注意事項：
1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.
2.請按題號順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.
3.選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚.
4.考試結(jié)束后，請將試卷和答題卡一并上交.
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 集合，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由，得，解得，
因為，所以，
又，所以.
故選：D.
2. 已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的模為（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】B
【解析】因為，又，
所以，
所以，
所以或.
故選：B
3. 下列說法中，正確的是（ ）
A. 數(shù)列可表示為集合
B. 數(shù)列與數(shù)列是相同的數(shù)列
C. 數(shù)列的第項為
D. 數(shù)列可記為
【答案】C
【解析】對于A，由數(shù)列的定義易知A錯誤；
對于B，兩個數(shù)列排列次序不同，是不同的數(shù)列，故B錯誤；
對于C，數(shù)列的第項為，故C正確；
對于D，因為，所以，這與數(shù)列定義不相符，故D錯誤.
故選：C.
4. 若函數(shù)，則（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】A
【解析】，
所以.
故選：A.
5. 若，且，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因為，所以，
又，
所以，即，
又，所以，
所以，
所以.
故選：B.
6. 已知半徑為1的圓經(jīng)過點，其圓心到直線的距離的最大值為（ ）
A. B. C. 2D. 3
【答案】D
【解析】設(shè)圓的圓心為，則，
即圓的圓心的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，
其中點到直線的距離，
則圓心到直線的距離的最大值為.
故選：D
7. 已知公差不為0的等差數(shù)列滿足，則的最小值為（ ）
A. 1B. C. D. 2
【答案】C
【解析】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)可得，
則，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，取“”號．
故選：C．
8. 已知函數(shù)，若，則下列式子大小關(guān)系正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】在上恒成立，
故在上單調(diào)遞增，
因為，故，
所以，故，
所以，
當(dāng)時，，
故，，
則，
故，
綜上，，A正確.
故選：A
二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9. 下列通項公式中，對應(yīng)的數(shù)列是遞增數(shù)列的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】對于A，因為，
由二次函數(shù)的單調(diào)性可得數(shù)列為遞增數(shù)列；
對于B，因為，
由一次函數(shù)的單調(diào)性可得數(shù)列是遞減數(shù)列；
對于C，因為，
由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得數(shù)列是遞減數(shù)列；
對于D，因為，
當(dāng)時，數(shù)列是遞增數(shù)列，
當(dāng)時， 數(shù)列為遞增數(shù)列，
而，所以數(shù)列是遞增數(shù)列.
故選：AD.
10. 2023年7月31日國家統(tǒng)計局發(fā)布了制造業(yè)采購經(jīng)理指數(shù)（PMI）如下圖所示：
則下列說法正確的是（ ）
A. 從2022年7月到2023年7月，這13個月的制造業(yè)采購經(jīng)理指數(shù)（PMI）的極差為
B. 2023年7月份，制造業(yè)采購經(jīng)理指數(shù)（PMI）為，比上月上升0.3個百分點
C. 從2023年1月到2023年7月，這7個月的制造業(yè)采購經(jīng)理指數(shù)（PMI）的第71百分位數(shù)為
D. 從2022年7月到2022年12月，這6個月的制造業(yè)采購經(jīng)理指數(shù)（PMI）的平均數(shù)約為
【答案】BCD
【解析】由圖知，制造業(yè)采購經(jīng)理指數(shù)（PMI）的最大值為，最小值為，
所以極差為，故A錯誤；
由圖可知，2023年7月份，制造業(yè)采購經(jīng)理指數(shù)（PMI）為，6月份為，
則7月比6月上升個百分點，故B正確；
從2023年1月到2023年7月，這7個月制造業(yè)采購經(jīng)理指數(shù)（PMI）從小到大的順序為
，
因為，
所以第71百分位數(shù)為第5個數(shù)，即為，故C正確；
由圖可知
從2022年7月到2022年12月，這6個月的制造業(yè)采購經(jīng)理指數(shù)（PMI）的平均數(shù)為
，故D正確.
故選：BCD.
11. 已知正四棱錐的底邊長為2，高為2，且各個頂點都在球的球面上，則下列說法正確的是（ ）
A. 直線與平面所成角的余弦值為
B. 平面截球所得的截面面積為
C. 球的體積為
D. 球心到平面的距離為
【答案】ACD
【解析】如圖所示，因為正四棱錐的底邊長為2，高為2，且各個頂點都在球的球面上，
連接，且，則平面，，
對于A中，在直角，，可得，
所以，所以A正確；
對于B中，設(shè)正四棱錐外接球的半徑為，
在直角中，，
可得，即，解得，
則平面截球所得的截面圓的半徑為，
所以截面圓的面積為，所以B錯誤；
對于C中，由外接球的半徑為，所以球的體積為，
所以C正確；
對于D中，設(shè)等腰的外接圓的圓心，外接圓的半徑為，
取的中點，連接，則點在上，且，
在直角中，可得，即，解得，
根據(jù)球的性質(zhì)，可得平面，
在直角中，可得，
即球心到平面的距離為，所以D正確.
故選：ACD.
12. 已知為雙曲線的左、右焦點，為平面上一點，若，則（ ）
A. 當(dāng)為雙曲線上一點時，的面積為4
B. 當(dāng)點坐標(biāo)為時，
C. 當(dāng)在雙曲線上，且點的橫坐標(biāo)為時，的離心率為
D. 當(dāng)點在第一象限且在雙曲線上時，若的周長為，則直線的斜率為
【答案】ABD
【解析】因為為平面上一點，且，所以為直角三角形，
設(shè)，，在中由勾股定理可得①，
由雙曲線的定義可得②，
②式的平方減①式可得，
所以，故A正確；
由對稱性可知為等腰直角三角形，因此，
又且，
所以，故B正確；
因為，所以點在以為直徑的圓上，所以該圓的圓心為原點，半徑為，
即曲線與雙曲線的交點即為，由，
則，即（負(fù)值舍去），所以，
所以離心率，故C錯誤；
由題意可知，，則，
所以，即為等邊三角形，則直線的斜率為，故D正確.
故選：ABD
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 設(shè)單位向量的夾角的余弦值為，則____________.
【答案】
【解析】因為單位向量的夾角的余弦值為，則，
所以，
則.
故答案為：.
14. 已知拋物線的焦點為，點，若點為拋物線上任意一點，當(dāng)取最小值時，點的坐標(biāo)為____________.
【答案】
【解析】拋物線焦點為，準(zhǔn)線方程為，
過點作垂直準(zhǔn)線交于點，則，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點共線時取等號，
即平行于軸時取最小值，此時，
則，
即，所以.
故答案為：
15. 某市舉辦花展，園方挑選紅色、黃色、白色鮮花各1盆，分別贈送給甲、乙、芮三人，每人1盆，則甲沒有拿到白色鮮花的概率是____________.
【答案】
【解析】設(shè)事件為甲拿到白色鮮花，
根據(jù)題意有紅色、黃色、白色鮮花各1盆，分別贈送給甲、乙、丙三人，每人1盆，
甲、乙、丙三人拿到白色鮮花的概率相等，都為，
所以，則甲沒有拿到白色鮮花的概率．
故答案為：．
16. 若存在實數(shù)使得，則的值為____________.
【答案】
【解析】因為，所以，
令，則，
當(dāng)時，單調(diào)遞減；
當(dāng)時，單調(diào)遞增；
所以，可得，
所以，即，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，
又，所以，
故，此時的值為.
故答案為：.
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.
17. 已知函數(shù)，且為極值點.
（1）求實數(shù)的值；
（2）判斷是極大值點還是極小值點，并分別求出極大值與極小值.
解：（1），
因為為函數(shù)的極值點，
所以，解得，
經(jīng)檢驗符合題意，所以；
（2）由（1）得，，
當(dāng)或時，，當(dāng)時，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以為極大值點，極大值為，
為極小值點，極小值為.
18. 已知的內(nèi)角的對邊分別為，且．
（1）求角；
（2）設(shè)是邊上一點，為角平分線且，求的值．
解：（1）由正弦定理得，
即，
利用余弦定理可知，
因為，所以；
（2）在中，
，
所以，
即，
因為為角平分線，所以，所以，
由余弦定理，得，
則，
因此．
19. 已知數(shù)列，且.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）求數(shù)列的前項和.
解：（1）因為，
當(dāng)時，，
兩式相減，得，
則，
當(dāng)時，，則，滿足上式，
所以.
（2）由（1）得，
所以，
則，
兩式相減，得，
所以.
20. 如圖,在直四棱柱中,,與相交于點,，為線段上一點，且.
（1）求證：平面；
（2）求平面與平面的夾角的余弦值.
解：（1）因為，所以，所以，
又為線段上一點，且，
所以，在中，
又平面，平面，
所以平面.
（2）直四棱柱中，平面，又，
如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，
所以，，，，
設(shè)平面的一個法向量為，
則，令，可得，，
所以平面的一個法向量，
設(shè)平面的一個法向量為，
則，
令，可得，，
所以平面的一個法向量為，
設(shè)平面與平面的夾角的大小為，
所以，
即平面與平面的夾角的余弦值為．
21. 已知函數(shù).
（1）證明：；
（2）設(shè)，求證：對任意的，都有成立.
解：（1）設(shè)，
當(dāng)時，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以，
于是有，
即.
（2）要證明成立，
即證明成立，
即證明成立，
也就是證明成立，
因為，所以原問題就是證明成立，
由，設(shè)，
即證明，也就是證明成立，
設(shè)，
所以當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，即有，
從而成立.
22. 已知橢圓的長軸長為，點在橢圓上.
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)是經(jīng)過橢圓下頂點的兩條直線，與橢圓相交于另一點與圓相交于另一點，若的斜率不等于0，的斜率等于斜率的3倍，證明：直線經(jīng)過定點.
解：（1）依題意可得，解得，
所以橢圓的方程為.
（2）設(shè)、的斜率分別為、，，由（1）可知下頂點為，
可得，．
將代入，整理得，
解得或，
則，
可得．
將代入可得，解得或，
則，所以．
直線的斜率為，
因此直線方程為，
化簡得，于是直線經(jīng)過定點．

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