1．（4分）如圖是一個(gè)空心圓柱體，其俯視圖是（ ）
A．B．C．D．
2．（4分）一個(gè)不透明的袋子中有若干個(gè)黃色和白色的兩種小球，這些球除顏色外其他完全相同．已知黃球有6個(gè)，每次摸球前先將袋子中的球搖勻，任意摸出一個(gè)球記下顏色后，放回袋中，再搖勻，再摸，通過(guò)大量重復(fù)摸球后發(fā)現(xiàn)，摸到黃球的頻率穩(wěn)定在0.3左右，估計(jì)袋子中白球的個(gè)數(shù)是（ ）
A．10B．12C．14D．15
3．（4分）若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣6x+c＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)c的值為（ ）
A．﹣12B．﹣9C．9D．12
4．（4分）如圖，已知l1∥l2∥l3，AC交l1，l2，l3于點(diǎn)A，B，C，DF交l1，l2，l3于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，，DE＝6，則DF＝（ ）
A．8B．10C．12D．16
5．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．C．D．
6．（4分）若點(diǎn)A（x1，﹣1），B（x2，1），C（x3，4）都在反比例函數(shù)的圖象上，則x1，x2，x3的大小關(guān)系是（ ）
A．x1＜x2＜x3B．x1＜x3＜x2C．x2＜x1＜x3D．x3＜x2＜x1
7．（4分）如圖，下列條件不能判定△ABC與△ADE相似的是（ ）
A．B．∠B＝∠ADEC．D．∠C＝∠AED
8．（4分）拋物線y＝ax2+bx+c的頂點(diǎn)為D（﹣1，2），與x軸的一個(gè)交點(diǎn)A在點(diǎn)（﹣3，0）和（﹣2，0）之間，其部分圖象如圖，則以下結(jié)論錯(cuò)誤是（ ）
A．3a+c＞0
B．a(chǎn)+b+c＜0
C．當(dāng)x＞﹣1時(shí)，y的值隨x值的增大而減小
D．若方程ax2+bx+c﹣m＝0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則m＞2
二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分。
9．（4分）燭光照射下人的影子屬于 投影．（填“平行”或“中心”）
10．（4分）已知x＝2是關(guān)于x的方程x2﹣5x+m＝0的一個(gè)根，則m＝ ．
11．（4分）如圖，△ABC和△DEF是位似圖形，點(diǎn)O是它們的位似中心，若△ABC與△DEF的面積之比為1：4，則的值為 ．
12．（4分）已知反比例函數(shù)的圖象具有下列特征：在所在象限內(nèi)，y的值隨x的增大而增大，那么m的取值范圍是 ．
13．（4分）如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E在BC上，AE與BD相交于點(diǎn)F，若BE：EC＝2：3，則BF：FD的值為 ．
三、解答題：本大題共5個(gè)小題，共48分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。
14．（12分）（1）計(jì)算：．
（2）解方程：x2﹣2x﹣4＝0．
15．（8分）某學(xué)校為扎實(shí)推進(jìn)勞動(dòng)教育，把學(xué)生參與勞動(dòng)教育情況納入積分考核．學(xué)校隨機(jī)抽取了部分學(xué)生的勞動(dòng)積分（積分用x表示）進(jìn)行調(diào)查，整理得到如下不完整的統(tǒng)計(jì)表和扇形統(tǒng)計(jì)圖．
請(qǐng)根據(jù)以上圖表信息，解答下列問(wèn)題：
（1）統(tǒng)計(jì)表中m＝ ，B等級(jí)對(duì)應(yīng)扇形的圓心角的度數(shù)為 ；
（2）學(xué)校規(guī)定勞動(dòng)積分大于等于80的學(xué)生為“勞動(dòng)之星”．若該學(xué)校共有學(xué)生3000人，請(qǐng)估計(jì)該學(xué)校“勞動(dòng)之星”大約有多少人；
（3）A等級(jí)中有兩名男同學(xué)和兩名女同學(xué)，學(xué)校從A等級(jí)中隨機(jī)選取2人進(jìn)行經(jīng)驗(yàn)分享，請(qǐng)用列表法或畫樹狀圖法，求恰好抽取一名男同學(xué)和一名女同學(xué)的概率．
16．（8分）戶外天幕是一種用于戶外活動(dòng)的遮陽(yáng)和防雨裝備，適用于露營(yíng)、野餐、露天音樂(lè)會(huì)等各種場(chǎng)合．如圖，其截面示意圖是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是垂直于地面的支桿AB，通過(guò)拉繩可控制天幕的開合．幕布寬AC＝AD＝2m，CD⊥AB于點(diǎn)O，∠BAD＝70°，如果通過(guò)拉繩將∠BAD減少10°，那么點(diǎn)D下降了多少米？（結(jié)果精確到0.01m；參考數(shù)據(jù)：sin70°≈0.94，cs70°≈0.34，tan70°≈2.75）
17．（10分）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，AE∥BC，BE與AD，AC分別相交于點(diǎn)F，G，AF2＝FG?FE．
（1）求證：△CAD∽△CBG；
（2）若AC＝6，BC＝7，G為AC的中點(diǎn)，求CD的長(zhǎng)．
18．（10分）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于A，B兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)D，已知點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣2，﹣2）．
（1）求點(diǎn)A坐標(biāo)及反比例函數(shù)的表達(dá)式；
（2）求△OAB的面積；
（3）在y軸上存在一點(diǎn)P，使△PDC與△AOD相似，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．
一、填空題：本大題共5個(gè)小題，每小題4分，共20分。
19．（4分）已知，且a+b﹣2c＝3，則a的值是 ．
20．（4分）若m，n是一元二次方程x2﹣5x﹣2＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m2+n2﹣mn的值是 ．
21．（4分）如圖，在矩形ABCD中，E為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接AE，將△ABE沿AE翻折，使點(diǎn)B恰好落在對(duì)角線BD上點(diǎn)F處，AE交BD于點(diǎn)G．若BC＝4，EF＝EC時(shí)，則AB＝ ．
22．（4分）如圖，一次函數(shù)y＝﹣x+4與反比例函數(shù)在第一象限交于點(diǎn)C，D，與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A，B．若AC＝CD，則k的值為 ．
23．（4分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（t，y1），B（t+1，y2），C（t+3，y3）三點(diǎn)都在拋物線y＝ax2﹣4ax﹣3（a＜0）上．若y1＜y3＜y2，則t的取值范圍是 ；若無(wú)論t取任何實(shí)數(shù)，點(diǎn)A，B，C中都至少有兩個(gè)點(diǎn)在x軸的下方，則a的取值范圍是 ．
二、解答題：本大題共3個(gè)小題，共30分。
24．（8分）推進(jìn)中國(guó)式現(xiàn)代化，必須堅(jiān)持不懈夯實(shí)農(nóng)業(yè)基礎(chǔ)，推進(jìn)鄉(xiāng)村全面振興．某合作社著力發(fā)展鄉(xiāng)村水果網(wǎng)絡(luò)銷售，據(jù)統(tǒng)計(jì)某電商平臺(tái)10月份的水果銷售量是50000kg，12月份的水果銷售量是72000kg．
（1）若該平臺(tái)10月份到12月份銷售的月平均增長(zhǎng)率都相同，求月平均增長(zhǎng)率是多少？
（2）市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，某店鋪的水果進(jìn)價(jià)為6元/kg，若售價(jià)為10元/kg，每天能銷售200kg，售價(jià)每降價(jià)0.1元，每天可多售出20kg．水果的售價(jià)為多少元時(shí)，每天可獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？
25．（10分）已知拋物線L：y＝a（x﹣3）2﹣4a（a＞0）與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），其頂點(diǎn)為C，D是拋物線第一象限上一點(diǎn)．
（1）求線段AB的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)a＝1時(shí)，若S△BCD＝S△ABC，求tan∠BAD的值；
（3）將拋物線L的圖象先向右平移a個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移2a個(gè)單位長(zhǎng)度，得到拋物線L′．點(diǎn)P是拋物線L′上一動(dòng)點(diǎn)，PA+PB的最小值為4，求a的取值范圍．
26．（12分）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，同學(xué)們將兩個(gè)全等的三角形紙片完全重合放置，固定一個(gè)頂點(diǎn)，然后將其中一個(gè)紙片繞這個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，來(lái)探究圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．已知三角形紙片ABC和DBE中，AB＝DB＝3，BC＝BE＝4，∠ABC＝∠DBE＝90°．
【初步感知】
（1）如圖1，連接AD，CE，在紙片DBE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，試探究的值．
【深入探究】
（2）如圖2，在紙片DBE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)A恰好落在△DBE的DE邊上時(shí)，BE交AC于點(diǎn)F，求CF的長(zhǎng)．
【拓展延伸】
（3）如圖3，在紙片DBE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)AC的中點(diǎn)M恰好落在△DBE的DE邊上時(shí)，DE與BC相交于點(diǎn)P，求CP的長(zhǎng)．
2024-2025學(xué)年四川省成都市溫江區(qū)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題：本大題共8個(gè)小題，每小題4分，共32分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．（4分）如圖是一個(gè)空心圓柱體，其俯視圖是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)從上邊看得到的圖形是俯視圖，可得答案．
【解答】解：該空心圓柱體的俯視圖是
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了簡(jiǎn)單幾何體的三視圖，從上邊看得到的圖形是俯視圖．
2．（4分）一個(gè)不透明的袋子中有若干個(gè)黃色和白色的兩種小球，這些球除顏色外其他完全相同．已知黃球有6個(gè)，每次摸球前先將袋子中的球搖勻，任意摸出一個(gè)球記下顏色后，放回袋中，再搖勻，再摸，通過(guò)大量重復(fù)摸球后發(fā)現(xiàn)，摸到黃球的頻率穩(wěn)定在0.3左右，估計(jì)袋子中白球的個(gè)數(shù)是（ ）
A．10B．12C．14D．15
【分析】根據(jù)概率的求法，找準(zhǔn)兩點(diǎn)：①全部情況的總數(shù)；②符合條件的情況數(shù)目；二者的比值就是其發(fā)生的概率即可．
【解答】解：∵通過(guò)大量重復(fù)摸球試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到黃球的頻率穩(wěn)定在0.3
∴根據(jù)題意任意摸出1個(gè)，摸到黃球的概率是：0.3，
設(shè)袋中白球的個(gè)數(shù)為a個(gè)，
則0.3＝．
解得：a＝14，
∴白球的個(gè)數(shù)為：14個(gè)．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了利用概率的求法估計(jì)總體個(gè)數(shù)，利用如果一個(gè)事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種可能，那么事件A的概率P（A）＝是解題關(guān)鍵．
3．（4分）若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣6x+c＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)c的值為（ ）
A．﹣12B．﹣9C．9D．12
【分析】利用一元二次方程根的判別式即可解決問(wèn)題．
【解答】解：因?yàn)殛P(guān)于x的一元二次方程x2﹣6x+c＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
所以Δ＝（﹣6）2﹣4×1×c＝0，
解得c＝9．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了根的判別式，熟知一元二次方程根的判別式是解題的關(guān)鍵．
4．（4分）如圖，已知l1∥l2∥l3，AC交l1，l2，l3于點(diǎn)A，B，C，DF交l1，l2，l3于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，，DE＝6，則DF＝（ ）
A．8B．10C．12D．16
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例可得＝，即可求出EF，即可求出DF的長(zhǎng)．
【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴＝，
∵＝，DE＝6，
∴＝，
∴EF＝10，
∴DF＝6+10＝16．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線分線段成比例定理，能根據(jù)平行線分線段成比例定理得出正確的比例式是解此題的關(guān)鍵．
5．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】先利用勾股定理計(jì)算出AB，然后根據(jù)三角函數(shù)的定義對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，
∴AB＝＝13，
∴sinA＝＝，csB＝＝，tanA＝＝，tanB＝＝．
故選項(xiàng)D符合題意．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義和勾股定理，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義的關(guān)鍵．
6．（4分）若點(diǎn)A（x1，﹣1），B（x2，1），C（x3，4）都在反比例函數(shù)的圖象上，則x1，x2，x3的大小關(guān)系是（ ）
A．x1＜x2＜x3B．x1＜x3＜x2C．x2＜x1＜x3D．x3＜x2＜x1
【分析】根據(jù)k＝4＞0可得反比例函數(shù)圖象在第一、三象限，每個(gè)象限中，y隨x的增大而減小，由此即可求解．
【解答】解：∵k＝4＞0，
∴反比例函數(shù)的圖象在第一、三象限，每個(gè)象限中，y 隨 x的增大而減小，
∵點(diǎn)A（x1，﹣1），B（x2，1），C（x3，4）都在反比例函數(shù)的圖象上，
∴點(diǎn)A（x1，﹣1）在第三象限，B（x2，1），C（x3，4）在第一象限，
∴x1＜x3＜x2，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)性質(zhì)是關(guān)鍵．
7．（4分）如圖，下列條件不能判定△ABC與△ADE相似的是（ ）
A．B．∠B＝∠ADEC．D．∠C＝∠AED
【分析】本題中已知∠A是公共角，應(yīng)用兩三角形相似的判定定理，即可作出判斷．
【解答】解：由圖得：∠A＝∠A
∴當(dāng)∠B＝∠ADE或∠C＝∠AED或AE：AC＝AD：AB時(shí)，△ABC與△ADE相似；
也可AE：AD＝AC：AB．
C選項(xiàng)中角A不是成比例的兩邊的夾角．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似三角形的判定：
①有兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等的三角形相似；
②有兩個(gè)對(duì)應(yīng)邊的比相等，且其夾角相等，則兩個(gè)三角形相似；
③三組對(duì)應(yīng)邊的比相等，則兩個(gè)三角形相似．
8．（4分）拋物線y＝ax2+bx+c的頂點(diǎn)為D（﹣1，2），與x軸的一個(gè)交點(diǎn)A在點(diǎn)（﹣3，0）和（﹣2，0）之間，其部分圖象如圖，則以下結(jié)論錯(cuò)誤是（ ）
A．3a+c＞0
B．a(chǎn)+b+c＜0
C．當(dāng)x＞﹣1時(shí)，y的值隨x值的增大而減小
D．若方程ax2+bx+c﹣m＝0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則m＞2
【分析】根據(jù)拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)A在點(diǎn)（﹣3，0）和（﹣2，0）之間，可得拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)（0，0）和（1，0）之間，所以當(dāng)x＝1時(shí)a+b+c＜0，據(jù)此判斷B選項(xiàng)即可；
根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸 x＝﹣ ＝﹣1，可得b＝2a，然后根據(jù)a+b+c＜0，判斷出3a+c＜0，據(jù)此判斷A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸x＝﹣1，開口向下，據(jù)此判斷選項(xiàng)C即可；根據(jù)y＝ax2+bx+c的最大值是2，可得方程ax2+bx+c﹣m＝0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則m＞2，據(jù)此判斷選項(xiàng)D即可．
【解答】解：∵拋物線的對(duì)稱軸x＝﹣1，開口向下，
∴當(dāng)x＞﹣1時(shí)，y的值隨x值的增大而減小，
∴選項(xiàng)C正確，
∵拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)A在點(diǎn)（﹣3，0）和（﹣2，0）之間，∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)（0，0）和（1，0）之間，
∴當(dāng)x＝1時(shí)a+b+c＜0，
∴選項(xiàng)B正確，
∵y＝ax2+bx+c的最大值是2，
∴方程ax2+bx+c﹣m＝0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則m＞2，
∴選項(xiàng)D正確，
∵拋物線的對(duì)稱軸x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a，
∵a+b+c＜0，
∴a+2a+c＜0，
∴3a+c＜0，
∴選項(xiàng)A錯(cuò)誤．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大?。寒?dāng)a＞0時(shí)，拋物線向上開口；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線向下開口；②一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置：當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)（即ab＞0），對(duì)稱軸在y軸左；當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)（即ab＜0），對(duì)稱軸在y軸右．（簡(jiǎn)稱：左同右異）③常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)．拋物線與y軸交于（0，c）．
二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分。
9．（4分）燭光照射下人的影子屬于 中心 投影．（填“平行”或“中心”）
【分析】根據(jù)中心投影的概念填寫即可．
【解答】解：燭光發(fā)出的光線可以看成是從一點(diǎn)發(fā)出的光線，像這樣的光線所形成的投影叫做中心投影，燭光照射下人的影子屬于中心投影．
故答案為：中心．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了中心投影和平行投影的概念，熟知中心投影是指把光由一點(diǎn)向外散射形成的投影是解題的關(guān)鍵．
10．（4分）已知x＝2是關(guān)于x的方程x2﹣5x+m＝0的一個(gè)根，則m＝ 6 ．
【分析】把x＝2代入方程把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的乘方 方程求解．
【解答】解：∵x＝2是關(guān)于x的方程x2﹣5x+m＝0的一個(gè)根，
∴4﹣10+m＝0，
∴m＝6．
故答案為：6．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查解一元二次方程的解，解題的關(guān)鍵是理解方程解的定義．
11．（4分）如圖，△ABC和△DEF是位似圖形，點(diǎn)O是它們的位似中心，若△ABC與△DEF的面積之比為1：4，則的值為 1：2 ．
【分析】根據(jù)位似圖形的概念得到△ABC∽△DEF，AB∥DE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到＝，證明△AOB∽△DOE，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答即可．
【解答】解：∵△ABC和△DEF是位似圖形，
∴△ABC∽△DEF，AB∥DE，
∵△ABC與△DEF的面積之比為1：4，
∴△ABC與△DEF的相似比為1：2，即＝，
∵AB∥DE，
∴△AOB∽△DOE，
∴＝＝，
故答案為：1：2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是位似變換，掌握位似圖形的概念、相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
12．（4分）已知反比例函數(shù)的圖象具有下列特征：在所在象限內(nèi)，y的值隨x的增大而增大，那么m的取值范圍是 m＜﹣1 ．
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)：當(dāng)k＞0，雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每一象限內(nèi)y隨x的增大而減小；當(dāng)k＜0，雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每一象限內(nèi)y隨x的增大而增大．可得到m+1＜0，解不等式即可．
【解答】解：∵在所在象限內(nèi)，y的值隨x的增大而增大，
∴m+1＜0，
解得：m＜﹣1，
故答案為：m＜﹣1．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)．
13．（4分）如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E在BC上，AE與BD相交于點(diǎn)F，若BE：EC＝2：3，則BF：FD的值為 ．
【分析】先由平行四邊形的性質(zhì)得AD∥BE，AD＝BC，從而∠ADF＝∠EBF，結(jié)合對(duì)頂角相等，可證△ADF∽△EBF，再利用相似三角形的性質(zhì)得比例式，然后結(jié)合已知比例式求得答案．
【解答】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AD∥BE，AD＝BC，
∴∠ADF＝∠EBF，
又∵∠AFD＝∠EFB，
∴△ADF∽△EBF，
∴＝，
∵＝，
∴＝，
∴＝，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵．
三、解答題：本大題共5個(gè)小題，共48分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。
14．（12分）（1）計(jì)算：．
（2）解方程：x2﹣2x﹣4＝0．
【分析】（1）根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、絕對(duì)值計(jì)算即可求解；
（2）用配方法解答即可．
【解答】解：（1）原式＝+2﹣+2024﹣2×
＝+2﹣+2024﹣1
＝2025；
（2）x2﹣2x﹣4＝0，
移項(xiàng)，得x2﹣2x＝4，
配方，得x2﹣2x+1＝4+1，即（x﹣1）2＝5，
解得x﹣1＝±
所以x1＝1+，x2＝1﹣．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查特殊角的三角函數(shù)值、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、實(shí)數(shù)的運(yùn)算，解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡(jiǎn)便的方法是解題的關(guān)鍵．
15．（8分）某學(xué)校為扎實(shí)推進(jìn)勞動(dòng)教育，把學(xué)生參與勞動(dòng)教育情況納入積分考核．學(xué)校隨機(jī)抽取了部分學(xué)生的勞動(dòng)積分（積分用x表示）進(jìn)行調(diào)查，整理得到如下不完整的統(tǒng)計(jì)表和扇形統(tǒng)計(jì)圖．
請(qǐng)根據(jù)以上圖表信息，解答下列問(wèn)題：
（1）統(tǒng)計(jì)表中m＝ 10 ，B等級(jí)對(duì)應(yīng)扇形的圓心角的度數(shù)為 72° ；
（2）學(xué)校規(guī)定勞動(dòng)積分大于等于80的學(xué)生為“勞動(dòng)之星”．若該學(xué)校共有學(xué)生3000人，請(qǐng)估計(jì)該學(xué)?！皠趧?dòng)之星”大約有多少人；
（3）A等級(jí)中有兩名男同學(xué)和兩名女同學(xué)，學(xué)校從A等級(jí)中隨機(jī)選取2人進(jìn)行經(jīng)驗(yàn)分享，請(qǐng)用列表法或畫樹狀圖法，求恰好抽取一名男同學(xué)和一名女同學(xué)的概率．
【分析】（1）由D等級(jí)的人數(shù)除以所占百分比得出抽取的學(xué)生人數(shù)，即可求出m的值，用360°乘以B等級(jí)所占百分比即可求出B等級(jí)對(duì)應(yīng)扇形的圓心角的度數(shù)；
（2）由該學(xué)校共有學(xué)生人數(shù)乘以該學(xué)?！皠趧?dòng)之星”所占的比例即可；
（3）畫樹狀圖，共有12種等可能的結(jié)果，其中恰好抽取一名男同學(xué)和一名女同學(xué)的結(jié)果有8種，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）抽取的學(xué)生人數(shù)為：9÷18%＝50（人），
∴m＝50﹣4﹣24﹣9﹣3＝10，
B等級(jí)對(duì)應(yīng)扇形的圓心角的度數(shù)為：360°×＝72°．
故答案為：10，72°；
（2）3000×＝840（人），
答：估計(jì)該學(xué)校“勞動(dòng)之星”大約有840人；
（3）畫樹狀圖如下：
共有12種等可能的結(jié)果，其中恰好抽取一名男同學(xué)和一名女同學(xué)的結(jié)果有8種，
∴恰好抽取一名男同學(xué)和一名女同學(xué)的概率為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了樹狀圖法以及頻數(shù)分布表和扇形統(tǒng)計(jì)圖等知識(shí)，樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步或兩步以上完成的事件；解題時(shí)還要注意是放回試驗(yàn)還是不放回試驗(yàn)．解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握概率的求法：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
16．（8分）戶外天幕是一種用于戶外活動(dòng)的遮陽(yáng)和防雨裝備，適用于露營(yíng)、野餐、露天音樂(lè)會(huì)等各種場(chǎng)合．如圖，其截面示意圖是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是垂直于地面的支桿AB，通過(guò)拉繩可控制天幕的開合．幕布寬AC＝AD＝2m，CD⊥AB于點(diǎn)O，∠BAD＝70°，如果通過(guò)拉繩將∠BAD減少10°，那么點(diǎn)D下降了多少米？（結(jié)果精確到0.01m；參考數(shù)據(jù)：sin70°≈0.94，cs70°≈0.34，tan70°≈2.75）
【分析】根據(jù)垂直定義可得：∠AOD＝90°，然后求出當(dāng)∠BAD＝70°時(shí)，當(dāng)∠BAD＝60°時(shí)，AO的長(zhǎng)，從而進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】解：∵CD⊥AB，
∴∠AOD＝90°，
當(dāng)∠BAD＝70°時(shí)，
在Rt△AOD中，AD＝2m，
∴AO＝AD?cs70°≈2×0.34＝0.68（m），
當(dāng)∠BAD＝60°時(shí)，
在Rt△AOD中，AD＝2m，
∴AO＝AD?cs60°＝2×＝1（m），
∴1﹣0.68＝0.32（m），
∴點(diǎn)D下降了約0.32米．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，軸對(duì)稱圖形，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
17．（10分）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，AE∥BC，BE與AD，AC分別相交于點(diǎn)F，G，AF2＝FG?FE．
（1）求證：△CAD∽△CBG；
（2）若AC＝6，BC＝7，G為AC的中點(diǎn)，求CD的長(zhǎng)．
【分析】（1）由AE∥BC，得∠E＝∠CBG，由AF2＝FG?FE，得＝，因?yàn)椤螱FA＝∠AFE，所以△GFA∽△AFE，則∠CAD＝∠E，所以∠CAD＝∠CBG，而∠C＝∠C，即可根據(jù)“兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似”證明△CAD∽△CBG；
（2）由AC＝6，G為AC的中點(diǎn)，得CG＝AG＝AC＝3，而BC＝7，由相似三角形的性質(zhì)得＝＝，則CD＝CG＝．
【解答】（1）證明：∵AE∥BC，
∴∠E＝∠CBG，
∵AF2＝FG?FE，
∴＝，
∵∠GFA＝∠AFE，
∴△GFA∽△AFE，
∴∠GAF＝∠E，即∠CAD＝∠E，
∴∠CAD＝∠CBG，
∵∠C＝∠C，
∴△CAD∽△CBG．
（2）解：∵AC＝6，BC＝7，G為AC的中點(diǎn)，
∴CG＝AG＝AC＝×6＝3，
∵△CAD∽△CBG，
∴＝＝，
∴CD＝CG＝×3＝，
∴CD的長(zhǎng)是．
【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查平行線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，推導(dǎo)出∠CAD＝∠CBG，進(jìn)而證明△CAD∽△CBG是解題的關(guān)鍵．
18．（10分）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于A，B兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)D，已知點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣2，﹣2）．
（1）求點(diǎn)A坐標(biāo)及反比例函數(shù)的表達(dá)式；
（2）求△OAB的面積；
（3）在y軸上存在一點(diǎn)P，使△PDC與△AOD相似，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．
【分析】（1）將點(diǎn)B（﹣2，﹣2）代入之中求出k的值即可得出反比例函數(shù)的表達(dá)式，解方程組即可得出點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）過(guò)點(diǎn)A作AE⊥y軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥x軸于點(diǎn)F，AE，BF的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)H，分別求出S△ABH＝9，S矩形EOFH＝2，再根據(jù)反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義得S△AOE＝S△BOF＝2，由此即可得出△OAB的面積；
（3）過(guò)點(diǎn)A作AM∥y軸交x軸于點(diǎn)M，則AM＝1，OM＝4，再求出點(diǎn)C（2，0），點(diǎn)D（0，﹣1），則OD＝1，OC＝2，進(jìn)而得OC＝MC＝2，再利用勾股定理分別求出AC＝CD＝，則AD＝，根據(jù)x軸上存在一點(diǎn)P，使△PDC與△AOD相似，因此有以下兩種情況：①當(dāng)∠DPC＝∠DOA時(shí)，則△PDC∽△ODA，利用相似三角形的性質(zhì)求出PD＝，進(jìn)而得OP＝，由此可得點(diǎn)P的坐標(biāo)；②當(dāng)∠DCP＝∠DOA時(shí)，則△PDC∽ADO，利用相似三角形的性質(zhì)求出PD＝10，進(jìn)而得OP＝9，由此可得點(diǎn)P的坐標(biāo)，綜上所述即可得出答案．
【解答】解：（1）∵點(diǎn)B（﹣2，﹣2）在反比例函數(shù)的圖象上，
∴k＝（﹣2）×（﹣2）＝4，
∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為：，
解方程組：，
得：，，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，1），反比例函數(shù)的表達(dá)式為；
（2）過(guò)點(diǎn)A作AE⊥y軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥x軸于點(diǎn)F，AE，BF的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)H，如圖1所示：
則∠HEO＝∠EOF＝∠OFH＝90°，
∴四邊形EOFH是矩形，
∵點(diǎn)A（4，1），點(diǎn)B（﹣2，﹣2），
∴AE＝4，OE＝FH＝1，BF＝2，OF＝EH＝2，
∴BH＝BF+HF＝3，AH＝AE+EH＝6，
∴S△ABH＝BH?AH＝＝9，
根據(jù)反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義得：S△AOE＝S△BOF＝＝2，
又∵S矩形EOFH＝OE×OF＝1×2＝2，
∴S△OAB＝S△ABH﹣S矩形EOFH﹣S△AOE﹣S△BOF＝9﹣2﹣2﹣2＝3；
（3）過(guò)點(diǎn)A作AM∥y軸交x軸于點(diǎn)M，如圖2所示：
∵點(diǎn)A（4，1），
∴AM＝1，OM＝4，
對(duì)于一次函數(shù)y＝（1/2）x﹣1，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣1，y＝0時(shí)，x＝2，
∴點(diǎn)C（2，0），點(diǎn)D（0，﹣1），
∴OD＝1，OC＝2，
∴OD＝AM＝1，MC＝OM﹣OC＝4﹣2＝2，
∴OC＝MC＝2，
在Rt△ACM中，AM＝1，MC＝2，
由勾股定理得：AC＝＝，
在Rt△OCD中，OC＝2，OD＝1，
由勾股定理得：CD＝＝，
∴CD＝CA＝，
∴AD＝CD+CA＝，
∵x軸上存在一點(diǎn)P，使△PDC與△AOD相似，
∴有以下兩種情況，
①當(dāng)∠DPC＝∠DOA時(shí)，如圖3所示：
又∵PDC＝∠ODA，
∴△PDC∽△ODA，
∴＝，
∴＝，
∴PD＝，
∴OP＝OD﹣PD＝＝，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是；
②當(dāng)∠DCP＝∠DOA時(shí)，如圖4所示：
又∵∠PDC＝∠ADO，
∴△PDC∽ADO，
∴＝，
∴＝，
∴PD＝10，
∴OP＝PD﹣OD＝10﹣1＝9，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（0，9），
綜上所述：點(diǎn)P的坐標(biāo)是或（0，9）．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，理解反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義，熟練掌握求反比例函數(shù)與一次函交點(diǎn)坐標(biāo)的方法，相似三角形的判定和性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，分類討論是解決問(wèn)題的難點(diǎn)，也是易錯(cuò)點(diǎn)．
一、填空題：本大題共5個(gè)小題，每小題4分，共20分。
19．（4分）已知，且a+b﹣2c＝3，則a的值是 6 ．
【分析】設(shè)a＝6k，b＝5k，c＝4k，代入得出6k+5k﹣8k＝3，求出k即可．
【解答】解：設(shè)＝＝＝k，
則a＝6k，b＝5k，c＝4k，
∵a+b﹣2c＝3，
∴6k+5k﹣8k＝3，
∴k＝1，
∴a＝6k＝6．
故答案為：6．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例的性質(zhì)，利用比例的性質(zhì)正確表示出各數(shù)是解題關(guān)鍵．
20．（4分）若m，n是一元二次方程x2﹣5x﹣2＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m2+n2﹣mn的值是 31 ．
【分析】先根據(jù)韋達(dá)定理得出m+n＝5，mn＝﹣2，再將其代入m2+n2﹣mn＝（m+n）2﹣3mn計(jì)算即可．
【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2﹣5x﹣2＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴m+n＝5，mn＝﹣2，
則m2+n2﹣mn
＝m2+n2+2mn﹣3mn
＝（m+n）2﹣3mn
＝52﹣3×（﹣2）
＝25+6
＝31，
故答案為：31．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握x1，x2是方程x2+px+q＝0的兩根時(shí)，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q．
21．（4分）如圖，在矩形ABCD中，E為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接AE，將△ABE沿AE翻折，使點(diǎn)B恰好落在對(duì)角線BD上點(diǎn)F處，AE交BD于點(diǎn)G．若BC＝4，EF＝EC時(shí)，則AB＝ 2 ．
【分析】由折疊的性質(zhì)得到BE＝EF，AE⊥BF，由余角的性質(zhì)推出∠AEB＝∠BDC，判定△ABE∽△BCD，推出AB：BC＝BE：CD，即可求出AB＝2．
【解答】解：由折疊的性質(zhì)得到：BE＝EF，AE⊥BF，
∴∠AEB+∠CBD＝90°，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠ABE＝90°，AB＝CD，
∴∠BDC+∠CBD＝90°，
∴∠AEB＝∠BDC，
∴△ABE∽△BCD，
∴AB：BC＝BE：CD，
∵EF＝EC，
∴BE＝EC＝BC＝×4＝2，
∴AB：4＝2：AB，
∴AB＝2．
故答案為：2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查折疊問(wèn)題，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是由折疊的性質(zhì)得到BE＝EC，判定△ABE∽△BCD，推出AB：BC＝BE：CD．
22．（4分）如圖，一次函數(shù)y＝﹣x+4與反比例函數(shù)在第一象限交于點(diǎn)C，D，與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A，B．若AC＝CD，則k的值為 ．
【分析】過(guò)D作DF⊥OA，過(guò)C作CE⊥OA，設(shè)C（m，n），由CE∥DF，AC＝CD可得
＝＝，進(jìn)而求得D（2m﹣4，2n），根據(jù)（2m﹣4）×2n＝mn，求得m，n的值，即可求出k．
【解答】解：由題意可得：
A（4，0），
過(guò)D作DF⊥OA，過(guò)C作CE⊥OA，
設(shè)C（m，n），
由CE∥DF，AC＝CD可得：
＝＝，
則DF＝2n，D在y＝﹣x+4上，
AE＝4﹣m，
AF＝8﹣2m，
OF＝2m﹣4，
故D（2m﹣4，2n），
∴（2m﹣4）×2n＝mn
m＝，代入到y(tǒng)＝﹣x+4中可得：
n＝；
∴k＝mn＝．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，將交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．
23．（4分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（t，y1），B（t+1，y2），C（t+3，y3）三點(diǎn)都在拋物線y＝ax2﹣4ax﹣3（a＜0）上．若y1＜y3＜y2，則t的取值范圍是 t ；若無(wú)論t取任何實(shí)數(shù)，點(diǎn)A，B，C中都至少有兩個(gè)點(diǎn)在x軸的下方，則a的取值范圍是 ﹣＜a＜0 ．
【分析】求得對(duì)稱軸是直線x＝2，進(jìn)而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得2﹣t＞t+3﹣2，解得t；當(dāng)Δ＝16a2+12a＜0時(shí)，符合題意，又設(shè)拋物線y＝ax2﹣4ax﹣3（a＜0）與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)為x1、x2，則1+x2＝4，x1x2＝﹣，又無(wú)論t取任何實(shí)數(shù)，點(diǎn)A，B，C中都至少有兩個(gè)點(diǎn)在x軸的下方，從而|x1﹣x2|＜1，故0≤（x1+x2）2﹣4x1x2＜1，進(jìn)而計(jì)算可以得解．
【解答】解：拋物線y＝ax2﹣4ax﹣3（a＜0）的開口向下，對(duì)稱軸是直線x＝﹣＝2，
∵y1＜y3＜y2，
∴A（t，y1）在對(duì)稱軸的左側(cè)，C（t+3，y3）在對(duì)稱軸的右側(cè)，且2﹣t＞t+3﹣2，
∴t，
∵拋物線y＝ax2﹣4ax﹣3（a＜0）無(wú)論t取任何實(shí)數(shù)，點(diǎn)A，B，C中都至少有兩個(gè)點(diǎn)在x軸的下方，
∴當(dāng)Δ＝16a2+12a＜0時(shí)，符合題意，
∴﹣＜a＜0．
又當(dāng)拋物線與x軸有交點(diǎn)時(shí)，
設(shè)拋物線y＝ax2﹣4ax﹣3（a＜0）與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)為x1、x2，
∴x1+x2＝4，x1x2＝﹣，
∵無(wú)論t取任何實(shí)數(shù)，點(diǎn)A，B，C中都至少有兩個(gè)點(diǎn)在x軸的下方，
∴0≤|x1﹣x2|＜1，
∴0≤（x1+x2）2﹣4x1x2＜1，
即0≤16﹣4×＜1，
∴﹣．
綜上，﹣＜a＜0．
故答案為：t，﹣＜a＜0．
【點(diǎn)評(píng)】題主要考查了二次函數(shù)與系數(shù)的關(guān)系，拋物線與x軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題時(shí)要熟練掌握并能靈活運(yùn)用是關(guān)鍵．
二、解答題：本大題共3個(gè)小題，共30分。
24．（8分）推進(jìn)中國(guó)式現(xiàn)代化，必須堅(jiān)持不懈夯實(shí)農(nóng)業(yè)基礎(chǔ)，推進(jìn)鄉(xiāng)村全面振興．某合作社著力發(fā)展鄉(xiāng)村水果網(wǎng)絡(luò)銷售，據(jù)統(tǒng)計(jì)某電商平臺(tái)10月份的水果銷售量是50000kg，12月份的水果銷售量是72000kg．
（1）若該平臺(tái)10月份到12月份銷售的月平均增長(zhǎng)率都相同，求月平均增長(zhǎng)率是多少？
（2）市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，某店鋪的水果進(jìn)價(jià)為6元/kg，若售價(jià)為10元/kg，每天能銷售200kg，售價(jià)每降價(jià)0.1元，每天可多售出20kg．水果的售價(jià)為多少元時(shí)，每天可獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？
【分析】（1）設(shè)月平均增長(zhǎng)率是x，利用12月份的水果銷售量＝10月份的水果銷售量×（1+月平均增長(zhǎng)率）2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)售價(jià)降低x元，利潤(rùn)為w，則水果的銷售利潤(rùn)為（4﹣x）元/kg，每天的銷售量為[200+200x]件，列出函數(shù)關(guān)系式解答即可．
【解答】解：（1）設(shè)月平均增長(zhǎng)率是x，由題意得：50000（1+x）2＝72000，
解得：x1＝﹣2.2（不合題意，舍去），x2＝0.2＝20%，
答：月平均增長(zhǎng)率是20%；
（2）設(shè)售價(jià)降低x元，利潤(rùn)為w，
∴w＝（4﹣x）（200+200x）＝﹣200（x﹣1.5）2+1250，
∵﹣200＜0，
∴降價(jià)1.5元，即售價(jià)為8.5元時(shí)，每天可獲得最大利潤(rùn)為1250元．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程和二次函數(shù)的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程和二次函數(shù)表達(dá)式是解題的關(guān)鍵．
25．（10分）已知拋物線L：y＝a（x﹣3）2﹣4a（a＞0）與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），其頂點(diǎn)為C，D是拋物線第一象限上一點(diǎn)．
（1）求線段AB的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)a＝1時(shí)，若S△BCD＝S△ABC，求tan∠BAD的值；
（3）將拋物線L的圖象先向右平移a個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移2a個(gè)單位長(zhǎng)度，得到拋物線L′．點(diǎn)P是拋物線L′上一動(dòng)點(diǎn)，PA+PB的最小值為4，求a的取值范圍．
【分析】（1）在y＝a（x﹣3）2﹣4a（a＞0）中，當(dāng)y＝0時(shí)，a（x﹣3）2﹣4a＝0，解得：x1＝1，x2＝5，求得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，即可求得答案；
（2）當(dāng)a＝1時(shí)，利用待定系數(shù)法可得直線BC的解析式為y＝2x﹣10，連接AD，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，由S△BCD＝S△ABC，可得AD∥BC，可得直線AD的解析式為y＝2x﹣2，聯(lián)立方程求得D（7，12），再運(yùn)用正切函數(shù)定義即可求得答案；
（3）由平移得新拋物線L′：y＝a（x﹣3﹣a）2﹣4a﹣2a＝a（x﹣3﹣a）2﹣6a，再由PA+PB的最小值為4，且AB＝4，可知：點(diǎn)P在線段AB上，即拋物線L′的對(duì)稱軸左側(cè)與x軸的交點(diǎn)為P，將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入L′，求得a的最大值即可．
【解答】解：（1）在y＝a（x﹣3）2﹣4a（a＞0）中，
當(dāng)y＝0時(shí)，a（x﹣3）2﹣4a＝0，
解得：x1＝1，x2＝5，
∴A（1，0），B（5，0），
∴AB＝5﹣1＝4；
（2）當(dāng)a＝1時(shí)，y＝（x﹣3）2﹣4＝x2﹣6x+5，
∴頂點(diǎn)C（3，﹣4），
設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，把B（5，0），C（3，﹣4）代入，
得，
解得：，
∴直線BC的解析式為y＝2x﹣10，
如圖1，連接AD，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，
∵S△BCD＝S△ABC，
∴AD∥BC，
∴設(shè)直線AD的解析式為y＝2x+n，把A（1，0）代入，得2+n＝0，
解得：n＝﹣2，
∴直線AD的解析式為y＝2x﹣2，
聯(lián)立得，
解得：（舍去），，
∴D（7，12），
∴E（7，0），
∴DE＝12，AE＝7﹣1＝6，
∴tan∠BAD＝＝＝2；
（3）∵將拋物線L的圖象先向右平移a個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移2a個(gè)單位長(zhǎng)度，得到拋物線L′，
∴y＝a（x﹣3﹣a）2﹣4a﹣2a＝a（x﹣3﹣a）2﹣6a，
把B（5，0）代入得：a（2﹣a）2﹣6a＝0，
∵a＞0，
∴（2﹣a）2﹣6＝0，
解得：a1＝2+，a2＝2﹣（舍去），
∵PA+PB的最小值為4，且AB＝4，
∴點(diǎn)P在線段AB上，即拋物線L′的對(duì)稱軸左側(cè)與x軸的交點(diǎn)為P，
∴0＜a≤2+．
【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、兩點(diǎn)之間的距離、一次函數(shù)的性質(zhì)、求正切值、二次函數(shù)的平移、線段和的最小值問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是熟悉二次函數(shù)的性質(zhì)和平移過(guò)程中數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
26．（12分）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，同學(xué)們將兩個(gè)全等的三角形紙片完全重合放置，固定一個(gè)頂點(diǎn)，然后將其中一個(gè)紙片繞這個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，來(lái)探究圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．已知三角形紙片ABC和DBE中，AB＝DB＝3，BC＝BE＝4，∠ABC＝∠DBE＝90°．
【初步感知】
（1）如圖1，連接AD，CE，在紙片DBE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，試探究的值．
【深入探究】
（2）如圖2，在紙片DBE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)A恰好落在△DBE的DE邊上時(shí)，BE交AC于點(diǎn)F，求CF的長(zhǎng)．
【拓展延伸】
（3）如圖3，在紙片DBE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)AC的中點(diǎn)M恰好落在△DBE的DE邊上時(shí)，DE與BC相交于點(diǎn)P，求CP的長(zhǎng)．
【分析】（1）根據(jù)△ABC≌△DBE得出，∠ABC＝∠DBE，進(jìn)而得出△ABD∽△EBC，從而得出結(jié)果；
（2）如圖1，作BG⊥DE于G，作AH⊥BD于H，作FT⊥BC于T，根據(jù)面積法得出BG的值，可求得DG和AD的長(zhǎng)，根據(jù)S△ABD＝可求得AH的長(zhǎng)，進(jìn)而得出BH的長(zhǎng)，可得出tan∠CBF＝tan∠ABH＝，從而得出，設(shè)BT＝7k，F(xiàn)T＝24k，可表示出CT和CF的值，進(jìn)而根據(jù)BT+CT＝4得出7k+32k＝4，從而求得k的值，進(jìn)一步得出結(jié)果；
（3）連接BM，作MF⊥BC于M，作MQ⊥BE于Q，可設(shè)MQ＝3a，EQ＝4a，則EM＝5a，在Rt△BMQ中，根據(jù)勾股定理得出方程，求得a的值，從而求得EM的值，可證得△BMP∽△EMB，從而，從而求得PM的值，進(jìn)一步得出結(jié)果．
【解答】解：（1）∵△ABC≌△DBE，
∴，∠ABC＝∠DBE，
∴∠ABC﹣∠ABE＝∠DBE﹣∠ABE，
∴∠ABD＝∠CBE，
∴△ABD∽△EBC，
∴；
（2）如圖1，
作BG⊥DE于G，作AH⊥BD于H，作FT⊥BC于T，
∵S△BDE＝，
∴BG＝，
在Rt△BDG和Rt△BDE中，
∵csD＝，
∴，
∴DG＝，
∵BD＝AB，
∴AD＝2DG＝，
由S△ABD＝得，
3?AH＝，
∴AH＝，
∴BH＝＝＝，
∴tan∠CBF＝tan∠ABH＝，
∴，
設(shè)BT＝7k，F(xiàn)T＝24k，
∵tanC＝，sinC＝，
∴，，
∴CT＝32k，CF＝40k，
由BT+CT＝4的，
7k+32k＝4，
∴k＝，
∴CF＝40k＝；
（3）如圖2，
連接BM，作MF⊥BC于M，作MQ⊥BE于Q，
∵∠ABC＝90°，點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)，
∴BM＝CM＝AC＝，
∴BF＝CF＝BC，
∴FM＝AB＝，
∵tanE＝，
∴設(shè)MQ＝3a，EQ＝4a，則EM＝5a，
在Rt△BMQ中，BQ＝BE﹣EQ＝4﹣4a，MQ＝3a，
∴，
∴a＝（舍去），a＝，
∴EM＝5a＝，
∵BM＝CM，
∴∠CBM＝∠C，
∵∠C＝∠E，
∴∠CBM＝∠E，
∵∠PMB＝∠BME，
∴△BMP∽△EMB，
∴，
∴PM＝＝，
在Rt△PMF中，
PF＝＝，
∴CP＝CF﹣PF＝2﹣＝．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是較強(qiáng)的計(jì)算能力．
聲明：試題解析著作權(quán)屬所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2025/1/28 21:57:50；用戶：柊一颯；郵箱：15166229392；學(xué)號(hào)：40009272等級(jí)
勞動(dòng)積分
人數(shù)
A
x≥90
4
B
80≤x＜90
m
C
70≤x＜80
24
D
60≤x＜70
9
E
x＜60
3
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
C
C
D
D
B
C
A
等級(jí)
勞動(dòng)積分
人數(shù)
A
x≥90
4
B
80≤x＜90
m
C
70≤x＜80
24
D
60≤x＜70
9
E
x＜60
3

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