新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精品講練測第1章專題05 基本不等式（2份，原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

知識講解
基本不等式
，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號
其中叫做正數(shù)，的算術(shù)平均數(shù)，
叫做正數(shù)，的幾何平均數(shù)
通常表達為：（積定和最?。?br>應(yīng)用條件：“一正，二定，三相等”
基本不等式的推論1
（和定積最大）
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號
基本不等式的推論2
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號
其他結(jié)論
①eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2(ab＞0)．
②eq \f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)≤ eq \r(\f(a2＋b2,2))(a＞0，b＞0)．
③已知a，b，x，y為正實數(shù)，
若ax＋by＝1，則有eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＝＝a＋b＋eq \f(by,x)＋eq \f(ax,y)≥a＋b＋2eq \r(ab)＝(eq \r(a)＋eq \r(b))2.
若eq \f(a,x)＋eq \f(b,y)＝1，則有x＋y＝＝a＋b＋eq \f(ay,x)＋eq \f(bx,y)≥a＋b＋2eq \r(ab)＝(eq \r(a)＋eq \r(b))2.
注意1．使用基本不等式求最值時，“一正”“二定”“三相等”三個條件缺一不可．
注意2．“當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時等號成立”的含義是“a＝b”是等號成立的充要條件，這一點至關(guān)重要，忽略它往往會導(dǎo)致解題錯誤．
注意3．連續(xù)使用基本不等式求最值，要求每次等號成立的條件一致．
考點一、直接用基本不等式求最值
1．（2023·安徽滁州·安徽省定遠中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知實數(shù)，則的最小值為___________.
2．（2023·湖北孝感·校聯(lián)考模擬預(yù)測）的最小值為______.
1．（2023·山西大同·大同市實驗中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知，若不等式恒成立，則的最大值為________．
2．（2023·浙江臺州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知實數(shù)，滿足，則的最大值為_____________.
考點二、巧用“1”或常數(shù)關(guān)系求最值
1．（2023·湖北·統(tǒng)考二模）若正數(shù)滿足，則的最小值為（）
A．B．C．2D．
2．（2023·湖南邵陽·統(tǒng)考二模）若，，，則的最小值為______．
1．（2023·重慶·統(tǒng)考一模）已知，則的最小值是___________.
2．（2023·山西晉中·統(tǒng)考三模）設(shè)且，則的最小值為_________．
3．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？家荒＃┮阎?，且，則的最小值為______．
4．（2023·重慶沙坪壩·重慶南開中學(xué)?？家荒＃┤簦?，則的最小值為（）
A．9B．3C．1D．
考點三、變形為分式的“分母”形式求最值
1．2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知，則的最小值為（）
A．8B．9C．10D．11
2．（2023·山西忻州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知，則的最小值是（）
A．6B．8C．10D．12
1．（2023·黑龍江哈爾濱·哈九中?？寄M預(yù)測）已知都是正數(shù)，且，則的最小值為__________．
2．（2023·廣東肇慶·校考模擬預(yù)測）已知，若的最小值大于7，寫出滿足條件的一個a的值：__________．
3．（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考一模）已知，，且，則的最小值是（）
A．2B．4C．D．9
4．（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考三模）已知實數(shù)，且，則的最小值為___________.
考點四、兩次應(yīng)用基本不等式求最值
1．（2023·河北衡水·衡水市第二中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知實數(shù)，滿足，則當(dāng)取得最小值時，的值為（）
A．1B．C．2D．
1．（2023·吉林長春·統(tǒng)考模擬預(yù)測）若，，則的最小值為___________.
2．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知為非零實數(shù)，，均為正實數(shù)，則的最大值為（）
A．B．C．D．
考點五、條件等式變形求最值
1.（2022年新高考全國II卷數(shù)學(xué)真題）若x，y滿足，則（）
A．B．
C．D．
2．（2020年新高考全國II卷數(shù)學(xué)真題）已知a>0，b>0，且a+b=1，則（）
A．B．
C．D．
3．（2023·海南·海南華僑中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知，，若，則的最小值為_____________.
2．（2023·安徽馬鞍山·統(tǒng)考二模）若a，b，c均為正數(shù)，且滿足，則的最小值是（）
A．6B．C．D．
1．（2023·湖北襄陽·襄陽四中?？寄M預(yù)測）若a，b，c均為正數(shù)，且滿足，則的最小值是（）
A．2B．1C．D．
2．（2023·遼寧沈陽·東北育才雙語學(xué)校校考一模）若，則的最小值是___________.
3．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知a，b，c均為正數(shù)，且滿足，則的最小值為______．
考點六、構(gòu)造法或換元法求最值
1．（2023·江蘇常州·常州市第三中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知，，，，則的最小值為（）
A．B．2C．6D．
2．（2023·吉林·長春十一高校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知正實數(shù)x，y滿足，則的小值為______．
1．（2023·遼寧·鞍山一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）若關(guān)于的不等式對任意恒成立，則正實數(shù)的取值集合為______．
2．（2023·山東日照·山東省日照實驗高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知正實數(shù)滿足，則的最小值為___________.
3．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考模擬預(yù)測）若，，則的最大值為____________．
考點七、利用基本不等式判斷或證明不等式關(guān)系
1．（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知實數(shù)滿足且，則下列不等關(guān)系一定正確的是（）
A．B．
C．D．
2．（2023·湖南長沙·長郡中學(xué)?？家荒＃┮阎?，則m，n不可能滿足的關(guān)系是（）
A．B．
C．D．
1．（多選）（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知，則下列不等式成立的是（）
A．B．
C．D．
2．（多選）（2023·河北唐山·開灤第二中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知，則下列不等式正確的是（）
A．B．
C．D．
考點八、基本不等式的實際應(yīng)用問題
1．（2023·江蘇常州·?？家荒＃┘?、乙兩名司機的加油習(xí)慣有所不同，甲每次加油都說“師傅，給我加300元的油”，而乙則說“師傅幫我把油箱加滿”，如果甲、乙各加同一種汽油兩次，兩人第一次與第二次加油的油價分別相同，但第一次與第二次加油的油價不同，乙每次加滿油箱，需加入的油量都相同，就加油兩次來說，甲、乙誰更合算（）
A．甲更合算B．乙更合算
C．甲乙同樣合算D．無法判斷誰更合算
1．（2023·遼寧·校聯(lián)考二模）數(shù)學(xué)命題的證明方式有很多種．利用圖形證明就是一種方式．現(xiàn)有如圖所示圖形，在等腰直角三角形中，點O為斜邊AB的中點，點D為斜邊AB上異于頂點的一個動點，設(shè)，，用該圖形能證明的不等式為（）．
A．B．
C．D．
2．（多選）（2023·安徽淮北·統(tǒng)考二模）設(shè)a，b為兩個正數(shù)，定義a，b的算術(shù)平均數(shù)為，幾何平均數(shù)為．上個世紀(jì)五十年代，美國數(shù)學(xué)家D．H. Lehmer提出了“Lehmer均值”，即，其中p為有理數(shù)．下列結(jié)論正確的是（）
A．B．
C．D．
考點九、基本不等式多選題綜合
1．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知為實數(shù)，且，則下列不等式正確的是（）
A．B．
C．D．
1．（2023·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知正實數(shù)a，b滿足，則（）
A．B．C．D．
2．（2023·遼寧·校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)均為正數(shù)，且，則（）
A．B．當(dāng)時，可能成立
C．D．
3．（2023·江蘇·二模）已知，，且，則（）
A．B．
C．D．
【基礎(chǔ)過關(guān)】
1．（2023·湖南衡陽·衡陽市八中?？寄M預(yù)測）已知實數(shù)，滿足，則的最大值為（）
A．B．C．D．
2．（2023·海南?？凇ばＢ?lián)考模擬預(yù)測）若正實數(shù)，滿足．則的最小值為（）
A．12B．25C．27D．36
3．（2023·重慶沙坪壩·重慶南開中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知，則的最小值為（）
A．B．C．D．
4．（2023·吉林四平·四平市實驗中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知正實數(shù)，則“”是“”的（）
A．必要不充分條件B．充分不必要條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件
二、多選題
5．（2023·廣東汕頭·金山中學(xué)?？既＃┤?，則下列不等式對一切滿足條件恒成立的是（）
A．B．
C．D．
6．（2023·河北唐山·開灤第二中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知，則下列不等式正確的是（）
A．B．
C．D．
7．（2023·湖南邵陽·統(tǒng)考三模）,則下列命題中，正確的有（）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
三、填空題
8．（2023·吉林延邊·統(tǒng)考二模）設(shè)，，若，則取最小值時a的值為______．
9．（2023·浙江寧波·鎮(zhèn)海中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知a，b為兩個正實數(shù)，且，則的最大值為__________．
10．（2023·安徽安慶·安慶一中校考三模）已知非負數(shù)滿足，則的最小值是___________.
【能力提升】
1．（2023·遼寧沈陽·東北育才學(xué)校?？寄M預(yù)測）已知正實數(shù)滿足，則的最小值為（）
A．2B．4C．8D．9
2．（2023·湖北襄陽·襄陽四中?？寄M預(yù)測）若a，b，c均為正數(shù)，且滿足，則的最小值是（）
A．2B．1C．D．
二、多選題
3．（2023·山東濟寧·統(tǒng)考二模）已知，且，則下列結(jié)論中正確的是（）
A．B．C．D．
4．（2023·湖南長沙·長沙市明德中學(xué)?？既＃┤?，且，則（）
A．B．
C．D．
5．（2023·山東煙臺·統(tǒng)考三模）已知且，則（）
A．的最大值為B．的最大值為2
C．的最小值為6D．的最小值為4
三、填空題
6．（2023·山東濟南·統(tǒng)考三模）已知正數(shù)滿足，則的最小值為___________.
7．（2023·山東·校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)，則的最小值為______.
8．（2023·遼寧遼陽·統(tǒng)考二模）若，則的值可以是__________．
9．（2023·山西大同·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知，，，，則的最小值為________．
10．（2023·湖南郴州·安仁縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知，且，則的最小值為___________.
【真題感知】
1．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知，是橢圓：的兩個焦點，點在上，則的最大值為（）
A．13B．12C．9D．6
2．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)為坐標(biāo)原點，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點，若的面積為8，則的焦距的最小值為（）
A．4B．8C．16D．32
二、填空題
3．（2021·天津·統(tǒng)考高考真題）若，則的最小值為____________．
4．（2020·江蘇·統(tǒng)考高考真題）已知，則的最小值是_______．
5．（2020·天津·統(tǒng)考高考真題）已知，且，則的最小值為_________．
三、解答題
6．（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD⊥底面ABCD．設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l．
（1）證明：l⊥平面PDC；
（2）已知PD=AD=1，Q為l上的點，求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值．
7．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
8．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）在直角坐標(biāo)系中，點到軸的距離等于點到點的距離，記動點的軌跡為．
(1)求的方程；
(2)已知矩形有三個頂點在上，證明：矩形的周長大于．

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