知識講解
1.海倫-秦九韶公式
三角形的三邊分別是a、b、c，
則三角形的面積為
其中，這個公式就是海倫公式，為古希臘的幾何學(xué)家海倫所發(fā)現(xiàn)并證明。
我國南宋的秦九韶也曾提出利用三角形三邊求三角形面積的秦九韶公式:
2.三倍角公式
，

3.射影定理
，，
4.角平分線定理
（1）在中，為的角平分線，則有
（2）
（3）（庫斯頓定理）
（4）
5.張角定理
6.倍角定理
在中,三個內(nèi)角的對邊分別為,
(1)如果,則有:
(2)如果,則有:
(3)如果,則有:
倍角定理的逆運(yùn)用
在中,三個內(nèi)角A、B、C的對邊分別為,
(1)如果,則有:。
(2)如果,則有:。
(3)如果,則有:。
7.中線長定理
為的中線,則中線定理:
證明:
在和中,用余弦定理有:
8.三角恒等式
在中，
①；
②；
③；
④；
⑤；
⑥；
⑦；
⑧；
⑨；
⑩。
考點(diǎn)一、海倫-秦九韶公式及其應(yīng)用
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若一個三角形的三邊長分別為a，b，c，設(shè)，則該三角形的面積，這就是著名的“海倫-秦九韶公式”若的三邊長分別為5，6，7，則該三角形的面積為 ．
2．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶提出了由三角形三邊求三角形面積的“三斜求積”，設(shè)的三個內(nèi)角所對的邊分別為，，，面積為S，則“三斜求積”公式為，若，，則用“三斜求積”公式求得的面積為（ ）
A．B．C．D．1
3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）三角形的三邊分別為a，b，c，秦九韶公式和海倫公式，其中，是等價的，都是用來求三角形的面積．印度數(shù)學(xué)家婆羅摩笈多在公元7世紀(jì)的一部論及天文的著作中，給出若四邊形的四邊分別為a，b，c，d，則，其中，為一組對角和的一半.已知四邊形四條邊長分別為3，4，5，6，則四邊形最大面積為（ ）
A．21B．C．D．
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶提出了由三角形三邊求三角形面積的“三斜求積”公式，設(shè)的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，面積為S，“三斜求積”公式表示為.在中，若，，則用“三斜求積”公式求得的面積為（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·云南昆明·昆明一中校考模擬預(yù)測）南宋數(shù)學(xué)家秦九韶提出了“三斜求積術(shù)”，即已知三角形三邊長求三角形面積的公式：設(shè)三角形的三條邊長分別為、、，則面積可由公式求得，其中為三角形周長的一半，這個公式也被稱為海倫—秦九韶公式．現(xiàn)有一個三角形的邊長滿足，，則此三角形面積的最大值為（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·浙江·永嘉中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）我國南宋時期著名的數(shù)學(xué)家秦九韶在其著作《數(shù)書九章》中，提出了已知三角形三邊長求三角形面積的公式.在中，設(shè)分別為的內(nèi)角的對邊，S表示的面積，其公式為.若，，，則 .
考點(diǎn)二、三倍角公式及其應(yīng)用
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，．若，且為銳角，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
1. 已知的內(nèi)角的對邊分別為,若,則的最小值為
A.-1 B. C.3 D.
考點(diǎn)三、射影定理及其應(yīng)用
1．（2023·上海浦東新·統(tǒng)考二模）在△ABC中，角A、B、C的對邊分別記為a、b、c，若，則 ．
1．（2023·河南商丘·商丘市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知在中，角的對邊分別為，且滿足，，則的面積為 .
考點(diǎn)四、角平分線定理及其應(yīng)用
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）△中，邊內(nèi)上有一點(diǎn)，證明：是的角平分線的充要條件是．
2．（2023春·寧夏銀川·高三校考階段練習(xí)）在中，角A的角平分線交于點(diǎn)D，且，則等于（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023春·湖北·高一赤壁一中校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若，，，則角A的角平分線 .

4．（2023春·安徽滁州·高一統(tǒng)考期末）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知.
(1)求角A的大小；
(2)若，，AD是△ABC的角平分線，求AD的長.
1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）在中，，的角平分線交BC于D，則 ．
2．（2023秋·山西大同·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）（多選）設(shè)為的外心，，，的角平分線交于點(diǎn)，則（ ）
A．B．
C．D．

3．（2023·安徽合肥·合肥市第八中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知的內(nèi)角所對的邊分別為，且滿足.
(1)求；
(2)若在上，是的角平分線，且，求的最小值.
考點(diǎn)五、張角定理及其應(yīng)用
1．（內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考一模）如圖，已知是中的角平分線，交邊于點(diǎn).
（1）用正弦定理證明：；
（2）若，，，求的長.
2. 在中,角所對的邊分別為,已知點(diǎn)在邊上,
,則__________
1. 在中,角所對的邊分別為是的角平分線,若,則的最小值為_______
考點(diǎn)六、倍角定理及其應(yīng)用
1．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，滿足．
(1)證明：；
(2)求的取值范圍．
1．（2023·四川達(dá)州·四川省開江中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知 的三條邊是連續(xù)的三個正整數(shù)，且，則的周長為 .
考點(diǎn)七、中線長定理及其應(yīng)用
1．（2023春·湖北·高三統(tǒng)考）已知中，，，，則邊上的中線長為（ ）
A．B．8C．7D．6

2．（2023·江蘇·高三專題練習(xí)）（多選）在中，，，則下列判斷正確的是（ ）
A．的周長有最大值為21
B．的平分線長的最大值為
C．若，則邊上的中線長為
D．若，則該三角形有兩解
1．（2023春·河南·高三聯(lián)考）已知△ABC中，，且△ABC的面積為，則△ABC的邊AB上的中線長為（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）余弦定理是揭示三角形邊角關(guān)系的重要定理，也是在勾股定理的基礎(chǔ)上，增加了角度要素而成.而對三角形的邊賦予方向，這些邊就成了向量，向量與三角形的知識有著高度的結(jié)合.已知，，分別為內(nèi)角，，的對邊：
(1)請用向量方法證明余弦定理；
(2)若，其中為邊上的中線，求的長度.

考點(diǎn)八、三角恒等式及其應(yīng)用
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在銳角中，角所對的邊分別為，若.
(1)求；
(2)若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
1．（2023春·浙江臺州·高三?？计谥校┰冖伲?，③的面積為，這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中，并加以解答．
在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且______．
(1)求角A；
(2)若，的內(nèi)切圓半徑為，求的面積．
【基礎(chǔ)過關(guān)】
一、單選題
1．（2023春·遼寧沈陽·高三?？计谀┰谥?，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，向量與平行．若，，則BC邊上的中線AD為（ ）
A．1B．2C．D．
2．（2023·寧夏銀川·銀川一中?？寄M預(yù)測）已知分別為的邊上的中線，設(shè)，,則＝（ ）

A．＋B．＋
C．D．＋
3．（2016春·山東濟(jì)寧·高二階段練習(xí)）在平面幾何里有射影定理：設(shè)的兩邊，是點(diǎn)在上的射影，則．拓展到空間，在四面體中，⊥面，點(diǎn)是在面內(nèi)的射影，且在內(nèi)，類比平面三角形射影定理，得出正確的結(jié)論是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空題
4．（2023·江蘇·高三專題練習(xí)）任意三角形射影定理又稱“第一余弦定理”：的三邊是，它們所對的角分別是，則有，，．請利用上述知識解答下面的題：在中，若，則 ．
5．（2023春·江蘇鹽城·高三?？计谥校┰谥?，角所對的邊分別為，且，若的面積為，則邊上中線長的最小值為 .
三、解答題
6．（2023春·四川瀘州·高三四川省瀘縣第一中學(xué)校考期末）如圖，在中，，的角平分線交于點(diǎn).
(1)求的值；
(2)若，，求的長.
7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個正三角形的面積依次為，，．已知．
(1)求；
(2)若外接圓面積為，求的最大值；
(3)若，且的角平分線，求．
8．（2023春·湖南邵陽·高三邵陽市第二中學(xué)?？计谥校┰谥?，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，.
(1)求角A的大??；
(2)若是角平分線，求證：.
【能力提升】
1．（2022秋·浙江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，的角平分線交邊于點(diǎn).
(1)證明：.
(2)若，且的面積為，求的長.
2．（2015·全國·高考真題）△ABC中D是BC上的點(diǎn),AD平分BAC,BD=2DC．
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）若,求.
3．（2023春·山東濟(jì)寧·高一統(tǒng)考期末）在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若．
(1)求角的大小;
(2)若，的角平分線交于點(diǎn)，求線段長度的最大值．
4．（2023·江蘇南通·模擬預(yù)測）記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知.
(1)若，證明：；
(2)若，證明：.
5．（2023·浙江·統(tǒng)考一模）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的取值范圍．
6．（2023·重慶萬州·重慶市萬州第二高級中學(xué)?？既＃┰谥校撬鶎Φ倪叿謩e為，且.
(1)求證：；
(2)求的最小值.
7．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考三模）在中,為的角平分線,且.
(1)若,,求的面積;
(2)若,求邊的取值范圍.
【真題感知】
一、單選題
1．（陜西·高考真題）設(shè)在中,角所對的邊分別為, 若, 則的形狀為 （ ）
A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．不確定
二、填空題
2．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）在中，，的角平分線交BC于D，則 ．
三、解答題
3．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c﹐已知．
(1)若，求C；
(2)證明：
4．（全國·高考真題）△ABC中D是BC上的點(diǎn),AD平分BAC,BD=2DC．
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）若,求.
5．（全國·高考真題）中，D是BC上的點(diǎn)，AD平分∠BAC，面積是面積的2倍．
(1)求；
(2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的長．

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