1．（2021·江西）二次函數的圖象交軸于原點及點．
感知特例
（1）當時，如圖1，拋物線上的點，，，，分別關于點中心對稱的點為，，，，，如下表：
①補全表格；
②在圖1中描出表中對稱后的點，再用平滑的曲線依次連接各點，得到的圖象記為．
形成概念
我們發(fā)現(xiàn)形如（1）中的圖象上的點和拋物線上的點關于點中心對稱，則稱是的“孔像拋物線”．例如，當時，圖2中的拋物線是拋物線的“孔像拋物線”．
探究問題
（2）①當時，若拋物線與它的“孔像拋物線”的函數值都隨著的增大而減小，則的取值范圍為_______；
②在同一平面直角坐標系中，當取不同值時，通過畫圖發(fā)現(xiàn)存在一條拋物線與二次函數的所有“孔像拋物線”，都有唯一交點，這條拋物線的解析式可能是______．（填“”或“”或“”或“”，其中）；
③若二次函數及它的“孔像拋物線”與直線有且只有三個交點，求的值．
【答案】（1）①2，0；②見解析；（2）①；②；③m=1．
【解析】
【分析】
（1）①根據中心對稱的定義求解即可；②根據表格，描點，連線即可；
（2）①畫出草圖，利用數形結合思想即可求解；②結合（1）②的圖象以及（2）①的圖象即可回答；③根據“孔像拋物線”的性質求得圖象L的頂點為，則圖象L′的頂點為 (3m，)，再根據題意即可求解．
【詳解】
（1）∵點B(-1，3)與點B′(5，-3)關于點A中心對稱，
∴點A的坐標為(，)，即A(2，0)，
故答案為：2，0；
②描點，連線，得到的圖象如圖所示：
（2）①當m=?1時，拋物線L為，對稱軸為，
它的“孔像拋物線”L′的解析式為，對稱軸為，
畫出草圖如圖所示：
∴拋物線L與它的“孔像拋物線”L′的函數值都隨著x的增大而減小，
則x的取值范圍為：；
②畫出草圖，
由圖象知，這條拋物線的解析式只能是；
故答案為：；
③L：，設頂點為，過點P作PM⊥軸于點M，“孔像拋物線”的頂點為，過點作⊥x軸于點，
由題意可知△PMA≌△A，
得 (3m，0)，所以 (3m，)，
∵拋物線L及“孔像拋物線”與直線y=m有且只有三個交點，
∴=m或=m，
解得m=1或0，
當m=0時，與只有一個交點，不合題意，舍去，
∴m=1．
【點睛】
本題考查了待定系數法求二次函數的解析式及二次函數的圖象與性質，數形結合并熟練掌握二次函數的相關性質是解題的關鍵．
2．（2020·江西）已知拋物線（，，是常數，）的自變量與函數值的部分對應值如下表：
（1）根據以上信息，可知拋物線開口向 ，對稱軸為 ；
（2）求拋物線的表達式及的值；
（3）請在圖1中畫出所求的拋物線，設點為拋物線上的動點，的中點為，描出相應的點，再把相應的點用平滑的曲線連接起來，猜想該曲線是哪種曲線？
（4）設直線（）與拋物線及（3）中的點所在曲線都有兩個交點，交點從左到右依次為，，，，請根據圖象直接寫出線段，之間的數量關系 ．
【答案】（1）上，；（2），；（3）圖象見解析，中點的軌跡為拋物線；（4）．
【解析】
【分析】
（1）由表中數據分析即可得到開口方向，及對稱軸；
（2）代入，解方程組，即可求得表達式；代入即可得到的值；
（3）根據要求畫出函數圖象，并觀察猜想即可；
（4）根據題目要求，畫出圖象，觀察得結論即可．
【詳解】
（1）由表可知：；，x=2,y=-3可知拋物線開后方向向上；
由表可知：；，可知拋物線的對稱軸為：
故答案為：上，
（2）由表可知：代入點得
，解得
∴拋物線的表達式為：
當時，
當時，
（3）作圖如下：
OP中點連接后的圖象如圖所示：為拋物線
（4）如圖所示：可得
【點睛】
本題考查了二次函數的探究題，能根據表格求出拋物線的解析式，是解題的關鍵．
3．（2019·江西）在圖1，2，3中，已知，，點為線段上的動點，連接，以為邊向上作菱形，且．
（1）如圖1，當點與點重合時，________°；
（2）如圖2，連接．
①填空：_________（填“>”，“

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