第一部分（選擇題共50分）
一?選擇題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).
1. 若直線l的斜率為，則l的傾斜角為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】設(shè)直線l的傾斜角為，
因?yàn)橹本€的斜率是，可得，
又因?yàn)椋?，即直線的傾斜角為.
故選：C
2. 已知等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，若，則（ ）
A. 3B. 6C. 9D. 27
【答案】C
【解析】在等差數(shù)列中，，解得，
所以.故選：C
3. 已知雙曲線的實(shí)軸長為，其左焦點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離為，則雙曲線的漸近線方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由雙曲線知，焦點(diǎn)在軸上，
設(shè)左焦點(diǎn)，其中一條漸近線方程為，即.
由實(shí)軸長為得，
解得；
由左焦點(diǎn)到漸近線的距離,
則雙曲線漸近線方程為.
故選：A.
4. 過拋物線的焦點(diǎn)作傾斜角為的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，則（ ）
A. B. 4C. D.
【答案】D
【解析】拋物線的焦點(diǎn)，直線的方程為，
聯(lián)立方程組，得，
設(shè)，，
則，.
故選：D.
5. 在正方體中，分別為和的中點(diǎn)，則異面直線與.所成角的余弦值是（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】B
【解析】設(shè)正方體棱長為，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，
則，
由異面直線與.所成角為銳角，
則余弦值面直線與.所成角的余弦值為.
故選：B.
6. 若方程表示橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因?yàn)榉匠瘫硎緳E圓，
則，解得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選：B.
7. 已知等比數(shù)列各項(xiàng)都為正數(shù)，前項(xiàng)和為，則“是遞增數(shù)列”是 “”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】D
【解析】等比數(shù)列各項(xiàng)都為正數(shù)，
設(shè)公比為，則，
①當(dāng)時(shí)，是遞增數(shù)列，
，
由，則,
不滿足.所以是遞增數(shù)列.
②當(dāng)時(shí)，則，
此時(shí)滿足，為常數(shù)列，不是遞增數(shù)列.
所以 是遞增數(shù)列.
故“是遞增數(shù)列”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D.
8. 為了響應(yīng)國家節(jié)能減排的號召，甲?乙兩個(gè)工廠進(jìn)行了污水排放治理，已知某月兩廠污水的排放量與時(shí)間的關(guān)系如圖所示，下列說法正確的是（ ）
A. 該月內(nèi)，甲乙兩廠中甲廠污水排放量減少得更多
B. 該月內(nèi)，甲廠污水排放量減少速度是先慢后快
C. 在接近時(shí)，甲乙兩廠中乙廠污水排放量減少得更快
D. 該月內(nèi)存在某一時(shí)刻，甲?乙兩廠污水排放量減少的速度相同
【答案】D
【解析】選項(xiàng)A，設(shè)，
設(shè)甲工廠的污水排放量減少為，乙工廠的污水排放量減少為，
結(jié)合圖像可知：，
所以該月內(nèi)乙工廠的污水排放量減少得更多，故A錯誤；
選項(xiàng)B，作出如圖所示表示甲廠曲線的條切線可知，
直線的傾斜程度小于的傾斜程度，直線的傾斜程度大于的傾斜程度，
而這說明該月內(nèi)，甲廠污水排放量減少的速度并非先慢后快，
從圖象的變化也可以看出，甲廠污水排放量減少的速度先快再慢后快，故B錯誤；

選項(xiàng)C，設(shè)為接近的時(shí)刻且，
從時(shí)刻到時(shí)刻，污水排放量平均變化率，
由導(dǎo)數(shù)的定義與幾何意義可知，
在接近時(shí)，在接近時(shí)污水排放量減少快慢，可以用在處切線的斜率的大小比較近似代替.
設(shè)甲工廠在處切線的斜率為，乙工廠在處切線的斜率為，
結(jié)合圖象可知，
所以在接近時(shí)，甲工廠的污水排放量減少得更快，故C錯誤；

選項(xiàng)D，如圖，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，存在時(shí)刻，兩曲線切線的斜率相等，
即甲?乙兩廠污水排放量的瞬時(shí)變化率相同，
所以該月內(nèi)存在某一時(shí)刻，甲?乙兩廠污水排放量減少的速度相同.故D正確.
故選：D.

9. 是圓上兩點(diǎn),,若在圓上存在點(diǎn)恰為線段的中點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】圓，圓心，，
由是弦的中點(diǎn)，且，
則由圓的幾何性質(zhì)，，
所以，
故點(diǎn)在以為圓心， 以為半徑的圓上.
又在圓上存在點(diǎn)滿足題設(shè)，
且其圓心，半徑，
則由兩圓有公共點(diǎn)，得，即，
解得，或.
故選：C.
10. 已知數(shù)列的通項(xiàng)公式.設(shè)，，若，則（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】C
【解析】由題意知，
，
則
，
由得，則，
解得.
故選：C.
第二部分（非選擇題共100分）
二?填空題共6小題，每小題5分，共30分.
11. 兩條直線與之間的距離是__________.
【答案】
【解析】由兩條平行線的距離公式可得：.
故答案為：.
12. 已知函數(shù)，則__________.
【答案】
【解析】由，則，
所以.
故答案：.
13. 以為直徑端點(diǎn)圓的方程是__________.
【答案】
【解析】是直徑端點(diǎn)，
由兩點(diǎn)間距離公式得直徑長為，故半徑為，
且設(shè)圓心為，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得圓心，
故圓的方程為.
故答案為：
14. 在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，若點(diǎn)在平面內(nèi)，寫出一個(gè)符合題意的點(diǎn)的坐標(biāo)__________.
【答案】（答案不唯一）
【解析】點(diǎn)在平面內(nèi)，所以四點(diǎn)共面，
則，
所以，
所以，則，
所以滿足即可
令，滿足，
所以符合題意的點(diǎn)的坐標(biāo)可以為.
故答案為：（答案不唯一） .
15. 某學(xué)校球類社團(tuán)組織學(xué)生進(jìn)行單淘汰制的乒乓球比賽（負(fù)者不再比賽），如果報(bào)名人數(shù)是2的正整數(shù)次冪，那么每2人編為一組進(jìn)行比賽，逐輪淘汰.以2022年世界杯足球賽為例，共有16支隊(duì)進(jìn)入單淘汰制比賽階段，需要四輪，場比賽決出冠軍.如果報(bào)名人數(shù)不是2的正整數(shù)次冪，則規(guī)定在第一輪比賽中安排輪空（輪空不計(jì)入場數(shù)），使得第二輪比賽人數(shù)為2的最大正整數(shù)次冪.（如20人參加單淘汰制比賽，第一輪有12人輪空，其余8人進(jìn)行4場比賽，淘汰4人，使得第二輪比賽人數(shù)為16.）最終有120名同學(xué)參加校乒乓球賽，則直到?jīng)Q出冠軍共需__________輪；決出冠軍的比賽總場數(shù)是__________.
【答案】7;119
【解析】因?yàn)椋?br>所以第二輪需要64名同學(xué)參加比賽，
則第一輪淘汰人，
即第一輪有8人輪空，有112人進(jìn)行淘汰賽，共進(jìn)行了56場比賽，
則第二輪有64名同學(xué)參加比賽，
所以共進(jìn)行了32場比賽，淘汰了32人，
則第三輪有32名同學(xué)比賽，則進(jìn)行了16場比賽，
第四輪有16名同學(xué)參加比賽，共進(jìn)行了8場比賽，
第五輪有8名同學(xué)參加比賽，共進(jìn)行了4場比賽，
第六輪有4名同學(xué)參加比賽，共進(jìn)行了2場比賽，
第七輪有2名同學(xué)參加比賽，共進(jìn)行了1場比賽，
故直到?jīng)Q出冠軍共需7輪比賽，
共進(jìn)行了場比賽，
故答案為：7；119.
16. 如圖，在長方體中，為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)是側(cè)面上的動點(diǎn)，滿足，給出下列四個(gè)結(jié)論：
①動點(diǎn)的軌跡是一段圓弧；
②動點(diǎn)的軌跡長度為；
③動點(diǎn)的軌跡與線段有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；
④三棱錐的體積的最大值為.
其中所有正確結(jié)論的序號是__________.
【答案】①②④
【解析】由長方體性質(zhì)可知：都與平面垂直，
而在平面內(nèi)，所以，
由，可知，即，故，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，因?yàn)辄c(diǎn)是側(cè)面上的動點(diǎn)，故設(shè)，
故所求點(diǎn)滿足，化簡得，
則動點(diǎn)的軌跡為此圓在矩形內(nèi)的部分，是一段圓弧，故①正確；
記圓心為，當(dāng)時(shí)，由，得，
顯然動點(diǎn)的軌跡與線段沒有公共點(diǎn)，故③錯誤；
當(dāng)時(shí)，由，得或（舍去），
當(dāng)時(shí)，由，得或（舍去），
則，，
易得，又，則，
所以動點(diǎn)的軌跡長度為，故②正確；
顯然，動點(diǎn)到平面的最大距離為點(diǎn)到平面的距離，即，
所以三棱錐的體積的最大值為，故④正確.
故答案為：①②④.
三?解答題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.
17. 已知函數(shù).
（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）求的單調(diào)區(qū)間.
解：（1）由，的定義域?yàn)?
則，
所以，又，
所以在點(diǎn)處的切線方程為.
（2），
由，得，或，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；
單調(diào)遞減區(qū)間為.
18. 已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，滿足，數(shù)列是等差數(shù)列，且.
（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.
解：（1）當(dāng)時(shí)，，得，
當(dāng)時(shí)，①，由已知②，
②①得，，
所以，由，得
所以數(shù)列為等比數(shù)列，公比，
因?yàn)?，所?
設(shè)等差數(shù)列的公差為，
由，則，解得.
所以.
（2）設(shè)，則，
設(shè)的前項(xiàng)和為，
則
.
19. 如圖，三棱錐中，，平面平面，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，再從條件①?條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知.
（1）求證：；
（2）求二面角的余弦值.
條件①：；
條件②：直線與平面所成角為.
注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.
解：（1）選擇條件①.
取的中點(diǎn)，連接.
由于是等邊三角形，故，
又平面平面，平面，
平面平面，
故平面，
而平面，故，即，
所以，
又，故，
則，即.
因?yàn)?，平面?br>所以平面，平面，
所以.
選擇條件②.
取的中點(diǎn)，連接.
由于是等邊三角形，故，
又平面平面，平面，
平面平面，
故平面，
所以在平面內(nèi)的射影是，
所以是直線與平面所成角.
所以.
由平面，而平面，故，即，
所以，又，
故，則，即.
因?yàn)?，平面?br>所以平面，平面，
所以.
（2）由（1）知兩兩垂直，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
于是，
由點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，所以，
于是，又，
設(shè)是平面的一個(gè)法向量，
則，令，則，
所以，
又是平面的一個(gè)法向量，
設(shè)二面角的大小為，由題可知為銳角，
所以.
20. 已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為，離心率為.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過橢圓的右焦點(diǎn)作斜率為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，線段的垂直平分線分別交直線軸，軸于點(diǎn)，求的值.
解：（1）由題意可得，
解得，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）由（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，可得，
可得直線的方程為，
與橢圓方程聯(lián)立，
可得，
易知，設(shè)，
所以，，
所以，代入直線的方程得，
所以，
所以直線的方程為，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
所以，，
所以，
，
所以.
.
21. 設(shè)正整數(shù)，若由實(shí)數(shù)組成的集合滿足如下性質(zhì)，則稱為集合：對中任意四個(gè)不同的元素，均有.
（1）判斷集合和是否為集合，說明理由；
（2）若集合為集合，求中大于1的元素的可能個(gè)數(shù)；
（3）若集合為集合，求證：中元素不能全為正實(shí)數(shù).
解：（1）集合是集合，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
集合不是集合，
取，則，不滿足題中性質(zhì).
（2）當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
所以.
不妨設(shè)，
①若，因?yàn)?，從而，與矛盾；
②若，因?yàn)?，故?br>所以.
經(jīng)驗(yàn)證，此時(shí)是集合，元素大于1的個(gè)數(shù)為；
③若，因?yàn)?，所以與矛盾；
④若，因?yàn)?，故?br>所以.
經(jīng)驗(yàn)證，此時(shí)是集合，元素大于1的個(gè)數(shù)為；
綜上：中大于1的元素的可能個(gè)數(shù)為.
（3）假設(shè)集合中全為正實(shí)數(shù).
若中至少兩個(gè)正實(shí)數(shù)大于，設(shè)，則，
取，則，
而，從而，矛盾；
因此中至多有1個(gè)正實(shí)數(shù)大于.
當(dāng)時(shí)，設(shè)，
若，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
由于，
，
所以，
所以.
因?yàn)椋?br>所以
，矛盾.
因此當(dāng)時(shí)，.
當(dāng)時(shí)，集合中至少有4個(gè)不同的正實(shí)數(shù)不大于，
設(shè)，
因?yàn)槭怯邢藜?，設(shè)，其中.
又因?yàn)榧现兄辽儆?個(gè)不同的正實(shí)數(shù)不大于，
所以，且存在，且使互不相同，
則，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
于是，
與矛盾.
因此，中元素不能全為正實(shí)數(shù).

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