一、單選題
1．過點(diǎn)(2,1)且與直線3x－2y＝0垂直的直線方程為( )
A．x－3y－1＝0 B．2x＋3y－7＝0
C．3x－2y－4＝0 D．3x＋2y－8＝0
2．直線l1：(a＋3)x＋y＋4＝0與直線l2：x＋(a－1)y＋4＝0垂直，則直線l1在x軸上的截距是( )
A．－4 B．－2
C．2 D．4
3．已知直線l1：2x－ay＋1＝0，l2：(a－1)x－y＋a＝0，則“a＝2”是“l(fā)1∥l2”的( )
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
4．經(jīng)過兩條直線l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交點(diǎn)，且直線的一個方向向量v＝(－3,2)的直線方程為( )
A．2x＋3y－5＝0 B．2x＋y＋2＝0
C．x＋2y－2＝0 D．x－y－7＝0
5．已知直線l過點(diǎn)(2,3)和(－2,1)，則原點(diǎn)到直線l的距離為( )
A.eq \f(\r(5),5) B．eq \f(2\r(5),5)
C．eq \f(4\r(5),5) D．3
6．已知直線2x＋y－3＝0與直線4x－my－3＝0平行，則它們之間的距離是( )
A.eq \f(3\r(5),5) B．eq \f(\r(5),10)
C．eq \f(3\r(5),10) D．eq \f(\r(5),5)
7．已知兩定點(diǎn)A(－3,5)、B(2,8)，動點(diǎn)P在直線x－y＋1＝0上，則|PA|＋|PB|的最小值為( )
A．5eq \r(13) B．eq \r(34)
C．5eq \r(5) D．2eq \r(26)
8．瑞士數(shù)學(xué)家歐拉在《三角形的幾何學(xué)》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，這條直線被稱為歐拉線．已知△ABC的頂點(diǎn)A(－1,0)，B(1,0)，C(1,1)，若直線l：ax＋(a－3)y＋1＝0與△ABC的歐拉線垂直，則直線l與△ABC的歐拉線的交點(diǎn)坐標(biāo)為( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)，\f(3,5))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,5)，\f(3,5)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)，－\f(3,5))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,5)，－\f(3,5)))
二、多選題
9．已知A(1,2)，B(－3,4)，C(－2,0)，則( )
A．直線x－y＝0與線段AB有公共點(diǎn)
B．直線AB的傾斜角大于135°
C．△ABC的邊BC上的中垂線所在直線的方程為y＝2
D．△ABC的邊BC上的高所在直線的方程為x－4y＋7＝0
10．已知三條直線：直線l1：ax＋y－3＝0，l2：x＋y－1＝0，l3：2x－y－5＝0不能圍成一個封閉圖形，則實(shí)數(shù)a的值可以是( )
A．－2 B．1
C．2 D．3
11．已知直線l1：ax＋2y＋3a＝0和直線l2：3x＋(a－1)y＋7－a＝0，下列說法正確的是( )
A．當(dāng)a＝eq \f(2,5)時，l1⊥l2
B．當(dāng)a＝－2時，l1∥l2
C．直線l1過定點(diǎn)(－3,0)，直線l2過定點(diǎn)(－1,1)
D．當(dāng)l1，l2平行時，兩直線的距離為eq \f(5,13)eq \r(13)
三、填空題
12．若A(3,4)，B(－6，－3)兩點(diǎn)到直線l：tx＋y－3＝0的距離相等，則t＝ .
13．點(diǎn)(1,2)關(guān)于直線2x－3y－9＝0對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為 .
14．過點(diǎn)P(1,2)引一直線l，使點(diǎn)A(2,3)和B(4，－5)到l的距離相等，則直線l的方程是 .
四、解答題
15．已知△ABC的頂點(diǎn)B(－2,0)，AB邊上的高所在的直線方程為x＋3y－26＝0.
(1)求直線AB的方程；
(2)在兩個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中并作答．
①角A的平分線所在直線方程為x＋y－2＝0；
②BC邊上的中線所在的直線方程為y＝3.
若________________，求直線AC的方程．
注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分．
INCLUDEPICTURE "B組.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\大樣\\人教數(shù)學(xué)\\B組.TIF" \* MERGEFORMATINET 【B級 能力提升】
1．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則直線xsin A＋ay＋c＝0與直線bx－ysin B＋sin C＝0的位置關(guān)系是( )
A．平行 B．垂直
C．重合 D．相交但不垂直
2．若直線l與兩條直線y＝1，x－y－7＝0分別交于P、Q兩點(diǎn)，線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－1)，則l的方程是( )
A．3x－2y－5＝0 B．2x－3y－5＝0
C．2x＋3y＋1＝0 D．3x＋2y－1＝0
3．(多選題)已知三條直線l1：x－2y＋2＝0，l2：x－2＝0，l3：x＋my＝0將平面分為六個部分．則滿足條件的m可以是( )
A．－1 B．－2
C．eq \f(1,2) D．0
4．已知A(－3,0)，B(0,3)，從點(diǎn)P(0,2)射出的光線經(jīng)x軸反射到直線AB上，又經(jīng)過直線AB反射到P點(diǎn)，則光線所經(jīng)過的路程為( )
A．2eq \r(10) B．6
C．eq \r(26) D．2eq \r(6)
5．若△ABC的一個頂點(diǎn)是A(3，－1)，∠B，∠C的角平分線方程分別為x＝0，y＝x，則BC邊所在的直線方程為 .
參考答案
【A級 基礎(chǔ)鞏固】
一、單選題
1．( B )[解析] 設(shè)要求的直線方程為2x＋3y＋m＝0，把點(diǎn)(2,1)代入可得4＋3＋m＝0，解得m＝－7.可得要求的直線方程為2x＋3y－7＝0.故選B.
2．( B )[解析] ∵直線l1：(a＋3)x＋y＋4＝0與直線l2：x＋(a－1)y＋4＝0垂直，∴(a＋3)×1＋1×(a－1)＝0，∴a＝－1，∴直線l1：2x＋y＋4＝0，令y＝0，可得x＝－2，所以直線l1在x軸上的截距是－2，故選B.
3．( C )[解析] l1∥l2?eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a?a－1?＝2,a2≠1))?a＝2.故選C.
4．( A )[解析] eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝2，,2x－y＝1))?x＝y(tǒng)＝1，即交點(diǎn)為(1,1)，又斜率k＝－eq \f(2,3)，∴所求直線方程為y－1＝－eq \f(2,3)(x－1)，即2x＋3y－5＝0.故選A.
5．( C )[解析] kl＝eq \f(3－1,2－?－2?)＝eq \f(1,2)，∴l(xiāng)：y－1＝eq \f(1,2)[x－(－2)]，即l：x－2y＋4＝0，∴d＝eq \f(4,\r(5))＝eq \f(4\r(5),5).故選C.
6．( C )[解析] ∵直線2x＋y－3＝0與直線4x－my－3＝0，即2x－eq \f(m,2)y－eq \f(3,2)＝0平行，∴兩平行線之間的距離d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－3－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2))))),\r(22＋1))＝eq \f(3\r(5),10).故選C.
7．( D )[解析] 如下圖所示：
由圖形可知，點(diǎn)A、B在直線x－y＋1＝0的同側(cè)，且直線x－y＋1＝0的斜率為1，設(shè)點(diǎn)B關(guān)于直線x－y＋1＝0的對稱點(diǎn)為點(diǎn)B′(a，b)，則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a＋2,2)－\f(b＋8,2)＋1＝0，,\f(b－8,a－2)＝－1，))解得a＝7，b＝3，即點(diǎn)B′(7,3)，由對稱性可知|PA|＋|PB|＝|PA|＋|PB′|≥|AB′|＝eq \r(?－3－7?2＋?5－3?2)＝2eq \r(26)，故選D.
8．( B )[解析] 由△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)，可知其重心為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－1＋1＋1,3)，\f(1,3)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,3))).注意到kAB＝0，直線BC斜率不存在，則△ABC為直角三角形，則其垂心為其直角頂點(diǎn)B(1,0)，則△ABC的歐拉線方程為eq \f(y－\f(1,3),0－\f(1,3))＝eq \f(x－\f(1,3),1－\f(1,3))?y＝－eq \f(1,2)x＋eq \f(1,2).因其與l：ax＋(a－3)y＋1＝0?y＝eq \f(－a,a－3)x－eq \f(1,a－3)垂直，則eq \f(－a,a－3)＝2?a＝2.則l：y＝2x＋1，則直線l與△ABC的歐拉線的交點(diǎn)坐標(biāo)滿足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝－\f(1,2)x＋\f(1,2)，,y＝2x＋1))?eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－\f(1,5)，,y＝\f(3,5)，))即交點(diǎn)為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,5)，\f(3,5))).故選B.
二、多選題
9．( BD )[解析] 因?yàn)閗OA＝2>1，kOB＝－eq \f(4,3)－1，所以直線AB的傾斜角大于135°，B正確；因?yàn)榫€段BC的中點(diǎn)為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)，2))，且直線BC的斜率為eq \f(4－0,－3＋2)＝－4，所以BC上的中垂線所在直線的方程為y－2＝eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(5,2)))，即y＝eq \f(1,4)x＋eq \f(21,8)，C錯誤；因?yàn)閗BC＝eq \f(4,－3＋2)＝－4，所以BC上的高所在直線的方程為y－2＝eq \f(1,4)(x－1)，即x－4y＋7＝0，D正確．
10．( ABC )[解析] 若l1，l2，l3中有兩條相互平行，或三條線過同一點(diǎn)都不可以圍成封閉圖形，若l1∥l2，由兩直線平行與斜率之間的關(guān)系可得a＝1；若l1∥l3，由兩直線平行與斜率之間的關(guān)系可得a＝－2；聯(lián)立l2，l3可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－1＝0，,2x－y－5＝0，))可知l2，l3的交點(diǎn)為(2，－1)，若l1，l2，l3交于同一點(diǎn)，可得a＝2，故選ABC.
11．( AD )[解析] 對于A，當(dāng)a＝eq \f(2,5)時，那么直線l1為eq \f(2,5)x＋2y＋eq \f(6,5)＝0，直線l2為3x－eq \f(3,5)y＋7－eq \f(2,5)＝0，此時兩直線的斜率分別為k1＝－eq \f(1,5)和k2＝5，所以有k1·k2＝－1，所以l1⊥l2，故A選項(xiàng)正確；對于B，當(dāng)a＝－2時，那么直線l1為x－y＋3＝0，直線l2為x－y＋3＝0，此時兩直線重合，故B選項(xiàng)錯誤；對于C，由直線l1：ax＋2y＋3a＝0，整理可得a(x＋3)＋2y＝0，故直線l1過定點(diǎn)(－3,0)，直線l2：3x＋(a－1)y＋7－a＝0，整理可得a(y－1)＋3x－y＋7＝0，故直線l2過定點(diǎn)(－2,1)，故C選項(xiàng)錯誤；對于D，當(dāng)l1，l2平行時，兩直線的斜率相等，即－eq \f(2,a)＝－eq \f(a－1,3)，解得a＝3或a＝－2，當(dāng)a＝－2時，兩直線重合，舍去；當(dāng)a＝3時，直線l1為3x＋2y＋9＝0，l2為3x＋2y＋4＝0，此時兩直線的距離d＝eq \f(|9－4|,\r(32＋22))＝eq \f(5\r(13),13)，故D選項(xiàng)正確．故選AD.
三、填空題
12．[解析] 因?yàn)锳(3,4)，B(－6，－3)兩點(diǎn)到直線l：tx＋y－3＝0的距離相等，所以eq \f(|3t＋4－3|,\r(1＋t2))＝eq \f(|－6t－3－3|,\r(t2＋1))，得到|3t＋1|＝|6t＋6|，解得t＝－eq \f(5,3)或t＝－eq \f(7,9).
13．[解析] 設(shè)點(diǎn)(1,2)關(guān)于直線2x－3y－9＝0對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是(a，b)，則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(b－2,a－1)×\f(2,3)＝－1，,2×\f(1＋a,2)－3×\f(2＋b,2)－9＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝5，,b＝－4，))所以點(diǎn)(1,2)關(guān)于直線2x－3y－9＝0對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是(5，－4)．
14．[解析] A，B的中點(diǎn)為Q(3，－1)，由幾何意義知l∥AB或l是直線PQ時，滿足題意．kAB＝eq \f(3－?－5?,2－4)＝－4，kPQ＝eq \f(2－?－1?,1－3)＝－eq \f(3,2)；l∥AB時，l方程為y－2＝－4(x－1)，即4x＋y－6＝0，PQ方程為y－2＝－eq \f(3,2)(x－1)，即3x＋2y－7＝0；故直線l的方程是3x＋2y－7＝0或4x＋y－6＝0.
四、解答題
15．[解析] (1)因?yàn)锳B邊上的高所在的直線方程為x＋3y－26＝0，
所以直線AB的斜率k＝3，
又因?yàn)椤鰽BC的頂點(diǎn)B(－2,0)，
所以直線AB的方程為y＝3(x＋2)，
即3x－y＋6＝0.
(2)若選①，角A的平分線所在直線方程為x＋y－2＝0，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－2＝0，,y＝3x＋6，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝3，))
所以點(diǎn)A坐標(biāo)為A(－1,3)，
設(shè)點(diǎn)B關(guān)于x＋y－2＝0的對稱點(diǎn)為B′(x0，y0)，
則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(y0－0,x0＋2)＝1，,\f(x0－2,2)＋\f(y0,2)－2＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝2，,y0＝4，))即B′(2,4)，
又點(diǎn)B′(2,4)在直線AC上，
所以AC的斜率kAC＝eq \f(4－3,2＋1)＝eq \f(1,3)，
所以直線AC的方程為y－4＝eq \f(1,3)(x－2)，
即x－3y＋10＝0.
若選②：BC邊上的中線所在的直線方程為y＝3，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝3，,y＝3x＋6，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝3，))所以點(diǎn)A(－1,3)，
設(shè)點(diǎn)C(x1，y1)，則BC的中點(diǎn)在直線y＝3上，
所以eq \f(y1＋0,2)＝3，即y1＝6，又點(diǎn)C(x1,6)在直線x＋3y－26＝0上，所以C(8,6)，
所以AC的斜率kAC＝eq \f(6－3,8＋1)＝eq \f(1,3)，所以直線AC的方程為y－6＝eq \f(1,3)(x－8)，即直線AC的方程為x－3y＋10＝0.
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1．( B )[解析] 在△ABC中，由eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)得eq \f(b,sin B)·eq \f(sin A,a)＝1.
又直線xsin A＋ay＋c＝0的斜率k1＝－eq \f(sin A,a)，直線bx－ysin B＋sin C＝0的斜率k2＝eq \f(b,sin B)，
所以k1·k2＝－eq \f(sin A,a)·eq \f(b,sin B)＝－1，
所以這兩條直線垂直．故選B.
2．( C )[解析] 設(shè)P(a,1)，則由題意知Q(2－a，－3)，∴2－a＋3－7＝0，即a＝－2，∴P(－2,1)，∴kl＝eq \f(1－?－1?,－2－1)＝－eq \f(2,3)，
∴l(xiāng)的方程為y＋1＝－eq \f(2,3)(x－1)，即2x＋3y＋1＝0，故選C.
3．( ABD )[解析] 因?yàn)槿龡l直線l1：x－2y＋2＝0，l2：x－2＝0，l3：x＋my＝0將平面分為六個部分，所以三條直線交于一點(diǎn)或兩條平行線與第三條直線相交，當(dāng)三條直線交于一點(diǎn)時，聯(lián)立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2y＋2＝0，,x－2＝0，))解得x＝y(tǒng)＝2，此時2＋2m＝0，即m＝－1，當(dāng)兩條平行線與第三條直線相交時，可得l1∥l3或l2∥l3，當(dāng)l1∥l3時，m＝－2，當(dāng)l2∥l3時，m＝0，所以m＝－2或m＝0.故選ABD.
4．( C )[解析] 直線AB的方程為y＝x＋3，設(shè)點(diǎn)P(0,2)關(guān)于y＝x＋3的對稱點(diǎn)為P1(a，b)，則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(b－2,a)＝－1，,\f(b＋2,2)＝\f(a,2)＋3，))得a＝－1，b＝3，即P1(－1,3)，點(diǎn)P(0,2)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為P2(0，－2)，由題意可知，如圖，點(diǎn)P1，P2都在光線CD上，并且利用對稱性可知，|DP|＝|DP1|，|CP|＝|CP2|，所以光線經(jīng)過的路程|PC|＋|CD|＋|DP|＝|P2C|＋|CD|＋|DP1|＝|P1P2|＝eq \r(26).故選C.
5．[解析] ∵∠B，∠C的角平分線方程分別為x＝0，y＝x，∴AB與BC關(guān)于x＝0對稱，AC與BC關(guān)于y＝x對稱，∴A(3，－1)關(guān)于x＝0的對稱點(diǎn)A′(－3，－1)在直線BC上，A關(guān)于y＝x的對稱點(diǎn)A″(－1,3)也在直線BC上，代入兩點(diǎn)式方程可得eq \f(y－3,－1－3)＝eq \f(x－?－1?,－3－?－1?)，故所求直線BC的方程為2x－y＋5＝0.

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