一.選擇題（共8小題）
1．（3分）將兩本相同的書進行疊放，得到如圖所示的幾何體，則它的左視圖是
A．B．
C．D．
2．（3分）關于的一元二次方程有實數根，則的取值范圍是
A．B．且C．且D．
3．（3分）已知△△，若，，則的度數是
A．B．C．D．
4．（3分）已知四邊形是平行四邊形，與相交于點，下列結論正確的有
①當時，它是菱形；②時，它是菱形；③當時，它是矩形；④當時，它是正方形．
A．4個B．3個C．2個D．1個
5．（3分）下列函數中，當時，的值隨值的增大而增大的是
A．B．C．D．
6．（3分）如圖，與位似，點為位似中心，且為的中點，則與的周長比為
A．B．C．D．
7．（3分）在同一平面直角坐標系中，若，則函數與的大致圖象是
A．B．
C．D．
8．（3分）參加足球聯賽的每兩支球隊之間都要進行兩場比賽，共要比賽110場，設參加比賽的球隊有支，根據題意，下面列出的方程正確的是
A．B．C．D．
二.填空題（共5小題）
9．（3分）已知是方程的一個根，則的值是 ．
10．（3分）在反比例函數的圖象上有三個點，，，則，，的大小關系為 ．（用“”連接）
11．（3分）如圖，在矩形中，，，對角線，交于點，點，分別為，的中點，則△的面積為 ．
12．（3分）如圖，的頂點都在正方形網格的格點上，則的值為 ．
13．（3分）如圖，△中，，，，點在線段上，，以點為圓心，長為半徑作弧交于點，交的延長線于點，以點為圓心，長為半徑作弧，交圓弧于點，連接，過點作，垂足為點，則線段的長為 ．
三.解答題（共5大題）
14．計算：
（1）；
（2）．
15．拉桿箱是外出旅行常用工具．某種拉桿箱示意圖如圖所示（滾輪忽略不計），箱體截面是矩形，的長度為，兩節(jié)可調節(jié)的拉桿長度相等，且與在同一條直線上．如圖1，當拉桿伸出一節(jié)時，與地面夾角；如圖2，當拉桿伸出兩節(jié)、時，與地面夾角，兩種情況下拉桿把手點距離地面高度相同．求每節(jié)拉桿的長度．（結果保留整數．參考數據：，，，
16．某校開展了學習黨史的知識競賽活動．初三年級學生的比賽成績根據結果分為，，，四個等級．其等級對應的分值分別為100分分、90分分、80分分、70分及以下．現將初三學生的最后等級成績分析整理繪制得到了兩幅不完整的統計圖，請根據圖中的信息解決下面的問題．
（1）由圖可知該校初三共 名學生，比賽成績等級為級的學生人數是 人；
（2）請補全條形統計圖，由圖可知的值為 ；
（3）初三年級本次比賽獲得滿分的4人中有2個男生和2個女生，年級要求從這4個學生中隨機選2人參加學校決賽，若每個學生被抽取的可能性相等，請用畫樹狀圖或者列表法求抽取的2人中至少有1個男生的概率．
17．如圖，在矩形中，點為的中點，連接，過點作，垂足為．
（1）求證：△△；
（2）若，，求的長．
18．如圖，一次函數與反比例函數交于，兩點，與軸交于點，且．
（1）求一次函數與反比例函數的解析式；
（2）點是軸上一動點，連接，，當△面積為6時，請求出點的坐標；
（3）將線段繞點順時針旋轉，得到線段，連接，在反比例函數上，是否存在一點，使得？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
一.填空題（共5小題）
19．（3分）已知，是方程的兩個根，則 ．
20．（3分）從，，1，2這四個數中任取一個作為的值，再從余下的三個數中任取一個數作為的值，則不等式組有整數解的概率是 ．
21．（3分）如圖，在直角坐標系中，正方形的中心在原點，且與軸垂直，點是線段與反比例函數圖象的一個交點，且點為線段的三等分點，若圖中陰影部分的面積等于18，則的值為 ．
22．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，反比例函數的圖象與矩形相交于，兩點，其中點坐標為，點的橫坐標為，點，分別在軸和軸的正半軸上，連接，，則與相交于點，連接，當△是直角三角形時，則的值為 ．
23．（3分）定義：若實數，滿足，，且為常數），則稱點為“友好點”，若有一個函數滿足，其上存在“友好點”，則的取值范圍是 ．
三.解答題（共3大題）
24．某商場以每件20元的價格購進一種商品，經市場調查發(fā)現：該商品每天的銷售量（件與每件售價（元之間滿足一次函數關系，其圖象如圖所示．設該商場銷售這種商品每天獲利（元．
（1）求與之間的函數關系式；
（2）該商場規(guī)定這種商品每件售價不得高于40元，商場要想獲得600元的利潤，每件商品的售價應定為多少元？
25．在平面直角坐標系中，已知點不與原點重合．對于點給出如下定義：點關于點的對稱點為．點關于直線的對稱點為，稱點是點關于點的“雙稱點”．
（1）已知點，，點是點關于點的“雙稱點”．
①當時，則點的坐標為 ；
②試判斷的長度是否為定值，若是，請求出的長；若不是，請用的代數式表示；
（2）若點，，其中．點是點關于點的“雙稱點”，則當，，三點構成的三角形為等邊三角形時，求出的值；
（3）已知點，△是邊長為2的等邊三角形（點，，按逆時針方向排列），點是點關于點的“雙稱點”，在△繞點旋轉的過程中，當最大時，直接寫出此時的長．
26．【研究背景】
小西同學用一張長方形紙片對不同折法下的折痕進行了探究，如圖，已知，，點，分別在邊，上，且．
【初始探究】
（1）小西將紙片沿直線翻折，點的對應點為，點的對應點恰好落在對角線上．
①求線段的長度；
②若點為線段上一動點，求的最小值．
【拓展提升】
（2）在（1）的條件下，在，上取點，，沿著直線繼續(xù)翻折，使點與點重合，求折痕長．
2024-2025學年四川省成都市武侯區(qū)西川實驗學校九年級（上）期中數學試卷
參考答案與試題解析
一.選擇題（共8小題）
1．（3分）將兩本相同的書進行疊放，得到如圖所示的幾何體，則它的左視圖是
A．B．
C．D．
【分析】根據從左邊看得到的圖形是左視圖，可得答案．
【解答】解：從左邊看，可得選項的圖形，
故選：．
【點評】本題考查了簡單組合體的三視圖，從左邊看得到的圖形是左視圖．
2．（3分）關于的一元二次方程有實數根，則的取值范圍是
A．B．且C．且D．
【分析】根據一元二次方程的定義和判別式的意義得到且△，然后求出兩個不等式的公共部分即可．
【解答】解：根據題意得且△，
解得且．
故選：．
【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與△有如下關系：當△時，方程有兩個不相等的實數根；當△時，方程有兩個相等的實數根；當△時，方程無實數根．
3．（3分）已知△△，若，，則的度數是
A．B．C．D．
【分析】根據相似三角形的性質解答即可．
【解答】解：△△，
，，
，
故選：．
【點評】本題考查相似三角形的性質，掌握相似三角形的對應角相等是解題的關鍵．
4．（3分）已知四邊形是平行四邊形，與相交于點，下列結論正確的有
①當時，它是菱形；②時，它是菱形；③當時，它是矩形；④當時，它是正方形．
A．4個B．3個C．2個D．1個
【分析】利用菱形、矩形、正方形的判定定理逐一判斷，即可得到答案．
【解答】解：四邊形是平行四邊形，
當時，無法證明平行四邊形是菱形，故①結論錯誤；
當時，即平行四邊形是菱形，故②結論正確；
當時，即平行四邊形是矩形，故③結論正確；
當時，即平行四邊形是矩形，故④結論錯誤；
故選：．
【點評】本題考查了正方形的判定，平行四邊形的性質，菱形的判定與性質，矩形的判定與性質，解答本題的關鍵是熟練掌握相關的判定定理．
5．（3分）下列函數中，當時，的值隨值的增大而增大的是
A．B．C．D．
【分析】根據各函數性質逐項分析判斷即可．
【解答】解：、，，圖象分布在第二、四象限，時，隨的增大而增大，符合題意；
、二次函數開口向下，對稱軸是軸，時，隨的增大而減小，不符合題意；
、，，隨的增大而減小，不符合題意；
、反比例函數，在每個象限內，隨的增大而減小，不符合題意；
故選：．
【點評】本題考查了反比例函數的性質、一次函數的性質、二次函數的性質，熟練掌握相關函數的性質是關鍵．
6．（3分）如圖，與位似，點為位似中心，且為的中點，則與的周長比為
A．B．C．D．
【分析】由位似比可推出兩個三角形的相似比，再根據相似三角形的周長比等于相似比即可選擇．
【解答】解：與位似，
，
為的中點，
，
與的位似比為，
與的相似比為，
與的周長比為．
故選：．
【點評】本題考查位似圖形的概念和性質，掌握位似圖形的位似比等于相似比、相似三角形的周長比等于相似比是解題的關鍵．
7．（3分）在同一平面直角坐標系中，若，則函數與的大致圖象是
A．B．
C．D．
【分析】根據、的取值，分別判斷出兩個函數圖象所過的象限，要注意分類討論．
【解答】解：，
①若，，則經過一、三、四象限，反比例函數位于二、四象限，
②若，，則經過一、二、四象限，反比例函數位于一、三象限，
只有選項符合題意，
故選：．
【點評】本題主要考查了一次函數和反比例函數的圖象．
8．（3分）參加足球聯賽的每兩支球隊之間都要進行兩場比賽，共要比賽110場，設參加比賽的球隊有支，根據題意，下面列出的方程正確的是
A．B．C．D．
【分析】設有個隊參賽，根據參加一次足球聯賽的每兩隊之間都進行兩場比賽，共要比賽110場，可列出方程．
【解答】解：設有個隊參賽，則
．
故選：．
【點評】本題考查由實際問題抽象出一元二次方程，關鍵是根據總比賽場數作為等量關系列方程求解．
二.填空題（共5小題）
9．（3分）已知是方程的一個根，則的值是 4 ．
【分析】根據方程根的定義求解即可．
【解答】解：是方程的一個根，
，
．
故答案為：4．
【點評】本題考查一元二次方程的解，解題的關鍵是理解方程解的定義．
10．（3分）在反比例函數的圖象上有三個點，，，則，，的大小關系為 ．（用“”連接）
【分析】根據反比例函數的性質得到反比例函數圖象分布在第一、三象限，然后利用得到，．
【解答】解：，
反比例函數圖象在第一、三象限，
，
，，
，
故答案為：．
【點評】本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，熟練掌握反比例函數的性質是解題的關鍵．
11．（3分）如圖，在矩形中，，，對角線，交于點，點，分別為，的中點，則△的面積為 ．
【分析】證明△△，利用相似三角形的性質求出△的面積即可．
【解答】解：四邊形是矩形，
，
，
，
，，
，，
△△，
，
，
故答案為：．
【點評】本題考查矩形的性質，三角形的中位線定理，相似三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．
12．（3分）如圖，的頂點都在正方形網格的格點上，則的值為 ．
【分析】作輔助線使直角三角形中，然后用正弦函數的定義即可．
【解答】解：作如圖所示的輔助線，則，
，，
，
故答案為．
【點評】本題主要考查三角函數的定義，關鍵在作出輔助線，才能用三角函數的定義計算的值．
13．（3分）如圖，△中，，，，點在線段上，，以點為圓心，長為半徑作弧交于點，交的延長線于點，以點為圓心，長為半徑作弧，交圓弧于點，連接，過點作，垂足為點，則線段的長為 2.4 ．
【分析】證明△△，得到，代入有關數據即可求解．
【解答】解：以點為圓心，長為半徑作弧，交于點，
，
，
，
，
，
△△，
，
，
．
故答案為：2.4．
【點評】本題考查相似三角形的判定和性質，圓心角、弧、弦的關系，勾股定理，掌握以上知識點是解題的關鍵．
三.解答題（共5大題）
14．計算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）利用因式分解法對所給一元二次方程進行求解即可．
（2）根據特殊角的三角函數值、負整數指數冪及二次根式的運算法則進行計算即可．
【解答】解：（1），
，
，
則或，
所以，．
（2）原式
．
【點評】本題主要考查了解一元二次方程因式分解法、負整數指數冪、二次根式的混合運算及特殊角的三角函數值，熟知因式分解法解一元二次方程的步驟及特殊角的三角函數值是解題的關鍵．
15．拉桿箱是外出旅行常用工具．某種拉桿箱示意圖如圖所示（滾輪忽略不計），箱體截面是矩形，的長度為，兩節(jié)可調節(jié)的拉桿長度相等，且與在同一條直線上．如圖1，當拉桿伸出一節(jié)時，與地面夾角；如圖2，當拉桿伸出兩節(jié)、時，與地面夾角，兩種情況下拉桿把手點距離地面高度相同．求每節(jié)拉桿的長度．（結果保留整數．參考數據：，，，
【分析】過點作于，設每節(jié)拉桿的長度為 ，根據正弦的定義用分別表示出、，根據題意列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：如圖1，過點作于，
設每節(jié)拉桿的長度為 ，則，，
如圖1，在△中，，
，
，
如圖2，在△中，，
，
，
由題意得：，
解得：，
答：每節(jié)拉桿的長度約為．
【點評】本題考查的是解直角三角形的應用坡度坡度問題，熟記銳角三角函數的定義是解題的關鍵．
16．某校開展了學習黨史的知識競賽活動．初三年級學生的比賽成績根據結果分為，，，四個等級．其等級對應的分值分別為100分分、90分分、80分分、70分及以下．現將初三學生的最后等級成績分析整理繪制得到了兩幅不完整的統計圖，請根據圖中的信息解決下面的問題．
（1）由圖可知該校初三共 500 名學生，比賽成績等級為級的學生人數是 人；
（2）請補全條形統計圖，由圖可知的值為 ；
（3）初三年級本次比賽獲得滿分的4人中有2個男生和2個女生，年級要求從這4個學生中隨機選2人參加學校決賽，若每個學生被抽取的可能性相等，請用畫樹狀圖或者列表法求抽取的2人中至少有1個男生的概率．
【分析】（1）用等級人數除以它所占的百分比得到調查的總人數，然后用總人數乘以等級人數所占的百分比得到等級人數；
（2）先用1分別減去、、等級的百分比得到等級所占的百分比，從而確定的值，然后補全條形統計圖；
（3）畫樹狀圖展示所有12種等可能的結果，再找出抽取的2人中至少有1個男生的結果數，然后根據概率公式計算．
【解答】解：（1）（名，
所以該校初三共500名學生，
比賽成績等級為級的學生人數為（名；
故答案為：500，210；
（2）等級人數所占的百分比為，
所以，
補全條形統計圖為：
故答案為：18；
（3）畫樹狀圖為：
共有12種等可能的結果，其中抽取的2人中至少有1個男生的結果數為10種，
所以抽取的2人中至少有1個男生的概率．
【點評】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有可能的結果求出，再從中選出符合事件或的結果數目，然后根據概率公式計算事件或事件的概率．也考查了統計圖．
17．如圖，在矩形中，點為的中點，連接，過點作，垂足為．
（1）求證：△△；
（2）若，，求的長．
【分析】（1）由四邊形是矩形，得到，，從而有，根據得，即可求證；
（2）設，由△△得出，則可得出答案．
【解答】（1）證明：四邊形是矩形，
，，
，
，
，
，
△△；
（2）解：設，
在△中，，
，
，
，點為的中點，
，
△△，
，
，
，且，
，
解得，
．
【點評】本題考查了矩形的性質，相似三角形的判定與性質，解題的關鍵是熟練掌握以上知識點的應用．
18．如圖，一次函數與反比例函數交于，兩點，與軸交于點，且．
（1）求一次函數與反比例函數的解析式；
（2）點是軸上一動點，連接，，當△面積為6時，請求出點的坐標；
（3）將線段繞點順時針旋轉，得到線段，連接，在反比例函數上，是否存在一點，使得？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
【分析】（1）把代入，即可求得反比例函數的解析式，過點作軸于點，過點作軸于點，可得△△，利用相似三角形性質可求得點的坐標，再運用待定系數法即可求得直線的解析式；
（2）設直線交軸于點，可得，設，則，利用三角形面積公式即可求得答案；
（3）設交軸于點，可證得△△，得出，進而求得直線的解析式，再聯立方程組求解即可求得答案．
【解答】解：（1）反比例函數經過點，
，
反比例函數的解析式為；
如圖1，過點作軸于點，過點作軸于點，
則，
設，又，
，，，，
，
，，
△△，
，
，
，
，
，即，
解得，
，
把和分別代入，得：，
解得：，
一次函數的解析式為；
（2）設直線交軸于點，如圖2，
則，
設，則，
，
，
解得：或7，
點的坐標為或；
（3）存在，如圖3，設交軸于點，
直線與軸交于點，
，
解得，
，
線段繞點順時針旋轉，得到線段，
，，
，
，
，，
，
△△，
，
即，
，
，
直線的解析式為，
聯立得，
解得：，．
點的坐標為，或，．
【點評】本題考查了一次函數與反比例函數的綜合，涉及待定系數法求函數解析式，三角形面積，相似三角形的判定和性質等知識點，熟練掌握相似三角形的判定和性質是解題的關鍵．
一.填空題（共5小題）
19．（3分）已知，是方程的兩個根，則 ．
【分析】根據一元二次方程根與系數關系，得到，，從而得到結果．
【解答】解：，是方程的兩個根，
，，
．
故答案為：．
【點評】本題考查了一元二次方程根與系數關系，熟練掌握一元二次方程根與系數關系是解題的關鍵．
20．（3分）從，，1，2這四個數中任取一個作為的值，再從余下的三個數中任取一個數作為的值，則不等式組有整數解的概率是 ．
【分析】先根據題意列出樹狀圖，找出符合題意的四種情況．
【解答】解：列樹狀圖如圖所示，
共12中情況；
不等式組有整數解，
，
符合條件的有①，，②，，③，，④，，共四種情況，
不等式組有整數解的概率是，
故答案為．
【點評】此題是一元一次不等式組的整數解，主要考查了樹狀圖的畫法，概率的確定，解本題的關鍵是列出樹狀圖，難點是找出符合條件的幾種可能．
21．（3分）如圖，在直角坐標系中，正方形的中心在原點，且與軸垂直，點是線段與反比例函數圖象的一個交點，且點為線段的三等分點，若圖中陰影部分的面積等于18，則的值為 ．
【分析】連接，根據圖中陰影部分的面積等于18，得到一個小正方形的面積為18，求得正方形的面積，得到，得到，，于是得到結論．
【解答】解：連接，
圖中陰影部分的面積等于18，
一個小正方形的面積為18，
正方形的面積，
，
點為線段的三等分點，
，，
，
，，
，
故答案為：．
【點評】本題考查了反比例函數比例系數的幾何意義，反比例函數圖象的對稱性與正方形的性質，正確地識別圖形是解題的關鍵．
22．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，反比例函數的圖象與矩形相交于，兩點，其中點坐標為，點的橫坐標為，點，分別在軸和軸的正半軸上，連接，，則與相交于點，連接，當△是直角三角形時，則的值為 4或2 ．
【分析】依題意得點，點，點，，，當△是直角三角形時，有以下兩種情況：①當時，證明△和△相似，利用相似三角形的性質可求出的值；②當時，證明△和△相似得，進而得△是等腰直角三角形，則，即，解此方程可求出的值，綜上所述即可得出答案．
【解答】解：點，點的橫坐標為，四邊形是矩形，
點，點，，，
，，，
點在反比例函數的圖象上，
點的坐標為，
，
，，
，
，
當△是直角三角形時，有以下兩種情況：
①當時，如圖1所示：
則，
又，
，
又，
△△，
，
，
即，
整理得：，
解得：，（不合題意，舍去），
②當時，如圖2所示：
，，
，
又，
△△，
，
，
，
，
又，
，
△是等腰直角三角形，
，
，
整理得：，
解得：，（不合題意，舍去），
綜上所述：當△是直角三角形時，則的值為4或2．
故答案為：4或2．
【點評】此題主要考查了反比例函數圖象上點的坐標，矩形的性質，相似三角形的判定和性質，理解反比例函數圖象上點的坐標滿足反比例函數的表達式，以及矩形的性質，熟練掌握相似三角形的判定和性質是解決問題的關鍵．
23．（3分）定義：若實數，滿足，，且為常數），則稱點為“友好點”，若有一個函數滿足，其上存在“友好點”，則的取值范圍是 ．
【分析】根據題意得到，整理得到，由，且，求得，于是得到結論．
【解答】解：有一個函數滿足，其上存在“友好點”，
反比例函數的圖象上存在“友好點”，
，
①②得，
，
，
，
，
，
整理得，
，且，
，
故答案為：．
【點評】本題考查了新定義，函數圖象上點的坐標特征和二次函數的增減性，熟練掌握以上知識點是關鍵．
三.解答題（共3大題）
24．某商場以每件20元的價格購進一種商品，經市場調查發(fā)現：該商品每天的銷售量（件與每件售價（元之間滿足一次函數關系，其圖象如圖所示．設該商場銷售這種商品每天獲利（元．
（1）求與之間的函數關系式；
（2）該商場規(guī)定這種商品每件售價不得高于40元，商場要想獲得600元的利潤，每件商品的售價應定為多少元？
【分析】（1）直接根據待定系數法求解析式即可；
（2）根據商場要想獲得600元的利潤，列出一元二次方程，解之取符合題意的值即可．
【解答】解：（1）設與之間的函數關系式為，
由題意得：，
解得：，
與的函數關系式為；
（2），
，
即與之間的函數關系式為；
（3）根據題意得：，
整理得：，
解得：，（不符合題意，舍去），
答：每件商品的售價應定為30元．
【點評】本題考查了一元二次方程的應用以及一次函數的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．
25．在平面直角坐標系中，已知點不與原點重合．對于點給出如下定義：點關于點的對稱點為．點關于直線的對稱點為，稱點是點關于點的“雙稱點”．
（1）已知點，，點是點關于點的“雙稱點”．
①當時，則點的坐標為 ；
②試判斷的長度是否為定值，若是，請求出的長；若不是，請用的代數式表示；
（2）若點，，其中．點是點關于點的“雙稱點”，則當，，三點構成的三角形為等邊三角形時，求出的值；
（3）已知點，△是邊長為2的等邊三角形（點，，按逆時針方向排列），點是點關于點的“雙稱點”，在△繞點旋轉的過程中，當最大時，直接寫出此時的長．
【分析】（1）①根據“轉稱點”的定義畫出點的位置．即可寫出點的坐標；
②由題意可得，軸，根據兩點的距離求解即可；
（2）連接，，，，利用中心對稱的性質得到，利用軸對稱的性質得到，則根據直角三角形的判定定理得到，利用菱形的判定定理得到，再利用直角三角形的邊角關系定理解答即可得出結論；
（3）畫出圖形，可得在△繞點旋轉的過程中，當、，、共線時，最大，根據勾股定理即可求解．
【解答】解：（1）①當時，點，，如圖：
點是點關于點的“雙稱點”，
，，，
，
，
．
故答案為：；
②的長度為定值，的長為2．理由：
點，，點關于點的對稱點為，
，
點關于直線的對稱點為，
，
，
軸，
．
的長度與有無關，的長為2；
（2）連接，，，，如圖，
點關于點的對稱點為，
，
，，
，
．
，，
．
點關于直線的對稱點為，
，，，
，
，
，
，
當，，三點構成的三角形為等邊三角形時，
，．
，
四邊形為平行四邊形，
，
四邊形為菱形，
．
，
，
．
（3）如圖：
由“轉稱點”的定義得為的中點，為的中點，，
，，
當最大時，最大，
由圖得在△繞點旋轉的過程中，當、，、共線時，最大，
如圖1：過點作于點，
△是邊長為2的等邊三角形
，，，
點，
，
，
．
如圖2：過點作于點，
△是邊長為2的等邊三角形
，，，
點，
，
，
．
綜上，當最大時，的長為或．
【點評】本題主要考查了平面直角坐標系，點的坐標的特征，幾何變換的特征與性質，中心對稱和軸對稱的性質，等邊三角形的判定與性質，平行四邊形的判定與性質，直角三角形的性質，勾股定理，直角三角形的邊角關系定理，本題是新定義型，正確理解新定義的規(guī)定并熟練運用是解題的關鍵．
26．【研究背景】
小西同學用一張長方形紙片對不同折法下的折痕進行了探究，如圖，已知，，點，分別在邊，上，且．
【初始探究】
（1）小西將紙片沿直線翻折，點的對應點為，點的對應點恰好落在對角線上．
①求線段的長度；
②若點為線段上一動點，求的最小值．
【拓展提升】
（2）在（1）的條件下，在，上取點，，沿著直線繼續(xù)翻折，使點與點重合，求折痕長．
【分析】（1）①由，即可求解；
②過點作交過點和的平行線于點，交于點，點即為所求點，即可求解；
（2）由得，，即可求解．
【解答】解：（1）①設，則，
則，，
過點作于點，設交于點，
由翻折的性質知，，
則，
則；
②過點作交過點和的平行線于點，交于點，點即為所求點，則，
理由：為最小值，
則，
則的最小值；
（2），則，
連接、，則，
設，則，，
由得，，
即，
解得：，
則，
則，
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
C
C
C
A
B
A
D

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