一階 設(shè)問(wèn)突破
方法解讀
1. 求線段長(zhǎng)
(1)與x軸垂直的線段的長(zhǎng)：縱坐標(biāo)相減(上減下)；
(2)與y軸垂直的線段的長(zhǎng)：橫坐標(biāo)相減(右減左).
2. 線段數(shù)量關(guān)系問(wèn)題
若兩條線段的長(zhǎng)均可計(jì)算或表示出來(lái)，直接根據(jù)線段數(shù)量關(guān)系列方程即可求解，若兩條線段的長(zhǎng)無(wú)法直接計(jì)算或表示出來(lái)，可通過(guò)x軸或y軸的平行線構(gòu)造相似三角形，將線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再根據(jù)線段數(shù)量關(guān)系列方程求解.
3. 利用二次函數(shù)性質(zhì)求線段最值
(1)求豎直線段的最值
第一步：設(shè)M(t，at2＋bt＋c)，則N(t，mt＋n)；
第二步：表示線段MN的長(zhǎng)，MN＝at2＋bt＋c－mt－n；
第三步：化簡(jiǎn)MN＝at2＋bt＋c－mt－n＝at2＋(b－m)t＋c－n，利用二次函數(shù)性質(zhì)求最值；
(2)求斜線段的最值
利用銳角三角函數(shù)化斜為直得：MP＝MN·sin∠MNP，再根據(jù)(1)的步驟解題即可.
4. 利用對(duì)稱性質(zhì)求線段和最值及點(diǎn)坐標(biāo)，即“將軍飲馬”問(wèn)題(求PA＋PB的最小值及點(diǎn)P的坐標(biāo))；
(1)求點(diǎn)B關(guān)于對(duì)稱軸l對(duì)稱的點(diǎn)C的坐標(biāo)；
(2)連接AC交直線l于點(diǎn)P，此時(shí)點(diǎn)P滿足要求，從而可求出PA＋PB的最小值；
(3)用待定系數(shù)法求直線AC的函數(shù)表達(dá)式；
(4)將l對(duì)應(yīng)的x的值代入AC的函數(shù)表達(dá)式可得點(diǎn)P的坐標(biāo).
例1 如圖①，已知二次函數(shù)y＝－x2－2x＋3的圖象與x軸相交于A，B兩點(diǎn)(A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè))，與y軸相交于點(diǎn) C.點(diǎn)P是直線AC上方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸，垂足為點(diǎn)D，交直線AC于點(diǎn)Q.設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m.
例1題圖①
一、表示點(diǎn)坐標(biāo)
(1)點(diǎn)P的坐標(biāo)為 ，點(diǎn)D的坐標(biāo)為 ，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為 ；
二、表示線段長(zhǎng)
(2)PD的長(zhǎng)為 ，QD的長(zhǎng)為 ，PQ的長(zhǎng)為 ；
(3)點(diǎn)P到對(duì)稱軸的距離為 ，CQ的長(zhǎng)為 ；
三、與線段數(shù)量關(guān)系有關(guān)的計(jì)算
(4)如圖②，若PQ＝DQ，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
例1題圖②
(5)如圖③，若AQ＝2CQ，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；[2020廣東25(2)題考查]
例1題圖③
四、線段最值
(6)如圖④，過(guò)點(diǎn)P作x軸的平行線，交直線AC于M點(diǎn)，求MQ的最大值；
例1題圖④
(7)如圖⑤，點(diǎn)G是拋物線的對(duì)稱軸l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△GBC的周長(zhǎng)最小時(shí)，求GCGB的值.
例1題圖⑤
二階 綜合訓(xùn)練
1. (2024佛山二模)如圖，拋物線y＝x2＋bx＋c與直線y＝kx＋m(k≠0)相交于點(diǎn)A(0，－4)，B(5，6)，直線AB與x軸相交于點(diǎn) C.
(1)求拋物線與直線AB的表達(dá)式；
(2)點(diǎn)D是拋物線在直線AB下方部分上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE∥x軸交AB于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作DF∥y軸交AB于點(diǎn)F，求DF－DE的最大值.
第1題圖
類型二 二次函數(shù)與面積有關(guān)問(wèn)題
一階 設(shè)問(wèn)突破
方法解讀
求幾何圖形面積
方法一：直接公式法
一邊在坐標(biāo)軸上(或平行于坐標(biāo)軸)，S△ABC＝12AB·h.
方法二：分割法
三邊都不在坐標(biāo)軸上(或都不平行于坐標(biāo)軸).
S△ABC＝S△ABD＋S△BCD＝12BD·(AE＋CF)＝12BD·(yC－yA).
方法三：補(bǔ)全法
三邊都不在坐標(biāo)軸上(或都不平行于坐標(biāo)軸).
S△ABC＝S△ACD－S△ABD－S△BC C.
注：對(duì)于四邊形面積計(jì)算，可連接一條對(duì)角線將四邊形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)三角形面積之和求解.
例2 如圖，拋物線y＝－x2＋3x＋4與x軸交于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是第一象限拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為t.
一、求三角形、四邊形面積
(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)D位于拋物線的頂點(diǎn)處時(shí)，連接OD，CD，求△OCD的面積；
例2題圖①
(2)如圖②，若t＝2，連接AC，CD，BD，求四邊形ABDC的面積；
例2題圖②
二、面積定值及最值
(3)如圖③，連接AD，BD，若△ABD的面積為15，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
例2題圖③
方法解讀
利用二次函數(shù)性質(zhì)求面積最值：用同一未知數(shù)表示出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出所求圖形的面積，利用二次函數(shù)性質(zhì)求解最值.
(4)核心設(shè)問(wèn) 如圖④，連接BD，過(guò)點(diǎn)C作CP∥BD交x軸于點(diǎn)P，連接PD，求△BPD面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；[2022廣東23(2)題考查]
例2題圖④
三、面積等值、倍分關(guān)系
(5)如圖⑤，連接BD，CD，OD，若S△BOD＝S△COD，求點(diǎn)D的坐標(biāo).
例2題圖⑤
二階 綜合訓(xùn)練
1. (2024福建)如圖，已知二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖象與x 軸交于A，B兩點(diǎn)，與y 軸交于點(diǎn)C，其中A(－2，0)，C(0，－2).
(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；
(2)若P是二次函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，且點(diǎn)P在第二象限，線段PC交x軸于點(diǎn)D，△PDB的面積是△CDB的面積的2倍，求點(diǎn)P的坐標(biāo).
第1題圖
類型一 二次函數(shù)與線段有關(guān)問(wèn)題
一階 設(shè)問(wèn)突破
例1 解：(1)(m，－m2－2m＋3)，(m，0)，(m，m＋3)； 【解法提示】令y＝0，得－x2－2x＋3＝0，解得x1＝－3，x2＝1，∴點(diǎn)A(－3，0)，點(diǎn)B(1，0)；令x＝0，得y＝3，∴點(diǎn)C(0，3)；設(shè)直線AC的表達(dá)式為y＝kx＋b(k≠0)，將點(diǎn)A(－3，0)，點(diǎn)C(0，3)代入y＝kx＋b中，得－3k＋b=0b=3，解得k=1b=3，∴直線AC的表達(dá)式為y＝x＋3.∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，∴點(diǎn)P縱坐標(biāo)為－m2－2m＋3，∵PQ⊥x軸，∴點(diǎn)Q橫坐標(biāo)為m，則縱坐標(biāo)為m＋3，∵PD⊥x軸，∴點(diǎn)D橫坐標(biāo)為m，縱坐標(biāo)為0.
(2)－m2－2m＋3，m＋3，－m2－3m；
(3)｜m＋1｜，－2m；
(4)由(2)可知QD的長(zhǎng)為m＋3，PQ的長(zhǎng)為－m2－3m，
∵PQ＝DQ，
∴－m2－3m＝m＋3，
解得m＝－1或m＝－3，
∵點(diǎn)P不與點(diǎn)A重合，
∴m的值為－1，
∴P(－1，4)；
(5)∵PD∥y軸，
∴AQAC＝ADAO，
∵AQ＝2CQ，
∴AQAC＝23，
∴ADAO＝23，
∵A(－3，0)，
∴AO＝3，
∴AD＝2，OD＝1，
∴m＝－1，此時(shí)－m2－2m＋3＝4，
∴P(－1，4)，
(6)∵OA＝OC＝3，PM∥x軸，
∴∠PMQ＝∠CAO＝45°，
∵PD⊥x軸，
∴∠ADQ＝∠QPM＝90°，
∴△PMQ為等腰直角三角形，
∴MQ＝2PQ，
∵PQ＝－m2－3m＝－(m＋32)2＋94，－1＜0，－3＜m＜0，
∴PQ的最大值為94.
∴MQ的最大值為924.
(7)∵y＝－x2－2x＋3，∴拋物線對(duì)稱軸為直線x＝－－2－2＝－1.
如解圖，連接AC，交拋物線對(duì)稱軸l于點(diǎn)G，由拋物線的對(duì)稱性得GA＝GB，∴GB＋GC＝AG＋GC≥AC，即當(dāng)A，G，C三點(diǎn)共線時(shí)，GB＋GC取得最小值，此時(shí)△GBC周長(zhǎng)最小.
由(1)得直線AC的表達(dá)式為y＝x＋3，
當(dāng)x＝－1時(shí)，y＝2，
∴G(－1，2).
∵B(1，0)，C(0，3)，
∴GCGB＝12＋1222＋22＝12.
例1題解圖
二階 綜合訓(xùn)練
1. 解：(1)由題意，將點(diǎn)A(0，－4)，B(5，6)代入y＝x2＋bx＋c中，
得c＝－425+5b＋c=6，解得b＝－3c＝－4，
∴拋物線的表達(dá)式為y＝x2－3x－4.
將點(diǎn)A(0，－4)，B(5，6)代入y＝kx＋m中，
得m＝－45k＋m＝6，解得m＝－4k=2，
∴直線AB的表達(dá)式為y＝2x－4；
(2)由題意，設(shè)D(a，a2－3a－4)(0＜a＜5)，
令2x－4＝ a2－3a－4，得x＝12(a2－3a)，
∴E(12a2－32a，a2－3a－4).
令x＝a，則y＝2a－4，
∴F(a，2a－4).
∴DF－DE＝2a－4－(a2－3a－4)－[a－(12a2－32a)]
＝－12a2＋52a
＝－12(a－52)2＋258.
∵－12＜0，0＜a＜5，
∴當(dāng)a＝52時(shí)，DF－DE取得最大值，最大值為258.
類型二 二次函數(shù)與面積有關(guān)問(wèn)題
一階 設(shè)問(wèn)突破
例2 解：(1)令x＝0，得y＝4，
∴C(0，4)，
∴OC＝4，
∵y＝－x2＋3x＋4＝－(x－32)2＋254，
∴D(32，254)，
∴S△OCD＝12OC·｜xD｜＝12×4×32＝3；
(2)如解圖①，連接BC，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸交BC于點(diǎn)E，
令－x2＋3x＋4＝0，解得x＝－1或x＝4，
∴A(－1，0)，B(4，0)，
由(1)可知，C(0，4)，
∴AB＝5，OB＝OC＝4，
設(shè)BC所在直線的表達(dá)式為y＝kx＋b(k≠0)，
將B(4，0)，C(0，4)代入y＝kx＋b中，
得4k＋b=0b=4，解得k＝－1b=4，
∴BC所在直線的表達(dá)式為y＝－x＋4，
∴當(dāng)t＝2時(shí)，－t2＋3t＋4＝6，－t＋4＝2，
∴D(2，6)，E(2，2)，
∴DE＝4，
∴S四邊形ABDC＝S△ABC＋S△BCD＝12×5×4＋12×4×4＝18；
例2題解圖①
(3)由(2)可知，AB＝5，
∴S△ABD＝12AB·yD＝12×5×(－t2＋3t＋4)＝15，
解得t＝1或t＝2.
當(dāng)t＝1時(shí)，－t2＋3t＋4＝－12＋3×1＋4＝6；
當(dāng)t＝2時(shí)，－t2＋3t＋4＝－22＋3×2＋4＝6，
綜上所述，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，6)或(2，6)；
(4)如解圖②，連接BC，CD，過(guò)點(diǎn)D作DQ⊥x軸交BC于點(diǎn)Q，
∵CP∥BD，
∴S△BPD＝S△BCD＝S△BDQ＋S△CDQ＝12DQ·OB，
由(2)可知，BC所在直線的解析式為y＝－x＋4，
∴Q(t，－t＋4)，
∴DQ＝－t2＋3t＋4－(－t＋4)＝－t2＋4t，
∴S△BPD＝12(－t2＋4t)×4＝－2(t－2)2＋8，
∵－2＜0，0＜t＜4，
∴當(dāng)t＝2時(shí)，S△BPD有最大值，最大值為8，
此時(shí)－t2＋3t＋4＝－22＋3×2＋4＝6，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2，6)；
例2題解圖②
(5)由(2)可知，OB＝OC＝4，
∵S△BOD＝12OB·yD＝12×4×(－t2＋3t＋4)，
S△COD＝12OC·xD＝12×4t，
∵S△BOD＝S△COD，
∴12×4×(－t2＋3t＋4)＝12×4t，
∴－t2＋3t＋4＝t，
解得t＝1＋5或t＝1－5，
∵0＜t＜4，∴t＝1＋5，
此時(shí)－t2＋3t＋4＝t＝1＋5，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1＋5，1＋5).
二階 綜合訓(xùn)練
1. 解：(1)將A(－2，0)，C(0，－2)代入y＝x2＋bx＋c中，
得4－2b＋c=0，c＝－2，解得b=1，c＝－2.
∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝x2＋x－2；
(2)設(shè)P(m，n)，
∵點(diǎn)P在第二象限，
∴m＜0，n＞0.
依題意，得S△PDBS△CDB＝2，
即12BD·n12BD·CO＝2，
∴nCO＝2.
∵C(0，－2)，
∴CO＝2，
∴n＝2CO＝4.
∵P是二次函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，
∴m2＋m－2＝n，即m2＋m－2＝4，
解得m1＝－3，m2＝2(舍去)，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－3，4).

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