2023屆廣東省六校高三上學(xué)期第三次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．設(shè)全集為，則（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)分式的性質(zhì)，結(jié)合一元二次不等式的解法、集合補(bǔ)集的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】由且，或，所以，故選：C2．若復(fù)數(shù)，則（    ）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的定義和復(fù)數(shù)模的運(yùn)算公式進(jìn)行求解即可.【詳解】故選：B3．某學(xué)校要求學(xué)生居家學(xué)習(xí)期間要堅(jiān)持體育鍛煉，為了解學(xué)生休育鍛煉的情況，學(xué)校隨機(jī)抽取了部分學(xué)生，對(duì)他們一天內(nèi)的體育鍛煉時(shí)長進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示：鍛煉時(shí)長（分鐘）3040506080學(xué)生人數(shù)610987 可以估計(jì)該學(xué)校學(xué)生一天內(nèi)體育鍛煉時(shí)長的眾數(shù)及第40百分位數(shù)分別是（    ）A．40，45 B．40，40????????????? C．50，40????????????? D．40，50【答案】A【分析】根據(jù)眾數(shù)和百分位數(shù)的定義，計(jì)算求解可得答案.【詳解】根據(jù)題意，眾數(shù)為40，而第40百分位數(shù)為：,故該學(xué)生體育鍛煉時(shí)長的第16項(xiàng)為40，第17項(xiàng)為50，故第40百分位數(shù)為：，故該學(xué)校學(xué)生一天內(nèi)體育鍛煉時(shí)長的眾數(shù)為：40，第40百分位數(shù)是45.故選：A4．已知實(shí)數(shù)，，，則這三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系正確的是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得：，然后再比較的大小關(guān)系即可.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，又因?yàn)?/span>，而，所以，所以，故選：.5．在平面四邊形中，，，，，.若，則（    ）A．2 B． C．4 D．6【答案】D【分析】對(duì)，分別兩邊同乘以和，得到關(guān)于方程組，解出，就可以求出.【詳解】因?yàn)?/span>，③③式同乘以，得：，即，即①.③式同乘以，得：，即，即②.①②聯(lián)立解得：，所以.故選：D6．有一塔形幾何體由若干個(gè)正方體構(gòu)成，構(gòu)成方式如圖所示，上層正方體下底面的四個(gè)頂點(diǎn)是下層正方體上底面各邊的中點(diǎn)，已知最底層正方體的棱長為2，且該塔形的表面積（不含最底層正方體的底面面積）超過34，則該塔形中正方體的個(gè)數(shù)至少是（    ）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】設(shè)從最底層開始的第層的正方體棱長為，則為等比數(shù)列，由此求出塔形表面積的表達(dá)式，令即可得出的范圍．【詳解】設(shè)從最底層開始的第層的正方體棱長為，，，，則為以2為首頂，以為公比的等比數(shù)列，是以4為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列．塔形的表面積，令，解得，該塔形中正方體的個(gè)數(shù)至少為5個(gè)．故選：B．7．已知圓和兩點(diǎn)，，若圓上存在點(diǎn)，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】設(shè)，利用可得，再由在圓上可得，令，利用圓和直線總有公共點(diǎn)可得的取值范圍，從而求出答案.【詳解】圓的圓心為，半徑為，設(shè)，因?yàn)?/span>，可得，即①，而②，若，則，即，不合題意，所以，由①②可得，令，所以圓和直線總有公共點(diǎn)，可得即，解得，即，解得.故選：D.8．已知，為函數(shù)的零點(diǎn)，，若，則（    ）A． B．C． D．與大小關(guān)系不確定【答案】C【分析】為函數(shù)的零點(diǎn)，則可以將三個(gè)根代入方程得到三個(gè)方程，再將這三個(gè)方程進(jìn)行運(yùn)算湊出，可解出為定值，然后再根據(jù)函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)求出的范圍可得答案.【詳解】易知為函數(shù)的零點(diǎn)，又解之：，負(fù)根舍去；又，即與有三個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為，如下圖先計(jì)算過原點(diǎn)的切線方程，不妨設(shè)切點(diǎn)為切線方程為：過原點(diǎn)，此時(shí)的斜率比切線斜率小，結(jié)合圖像容易分析出，故選：C【點(diǎn)睛】函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法：(1)直接求零點(diǎn)：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)．(2)零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)．(3)利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn)． 二、多選題9．已知隨機(jī)事件A，B發(fā)生的概率分別為，下列說法正確的有（    ）A．若，則A，B相互獨(dú)立 B．若A，B相互獨(dú)立，則C．若，則 D．若，則【答案】ABC【分析】利用條件概率公式及獨(dú)立事件的定義逐項(xiàng)分析即得.【詳解】因?yàn)殡S機(jī)事件A，B發(fā)生的概率分別為，對(duì)于A，因?yàn)?/span>，所以A，B相互獨(dú)立，故A正確；對(duì)于B，若A，B相互獨(dú)立，則，故B正確；對(duì)于C，若，則，故C正確；對(duì)于D，若，則，故D錯(cuò)誤.故選：ABC10．在正方體中，點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論正確的有（    ）A．直線⊥平面B．直線平面C．異面直線AP與所成角的取值范圍是D．三棱錐體積為定值【答案】ABD【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式、法向量的性質(zhì)，結(jié)合三棱錐的體積性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】分別以DA、DC、為x，y，z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，對(duì)于A：設(shè)邊長為1，則,，所以，因?yàn)?/span>，所以，即，又平面，所以直線平面，故A正確；對(duì)于B：因?yàn)辄c(diǎn)M在線段上運(yùn)動(dòng)，所以設(shè)點(diǎn)，則，由上可知：平面的法向量為，，因?yàn)?/span>平面，所以直線平面，故B正確；對(duì)于C：，設(shè)異面直線AM與所成角為，所以，因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?/span>，所以，綜上，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D： 因?yàn)?/span>，點(diǎn)M在線段上運(yùn)動(dòng)，所以點(diǎn)P到直線的距離不變，即的面積不變，又因?yàn)辄c(diǎn)到平面的距離恒為，所以點(diǎn)到平面的距離不變，即三棱錐的高不變，所以三棱錐的體積為定值，而，故D正確，故選：ABD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵.11．已知函數(shù)（）在區(qū)間上有且僅有條對(duì)稱軸，給出下列四個(gè)結(jié)論，正確的是（    ）A．在區(qū)間上有且僅有個(gè)不同的零點(diǎn)B．的最小正周期可能是C．的取值范圍是D．在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】BC【分析】根據(jù)三角函數(shù)對(duì)稱軸情況可得的取值范圍，進(jìn)而判斷各選項(xiàng).【詳解】解：由函數(shù)（），令，，則，，函數(shù)在區(qū)間上有且僅有條對(duì)稱軸，即有個(gè)整數(shù)符合，由，得，即，則，，，，即，，C正確；對(duì)于A，，，，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上有且僅有個(gè)不同的零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上有且僅有個(gè)不同的零點(diǎn)；故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，周期，由，則，，又，所以的最小正周期可能是，故B正確；對(duì)于D，，，又，又，所以在區(qū)間上不一定單調(diào)遞增，故D錯(cuò)誤；故選：BC．12．若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn) ，則（    ）A．函數(shù)至少有一個(gè)零點(diǎn) B．或C． D．【答案】ACD【分析】對(duì)于A，只需將 代入驗(yàn)證即可，對(duì)于B，通過函數(shù)存在2個(gè)極值點(diǎn)轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)有2個(gè)變號(hào)零點(diǎn)問題，從而轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)根的分布問題即可，對(duì)于C，利用B選項(xiàng)的條件即可推導(dǎo)；對(duì)于D，計(jì)算 ，構(gòu)造函數(shù) ，求函數(shù) 的最小值即可【詳解】對(duì)于A， ， 是 的一個(gè)零點(diǎn)，故A正確對(duì)于B， 存在兩個(gè)極值點(diǎn) ， 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即 有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn) ，即 ， 又， ，解得 綜上， ，故B錯(cuò)誤對(duì)于C，由B選項(xiàng)可得， ， ， ， 故C正確對(duì)于D， 將 代入上式 令 有 在 上單調(diào)遞增， ，故D正確故選：ACD 三、填空題13．已知的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為60，則實(shí)數(shù)__________.【答案】【分析】利用所給的二項(xiàng)式寫出展開式的通項(xiàng)即可求解.【詳解】的展開式的通項(xiàng)公式為：.當(dāng)，解得：；所以由展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)為60可得： ，得，解得故答案為： 14．設(shè)計(jì)一個(gè)圓錐形包裝盒，能把一個(gè)半徑為1的小球完全裝入這個(gè)盒子（底面密封），那么這種圓錐形盒子的體積的最小值是__________.【答案】【分析】根據(jù)圓錐的幾何性質(zhì)，結(jié)合切線的性質(zhì)、圓錐的體積公式、基本不等式進(jìn)行求解即可.【詳解】當(dāng)小球與圓錐內(nèi)切時(shí)，如下圖所示的中截圖， 設(shè)圓錐的高，半徑，則圓錐的母線，顯然有，，所以有，設(shè)該圓錐的體積為，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故答案為：15．函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，對(duì)于住意的，均有恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為__________.【答案】【分析】本題沒有解析式，屬于抽象函數(shù)問題，運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)解題，把不等式轉(zhuǎn)化為的形式，根據(jù)函數(shù)單調(diào)遞減去掉f可解.【詳解】，，可化為，又在上單調(diào)遞減，在上恒成立，，令，，此時(shí)故答案為： 四、解答題16．黎曼猜想由數(shù)學(xué)家波恩哈德?黎曼于1859年提出，是至今仍未解決的世界難題.黎曼猜想研究的是無窮級(jí)數(shù)，我們經(jīng)常從無窮級(jí)數(shù)的部分和入手.請(qǐng)你回答以下問題（1）__________；（其中表示不超過的最大整數(shù)，.）（2）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，則__________.【答案】          【分析】（1）進(jìn)行放縮計(jì)算可得答案；（2）利用進(jìn)行放縮計(jì)算可得答案；【詳解】，，所以，所以；當(dāng)時(shí)，，解得，因?yàn)?/span>，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，即，所以是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以，因?yàn)?/span>，所以，所以，當(dāng)時(shí)，，即，所以，令，則，因?yàn)?/span>，，，所以，，因?yàn)?/span>，，，所以，所以，即.故答案為：①；②.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)是利用和利用進(jìn)行放縮計(jì)算，考查了學(xué)生的推理能力、運(yùn)算能力.17．某研究性學(xué)習(xí)小組對(duì)某植物種子的發(fā)芽率y與環(huán)境平均溫度x（°C）之間的關(guān)系進(jìn)行研究，他們經(jīng)過5次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)，得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：第n次12345環(huán)境平均溫度x/°C1819202122種子發(fā)芽率y62%69%71%72%76% 參考公式：.(1)若從這5次實(shí)驗(yàn)中任意抽取2次，設(shè)種子發(fā)芽率超過70%的次數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望；(2)根據(jù)散點(diǎn)圖可以發(fā)現(xiàn)，變量y與x之間呈線性相關(guān)關(guān)系．如果在第6次實(shí)驗(yàn)時(shí)將環(huán)境平均溫度仍然控制在21°C，根據(jù)回歸方程估計(jì)這次實(shí)驗(yàn)中該植物種子的發(fā)芽率．【答案】(1)分布列見解析，；(2)． 【分析】（1）由題可知的可能取值，求相應(yīng)概率可得分布列及期望；（2）根據(jù)最小二乘法可得回歸直線方程，進(jìn)而即得.【詳解】（1）由題可知的可能取值為0，1，2，則，，，所以的分布列為：0120.10.60.3 即；（2）由己知得，，所以，，即，當(dāng)?shù)?/span>6次實(shí)驗(yàn)，即時(shí)，，所以根據(jù)回歸方程估計(jì)這次實(shí)驗(yàn)中該種子的發(fā)芽率為．18．某公園要建造如圖所示的綠地為互相垂直的墻體，已有材料可建成的圍欄AB與BC的總長度為12米且.設(shè).(1)當(dāng)時(shí)，求的長；(2)當(dāng)時(shí)，求面積的最大值及此時(shí)的值.【答案】(1)(2)當(dāng)時(shí)，養(yǎng)殖場(chǎng)最大的面積為平方米. 【分析】（1）利用正弦定理，結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行求解即可.（2）根據(jù)三角形面積公式、正弦定理，結(jié)合輔助角公式、正弦型函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）連接，設(shè)，在中，由正弦定理可知：，在中，由正弦定理可知：，于是有，而，解得，負(fù)值舍去，因此，即；（2）由題意，，所以，而， ，因此，所以，而，所以垂直且平分，因此，，在△中，由正弦定理，得．于是，．當(dāng)，即時(shí)，取到最大值，最大值為．因此，當(dāng)時(shí)，養(yǎng)殖場(chǎng)最大的面積為平方米.19．已知數(shù)列的前項(xiàng)和.數(shù)列的前項(xiàng)和滿足關(guān)系式.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.【答案】(1)；(2)證明見詳解 【分析】（1）已知數(shù)列的前項(xiàng)和求通項(xiàng)公式，公式為：；（2）寫出的通項(xiàng)公式，然后運(yùn)用錯(cuò)位相減法可以求其前項(xiàng)和的表達(dá)式，進(jìn)而證明不等式.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，（2）由（1）知當(dāng)時(shí)，滿足；當(dāng)時(shí)，，故只需證：，左邊顯然成立；令得：，成立.故原式得證.20．如圖，四棱錐P-ABCD的底面為梯形，底面ABCD，，，，E為PA的中點(diǎn)．(1)證明：平面平面BCE；(2)若二面角P-BC-E的余弦值為，求三棱錐P-BCE的體積．【答案】(1)證明見解析；(2). 【分析】（1）線面垂直的性質(zhì)可得，若為中點(diǎn)，連接，由正方形的性質(zhì)及勾股定理可得，再由線面垂直的性質(zhì)有面，最后根據(jù)面面垂直的判定證結(jié)論.（2）構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，設(shè)求相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，再求面、面的法向量，應(yīng)用空間向量夾角的坐標(biāo)表示，結(jié)合二面角的余弦值求參數(shù)m，最后求、向量法求到面的距離，再由體積公式求棱錐的體積.【詳解】（1）因?yàn)?/span>底面ABCD，面，則，由，，則，又，則，若為中點(diǎn)，連接，易知：為正方形，則，又，即，所以，綜上，，即，又，則面，又面，所以平面平面BCE.（2）由題設(shè)，可構(gòu)建如下圖示的空間直角坐標(biāo)系，若，則，，，，，所以，，，若為面的一個(gè)法向量，則，令，則，若為面的一個(gè)法向量，則，令，則，所以，整理得，所以，即，易得：，由底面ABCD，面，則，又，即，由，則面，面，即，所以在直角△中，，在△中，、、，即，則，所以.由上有：且面的一個(gè)法向量，則，故到面的距離，所以.21．已知橢圓C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為和，且橢圓經(jīng)過點(diǎn).(1)求橢圓C的方程；(2)若，橢圓C上四點(diǎn)M，N，P，Q滿足，，求直線MN的斜率.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)題意得到c=1，再將點(diǎn)代入橢圓方程求解；（2）設(shè)，，，，，由得到，根據(jù)，都在橢圓上，得到，同理得，兩式相減求解.【詳解】（1）解：由題意可知，c=1，設(shè)橢圓方程為，將點(diǎn)代入橢圓方程，得，解得（舍），，所以橢圓方程為.（2）設(shè)，，，，，因?yàn)?/span>，所以，即，又，都在橢圓上，所以，，即，②-①得，即……③，又，同理得……④④-③得，所以.22．己知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有唯一極值點(diǎn)．(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)證明：在區(qū)間內(nèi)有唯一零點(diǎn)，且．【答案】(1)(2)證明見解析 【分析】（1）根據(jù)極值點(diǎn)的定義，求導(dǎo)，進(jìn)而求導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，研究零點(diǎn)左右與零大小關(guān)系，可得答案；（2）由（1）明確函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，分別在兩個(gè)單調(diào)區(qū)間上，利用零點(diǎn)存在性定理，證明零點(diǎn)唯一存在，根據(jù)單調(diào)性證明不等式成立.【詳解】（1），①當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，所以，，，在上單調(diào)遞增，沒有極值點(diǎn)，不合題意，舍去；②當(dāng)時(shí)，令，則，因?yàn)?/span>，所以，所以在上遞增，又因?yàn)?/span>，，所以在上有唯一零點(diǎn)，且，所以，；，，所以在上有唯一極值點(diǎn)，符合題意.綜上，.（2）由（1）知，所以時(shí)，，所以，，單調(diào)遞減；，，單調(diào)遞增，所以時(shí)，，則，又因?yàn)?/span>，所以在上有唯一零點(diǎn)，即在上有唯一零點(diǎn).因?yàn)?/span>，由（1）知，所以，則，構(gòu)造，所以，記，則，顯然在上單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，由前面討論可知：，，且在單調(diào)遞增，所以.【點(diǎn)睛】在利用導(dǎo)數(shù)證明不等式成立時(shí)，一定明確單調(diào)區(qū)間，在同一單調(diào)區(qū)間上，由函數(shù)值的大小關(guān)系，可得自變量的大小關(guān)系，探究函數(shù)的單調(diào)性，可通過研究導(dǎo)數(shù)過著導(dǎo)數(shù)中部分代數(shù)式所構(gòu)成函數(shù)的單調(diào)性，求其最值，可得函數(shù)的單調(diào)性. 

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