方法解讀
求幾何圖形面積：通常將坐標軸上的邊或與坐標軸平行的邊作為底邊，再利用點的坐標求得底邊上的高，最后利用面積公式求解.
常見求三角形面積的示例如下：
①S△AOB＝12OB·AD；
②S△ADB＝S△ACD＋S△BDC；
③S△AOB＝S△ACO＋S△BOC＝S△ADO＋S△BDO.
例1 如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)y＝k1x＋b1(k1≠0)的圖象與反比例函數(shù)y＝k2x(k2≠0)的圖象分別交于點A(－1，－2)，B(32，n).
(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；
(2)如圖①，點C是反比例函數(shù)圖象上一動點，過點C作y軸的垂線，交y軸于點D，交一次函數(shù)圖象于點E，當點C恰好是DE的中點時，求點C的坐標；
例1題圖①
(3)核心設(shè)問 如圖②，連接OA，OB，求△AOB的面積；[2019廣東23(2)題考查]
例1題圖②
(4)核心設(shè)問 如圖③，點M是一次函數(shù)圖象上一動點，當AM＝3BM時，求點M的坐標.[2021廣東21(2)題考查]
例1題圖③
考點2 反比例函數(shù)與幾何結(jié)合(6年2考)
方法解讀
一、坐標法
由y＝kx得到xy＝k，如：點A(xA，yA)，B(xB，yB)在反比例函數(shù)y＝kx的圖象上，則xA·yA＝xB·yB＝k①，即反比例函數(shù)圖象上的點的橫、縱坐標積相等，都等于k；①式變形為xAxB＝y(tǒng)ByA②，即反比例函數(shù)圖象上兩點橫坐標的比值與縱坐標的比值互為倒數(shù).
二、面積法
面積法的本質(zhì)即利用“k”的幾何意義，由xy＝k可以得到；反比例函數(shù)圖象上的點向x，y軸作垂線，得到的矩形面積都相等，均為｜k｜；進而得到下圖中：S△AOB＝S△COD＝12｜k｜.
例2 (北師九上習題改編)如圖，已知雙曲線y＝kx(x＞0)經(jīng)過Rt△OAB斜邊OB的中點D，與直角邊AB相交于點C，DE⊥OA于點E，連接OC，若△OBC的面積為3，則k等于 .
例2題圖
例3 (2024東莞一模改編)如圖，點A是反比例函數(shù)y＝6x(x＞0)的圖象上任意一點，AB∥x軸并交反比例函數(shù)y＝－3x(x＜0)的圖象于點B，以AB為邊作菱形ABCD，其中C，D在x軸上，則菱形ABCD的面積為 .
例3題圖
例4 (人教九上習題改編)如圖，△ABC的邊AB在x軸上，邊AC交y軸于點E，AE∶EC＝1∶2，反比例函數(shù)y＝kx(x＞0)的圖象過點C，且交線段BC于點D，BD∶DC＝1∶3，連接AD，若S△ABD＝114，則k的值為 .
例4題圖
真題及變式
命題點1 反比例函數(shù)與一次函數(shù)結(jié)合(6年3考)
1. (2021廣東21題8分)在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y＝kx＋b(k＞0)的圖象與x軸，y軸分別交于A，B兩點，且與反比例函數(shù)y＝4x圖象的一個交點為P(1，m).
(1)求m的值；
(2)若PA＝2AB，求k的值.
2. (2019廣東23題9分)如圖，一次函數(shù)y＝k1x＋b的圖象與反比例函數(shù)y＝k2x的圖象相交于A，B兩點，其中點A的坐標為(－1，4)，點B的坐標為(4，n).
(1)根據(jù)圖象，直接寫出滿足k1x＋b＞k2x的x的取值范圍；
(2)求這兩個函數(shù)的表達式；
(3)點P在線段AB上，且S△AOP∶S△BOP＝1∶2，求點P的坐標.
第2題圖
命題點2 反比例函數(shù)與幾何結(jié)合(6年2考)
3. (2020廣東24題10分)如圖，點B是反比例函數(shù)y＝8x(x＞0)圖象上一點，過點B分別向坐標軸作垂線，垂足為A， C.反比例函數(shù)y＝kx(x＞0)的圖象經(jīng)過OB的中點M，與AB，BC分別相交于點D，E.連接DE并延長交x軸于點F，點G與點O關(guān)于點C對稱，連接BF，BG.
(1)填空：k＝ ；
(2)求△BDF的面積；
(3)求證：四邊形BDFG為平行四邊形.
第3題圖
高頻考點
例1 解：(1)將點A(－1，－2)代入y＝k2x(k2≠0)中，得k2－1＝－2，
解得k2＝2，
∴反比例函數(shù)的解析式為y＝2x，
將點B(32，n)代入y＝2x中，得n＝43，
∴點B(32，43)，
將點A(－1，－2)，B(32，43)分別代入y＝k1x＋b1(k1≠0)中，
得－k1＋b1＝－232k1＋b1＝43，
解得k1＝43b1＝－23，
∴一次函數(shù)的解析式為y＝43x－23；
(2)設(shè)點C的坐標為(x，2x)，
∵點C是DE的中點，
∴點E的坐標為(2x，2x)，
將點E(2x，2x)代入y＝43x－23中，
得43·2x－23＝2x，
整理得4x2－x－3＝0，
解得x＝1或x＝－34，
當x＝1時，y＝21＝2，點C的坐標為(1，2)，
當x＝－34時，y＝2－34＝－83，點C的坐標為(－34，－83).
綜上所述，點C的坐標為(1，2)或(－34，－83)；
(3)由(1)可知點A(－1，－2)，點B(32，43)，
在一次函數(shù)y＝43x－23中，令y＝0，得x＝12，
∴S△AOB＝12×12×(43＋2)＝56；
(4)設(shè)點M(a，b)，當點M在AB的延長線上時，
∵AM＝3BM，∴AB＝23AM，
如解圖①，過點M作x軸的垂線，過點A作y軸的垂線，兩線相交于點P，過點B作BQ⊥AP于點Q，則BQ∥MP，
∴△ABQ∽△AMP，
∴AQAP＝BQMP＝ABAM＝23，
∴32+1a+1＝43+2b+2＝23，
解得a＝114，b＝3，
∴點M的坐標為(114，3)；
當點M在線段AB上時，
∵AM＝3BM，∴AB＝43AM，
如解圖②，過點M作x軸的垂線，過點A作y軸的垂線，兩線相交于點P，過點B作BQ⊥AP交AP的延長線于點Q，則BQ∥MP，
∴△ABQ∽△AMP，
∴AQAP＝BQMP＝ABAM＝43，
∴32+1a+1＝43+2b+2＝43，
解得a＝78，b＝12，
∴點M的坐標為(78，12).
綜上所述，點M的坐標為(114，3)或(78，12).
圖①
圖②
例1題解圖
例2 2 【解析】∵DE⊥OA，BA⊥OA，∴DE∥AB，∵D是OB中點，∴OE＝12OA，DE＝12AB，∴xCxD＝OAOE＝2，又∵點C，D都在y＝kx上，∴xCxD＝y(tǒng)DyC＝2，即DE＝2AC，∴AB＝4AC，∴BC＝3AC，∴S△OBC＝12BC·OA＝12·3AC·OA＝32k＝3，∴k＝2.
一題多解法
∵點C，D都在y＝kx上，∴S△ODE＝S△OCA＝k2，由題意得△ODE∽△OBA，且相似比DEAB＝12，∴S△ODES△OBA＝14，∴S△OBA＝4S△ODE＝2k，又∵S△OBA＝S△OBC＋S△OCA＝3＋12k，∴2k＝3＋12k，∴k＝2.
例3 9 【解析】設(shè)點B的縱坐標為b，∴－3x＝b，解得x＝－3b，∵AB∥x軸，∴點A的縱坐標為b，∴b＝6x，解得x＝6b，∴AB＝6b－(－3b)＝9b，∴S菱形ABCD＝9b·b＝9.
例4 4 【解析】設(shè)A(－a，0)(a＞0)，∵AE∶EC＝1∶2，∴點C(2a，k2a)，∵BD∶DC＝1∶3，∴點D的縱坐標為k2a×14＝k8a，∴點D的坐標為(8a，k8a)，∴B(10a，0)，∴AB＝11a，∵BD∶DC＝1∶3，∴S△ABC＝4S△ABD＝4×114＝11，∴S△ABC＝12×11a×k2a＝11，解得k＝4.
真題及變式
1. 解：(1)∵P(1，m)為反比例函數(shù)y＝4x圖象上一點，
∴當x＝1時，m＝41＝4；(2分)
(2)如解圖，過點P分別作PM⊥x軸于點M，PN⊥y軸于點N，
由(1)得P(1，4)，
∴PM＝4，PN＝1.
①當點B在y軸的正半軸時，
∵PA＝2AB，
∴A1B1PA1＝12，
易證△A1OB1∽△A1MP，
∴OB1MP＝A1B1A1P＝12，
∴OB1＝2，
∴B1(0，2)，
將P(1，4)，B1(0，2)分別代入y＝kx＋b中，
得k＋b=4b=2，解得k=2b=2；(5分)
②當點B在y軸的負半軸時，
∵PA＝2AB，
∴A2B2PB2＝13，
易證△B2A2O∽△B2PN，
∴OA2NP＝A2B2PB2＝13，
∴OA2＝13，
∴A2(13，0)，
將P(1，4)，A2(13，0)分別代入y＝kx＋b中，
得k＋b=413k＋b=0，解得k=6b＝－2.
綜上所述，k的值為2或6.(8分)
第1題解圖
2. 解：(1)x＜－1或0＜x＜4；(2分)
(2)∵點A(－1，4)在反比例函數(shù)y＝k2x的圖象上，
∴4＝k2－1，(3分)
解得k2＝－4，
∴反比例函數(shù)的表達式為y＝－4x.(4分)
∵點B(4，n)在反比例函數(shù)y＝－4x的圖象上，
∴n＝－44＝－1，
∴B(4，－1).
∵一次函數(shù)的圖象過A，B兩點，
∴－k1＋b=44k1＋b＝－1，(5分)
解得k1＝－1b=3，
∴一次函數(shù)的表達式為y＝－x＋3；(6分)
(3)如解圖，連接OP，OA，OB，設(shè)一次函數(shù)y＝－x＋3與x軸交于點C，
第2題解圖
∵當y＝0時，x＝3，
∴點C的坐標為(3，0).
∵S△AOB＝S△AOC＋S△BOC，
∴S△AOB＝12×3×4＋12×3×1＝152.(7分)
∵S△AOP∶S△BOP＝1∶2，
∴S△BOP＝23S△AOB＝23×152＝5.
∵點P在線段AB上，
∴設(shè)P的坐標為(m，－m＋3)，－1＜m＜4，
∵S△POB＝S△POC＋S△BOC，
∴S△BOP＝12×3×(－m＋3)＋12×3×1＝5，(8分)
解得m＝23，
∴－m＋3＝－23＋3＝73，
∴點P的坐標為(23，73).(9分)
3. (1)2；(2分)
【解法提示】如解圖①，過點M分別向坐標軸作垂線，垂足為P，Q.由題意得S矩形ABCO＝8，S矩形PMQO＝｜k｜.∵M是OB的中點，∴S矩形PMQO＝14S矩形ABCO＝14×8＝2，即k＝2 .
第3題解圖①
(2)解：如解圖②，連接OD，
∴S△BDF＝S△BDO＝S△BAO－S△DAO＝12S矩形ABCO－S△DAO＝12×8－｜k｜2＝4－1＝3；(6分)
第3題解圖②
(3)證明：如解圖③，過點D作DH⊥OG于點H.
設(shè)B(m，8m)，則C(m，0)，G(2m，0)，D(m4，8m)，E(m，2m)，H(m4，0)，
∴DB＝m－m4＝3m4，
易得△DHF∽△EBD，(8分)
∴DHEB＝HFBD，
∴HF＝DH·DBEB＝8m×3m48m－2m＝m，
∵FG＝OG－OH－FH＝2m－m4－m＝3m4，
∴FG＝DB，(9分)
由題意可得FG∥DB，
∴四邊形BDFG為平行四邊形.(10分)
第3題解圖③

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