1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上，認(rèn)其核對條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號，并將條形碼粘貼在答題卡的指定位置上.
2.答題時使用0.5毫米的黑色中性（簽字）筆或碳素筆書寫，字體工整、筆跡清楚.
3.請按照題號在各題的答題區(qū)域（黑色線框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效.
4.保持卡面清潔，不折疊，不破損.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知圓，則圓心和半徑分別為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】圓的方程可化為.
所以圓心的坐標(biāo)為，半徑為，
故選：B.
2. 雙曲線，則雙曲線的漸近線方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由雙曲線，可得，
又由雙曲線的焦點在軸上，所以雙曲線的漸近線方程為.
故選：C.
3. 已知正項等比數(shù)列滿足，則（ ）
A. 62B. 30或10C. 62或D. 30
【答案】A
【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，
因為該正項等比數(shù)列滿足，
所以，解得，
故.
故選：A.
4. 若函數(shù)在處有極小值，則（ ）
A. B. C. 或D.
【答案】A
【解析】由函數(shù)，可得，
因為函數(shù)在處取得極小值，可得，解得或，
當(dāng)時，令，解得或；令，解得，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
所以在處有極大值，不符合題意，舍去；
當(dāng)時，令，可得或；令，可得，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
所以在處有極小值，符合題意，
綜上可得，.
故選：A.
5. 函數(shù)的零點個數(shù)為（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】，令，則，
令，解得，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故當(dāng)時取最小值，
又，，
所以=0在上各有一解，所以有兩個零點，
故選：B.
6. 如圖，正三棱柱的各棱長相等，為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A. B. C. D. 0
【答案】D
【解析】取中點，因為，可得，
又因為平面，且平面，所以，
因為，且平面，所以平面，
又因為平面，所以，
在正方形中，分別為的中點，
設(shè)可得，
可得，
所以，
所以，即，
因為且平面，
所以平面，
又因為平面，所以，
所以異面直線與所成的角為.
故選：D.
7. 某工廠去年12月試產(chǎn)1060個高新電子產(chǎn)品，產(chǎn)品合格率為.從今年1月份開始，工廠在接下來的兩年中將生產(chǎn)這款產(chǎn)品.1月按去年12月的產(chǎn)量和產(chǎn)品合格率生產(chǎn)，以后每月的產(chǎn)量都在前一個月的基礎(chǔ)上提高，產(chǎn)品合格率比前一個月增加，則今年4月份的不合格產(chǎn)品的數(shù)量是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由題知：1月份的產(chǎn)量為個，合格率是，
那么，2月份的產(chǎn)量為，合格率為，
3月份的產(chǎn)量為，合格率為，
則4月份的產(chǎn)量為，合格率為，
則4月份的不合格數(shù)量是，
故選：B.
8. 若，則的大小關(guān)系為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】令，則，
當(dāng)時，，所以，所以在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，所以，所以在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時，，
所以，即，所以，所以，
令，則，
當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減；
所以，當(dāng)時，，
所以，即，所以，所以，
所以.
故選：A.
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9. 設(shè)拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，點是拋物線上不同的兩點，且，則（ ）
A.
B. 以線段為直徑的圓必與準(zhǔn)線相切
C. 線段的長為定值
D. 線段的中點到軸的距離為定值
【答案】AD
【解析】對于A中，由拋物線的準(zhǔn)線為，可得，
解得，
所以拋物線的焦點為 且，所以A正確；
對于B中，如圖，當(dāng)線段過焦點時，過作，
取的中點作，可得，
此時以線段為直徑的圓與準(zhǔn)線相切，
因為直線不一定過拋物線的焦點，則不一定成立，故B錯誤.
對于C中，設(shè)，
由拋物線得的定義得，所以，
當(dāng)直線過原點時，設(shè)，則，此時，可得，
當(dāng)直線為時，可得，不妨設(shè)，可得，
所以的長不是定值，所以C錯誤；
對于D中，由，則線段的中點到軸的距離為，所以D正確.
故選：AD.
10. 已知等差數(shù)列的首項，公差，在中每相鄰兩項之間都插入3個數(shù)，使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構(gòu)成一個新的等差數(shù)列是數(shù)列的前項和.以下說法正確的是（ ）
A. B. 是數(shù)列的第8項
C. 當(dāng)時，最大D. 是公差為的等差數(shù)列
【答案】BC
【解析】由等差數(shù)列的首項，公差，可得，
對于A中，根據(jù)題意，可得，所以公差為，
所以數(shù)列的通項公式為，所以A錯誤；
對于B中，由，令，解得，所以B正確；
對于C中，令，解得，所以或時，取得最大值，所以C正確；
對于D中，由，可得，所以是公差為，所以D錯誤.
故選：BC.
11. 已知函數(shù)，下列說法正確的是（ ）
A. 單調(diào)遞減區(qū)間是
B. 在點處的切線方程是
C. 若方程只有一個解，則
D. 設(shè)，若對，使得成立，則
【答案】BD
【解析】函數(shù)，，，
令，得或；令，得；
可得函數(shù)在和上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，其大致圖象如圖：

對于，由上述分析可得A錯誤；
，由，，得，
所以切線為，故B正確；
對于C，由方程只有一解，由圖象可知，或，故C錯誤；
對于D，設(shè)函數(shù)的值域為，函數(shù)的值域為，
對于， ，，
對于，，，
若，，使得成立，
則，故D正確，
故選：BD.
12. 已知正方體的棱長為是空間中的一動點，下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 若分別為的中點，則平面
B. 平面平面
C. 若，則最小值為
D. 若，則平面截正方體所得截面面積的最大值為
【答案】BCD
【解析】對于A，若分別為的中點，則，
又，則，
又由正方體性質(zhì)易知:平面平面故，
又平面，故平面，
又平面，則，同理可得平面
又平面，則 ，又平面，
故平面，若平面，則，而相交，
故與平面不垂直，故A不正確；
對于B，在正方體中，
易知，
故為平行四邊形，則
又平面，平面，
故平面，
同理可得平面，
又平面，
故平面平面成立.故B正確；
對于C，正方體的棱長為2，是空間中的一動點，
在上取點，使得，在上取點，使得，如圖，
由，得，即，故是線段上一點．
將平面沿展開至與平面共面，
易知，則，
平面圖中，當(dāng)，O，三點共線時，取得最小值，故C正確；
對于D，由，可知是線段上一點．連接并與交于點．當(dāng)與重合時，平面與平面重合，截面為正方形，面積為4．當(dāng)在線段（不含點上時，平面截正方體所得截面為三角形，且易知當(dāng)從D運(yùn)動到時，三角形面積逐漸增大，當(dāng)與重合時截面為，由三角形三邊長均為，故此時截面面積為．
當(dāng)在線段（不含點，上時，延長并與交于點，
作并與交于點，由選項B易知,且，
易知,則截面為等腰梯形，
設(shè)，則，．
梯形的高，
故梯形面積為．
設(shè)，
設(shè)，恒成立，
則在單調(diào)遞減，故，則
當(dāng)與重合時，截面為矩形，面積為．
綜上可知，平面截正方體所得截面積的最大值為，故D正確；
故選：BCD.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 若直線與直線平行，則______.
【答案】
【解析】由與平行，則，所以.故答案為：.
14. 已知數(shù)列的前項和為，若，則______.
【答案】
【解析】當(dāng)時，，
當(dāng)時，不滿足上式，所以.
故答案為：.
15. 已知函數(shù)，若成立，則的最小值為______.
【答案】
【解析】函數(shù)，由，得，則，
令，求導(dǎo)得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，
因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，
所以的最小值為.
故答案為：
16. 已知是橢圓的左、右焦點，直線與橢圓相交于兩點，的平分線交于點，且，則橢圓的離心率為______.
【答案】
【解析】連接、，根據(jù)橢圓的對稱性可知四邊形為平行四邊形，
所以，
根據(jù)角平分線定理得：，
所以，又
，又，
又在中，
由余弦定理得：
，所以
故答案為：.
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17. 如圖所示，平行六面體中，，.

（1）用向量表示向量，并求；
（2）求.
解：（1）根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算，可得，
可得
，
所以.
（2）由空間向量的運(yùn)算法則，可得，
因為且，
所以
.
18. 已知圓.
（1）求的取值范圍；
（2）當(dāng)取最小正整數(shù)時，若點為直線上的動點，過作圓的一條切線，切點為，求線段的最小值.
解：（1）由方程表示圓，則滿足，
即，解得或，
所以的取值范圍是.
（2）由（1），因為取最小正整數(shù)，所以，
所以圓，可得圓心，半徑為，
又因為，
所以取最小值時取最小值，而取最小值，
即為圓心到直線的距離，可得，
所以.
19. 已知數(shù)列的首項，且滿足.
（1）求證：是等比數(shù)列，并求出的通項公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.
解：（1）
所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列.
所以，所以.
（2）因為，所有，
，
，
作差可得，
所以.
20. 已知橢圓的左右頂點分別為，長軸長為，點在橢圓上（不與重合），且，左右焦點分別為.
（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)過右焦點的直線與橢圓交于兩點，當(dāng)?shù)拿娣e最大時，求直線的方程.
解：（1）依題意可得，，所以.
設(shè)，則，
又因為所以，
所以，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）因為在直線上，設(shè)直線的方程：，
聯(lián)立，
整理得，
，
由題可知：
當(dāng)且僅當(dāng)，
即時，面積最大為，此時直線的方程是∶.
21. 如圖，多面體由正四面體和正四面體組合而成，棱長為.

（1）證明：；
（2）求與平面所成角的正弦值.
解：（1）取的中點，連接，
在正四面體和正四面體中，可得和均為等邊三角形，
所以，
因為且平面，所以平面，
又因為平面，所以.
（2）取的中心為坐標(biāo)原點，過作的平行線為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

因為正四面體的棱長是，可得，則,
所以，
則，
再取的中心為，
因為，
設(shè)，可得，
解得，即，
所以，，可得，
則
又由平面的一個法向量，
設(shè)直線與平面所成的角為，
可得，
所以直線與平面所成角的正弦值是.
22. 已知函數(shù).
（1）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
解：（1）定義域為，，
當(dāng)時，恒成立，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為,
當(dāng)時，令，則，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，
令，則，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為,
綜上：當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，無增區(qū)間；
當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；
（2）當(dāng)時，恒成立，
即對恒成立，
即對恒成立，
令（），
令（），則，
令（），則，
由得，，所以，所以在上單調(diào)遞減，
所以，即，所以在上單調(diào)遞減，
所以，
令，則，所以單調(diào)遞增，
令，則，所以在單調(diào)遞減，
所以，所以.
綜上實數(shù)的取值范圍為.

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