)為_(kāi)_______．
2．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的零點(diǎn)為，函數(shù)的零點(diǎn)為，則______．
考點(diǎn)二、求函數(shù)零點(diǎn)或方程根或圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)
1．（湖南·高考真題）函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為
A．3B．2C．1D．0
2．（全國(guó)·高考真題）函數(shù)在的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為
A．2B．3C．4D．5
3．（北京·高考真題）函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為
A．0B．1C．2D．3
1．（湖南·高考真題）函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是
A．1B．2C．3D．4
2．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（ ）
A．3B．4C．5D．6
3．（2023·廣東肇慶·?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）
A．4B．6C．8D．9
4．（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)在函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)__________.
5．（全國(guó)·高考真題）函數(shù)在的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．
6．（湖北·高考真題）函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)________．
考點(diǎn)三、用零點(diǎn)存在性定理判斷零點(diǎn)所在區(qū)間
1．（全國(guó)·高考真題）在下列區(qū)間中，函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（ ）
A．B．C．D．
2．（北京·高考真題）已知函數(shù)，在下列區(qū)間中，包含零點(diǎn)的區(qū)間是
A．B．C．D．
1．（2023·海南·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間為（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·云南昆明·昆明一中?？寄M預(yù)測(cè)）函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·重慶酉陽(yáng)·重慶市酉陽(yáng)第一中學(xué)校?？家荒＃┖瘮?shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·廣東梅州·統(tǒng)考二模）用二分法求方程近似解時(shí)，所取的第一個(gè)區(qū)間可以是（ ）
A．B．C．D．
考點(diǎn)四、根據(jù)零點(diǎn)區(qū)間或個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍
1．（2020·天津·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)若函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
1．（2023·山西陽(yáng)泉·統(tǒng)考三模）函數(shù)在區(qū)間存在零點(diǎn)．則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·安徽滁州·校考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．
3．（2023·山東臨沂·統(tǒng)考一模）已知是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，且，則的最小值為_(kāi)_______．
4．（2023·湖南湘潭·統(tǒng)考二模）已知是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，且，則的最小值為_(kāi)_________．
5．（2023·福建廈門·廈門一中?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_____．
6．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，若在區(qū)間上有零點(diǎn)，則的最大值為_(kāi)_________.
【基礎(chǔ)過(guò)關(guān)】
一、單選題
1．（2023·云南昭通·校考模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·江西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（ ）
A．2B．3C．4D．5
3．（2023·廣西玉林·博白縣中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)是奇函數(shù)，且，若是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，則（ ）
A．B．0C．2D．4
4．（2023·寧夏銀川·銀川一中?？既＃┖瘮?shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023·云南紅河·彌勒市一中?？寄M預(yù)測(cè)）已知關(guān)于的方程，存在兩個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
6．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023·湖南常德·常德市一中校考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)表示m，n中的較小數(shù)．若函數(shù)至少有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2023·湖南邵陽(yáng)·統(tǒng)考二模）已知函數(shù) 若存在實(shí)數(shù)，，，，滿足，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
9．（2023·湖南長(zhǎng)沙·雅禮中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的零點(diǎn)分別為，，…，（），則（ ）
A．B．C．0D．2
二、填空題
10．（2023·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考一模）請(qǐng)估計(jì)函數(shù)零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間______.
【能力提升】
一、多選題
1．（2023·河北·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若函數(shù)恰好有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值可以是（ ）
A．B．C．0D．2
2．（2023·廣東佛山·?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)，分別為，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．B．
C．的取值與無(wú)關(guān)D．的最小值為10
二、填空題
3．（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，其中有兩個(gè)正零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)___.
4．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_________.
5．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)與函數(shù)的圖象恰有三個(gè)不同的交點(diǎn)，其中交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列，則的取值范圍為_(kāi)_________.
6．（2023·江蘇無(wú)錫·輔仁高中?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)表示不超過(guò)的最大整數(shù)，如.已知函數(shù)有且只有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.
7．（2023·福建廈門·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)____________；若恰有4個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是______________.
8．（2023·山西陽(yáng)泉·陽(yáng)泉市第一中學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的零點(diǎn)為，函數(shù)的零點(diǎn)為，給出以下三個(gè)結(jié)論：①；②；③.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為_(kāi)_______.
9．（2023·重慶萬(wàn)州·重慶市萬(wàn)州第三中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)若函數(shù)有八個(gè)不同的零點(diǎn)，從小到大依次為，，，，，，，，則的取值范圍為_(kāi)__________.
10．（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)?？级＃┮阎瘮?shù)有三個(gè)零點(diǎn)，且，則__________.
【真題感知】
一、單選題
1．（天津·高考真題）函數(shù)f(x)=的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是
A．（-2，-1）B．（-1,0）C．（0,1）D．（1,2）
2．（山東·高考真題）設(shè)函數(shù)y＝x3與y＝的圖象的交點(diǎn)為(x0，y0)，則x0所在的區(qū)間是（ ）
A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，4)
3．（浙江·高考真題）設(shè)函數(shù)，則在下列區(qū)間中函數(shù)不存在零點(diǎn)的是
A．B．C．D．
4．（湖北·高考真題）關(guān)于的方程，給出下列四個(gè)命題：
①存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有2個(gè)不同的實(shí)根；
②存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有4個(gè)不同的實(shí)根；
③存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有5個(gè)不同的實(shí)根；
④存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有8個(gè)不同的實(shí)根.
其中假命題的個(gè)數(shù)是（ ）
A．0B．1C．2D．3
5．（浙江·高考真題）已知，函數(shù)，若函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，則
A．B．
C．D．
6．（2021·天津·統(tǒng)考高考真題）設(shè)，函數(shù)，若在區(qū)間內(nèi)恰有6個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空題
7．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）若函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)為，則________；________．
8．（湖南·高考真題）已知，若存在實(shí)數(shù)，使函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是________．
9．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）若函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為_(kāi)________．
10．（2021·北京·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)，給出下列四個(gè)結(jié)論：
①若，恰 有2個(gè)零點(diǎn)；
②存在負(fù)數(shù)，使得恰有1個(gè)零點(diǎn)；
③存在負(fù)數(shù)，使得恰有3個(gè)零點(diǎn)；
④存在正數(shù)，使得恰有3個(gè)零點(diǎn)．
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是_______．

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