一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 已知集合，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因?yàn)椋?br>則，，，B對，ACD錯.
故選：B．
2. 命題“，”的否定為（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】命題“，”的否定為：命題“，”．
故選：A．
3. 下面四組函數(shù)中，表示相同函數(shù)的一組是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】對于A，因?yàn)榈亩x域?yàn)椋亩x域?yàn)镽，定義域不相同，
故A錯誤；
對于B，因?yàn)楹偷膶?yīng)關(guān)系不一致，故B錯誤；
對于C，因?yàn)楹偷亩x域都為R，且，，
對應(yīng)關(guān)系一致，故C正確；
對于D，因?yàn)榈亩x域?yàn)镽，的定義域?yàn)?，定義域不相同，故D錯誤.
故選：C．
4. 已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓交于點(diǎn)，那么等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根據(jù)題意，由三角函數(shù)的單位圓定義得：，
.
故選：D．
5. 木雕是我國雕塑的一種，在我們國家常常被稱為“民間工藝”.傳統(tǒng)木雕精致細(xì)膩、氣韻生動、極富書卷氣.如圖所示，一扇環(huán)形木雕，可視為將扇形OCD截去同心扇形OAB所得圖形，已知，，，則該扇形木雕的面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】扇形OAB的圓心角為，又因?yàn)椋?br>所以該扇環(huán)形木雕的面積為.
故選：B.
6. 設(shè)，，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因?yàn)閍，c都是正數(shù)，，，所以，
因?yàn)?，所?
故選：A．
7. 函數(shù)的圖象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因?yàn)椋?br>且的定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對稱，所以是奇函數(shù)，所以排除BC，
又因?yàn)楫?dāng)且較小時，可取，所以，所以排除D.
故選：A.
8. 已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)．若對于任意兩個不等實(shí)數(shù)、，不等式恒成立，則不等式的解集為（ ）
A. B.
C. D. 或
【答案】C
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是R上的偶函數(shù)，則，
所以不等式可變形為，
因?yàn)閷τ谌我鈨蓚€不等實(shí)數(shù)、，
不等式恒成立，
所以不等式恒成立，
不妨設(shè)，則，可得，
則函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，，可得，即，解得或，
則原不等式的解集為．
故選：C．
二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．
9. 已知函數(shù)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有如下對應(yīng)值表：
則下列包含函數(shù)零點(diǎn)的區(qū)間是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，結(jié)合表中的數(shù)據(jù)，，，.
函數(shù)在三個區(qū)間、和上存在零點(diǎn)，可得BCD正確．
故選：BCD．
10. 下列說法正確的是（ ）
A. 若，則
B
C. “”是“”的充要條件
D. 若函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)?br>【答案】BD
【解析】對于A：，當(dāng)，有，所以A錯誤；
對于B：正弦函數(shù)在上單調(diào)遞增，，可得，所以B正確；
對于C：時滿足，時不能得到，
“”是“”的充分不必要條件，所以C錯誤；
對于D：函數(shù)的定義域?yàn)?，由，得?br>則函數(shù)的定義域?yàn)?，所以D正確．
故選：BD．
11. 已知，，則下列選項(xiàng)中正確的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】由，得，
所以，故選項(xiàng)A正確；
因?yàn)?，，所以，?br>又因?yàn)?，所以，故選項(xiàng)B正確；
因?yàn)?，故選項(xiàng)C錯誤；
由，，所以，故選項(xiàng)D錯誤.
故選：AB.
12. 已知函數(shù)，（，，），將其圖象上所有點(diǎn)向左平移個單位長度，得到的圖象，如圖所示，則下列說法正確的是（ ）
A. 函數(shù)的最小正周期為
B. 在上方程有3個根
C. 函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減
D. 函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱
【答案】ACD
【解析】設(shè)，
由圖知最大值、最小值分別為，則；
，即，
代入點(diǎn)，得，即，
，，不妨取，
則，
函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得：，
所以函數(shù)的最小周期，所以A正確；
顯然，由方程，得，
解得在只有兩個根和，所以B不正確；
因?yàn)椋?br>即，當(dāng)時，即得區(qū)間，
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以C正確；
因?yàn)椋?br>所以，
函數(shù)，且，
可知函數(shù)關(guān)于直線對稱，所以D正確．
故選：ACD．
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 計(jì)算：__________．
【答案】5
【解析】．
14. 已知，，則______.
【答案】
【解析】.
15. 設(shè)是定義在R上的函數(shù)，滿足，且，當(dāng)時；，則__________．
【答案】
【解析】是定義在R上的函數(shù)滿足，所以，
又因?yàn)椋?，所以?br>則函數(shù)的周期為2，所以
16. 已知函數(shù)．若關(guān)于x的不等式恰有兩個整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的最大值是__________．
【答案】15
【解析】函數(shù)如圖所示，
當(dāng)時，，由于關(guān)于x的不等式恰有兩個整數(shù)解，
因此其整數(shù)解為3和4，又，，則，
所以a的最大值為15．
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17. 已知函數(shù)
（1）求；
（2）若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
解：（1）因?yàn)椋?br>所以.
（2）由題意可得：①當(dāng)時，，得；
②當(dāng)時，，得.
綜上所述：實(shí)數(shù)m的取值范圍為：.
18. 已知集合，集合．
（1）當(dāng)時，求；
（2）請?jiān)谙旅鎯蓚€條件中任選一個，作為已知條件，求實(shí)數(shù)k的取值范圍（全選按照第一個給分）
條件：①“”是“”的充分條件；②．
解：（1）由題意得，解得，
所以，當(dāng)時，，
所以.
（2）若選①：
由“”是“”的充分條件，可得，
由（1）知，
當(dāng)，即，時，顯然有，滿足題意，
當(dāng)，即時，由可得，，解得．
綜上所述，或．
若選②：
由，可得，．由（1）知，
當(dāng)，即，時，顯然有，滿足題意，
當(dāng)，即時，
由可得，，解得．
綜上所述，或．
19. 已知函數(shù)．
（1）判斷的單調(diào)性并用定義證明；
（2）求函數(shù)在區(qū)間上的值域．
解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)镽，為增函數(shù)．
證明如下：
設(shè)，且，
則有，
，，，
，即，為增函數(shù).
（2）方法一：當(dāng)時，則有，
由（1）知道為增函數(shù)，所以，．
所以函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)椋?br>方法二：．
時，可知函數(shù)為增函數(shù)，
所以在上的值域?yàn)椋?br>可知函數(shù)為減函數(shù)，所以在上的值域?yàn)椋?br>所以函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)椋?br>20. 已知函數(shù)，．
（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，得到的圖象，求在區(qū)間上的值域．
解：（1）由已知，
得：，
即，，
由正弦函數(shù)的單調(diào)性，令，
解之；
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.
（2）由（1）知，
函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，
只需將函數(shù)中的換為，得到：，
由，得，
當(dāng)時，取得最小值；當(dāng)時，取得最大值；
所以的值域?yàn)椋?br>21. 2023年是共建“一帶一路”倡議提出10周年．2023年10月，習(xí)近平主席在第三屆“一帶一路”國際合作高峰論壇上宣布了中國支持高質(zhì)量共建“一帶一路”的八項(xiàng)行動，并將“促進(jìn)綠色發(fā)展”作為行動之一，為“一帶一路”綠色發(fā)展明確了新方向．源自中國的綠色理念、綠色技術(shù)與清潔能源相結(jié)合，讓能源短缺不再是發(fā)展的瓶頸，點(diǎn)亮共建國家綠色低碳發(fā)展的夢想．某新能源公司為了生產(chǎn)某種新型環(huán)保產(chǎn)品，前期投入固定成本為1000萬元，后期需要投入成本（單位：萬元）與年產(chǎn)量x（單位：百臺）的函數(shù)關(guān)系式為經(jīng)調(diào)研市場，預(yù)測每100臺產(chǎn)品的售價(jià)為500萬元．依據(jù)市場行情，估計(jì)本年度生產(chǎn)的產(chǎn)品能全部售完．
（1）求年利潤（單位：萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x的函數(shù)解析式（利潤=銷售額-投入成本-固定成本）；
（2）當(dāng)年產(chǎn)量多少時，年利潤最大？并求出最大年利潤．
解：（1）當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
所以.
（2）當(dāng)時，，
當(dāng)時，取得最大值，
當(dāng)時，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，
因?yàn)?，所以?dāng)時，取得最大值，
綜上，當(dāng)年產(chǎn)量為6000臺時，年利潤最大，且最大年利潤為4880萬元．
22. 已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱．
（1）求實(shí)數(shù)m的值；
（2）設(shè)，（且），若不等式對任意恒成立，求t的取值范圍．
解：（1）由冪函數(shù)定義可知，所以或2，
當(dāng)時，為偶函數(shù)，不關(guān)于原點(diǎn)對稱，舍去，
當(dāng)時，關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以.
（2）方法一：由（1）得，，
令，，，記，
若函數(shù)在上恒成立，
①若時，則函數(shù)，即恒成立，
令，，
由對勾函數(shù)性質(zhì)得在上單調(diào)遞增，故，
則，所以，故．
②若時，則需在恒成立，
所以，，由對勾函數(shù)性質(zhì)可得，故．
綜上所述：函數(shù)在上恒成立時．
方法二：由（1）得，，
令，，，記，
若函數(shù)在上恒成立，
①若時，則函數(shù)，
由于對稱軸，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，
恒成立，所以，故符合題意．
②若時，則需在恒成立，
則：或，
或，解得，
綜上所述：函數(shù)在上恒成立．則．x
2
3
5
10
13
3

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