新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精品講練測第3章：導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用模擬測試（2份，原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）
注意事項(xiàng):
1.答題前,先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。
2.選擇題的作答:每小題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂
黑。寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。
3.非選擇題的作答:用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試卷
草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。
4.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并上交。
第Ⅰ卷（選擇題）
一、單選題（本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1．已知可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若對任意的，都有，且為奇函數(shù)，則不等式的解集為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，將不等式化為，利用的單調(diào)性求解可得結(jié)果.
【詳解】設(shè)，由題設(shè)條件，得，
故函數(shù)在上單調(diào)遞減.
由為奇函數(shù)，得，得，
所以，
不等式等價(jià)于，即，
又函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，
故不等式的解集是．
故選：D．
2．已知函數(shù)，若，不等式恒成立，則正實(shí)數(shù)的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分析出函數(shù)為奇函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析可知函數(shù)在上為增函數(shù)，由可得出，令，求出函數(shù)在上的最大值，即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】因?yàn)?，其中，則，且不恒為零，
所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，
又因?yàn)?，故函?shù)為奇函數(shù)，
由可得，
所以，，所以，，
令，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，
所以，.
故選：B.
3．已知定義在上的函數(shù)，分別為函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)，若為偶函數(shù)，且，，則（）
A．2023B．4C．D．0
【答案】D
【分析】由為偶函數(shù)列式并求導(dǎo)、賦值可得，再由求導(dǎo)，并結(jié)合可得、的周期為4，再通過賦值即可求得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，
所以，
所以，
令，則，
因?yàn)椋?br>所以，①
所以，②
又因?yàn)?，?br>由②③得：，④
所以，
所以，
所以的周期為4，
又因?yàn)椋?br>所以的周期為4，
在①中令得：，
在③中令得：，
在④中令得：，
所以，
所以，
故選：D.
4．已知，設(shè)曲線在處的切線斜率為，則（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義可得，利用導(dǎo)數(shù)可求得在上單調(diào)遞減；根據(jù)大小關(guān)系可得結(jié)論.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，，，
，在上單調(diào)遞減；
，
所以，而，
所以，
.
故選：A.
5．已知，且滿足，則（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】變形給定的等式，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討單調(diào)性，借助單調(diào)性比較大小作答.
【詳解】由，得，
由，得，
由，得，
令函數(shù)，顯然，求導(dǎo)得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
于是，即有，而，
所以.
故選：B
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：某些數(shù)或式大小關(guān)系問題，看似與函數(shù)的單調(diào)性無關(guān)，細(xì)心挖掘問題的內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，構(gòu)造函數(shù)，分析并運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解題，它能起到化難為易、化繁為簡的作用.
6．已知函數(shù)，，，恒成立，則的最大值為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】令，其中，分析可知，存在，使得，可得出，由題意可得出，可得出，由此可得出，令，其中，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值，即為的最大值.
【詳解】令，其中，則，
令，其中，則，
故函數(shù)在上為增函數(shù)，
①當(dāng)時(shí)，，，則，
所以，，
所以，存在，使得；
②當(dāng)時(shí)，，則，，
所以，存在，使得；
③當(dāng)時(shí)，令，則，
令，則，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
所以，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，
所以，，
所以存在，使得，即.
由上可知，對任意的，存在，使得，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
所以，
，則，
所以，，
令，其中，
所以，，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
所以，，即的最大值為.
故選：A.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求函數(shù)在區(qū)間上的最值的方法：
（1）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，則與一個(gè)為最大值，另一個(gè)為最小值；
（2）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有極值，則要求先求出函數(shù)在區(qū)間上的極值，再與、比大小，最大的為最大值，最小的為最小值；
（3）若函數(shù)在區(qū)間上只有唯一的極大點(diǎn)，則這個(gè)極值點(diǎn)就是最大（最?。┲迭c(diǎn)，此結(jié)論在導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常用到.
7．英國數(shù)學(xué)家布魯克·泰勒（Brk Taylr，1685.8~1731.11）以發(fā)現(xiàn)泰勒公式和泰勒級數(shù)而聞名于世.根據(jù)泰勒公式，我們可知：如果函數(shù)在包含的某個(gè)開區(qū)間上具有階導(dǎo)數(shù)，那么對于，有，若取，則，此時(shí)稱該式為函數(shù)在處的階泰勒公式.計(jì)算器正是利用這一公式將，，，，等函數(shù)轉(zhuǎn)化為多項(xiàng)式函數(shù)，通過計(jì)算多項(xiàng)式函數(shù)值近似求出原函數(shù)的值，如，，則運(yùn)用上面的想法求的近似值為（）
A．0.50B．C．D．0.56
【答案】B
【分析】先化簡，根據(jù)題意得到的泰勒展開式，求得的值，即可求解.
【詳解】由三角恒等變換的公式，化簡得，
又由，
可得，所以.
故選：B.
8．設(shè)，則（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】作差法判斷、的大小，構(gòu)造函數(shù), 利用導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性判斷、的大小.
【詳解】
，
又，
所以令，，
則，
令，
則，
當(dāng)時(shí),, ，
所以，
故,故在上是增函數(shù)，
又∵，
∴當(dāng)時(shí),, 故在上是增函數(shù)，
故,即，
故.
故選:A.
【點(diǎn)睛】本題使用構(gòu)造函數(shù)并利用函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)值大小關(guān)系，在構(gòu)造函數(shù)時(shí)首先把要比較的值變形為含有一個(gè)共同的數(shù)值，將這個(gè)數(shù)值換成變量就有了函數(shù)的形式，如在本題中，將視為變量可以構(gòu)造函數(shù).
二、多選題（本題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對得 5 分，有選錯(cuò)得 0 分，部分選對得 2 分）
9．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為.，，當(dāng)時(shí)，，，則（）
A．的圖象關(guān)于對稱B．為偶函數(shù)
C．D．不等式的解集為
【答案】BCD
【分析】A.由得到判斷；B.由得到，再結(jié)合判斷；C.由得到再結(jié)合判斷；D.由為偶函數(shù)且得到是周期函數(shù)，且周期為8，再結(jié)合當(dāng)時(shí)，，可知在單調(diào)遞減，畫出的大致圖象，利用數(shù)形結(jié)合法求解.
【詳解】由可得，故可知的圖象關(guān)于對稱，故A錯(cuò)誤，
由得，由得，故為偶函數(shù)，故B正確，
由可得，所以，又為偶函數(shù)，所以，即，故C正確，
由為偶函數(shù)且可得，所以是周期函數(shù)，且周期為8，又當(dāng)時(shí)，，可知在單調(diào)遞減
故結(jié)合的性質(zhì)可畫出符合條件的的大致圖象：

由性質(zhì)結(jié)合圖可知：當(dāng)，時(shí)，，故D正確，
故選：BCD
10．定義在R上的函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)為，，是偶函數(shù).已知，，則（）
A．是奇函數(shù)B．圖象的對稱軸是直線
C．D．
【答案】ABC
【分析】對于A，利用題中條件解出，利用奇函數(shù)得定義即可；
對于B,對題中得兩個(gè)條件進(jìn)行變化，可得到，從而判定出的對稱軸；
對于C,對題中得兩個(gè)條件進(jìn)行變化，對進(jìn)行賦值，即可；
對于D,證明的性質(zhì)，從而得到結(jié)論.
【詳解】,，
，又
為奇函數(shù)，故A正確.
是偶函數(shù)，，
則
又，則，
所以，則
則，，
故的圖象關(guān)于對稱，故B正確.
因?yàn)椋裕?br>令得，，
又，令，
得=，故C正確.
，，
又，是奇函數(shù)，
，是奇函數(shù)，
則，，
則，，
故，D錯(cuò)誤.
故選：ABC.
11．定義在上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)分別為，若，，則（）
A．是奇函數(shù)
B．關(guān)于對稱
C．周期為4
D．
【答案】ABD
【分析】對于選項(xiàng)A，利用已知條件，即得結(jié)果.對于選項(xiàng)B，由題意可推導(dǎo)出為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，所以，即即可證明；對于選項(xiàng)C，由關(guān)于對稱和關(guān)于對稱，即得結(jié)果.對于選項(xiàng)D，通過賦值，利用C中推導(dǎo)的結(jié)論和已知條件，由等差數(shù)列的前項(xiàng)和即得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)榭傻脼榕己瘮?shù)，所以，則為奇函數(shù)，故A正確；
因?yàn)?，偶函?shù)，時(shí)偶函數(shù)，
所以為偶函數(shù)，所以關(guān)于對稱，
因?yàn)?，為奇函?shù)，為奇函數(shù)，
所以為奇函數(shù)，關(guān)于對稱，
，
則其中為常數(shù)，又故，有關(guān)于對稱，B正確；
令等價(jià)于，，所以，
因?yàn)殛P(guān)于對稱，所以，
所以令等價(jià)于，所以，所以，
故可看成數(shù)列，
而因?yàn)殛P(guān)于對稱，所以，，
故是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，
是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，
所以沒有周期性，故C不正確；
，
所以，故D正確.
故選：ABD.
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查利用抽象函數(shù)關(guān)系式求解函數(shù)周期性、對稱性、奇偶性的問題；對于與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的函數(shù)性質(zhì)，有如下結(jié)論：
①若連續(xù)且可導(dǎo)，那么若為奇函數(shù)，則為偶函數(shù)；若為偶函數(shù)，則為奇函數(shù)；
②若連續(xù)且可導(dǎo)，那么若關(guān)于對稱，則關(guān)于點(diǎn)對稱；若關(guān)于對稱，則關(guān)于對稱.
12．已知函數(shù)的定義域?yàn)椋鋵?dǎo)函數(shù)為，且，，則（）
A．B．
C．在上是增函數(shù)D．存在最小值
【答案】ABC
【分析】AB選項(xiàng)，構(gòu)造，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，從而判斷AB選項(xiàng)，CD選項(xiàng)，構(gòu)造，二次求導(dǎo)，得到其單調(diào)性，判斷CD.
【詳解】設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
A選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，即，A正確；
B選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，即，B正確；
C選項(xiàng)，，則，
令，則，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
又，
故恒成立，
所以在上恒成立，故在上是增函數(shù)，C正確；
D選項(xiàng)，由C選項(xiàng)可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故無最小值.
故選：ABC
【點(diǎn)睛】利用函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的相關(guān)不等式構(gòu)造函數(shù)，然后利用所構(gòu)造的函數(shù)的單調(diào)性解不等式，是高考?？碱}目，以下是構(gòu)造函數(shù)的常見思路：
比如：若，則構(gòu)造，
若，則構(gòu)造，
若，則構(gòu)造，
若，則構(gòu)造.
第Ⅱ卷（非選擇題）
三、填空題（本題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分）
13．已知實(shí)數(shù)成等比數(shù)列，且函數(shù)，當(dāng)時(shí)取到極大值，則等于 .
【答案】
【分析】通過導(dǎo)函數(shù)，求出極值，再利用等比數(shù)列的性質(zhì)，即可求解.
【詳解】令，
則函數(shù)的定義域?yàn)?，?dǎo)函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取極大值，極大值為，
所以，故，
又成等比數(shù)列，所以，
故答案為：.
14．已知是定義在上的偶函數(shù)且，若，則的解集為 .
【答案】
【分析】構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得函數(shù)的單調(diào)性，即可由單調(diào)性求解.
【詳解】令，則，
由于，所以，故在上單調(diào)遞減，又是定義在上的偶函數(shù)且，故，所以，
等價(jià)于，因此，
故的解集為，
故答案為：
15．已知函數(shù)，若函數(shù)恰有6個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．
【答案】
【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出在上的單調(diào)性與極大值，即可畫出函數(shù)的圖象，依題意可得關(guān)于的方程恰有個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，令，則關(guān)于的有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且，，令，則，即可求出參數(shù)的取值范圍.
【詳解】當(dāng)時(shí)，則，所以當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
則在處取得極大值，，且時(shí)，當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以的圖象如下所示：

對于函數(shù)，令，即，
令，則，
要使恰有個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
即關(guān)于的有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且，，
令，則有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)均位于之間，
所以，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解答的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，得到函數(shù)的大致圖象，將函數(shù)的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的分布問題.
16．已知定義在上函數(shù)滿足：，寫出一個(gè)滿足上述條件的函數(shù) .
【答案】（答案不唯一）
【分析】先證明，再證明均滿足題設(shè)要求，故可得為滿足題設(shè)要求的函數(shù).
【詳解】先證明：.
設(shè)，則，
故在上為減函數(shù)，故，
故恒成立，故可設(shè)，
則，即，
而，
故均滿足題設(shè)要求，
特別地，取，故滿足題設(shè)要求.
故答案為：（答案為不唯一）.
四、解答題（本題共 6 小題，其中 17 題 10 分，18、19、20、21、22 題各 12 分，共 70 分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
17．已知函數(shù).
(1)若的極大值為3，求實(shí)數(shù)的值；
(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）當(dāng)，對求導(dǎo)，得出的單調(diào)性和極大值，即可得出答案.
（2）由題意整理可得，利用換元法，令，則，令，利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值，求解即可得出答案.
【詳解】（1）因?yàn)?，由，得，即的定義域?yàn)?
因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)椋?br>所以當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
所以當(dāng)時(shí)，取得極大值，
解得.
（2）當(dāng)時(shí)，，
即，所以.
令，則，
令，則，所以當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，即，
所以，所以，又，所以，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問的關(guān)鍵點(diǎn)在于把恒成立問題通過分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為新函數(shù)的最值問題，轉(zhuǎn)化后利用導(dǎo)數(shù)判斷出其定義域上的單調(diào)性求出值域或最值問題就解決了.
18．已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)時(shí),若有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,且.求證:.
【答案】(1)答案見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）先求導(dǎo)數(shù),對進(jìn)行分類討論,分別求解出和的解即可;
（2）利用切線放縮,先證明,先求出曲線在和處的切線,再構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行證明,同理證明即可.
【詳解】（1）的定義域?yàn)?
.
①若,因?yàn)楹愠闪?所以在上單調(diào)遞減.
②若,令,得;令得,,
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增,上單調(diào)遞減.
③若,令,得;令,得,
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增,上單調(diào)遞減.
綜上:
當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減;
當(dāng)時(shí),在區(qū)間上單調(diào)遞增,上單調(diào)遞減;
當(dāng)時(shí),在區(qū)間上單調(diào)遞增,上單調(diào)遞減.
（2）,
先證不等式,
因?yàn)?
所以曲線在和處的切線分別為和,
如圖:

令,
,
令,則;令,則;
所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
所以,所以在上恒成立,
設(shè)直線與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,則,
設(shè)直線與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,同理可證,
因?yàn)?
所以(兩個(gè)等號不同時(shí)成立),
因此.
再證不等式,
函數(shù)圖象上兩點(diǎn),
設(shè)直線與直線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為,
易證,且,
所以.
綜上可得成立.
【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)證明不等式的常用方法有:（1）最值法:直接構(gòu)造函數(shù)或分離參數(shù)后構(gòu)造函數(shù),通過求解最值證明;（2）放縮法:通過構(gòu)造切線或割線,利用切線放縮或者割線放縮進(jìn)行證明.
19．已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性：
(2)若是方程的兩不等實(shí)根，求證：；
【答案】(1)答案見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）求出函數(shù)的定義域和導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)和分類討論，即可得出函數(shù)的單調(diào)性；
（2）由可得，是方程的兩不等實(shí)根，從而可將問題轉(zhuǎn)化為是方程的兩不等實(shí)根，即可得到和的范圍，原不等式等價(jià)于，即極值點(diǎn)偏移問題，根據(jù)對稱化構(gòu)造（解法1）或?qū)?shù)均值不等式（解法2）等方法即可證出．
【詳解】（1）由題意得，函數(shù)的定義域?yàn)?
由得：，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，由得，由得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
（2）因?yàn)槭欠匠痰膬刹坏葘?shí)根，，
即是方程的兩不等實(shí)根，
令，則，即是方程的兩不等實(shí)根.
令，則，所以在上遞增，在上遞減，，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，且.
所以0，即0.
令，要證，只需證，
解法1（對稱化構(gòu)造）：令，
則，
令，
則，
所以在上遞增，，
所以h，所以，
所以，所以，
即，所以.
解法2（對數(shù)均值不等式）：先證，令，
只需證，只需證，
令，
所以在上單調(diào)遞減，所以.
因?yàn)?，所以?br>所以，即，所以.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題第二問解題關(guān)鍵是合理轉(zhuǎn)化，將問題變成熟悉的極值點(diǎn)偏移問題，從而根據(jù)對稱化構(gòu)造及對數(shù)均值不等式等方法證出．
20．已知函數(shù)，．
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若函數(shù)的零點(diǎn)分別為，且，證明：．
【答案】(1)答案見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）求函數(shù)的定義域和導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系判斷函數(shù)的單調(diào)性；
（2）由已知結(jié)合兩點(diǎn)定義可得，由分析可得要證明，只需證明，
設(shè)，則只需證明，設(shè)，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值即可證明結(jié)論.
【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，?dǎo)函數(shù)，
①當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；
②當(dāng)時(shí)，令，則，
∴當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；
（2）由（1）知，方程的兩個(gè)不等的正實(shí)根，即，
亦即，從而，
設(shè)，又，即，
要證，即證，
只需證，
即證，
即證，
即證，
即證，
即證，
即證，
令，則
設(shè)，則
則在上單調(diào)遞增，有，
于是，即有在上單調(diào)遞增，
因此，即，
所以成立，即．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常化為不等式恒成立問題．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．
21．已知函數(shù)．
(1)試討論的單調(diào)性；
(2)若不等式對任意的恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】(1)答案見解析；
(2)．
【分析】（1）求出的導(dǎo)函數(shù)，討論與0的大小關(guān)系即可求解；
（2）由題意可得，設(shè)，當(dāng)時(shí)，利用放縮、構(gòu)造函數(shù)、求導(dǎo)可知滿足題意；當(dāng)時(shí)，證明在上有唯一的零點(diǎn)即可.
【詳解】（1）的定義域?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減．
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減.
綜上所述，時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
（2）由題意，即為，
設(shè)，
①當(dāng)時(shí)，，
設(shè)，
則，
設(shè)，則，
所以在上單調(diào)遞增，
又，所以恒成立，即，
又，所以在上恒成立，從而在上單調(diào)遞增，
因?yàn)?，所以，又，所以，滿足題意；
②當(dāng)時(shí)，，
設(shè)，
則，
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以恒成立，
故在上單調(diào)遞增，
設(shè)，則，
所以在上單調(diào)遞增，
又，所以恒成立，即，從而，
所以當(dāng)時(shí)，必有，
又，所以在上有唯一的零點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，，
從而在上單調(diào)遞減，結(jié)合知當(dāng)時(shí)，，
所以在上不能恒成立，不合題意.
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是．
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：對于恒成立問題，常用到以下兩個(gè)結(jié)論：
（1）恒成立；
（2）恒成立.
22．已知函數(shù).
(1)已知過點(diǎn)的直線與曲線相切于，求的值；
(2)已知，證明：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出切線的斜率，根據(jù)兩點(diǎn)求出切線的斜率，得出方程，求解即可得出答案；
（2）法一：先考慮，證明出，要證明，轉(zhuǎn)化為證明，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，極值和最值情況，再考慮，得到，，得到結(jié)論，要證明，則要分，，結(jié)合隱零點(diǎn)進(jìn)行證明；
法二：對求導(dǎo)，令導(dǎo)函數(shù)等于0得到，構(gòu)造，求導(dǎo)得到其單調(diào)性和極值，最值情況，分，，轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行求解.
【詳解】（1）依題意得，，則切線的斜率.
又因?yàn)榍悬c(diǎn)為，則.
所以有，解得.
（2）解法一：
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減.
因?yàn)?，則，
所以，即.
要證，即，等價(jià)于，
即，，
設(shè)，則.
令，解得，
所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.
所以，在處取得唯一極小值，也是最小值，
且
所以，故.
當(dāng)時(shí)，若，則，
所以，①，
同理，即，故，
所以②，
故①＋②得，.
綜上所述，.
令，得，
設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，
且由，，得，即.
當(dāng)時(shí)，存在唯一的，使得，即，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
，設(shè)，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以，.
又因?yàn)椋?，所以，?
綜上，若，則.
解法二：
求導(dǎo)，.
令，得，設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，，
當(dāng)單調(diào)遞減.
若，則，所以，即.
要證，等價(jià)于證，又因?yàn)閱握{(diào)遞減，所以，消元，
得，即，得.
若，，不等式顯然成立.
若.
當(dāng)，有，使得.
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
時(shí)，單調(diào)遞減.
，設(shè)，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，
又因?yàn)?，且，所以，?
綜上，若，則
【點(diǎn)睛】對于求不等式成立時(shí)的參數(shù)范圍問題，一般有三個(gè)方法，一是分離參數(shù)法, 使不等式一端是含有參數(shù)的式子，另一端是一個(gè)區(qū)間上具體的函數(shù)，通過對具體函數(shù)的研究確定含參式子滿足的條件.二是討論分析法，根據(jù)參數(shù)取值情況分類討論，三是數(shù)形結(jié)合法，將不等式轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)，通過兩個(gè)函數(shù)圖像確定條件.

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