四川省成都市武侯區(qū)西川實(shí)驗(yàn)學(xué)校2023-2024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期開(kāi)學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含答案）

這是一份四川省成都市武侯區(qū)西川實(shí)驗(yàn)學(xué)校2023-2024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期開(kāi)學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含答案），共28頁(yè)。試卷主要包含了已知，則＝　 　等內(nèi)容，歡迎下載使用。
?2023-2024學(xué)年四川省成都市武侯區(qū)西川實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)（上）開(kāi)學(xué)數(shù)學(xué)試卷
一.選擇題（本大題共8個(gè)小題，每小題4分，共32分）
1．（4分）下列圖形中，既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的是（　?。?br /> A．直角三角形 B．等邊三角形 C．平行四邊形 D．矩形
2．（4分）若線段a，b，c，d是成比例線段，且a＝1cm，c＝2cm，則d＝（　　）
A．8cm B．0.5cm C．2cm D．3cm
3．（4分）某多邊形的內(nèi)角和是其外角和的3倍，則此多邊形的邊數(shù)是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．（4分）點(diǎn)（﹣1，2）在反比例函數(shù)y＝的圖象上（　　）
A．（2，﹣） B．（2，﹣1） C．（﹣2，﹣1） D．（1，﹣）
5．（4分）一件商品的原價(jià)是100元，經(jīng)過(guò)兩次提價(jià)后的價(jià)格為121元，如果每次提價(jià)的百分率都是x，下面列出的方程正確的是（　　）
A．100（1+x）＝121 B．100（1﹣x）＝121
C．100（1+x）2＝121 D．100（1﹣x）2＝121
6．（4分）下列說(shuō)法中，正確的是（　　）
A．四邊相等的四邊形是菱形
B．對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形
C．對(duì)角線互相平分的四邊形是菱形
D．對(duì)角線相等的平行四邊形是菱形
7．（4分）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊AD和CD上，垂足為G，若，則的值為（　?。?br />
A． B． C． D．
8．（4分）設(shè)α，β是方程x2+9x+1＝0的兩根，則（α2+2009α+1）（β2+2009β+1）的值是（　　）
A．0 B．1 C．2000 D．4 000 000
二.填空題（本大題共5個(gè)小題，每小題4分，共20分）
9．（4分）已知，則＝　 　．
10．（4分）若點(diǎn)A（x1，﹣1），B（x2，3），C（x3，5）都在反比例函數(shù)的圖象上，則x1，x2，x3的大小關(guān)系是 　 　．
11．（4分）如圖，△ABC和△DEF是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，相似比為2：3　 ?。?br />
12．（4分）現(xiàn)定義運(yùn)算“★”，對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b，都有a★b＝a2﹣3a+b，如：3★5＝32﹣3×3+5，若x★2＝6，則實(shí)數(shù)x的值是　 　．
13．（4分）如圖，正方形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，以O(shè)為頂點(diǎn)的正方形OEGF的兩邊OE，BC于點(diǎn)M，N．記△AOM的面積為S1，△CON的面積為S2，若正方形的邊長(zhǎng)AB＝10，S1＝16，則S2的大小為 　 　．

三.解答題（本答題共5個(gè)小題，共48分，解答過(guò)程寫(xiě)在答題卡上）
14．（10分）（1）分解因式：a2b﹣4ab2+4b3．
（2）計(jì)算：﹣|1﹣|+（﹣）
15．（10分）解一元二次方程：
（1）x2﹣4x﹣5＝0．
（2）2x（x+2）﹣1＝0．
16．（8分）越來(lái)越多太陽(yáng)能路燈的使用，既點(diǎn)亮了城市的風(fēng)景，也是我市積極落實(shí)節(jié)能環(huán)保的舉措．某校學(xué)生開(kāi)展綜合實(shí)踐活動(dòng)，已知測(cè)傾器的高度為1.6米，在測(cè)點(diǎn)A處安置測(cè)傾器，在與點(diǎn)A相距3.5米的測(cè)點(diǎn)D處安置測(cè)傾器，測(cè)得點(diǎn)M的仰角∠MEC＝45°（點(diǎn)A，D與N在一條直線上）（結(jié)果精確到1米；參考數(shù)據(jù)sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）

17．（10分）如圖，已知矩形ABCD，點(diǎn)E在CB延長(zhǎng)線上，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥EF交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，連結(jié)AF交EH于點(diǎn)G
（1）求證：BE＝CF；
（2）當(dāng)＝，AD＝4時(shí)，求EF的長(zhǎng)．

18．（10分）如圖，一次函數(shù)y＝kx+b的圖象與反比例函數(shù)y＝的圖象交于點(diǎn)A（﹣3，n），B（2，3）．
（1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）若P為x軸上一點(diǎn)，△ABP的面積為5，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）結(jié)合圖象，關(guān)于x的不等式kx+b＜的解集為 　 　．

一.填空題（本大題共5個(gè)小題，每小題4分，共20分，答案寫(xiě)在答題卡上）
19．（4分）若a+b＝3，a2+b2＝7，則ab＝　 　．
20．（4分）關(guān)于x的一元二次方程mx2﹣8x+16＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的范圍　 　．
21．（4分）如圖，在8×4的矩形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，則tan∠ACB的值為 　 　．

22．（4分）在矩形ABCD中，AB＝5cm，BC＝3cm，折痕端點(diǎn)G、F分別在邊AD、DC上，則當(dāng)折痕端點(diǎn)F恰好與C點(diǎn)重合時(shí)　 　cm．

23．（4分）如圖，矩形ABCD中，AB＝6，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是線段EC上一動(dòng)點(diǎn)，連接PB，則線段PB的最小值為 　 　．

二、解答題（共30分）
24．（8分）我校為了進(jìn)行學(xué)雷鋒愛(ài)心義賣(mài)活動(dòng)，決定在操場(chǎng)劃分一塊面積為480平方米的矩形場(chǎng)地．若矩形場(chǎng)地的一邊靠墻（墻長(zhǎng)31米），另外三邊由總長(zhǎng)為60米的圍繩圍成（如圖）．請(qǐng)根據(jù)方案計(jì)算出矩形場(chǎng)地的邊長(zhǎng)各是多少米？

25．（10分）如圖，正方形ABCD中，AB＝2，且DE＝DC，（∠CDE＜90°）．連接AE．
（1）若∠CDE＝20°，求∠DAE的度數(shù)；
（2）過(guò)點(diǎn)A作射線EC的垂線段，垂足為P，求證AE＝；
（3）在（2）的條件下，AP與BC交于點(diǎn)F，求CE的長(zhǎng)．

26．（12分）如圖，已知矩形ABCD，點(diǎn)E在邊CD上，過(guò)C作CM⊥BE于點(diǎn)M，連接AM，交BC于點(diǎn)N．
（1）求證：△MAB∽△MNC；
（2）若AB＝4，BC＝6，且點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)；
（3）若，且MB平分∠AMN，求的值．



2023-2024學(xué)年四川省成都市武侯區(qū)西川實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)（上）開(kāi)學(xué)數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一.選擇題（本大題共8個(gè)小題，每小題4分，共32分）
1．（4分）下列圖形中，既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的是（　?。?br /> A．直角三角形 B．等邊三角形 C．平行四邊形 D．矩形
【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形的概念求解．
【解答】解：A、不是軸對(duì)稱圖形，因?yàn)檎也坏饺魏芜@樣的一點(diǎn)；即不滿足中心對(duì)稱圖形的定義；
B、是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)正確．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念：軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合；中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合．
2．（4分）若線段a，b，c，d是成比例線段，且a＝1cm，c＝2cm，則d＝（　?。?br /> A．8cm B．0.5cm C．2cm D．3cm
【分析】如果其中兩條線段的乘積等于另外兩條線段的乘積，則四條線段叫成比例線段．根據(jù)定義ad＝cb，將a，b及c的值代入即可求得d．
【解答】解：∵a，b，c，d是成比例線段，
∴ad＝cb，
∵a＝1cm，b＝4cm，
∴d＝2（cm），
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例線段，關(guān)鍵是理解比例線段的概念，列出比例式，用到的知識(shí)點(diǎn)是比例的基本性質(zhì)．
3．（4分）某多邊形的內(nèi)角和是其外角和的3倍，則此多邊形的邊數(shù)是（　?。?br /> A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】利用多邊形內(nèi)角和公式和外角和定理，列出方程即可解決問(wèn)題．
【解答】解：根據(jù)題意，得：（n﹣2）×180＝360×3．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式和外角和定理，利用方程法求邊數(shù)．
4．（4分）點(diǎn)（﹣1，2）在反比例函數(shù)y＝的圖象上（　　）
A．（2，﹣） B．（2，﹣1） C．（﹣2，﹣1） D．（1，﹣）
【分析】將點(diǎn)（﹣1，2）代入y＝即可求出k的值，再根據(jù)k＝xy解答即可．
【解答】解：∵點(diǎn)（﹣1，2）在反比例函數(shù)y＝，
∴k＝﹣6×2＝﹣2，四個(gè)選項(xiàng)中只有B符合．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，只要點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，則一定滿足函數(shù)的解析式．反之，只要滿足函數(shù)解析式就一定在函數(shù)的圖象上．
5．（4分）一件商品的原價(jià)是100元，經(jīng)過(guò)兩次提價(jià)后的價(jià)格為121元，如果每次提價(jià)的百分率都是x，下面列出的方程正確的是（　　）
A．100（1+x）＝121 B．100（1﹣x）＝121
C．100（1+x）2＝121 D．100（1﹣x）2＝121
【分析】設(shè)平均每次提價(jià)的百分率為x，根據(jù)原價(jià)為100元，表示出第一次提價(jià)后的價(jià)錢(qián)為100（1+x）元，然后再根據(jù)價(jià)錢(qián)為100（1+x）元，表示出第二次提價(jià)后的價(jià)錢(qián)為100（1+x）2元，根據(jù)兩次提價(jià)后的價(jià)錢(qián)為121元，列出關(guān)于x的方程．
【解答】解：設(shè)平均每次提價(jià)的百分率為x，
根據(jù)題意得：100（1+x）2＝121，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用，屬于平均增長(zhǎng)率問(wèn)題，一般情況下，假設(shè)基數(shù)為a，平均增長(zhǎng)率為x，增長(zhǎng)的次數(shù)為n（一般情況下為2），增長(zhǎng)后的量為b，則有表達(dá)式a（1+x）n＝b，類似的還有平均降低率問(wèn)題，注意區(qū)分“增”與“減”．
6．（4分）下列說(shuō)法中，正確的是（　?。?br /> A．四邊相等的四邊形是菱形
B．對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形
C．對(duì)角線互相平分的四邊形是菱形
D．對(duì)角線相等的平行四邊形是菱形
【分析】根據(jù)四條邊都相等的四邊形是菱形，對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形分別進(jìn)行分析即可．
【解答】解：A、四邊相等的四邊形是菱形；
B、對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形；
C、對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形；
D、對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形；
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了菱形的判定，熟練掌握菱形的判定定理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
7．（4分）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊AD和CD上，垂足為G，若，則的值為（　　）

A． B． C． D．
【分析】設(shè)AB＝m，由＝2，得AE＝DA＝m，可證明△ABE≌△DAF，得DF＝AE＝m，則AF＝＝m，再證明△GAE∽△DAF，得＝＝，所以AG＝AD＝m，GF＝AF﹣AG＝m，即可求得＝，于是得到問(wèn)題的答案．
【解答】解：設(shè)AB＝m，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝DA＝m，∠BAE＝∠D＝90°，
∵＝2，
∴AE＝DA＝m，
∵AF⊥BE于點(diǎn)G，
∴∠AGE＝90°，
∴∠ABE＝∠DAF＝90°﹣∠AEB，
∴△ABE≌△DAF（ASA），
∴DF＝AE＝m，
∴AF＝＝＝m，
∵∠AGE＝∠D＝90°，∠GAE＝∠DAF，
∴△GAE∽△DAF，
∴＝＝＝，
∴AG＝AD＝m，
∴GF＝AF﹣AG＝m﹣m，
∴＝＝，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查正方形的性質(zhì)、同角的余角相等、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，證明△ABE≌△DAF及△GAE∽△DAF是解題的關(guān)鍵．
8．（4分）設(shè)α，β是方程x2+9x+1＝0的兩根，則（α2+2009α+1）（β2+2009β+1）的值是（　?。?br /> A．0 B．1 C．2000 D．4 000 000
【分析】欲求（α2+2009α+1）（β2+2009β+1）的值，先把此代數(shù)式變形為兩根之積或兩根之和的形式（α2+2009α+1）（β2+2009β+1）＝（α2+9α+1+2000α）（β2+9β+1+2000β），再利用根與系數(shù)的關(guān)系代入數(shù)值計(jì)算即可．
【解答】解：∵α，β是方程x2+9x+2＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴α+β＝﹣9，α?β＝5．
（α2+2009α+1）（β8+2009β+1）
＝（α2+2α+1+2000α）（β2+4β+1+2000β）
又∵α，β是方程x2+8x+1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴α6+9α+1＝6，β2+9β+7＝0．
∴（α2+2α+1+2000α）（β2+6β+1+2000β）
＝2000α?2000β
＝2000×2000αβ，
而α?β＝1，
∴（α2+9α+1+2000α）（β8+9β+1+2000β）＝7 000 000．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．
二.填空題（本大題共5個(gè)小題，每小題4分，共20分）
9．（4分）已知，則＝　2?。?br /> 【分析】根據(jù)已知得出a＝2b，代入分式進(jìn)行化簡(jiǎn)即可求解．
【解答】解：∵，
∴a＝2b，
∴＝．
故答案為：6．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌分式的性質(zhì)握是解題的關(guān)鍵．
10．（4分）若點(diǎn)A（x1，﹣1），B（x2，3），C（x3，5）都在反比例函數(shù)的圖象上，則x1，x2，x3的大小關(guān)系是 　x2＞x3＞x1?。?br /> 【分析】先根據(jù)函數(shù)解析式判斷出函數(shù)圖象在二四象限，再判斷出函數(shù)圖象的增減性，根據(jù)各點(diǎn)縱坐標(biāo)的值即可得出結(jié)論．
【解答】解：∵反比例函數(shù)，k＝4＞4，
∴函數(shù)圖象的兩個(gè)分支分別位于第二、四象限，
∵﹣1＜0，4＞0，
∴點(diǎn)A在第四象限，點(diǎn)B，
∴x1＞2，x2＜0，x3＜0，
∵3＜3，
∴x2＞x3＞6，
∴x2＞x3＞x3．
故答案為：x2＞x3＞x2．．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，熟知反比例函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
11．（4分）如圖，△ABC和△DEF是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，相似比為2：3　4：9　．

【分析】先利用位似的性質(zhì)得到△ABC∽△DEF，相似比為2：3，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題．
【解答】解：∵△ABC與△DEF是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，位似比為2：3，
∴△ABC∽△DEF，相似比為6：3，
∴△ABC與△DEF的面積之比為27：32＝4：9．
故答案為：4：4．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是位似變換的概念和性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)，熟記相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．
12．（4分）現(xiàn)定義運(yùn)算“★”，對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b，都有a★b＝a2﹣3a+b，如：3★5＝32﹣3×3+5，若x★2＝6，則實(shí)數(shù)x的值是　﹣1或4　．
【分析】根據(jù)題中的新定義將所求式子轉(zhuǎn)化為一元二次方程，求出一元二次方程的解即可得到x的值．
【解答】解：根據(jù)題中的新定義將x★2＝6變形得：
x6﹣3x+2＝2，即x2﹣3x﹣7＝0，
因式分解得：（x﹣4）（x+3）＝0，
解得：x1＝3，x2＝﹣1，
則實(shí)數(shù)x的值是﹣3或4．
故答案為：﹣1或7
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解一元二次方程﹣因式分解法，利用此方法解方程時(shí)，首先將方程右邊化為0，左邊變?yōu)榉e的形式，然后根據(jù)兩數(shù)相乘積為0，兩因式中至少有一個(gè)為0轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程來(lái)求解．
13．（4分）如圖，正方形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，以O(shè)為頂點(diǎn)的正方形OEGF的兩邊OE，BC于點(diǎn)M，N．記△AOM的面積為S1，△CON的面積為S2，若正方形的邊長(zhǎng)AB＝10，S1＝16，則S2的大小為 　9　．

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得出OB＝OC，∠OBA＝∠OCB＝45°，∠BOC＝∠EOF＝90°，推出∠EOB＝∠COF，證出△OBM≌△OCN可得答案．
【解答】解：∵四邊形ABCD和四邊形OEGF都是正方形，
∴OB＝OC，∠OBA＝∠OCB＝45°，
∴∠EOB＝∠COF，
在△OBM與△OCN中，
，
∴△OBM≌△OCN（SAS），
∴，
∴S2＝25﹣16＝7，
故答案為：9．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)，證明△OBM≌△OCN是解答此題的關(guān)鍵．
三.解答題（本答題共5個(gè)小題，共48分，解答過(guò)程寫(xiě)在答題卡上）
14．（10分）（1）分解因式：a2b﹣4ab2+4b3．
（2）計(jì)算：﹣|1﹣|+（﹣）
【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式繼續(xù)分解即可解答；
（2）先化簡(jiǎn)各式，然后再進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】解：（1）a2b﹣4ab2+4b3
＝b（a2﹣4ab+4b6）
＝b（a﹣2b）2；
（2）﹣|1﹣）×sin60°
＝﹣5﹣（﹣1）+（﹣
＝﹣2﹣+5﹣
＝﹣3﹣﹣．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，實(shí)數(shù)的運(yùn)算，特殊角的三角函數(shù)值，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
15．（10分）解一元二次方程：
（1）x2﹣4x﹣5＝0．
（2）2x（x+2）﹣1＝0．
【分析】（1）利用十字相乘法將方程的左邊因式分解，繼而得出兩個(gè)關(guān)于x的一元一次方程，再進(jìn)一步求解即可；
（2）整理成一般式，再利用公式法求解即可．
【解答】解：（1）∵x2﹣4x﹣2＝0，
∴（x﹣5）（x+8）＝0，
則x﹣5＝7或x+1＝0，
解得x7＝5，x2＝﹣5；
（2）整理成一般式，得：2x2+2x﹣1＝0，
∵a＝2，b＝4，
∴Δ＝48﹣4×2×（﹣3）＝24＞0，
則x＝＝，
∴x7＝，x2＝．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接開(kāi)平方法、因式分解法、公式法及配方法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)方程的特點(diǎn)選擇簡(jiǎn)便的方法．
16．（8分）越來(lái)越多太陽(yáng)能路燈的使用，既點(diǎn)亮了城市的風(fēng)景，也是我市積極落實(shí)節(jié)能環(huán)保的舉措．某校學(xué)生開(kāi)展綜合實(shí)踐活動(dòng)，已知測(cè)傾器的高度為1.6米，在測(cè)點(diǎn)A處安置測(cè)傾器，在與點(diǎn)A相距3.5米的測(cè)點(diǎn)D處安置測(cè)傾器，測(cè)得點(diǎn)M的仰角∠MEC＝45°（點(diǎn)A，D與N在一條直線上）（結(jié)果精確到1米；參考數(shù)據(jù)sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）

【分析】延長(zhǎng)BC交MN于點(diǎn)H，設(shè)MH＝x米，∠MEC＝45°，故EH＝x米，則tan∠MBH＝＝≈0.65，進(jìn)而求解．
【解答】解：延長(zhǎng)BC交MN于點(diǎn)H，AD＝BE＝3.5，
設(shè)MH＝x米，

∵∠MEC＝45°，
∴EH＝x米，
在Rt△MHB中，tan∠MBH＝＝，解得x＝6.6，
則MN＝1.6+3.5＝8.7≈8（米），
∴電池板離地面的高度MN的長(zhǎng)約為8米．
【點(diǎn)評(píng)】本題是解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題，解決此類問(wèn)題要了解角之間的關(guān)系，找到與已知和未知相關(guān)聯(lián)的直角三角形，當(dāng)圖形中沒(méi)有直角三角形時(shí)，要通過(guò)作高或垂線構(gòu)造直角三角形，另當(dāng)問(wèn)題以一個(gè)實(shí)際問(wèn)題的形式給出時(shí)，要善于讀懂題意，把實(shí)際問(wèn)題化歸為直角三角形中邊角關(guān)系問(wèn)題加以解決．
17．（10分）如圖，已知矩形ABCD，點(diǎn)E在CB延長(zhǎng)線上，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥EF交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，連結(jié)AF交EH于點(diǎn)G
（1）求證：BE＝CF；
（2）當(dāng)＝，AD＝4時(shí)，求EF的長(zhǎng)．

【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到GE＝GF，再根據(jù)等邊對(duì)等角得出∠E＝∠GFE，根據(jù)矩形的性質(zhì)得出AB＝DC，∠ABC＝∠DCB＝90°，于是可證△ABF和△DCE全等，得到BF＝CE，從而問(wèn)題得證；
（2）先證△ECD∽△EFH，得出比例式，再結(jié)合已知即可求出EF的長(zhǎng)．
【解答】（1）證明：∵FH⊥EF，
∴∠HFE＝90°，
∵GE＝GH，
∴，
∴∠E＝∠GFE，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB＝DC，∠ABC＝∠DCB＝90°，
∴△ABF≌△DCE（AAS），
∴BF＝CE，
∴BF﹣BC＝CE﹣BC，
即BE＝CF；
（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴DC⊥BC，即DC⊥EF，BC＝AD＝3，
∵FH⊥EF，
∴CD∥FH，
∴△ECD∽△EFH，
∴，
∴，
∵，
∴，
設(shè)BE＝CF＝x，
∴EC＝x+4，EF＝3x+4，
∴，
解得x＝1，
∴EF＝6．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握這些圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
18．（10分）如圖，一次函數(shù)y＝kx+b的圖象與反比例函數(shù)y＝的圖象交于點(diǎn)A（﹣3，n），B（2，3）．
（1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）若P為x軸上一點(diǎn)，△ABP的面積為5，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）結(jié)合圖象，關(guān)于x的不等式kx+b＜的解集為 　0＜x＜2或x＜﹣3?。?br />
【分析】（1）把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式，即可求出m，得出反比例函數(shù)的解析式，再把A點(diǎn)的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式，求出n，再求出一次函數(shù)的解析式即可；
（2）根據(jù)一次函數(shù)的解析式求得與x軸的交點(diǎn)C，然后根據(jù)△ABP的面積為5求得CP的長(zhǎng)度，進(jìn)而即可求得P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)函數(shù)的圖象和A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)得出答案即可．
【解答】解：（1）把B（2，3）代入y＝，
即反比例函數(shù)的表達(dá)式是y＝，
把A（﹣3，n）代入y＝＝﹣2，
即A（﹣7，﹣2），
把A、B的坐標(biāo)代入y＝kx+b，得，
解得，
所以一次函數(shù)的表達(dá)式是y＝x+1；

（2）y＝x+8，
當(dāng)y＝0時(shí)，x＝﹣1，

即直線y＝x+5與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣1，0），
∵A（﹣5，﹣2），3），
∴CP×3+，
∴CP＝2，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（5，0）或（﹣3；

（3）根據(jù)圖象可知：關(guān)于x的不等式kx+b＜的解集為3＜x＜2或x＜﹣3，
故答案為：8＜x＜2或x＜﹣3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)、一次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征等知識(shí)點(diǎn)，能用待定系數(shù)法求出函數(shù)的解析式是解此題的關(guān)鍵．
一.填空題（本大題共5個(gè)小題，每小題4分，共20分，答案寫(xiě)在答題卡上）
19．（4分）若a+b＝3，a2+b2＝7，則ab＝　1?。?br /> 【分析】根據(jù)完全平方公式，可得答案．
【解答】解：（a+b）2＝33＝9，
（a+b）2＝a8+b2+2ab＝7．
∵a2+b2＝7，
∴2ab＝2，
ab＝3，
故答案為：1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了完全平方公式，利用完全平方公式是解題關(guān)鍵．
20．（4分）關(guān)于x的一元二次方程mx2﹣8x+16＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的范圍　m＜1且m≠0?。?br /> 【分析】根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)非零及根的判別式Δ＞0，可得出關(guān)于m的一元一次不等式組，解之即可得出m的取值范圍．
【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程mx2﹣8x+16＝5有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴，
解得：m＜8且m≠0．
故答案為：m＜1且m≠8．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式以及一元二次方程的定義，牢記“當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”是解題的關(guān)鍵．
21．（4分）如圖，在8×4的矩形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，則tan∠ACB的值為 　?。?br />
【分析】結(jié)合圖形，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求解．
【解答】解：由圖形知：tan∠ACB＝＝，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是掌握銳角三角函數(shù)的定義．
22．（4分）在矩形ABCD中，AB＝5cm，BC＝3cm，折痕端點(diǎn)G、F分別在邊AD、DC上，則當(dāng)折痕端點(diǎn)F恰好與C點(diǎn)重合時(shí)　1　cm．

【分析】首先根據(jù)題意畫(huà)出圖形，然后由勾股定理求得BE的長(zhǎng)，繼而求得答案．
【解答】解：如圖，在矩形ABCD中，BC＝3cm，
∴CD＝AB＝5，∠B＝90°，
由折疊的性質(zhì)可得：CE＝CD＝6cm，
∴BE＝＝＝4（cm），
∴AE＝AB﹣BE＝1cm．
故答案為：8．

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)以及勾股定理．注意根據(jù)題意畫(huà)出圖形，結(jié)合圖形求解是關(guān)鍵．
23．（4分）如圖，矩形ABCD中，AB＝6，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是線段EC上一動(dòng)點(diǎn)，連接PB，則線段PB的最小值為 　　．

【分析】如圖，取CD中點(diǎn)G，連接AG交DE于O，連接BG，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到可得AH∥CE，當(dāng)BP⊥OG時(shí)，BP有最小值，即可求解．
【解答】解：如圖，取CD中點(diǎn)G，連接BG，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝6，AD＝BC＝4，
∵點(diǎn)E是AB中點(diǎn)，點(diǎn)G是CD中點(diǎn)，
∴CG＝AE＝DG＝BE＝4，
∴AG＝5，
∴四邊形AEGD是矩形，
∴點(diǎn)O是ED的中點(diǎn)，
OG即為點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡，
∴當(dāng)BP⊥OG時(shí)，BP有最小值，
∵2S△ABG＝AG?BH＝AB?EG，
∴BH＝＝，
∴BP的最小值為，
故答案為：．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，確定點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是本題的關(guān)鍵．
二、解答題（共30分）
24．（8分）我校為了進(jìn)行學(xué)雷鋒愛(ài)心義賣(mài)活動(dòng)，決定在操場(chǎng)劃分一塊面積為480平方米的矩形場(chǎng)地．若矩形場(chǎng)地的一邊靠墻（墻長(zhǎng)31米），另外三邊由總長(zhǎng)為60米的圍繩圍成（如圖）．請(qǐng)根據(jù)方案計(jì)算出矩形場(chǎng)地的邊長(zhǎng)各是多少米？

【分析】設(shè)矩形場(chǎng)地的長(zhǎng)為x米，則寬為米，根據(jù)題意列出相應(yīng)的一元二次方程即可求解．
【解答】解：設(shè)矩形場(chǎng)地的長(zhǎng)為x米，則寬為米，
由題意得：，
∴，
∴x5﹣62x+960＝0，
∴（x﹣30）（x﹣32）＝0，
解得：x＝30或x＝32（舍去），
∴，
∴矩形場(chǎng)地的長(zhǎng)為30米，寬為16米．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的方程．
25．（10分）如圖，正方形ABCD中，AB＝2，且DE＝DC，（∠CDE＜90°）．連接AE．
（1）若∠CDE＝20°，求∠DAE的度數(shù)；
（2）過(guò)點(diǎn)A作射線EC的垂線段，垂足為P，求證AE＝；
（3）在（2）的條件下，AP與BC交于點(diǎn)F，求CE的長(zhǎng)．

【分析】（1）利用正方形四個(gè)內(nèi)角都是90°及已知條件∠CDE＝20°可以得出∠ADE的大小，利用正方形四條邊相等及DE＝DC，可以得出DA＝DE，從而求出∠DAE的大小，
（2）利用方程思想，設(shè)∠DAE＝∠DEA＝x°，∠BAF＝y(tǒng)°；找到關(guān)鍵角∠1，利用外角的知識(shí)，用含有x或y的表達(dá)式表示∠1、∠2，再借助等腰三角形DCE的兩底角相等，得出∠3的表達(dá)式，構(gòu)建方程，從而得出∠PAE＝45°，繼而得出AE＝AP．
（3）過(guò)點(diǎn)D作DK⊥EP，得出△ABF∽△DKC，從而得出對(duì)應(yīng)線段成比例；再借助勾股定理求出相關(guān)對(duì)應(yīng)線段的長(zhǎng)度，從而求出CK的長(zhǎng)度，繼而利用三線合一求出CE的長(zhǎng)度．
【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴DA＝DC，∠ADC＝90°，
∵DE＝DC，∠CDE＝20°，
∴DE＝DA，∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝90°+20°＝110°，
∴∠DAE＝（180°﹣∠ADE）＝×70°＝35°．
（2）

設(shè)∠DAE＝∠DEA＝x°，∠BAF＝y(tǒng)°，
∵四邊形ABCD是正方形，過(guò)點(diǎn)A作射線EC的垂線段，
∴∠DAB＝∠B＝∠BCD＝∠APC＝90°，∠FCP+∠2＝90°，
又∵∠AFB＝∠CFP，
∴∠FCP＝∠BAF＝y(tǒng)°，∠2＝（90﹣y）°，
∵DC＝DE，
∴∠DEC＝∠2＝（90﹣y）°，則∠3＝∠DEC﹣∠DEA＝（90﹣y）°﹣x°＝（90﹣x﹣y）°，
∵∠1＝∠DAE+∠ADG＝∠2+∠3，
∴x+90＝90﹣y+90﹣x﹣y，則2x+7y＝90，
∴x+y＝45，即∠BAF+∠DAE＝45°，
∴∠PAE＝∠DAB﹣x﹣y＝90°﹣45°＝45°，
在Rt△APE中，cos45°＝＝AP．
（3）
過(guò)點(diǎn)D作DK⊥EP，則∠DKC＝∠FPC＝∠B＝90°，
∴∠6+∠3＝90°，
由（2）得，∠1+∠3＝90°，
∴∠2＝∠4，
∴△ABF∽△DKC，
∴，
∵四邊形ABCD是正方形，AB＝5，
∴BC＝DC＝2，
∵點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，
∴BF＝1，則AF＝＝＝，
∴，則CK＝，
在△DCE中，∵DC＝DE，
∴EK＝CK＝，則CE＝．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，涉及知識(shí)點(diǎn)多，綜合性強(qiáng)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想，方程思想，模型化思想等，考查了學(xué)生的推理能力，計(jì)算能力等，解決此類問(wèn)題，良好扎實(shí)的知識(shí)基礎(chǔ)非常重要．
26．（12分）如圖，已知矩形ABCD，點(diǎn)E在邊CD上，過(guò)C作CM⊥BE于點(diǎn)M，連接AM，交BC于點(diǎn)N．
（1）求證：△MAB∽△MNC；
（2）若AB＝4，BC＝6，且點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)；
（3）若，且MB平分∠AMN，求的值．


【分析】（1）由平行線的性質(zhì)可得∠ABE＝∠BEC，由余角的性質(zhì)可得∠BCM＝∠BEC＝∠ABE，∠AMB＝∠NMC，可得結(jié)論；
（2）由勾股定理可求BE的長(zhǎng)，由面積法可求CM的長(zhǎng)，由銳角三角函數(shù)可求BM的長(zhǎng)，由相似三角形的性質(zhì)可求NC的長(zhǎng)，即可求解；
（3）由相似三角形的性質(zhì)可得＝，則設(shè)NC＝3a，CE＝4a，AB＝3x，BC＝4x，通過(guò)相似三角形的性質(zhì)可求x＝3a，可求BN＝9a，即可求解．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠ABE＝∠BEC，
∵CM⊥BE，
∴∠BEC+∠MCE＝90°，
又∵∠BCM+∠MCE＝90°，
∴∠BCM＝∠BEC＝∠ABE，
∵∠AMN＝∠BMC＝90°，
∴∠AMB＝∠NMC，
∴△MAB∽△MNC；
（2）∵點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，AB＝CD＝4，
∴CE＝DE＝2，
∴BE＝＝＝4，
∵S△BEC＝×BC×CE＝，
∴2×2＝2×CM，
∴CM＝，
∵tan∠CBE＝，
∴＝，
∴BM＝，
由（1）可知：△MAB∽△MNC，
∴，
∴，
∴NC＝，
∴BN＝BC﹣CN＝；
（3）由（1）可知：△MAB∽△MNC，
∴，
∵∠CBM＝∠CBE，∠BMC＝∠BCE＝90°，
∴△BMC∽△BCE，
∴，
∴，
∴＝，
∴設(shè)NC＝3a，CE＝6a，BC＝4x，
如圖，過(guò)點(diǎn)B作BH∥CM，

∵CM⊥BE，BH∥CM，
∴BH⊥BE，
∴∠HBM＝90°，
∵M(jìn)B平分∠AMN，
∴∠AMB＝∠BMN＝45°，
∴∠BMN＝∠H＝45°，
∴BM＝BH，
∵BH∥CM，
∴△BHN∽△CMN，
∴，
∴＝，
∴，
∴x＝3a，
∴BC＝12a，
∴BN＝BC﹣NC＝9a，
∴＝＝．
【點(diǎn)評(píng)】本題是相似形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理等知識(shí)，利用參數(shù)表示線段的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．