一、選擇題
1．已知集合，，則( )
A.B.C.D.
2．命題：“，”的否定是( )
A.，B.，
C.，D.，
3．已知等邊的邊長為1，點D，E分別為，的中點，若，則( )
A.B.
C.D.
4．將函數(shù)的圖像上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模v坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖像，則在下列區(qū)間中，函數(shù)單調(diào)遞減的是( )
A.B.C.D.
5．已知，且，則的最小值為( )
A.4B.C.6D.8
6．將曲線（為自然對數(shù)的底數(shù)）繞坐標(biāo)原點順時針旋轉(zhuǎn)后第一次與軸相切，則( )
A.eB.C.D.
7．如圖，在已知正方體.中，N是棱上的點，且平面將此正方體分為兩部分，則體積較小部分與體積較大部分的體積之比為( )
A.B.C.D.
8．已知函數(shù)，若有兩個零點，則的值為( )
A.B.C.D.
二、多項選擇題
9．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)，對應(yīng)的向量分別為、，則下列說法不正確的是( )
A.
B.
C.若，則
D.若，則
10．已知等差數(shù)列的首項為，公差為d，前項和為，若，則下列說法正確的是( )
A.當(dāng)，最大
B.使得成立的最小自然數(shù)
C.
D.中最小項為
11．如圖，在直三棱柱中，，，Q是線段的中點，P是線段上的動點（含端點），則下列命題正確的是( )
A.三棱錐的體積為定值
B.直線與所成角的正切值的最小值是
C.在直三棱柱內(nèi)部能夠放入一個表面積為的球
D.的最小值為
三、填空題
12．已知向量，，若與垂直，則等于__________.
13．已知數(shù)列的前項和為，，則數(shù)列的前項和__________.
14．若存在a，b，（a，b，c互不相等），滿足，則的取值范圍為__________.
四、解答題
15．在中，角A，B，C對應(yīng)的三邊分別是a，b，c且
(1)求角的值;
(2)若，，求的面積.
16．已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點，兩個焦點分別為，，點在橢圓C上.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率；
(2)已知直線l與橢圓C交于M、N兩點，且，求面積的取值范圍.
17．如圖所示，已知四棱錐中，，.
(1)求證:平面；
(2)當(dāng)四棱錐的體積最大時，求二面角的正弦值.
18．已知函數(shù).
(1)若，求函數(shù)的極值；
(2)討論的單調(diào)性；
(3)若是的兩個極值點，證明：.
19．給定正整數(shù)，設(shè)數(shù)列，是的一個排列，對，表示以為首項的遞增子列的最大長度（數(shù)列中項的個數(shù)叫作數(shù)列的長度），表示以為首項的遞減子列的最大長度.我們規(guī)定：當(dāng)后面的項沒有比大時，，當(dāng)后面的項沒有比小時，，例如數(shù)列：，，，則，，，，，
(1)若，，，求和；
(2)求證:，；
(3)求的最值.
參考答案
1．答案：D
解析：，
，
所以.
故選：D.
2．答案：B
解析：因為命題：“，”的否定是：“，”.
故選：B
3．答案：B
解析：在中，取為基底，
則，
因為點D，E分別為，的中點，,
所以，
所以
故選：B.
4．答案：C
解析：由題意，
對于A，由，得，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故A不符；
對于B，由，得，
所以函數(shù)在上不單調(diào)，故B不符；
對于C，由，得，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故C符合；
對于D，由，得，
所以函數(shù)在上不單調(diào)，故D不符.
故選：C.
5．答案：D
解析：因為，，且，
所以
當(dāng)且僅當(dāng)，
即時，取等號，
所以的最小值為8.
故選：D.
6．答案：C
解析：設(shè)直線與曲線相切，
設(shè)切點為，，
則有，
，
解得，所以，
所以切點為，
將曲線（為自然對數(shù)的底數(shù)）
繞坐標(biāo)原點順時針旋轉(zhuǎn)后第一次與軸相切，
則.
故選：C.
7．答案：A
解析：如圖：取棱上的點M，使得，
連接，.不妨設(shè)正方體棱長為3.
則，所以點M，N，C，D共面，
平面就是平面.
平面把正方體分成兩部分，
其中幾何體為棱臺，
其體積為：
.
又正方體的體積為：.
所以較大部分的體積為：.
所以：.
故選：A
8．答案：B
解析：
令，則，
所以或，
所以或，
所以或，
又因為，
所以，
所以
.
故選：B.
9．答案：ACD
解析：設(shè)，，
則，，
對于A，當(dāng)，時，，
則，故A錯誤；
對于B，，
，
所以，故B正確；
對于C，當(dāng)，時，，
，
滿足，
但，故C錯誤；
對于D，當(dāng)，時，，
而，故D錯誤.
故選：ACD.
10．答案：ABD
解析：因為，
所以，，
所以，所以，
所以.
所以，當(dāng)時，最大.故A正確；
由，
，
所以使得成立的最小自然數(shù)，故B正確；
由，
且，
所以，
即，故C錯誤；
因為當(dāng)時，，，所以；
當(dāng)時，，，所以；
當(dāng)時，，，所以.
且，，
所以中最小項為，故D正確.
故選：ABD
11．答案：ABD
解析：對于A選項，如下圖所示，連接交于點E，連接，
因為四邊形為平行四邊形，則E為的中點，
又因為Q為的中點，則，
因為平面，平面，
則平面，
因為，則點到平面的距離等于點到平面的距離，為定值，
又因為的面積為定值，故三棱錐的體積為定值，故A正確；
對于B選項，因為平面，，
以點C為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為x，y，z軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
由，
則、、、、，
設(shè)，
其中，
則，
設(shè)直線與所成角為，
所以，
當(dāng)時，取最大值，
此時，取最小值，取最大值，
此時，，
，
所以，直線與所成角的正切值的最小值是，故B正確；
對于C選項，因為，，
則，
的內(nèi)切圓半徑為
由于直徑，
所以在這個直三棱柱內(nèi)部可以放入一個最大半徑為的球，
而表面積為的球，其半徑為：，
因為，
所以這個直三棱柱內(nèi)部不可以放入半徑為的球，故C錯誤；
對于D選項，點關(guān)于平面的對稱點為，則，
，，
所以，，
則，
因為平面，，
則平面，
因為平面，則，
將平面和平面延展為一個平面，如下圖所示：
在中，，，，
由余弦定理可得
，
當(dāng)且僅當(dāng)，P，E三點共線時，取最小值，
故的最小值為，故D正確.
故選：ABD.
12．答案：2
解析：由題意得，
因為與垂直，
所以，
即，解得，
所以.
故答案為：2.
13．答案：
解析：由，
當(dāng)時，，所以，
當(dāng)時，，
即，
所以數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，
所以，
所以
所以.
故答案為：.
14．答案：
解析：存在（a，b，c互不相等），
滿足，
則，
不妨設(shè)，且是相鄰最值點.
當(dāng)，，時，
則，
解得，
由，解得，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
所以，
當(dāng)，，時，
則，
解得，
由，解得，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
所以，
綜上所述，.
故答案為：.
15．答案：(1)
(2)15
解析：(1)根據(jù)題意由正弦定理可得，
整理可得，
即，
所以
可得，
又，所以，
又，因此；
(2)由(1)得
由可得，
解得或，
當(dāng)時，，
又，所以兩角均為鈍角，不合題意，
因此，，
又，
可得，同理，
由正弦定理可得，
可得，，
因此的面積為.
16．答案：(1)；.
(2)
解析：(1)設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：，
由題意：，
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.
橢圓C的離心率為：.
(2)如圖：
若直線的斜率不存在，則可取，
因為，可取，
此時.
若直線的斜率為0，同理可得.
當(dāng)直線的斜率存在且不為0時，設(shè)直線的方程為，
由，得，
則，
用代替k，得，
則.
所以
.
設(shè)，
則
.
因為，所以，，
所以，
所以.
綜上，
17．答案：(1)證明見解析
(2)
解析：(1)設(shè)，連接，
因為，，
所以，
所以，，
又，，
則，點Q為的中點，
又，所以，
又，且，
所以，
又，平面，平面，
所以平面；
(2)由(1)可知，平面，平面，
所以平面平面，
取的中點為O，連接，則，
平面平面，平面，
所以平面，
過點O作，垂足為H，連接，
則，所以為二面角的平面角，
因為四棱錐的體積為
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即體積最大，
此時，
在中，，
所以，
所以二面角的正弦值為.
18．答案：(1)極小值為，無極大值.
(2)答案見解析
(3)證明見解析
解析：(1)當(dāng)時，，定義域為，
∴，
由得，由得，
∴在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
∴當(dāng)時，有極小值，極小值為，無極大值.
(2)由題意得，，
①當(dāng)時，，
方程的判別式，
解方程得，
其中，
由得，或，由得，，
∵，∴在上為減函數(shù)，
在為增函數(shù).
②當(dāng)時，，由得，，
由得，，
∴在上為減函數(shù)，在為增函數(shù).
③當(dāng)時，，方程的判別式，
當(dāng)，即時，恒成立，
，在上為減函數(shù).
當(dāng)，即時，
方程有兩個不相等的實數(shù)根，
，
且，由得，，
由得，或
∵，∴在上為增函數(shù)，
在，上為增函數(shù).
綜上得，當(dāng)時，在上為減函數(shù)，
在為增函數(shù)；
當(dāng)時，在上為減函數(shù)，在為增函數(shù)；
當(dāng)時，在上為增函數(shù)，
在，為增函數(shù)；
當(dāng)時，在上為減函數(shù).
(3)由題意得，是方程的兩根，
∵是的兩個極值點，
∴由(2)得，且，，
∵
∴要證，
只需證，
只需證.
令，則需證，
設(shè)，
則
∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，
∴，故，
由得，，故，
∴.
19．答案：(1)，，
(2)證明見解析
(3)當(dāng)為偶數(shù)時，的最小值是；當(dāng)為奇數(shù)時，的最小值是
解析：(1)以為首項的最長遞增子列是，，所以，
因為后面的項都比小，所以，
以為首項的最長遞增子列是，，所以，
因為后面沒有項，所以，
因為后面的項都比大，所以，
以為首項的最長遞減子列是，和，，所以，
因為后面的項都比大，所以，
因為后面沒有項，所以，
所以，
所以，，；
(2)對，由于是的一個排列，故，
若，則每個以為首項的遞增子列都可以在前面加一個，
得到一個以為首項的更長的遞增子列，所以，
而每個以為首項的遞減子列都不包含，且，
故可將替換為，得到一個長度相同的遞減子列，
所以，
這意味著；
若，同理有，，
故，
總之有，
從而和不能同時為零，
故；
(3)根據(jù)小問2的證明過程知和不能同時為零，
故，
情況一：當(dāng)為偶數(shù)時，設(shè)，
則一方面有；
另一方面，考慮這樣一個數(shù)列：，，
則對，有，，
故此時，
結(jié)合以上兩方面，知的最小值是；
情況二：當(dāng)為奇數(shù)時，設(shè)，
則一方面有；
另一方面，考慮這樣一個數(shù)列：，，
則對，有，，
故此時，
結(jié)合以上兩方面，知的最小值是，
綜上，當(dāng)為偶數(shù)時，的最小值是；
當(dāng)為奇數(shù)時，的最小值是.

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