一、單選題
1．已知橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，F(xiàn)為其左焦點(diǎn)，直線y＝kx(k>0)與橢圓C交于點(diǎn)A，B，且AF⊥AB.若∠ABF＝30°，則橢圓C的離心率為( )
A.eq \f(\r(7),3) B．eq \f(\r(6),3)
C．eq \f(\r(7),6) D．eq \f(\r(6),6)
2．焦距為2eq \r(2)，并且截直線y＝2x－1所得弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是eq \f(2,7)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為( )
A．x2＋eq \f(y2,3)＝1
B．x2＋3y2＝1
C.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,12)＝1
D．x2＋eq \f(y2,3)＝1或eq \f(x2,3)＋y2＝1
3．已知橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F2，過右焦點(diǎn)作x軸垂線交橢圓于B、C兩點(diǎn)，連接BO并延長交AC于點(diǎn)M，若M為AC的中點(diǎn)，則橢圓的離心率為( )
A.eq \f(1,2) B．eq \f(\r(2),2)
C．eq \f(2,3) D．eq \f(\r(3),2)
4．斜率為1的直線l與橢圓eq \f(x2,4)＋y2＝1相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|的最大值為( )
A．2 B．eq \f(4\r(5),5)
C．eq \f(4\r(10),5) D．eq \f(8\r(10),5)
5．已知橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F1，過左焦點(diǎn)F1作傾斜角為eq \f(π,6)的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且eq \(AF1,\s\up6(→))＝3eq \(F1B,\s\up6(→))，則橢圓C的離心率為( )
A.eq \f(1,2) B．eq \f(2,3)
C．eq \f(\r(3),3) D．eq \f(2\r(2),3)
6．已知F是橢圓C的一個焦點(diǎn)，B是短軸的一個端點(diǎn)，線段BF的延長線交橢圓C于點(diǎn)D，且eq \(BF,\s\up6(→))＝2eq \(FD,\s\up6(→))，則橢圓C的離心率為( )
A.eq \f(\r(3),3) B．eq \f(\r(3),2)
C．eq \f(1,3) D．eq \f(\r(2),2)
7．設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，若橢圓E上存在點(diǎn)P滿足eq \(PF1,\s\up6(→))·eq \(PF2,\s\up6(→))＝eq \f(a2,2)，則橢圓E離心率的取值范圍( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(2),2))) B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(2),2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))) D．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))
二、多選題
8．如圖所示，用一個與圓柱底面成θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(00)的離心率為eq \f(\r(2),2)，左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，在橢圓E上任取一點(diǎn)P，△F1PF2的周長為4(eq \r(2)＋1)．
(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為Q，過右焦點(diǎn)F2作與直線PQ垂直的直線交橢圓E于A、B兩點(diǎn)，求|AB|的取值范圍．
14．已知橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，點(diǎn)Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))在橢圓C上，且eq \(MA1,\s\up6(→))·eq \(MA2,\s\up6(→))＝－eq \f(3,4).
(1)求橢圓C的方程；
(2)設(shè)橢圓C的右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F斜率不為0的直線l交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，記直線MP與直線MQ的斜率分別為k1，k2，當(dāng)k1＋k2＝0時(shí)，求△MPQ的面積．
INCLUDEPICTURE "B組.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\大樣\\人教數(shù)學(xué)\\B組.TIF" \* MERGEFORMATINET 【B級 能力提升】
1．已知橢圓C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的左、右頂點(diǎn)分別為A、B，P為C上異于A、B的一點(diǎn)，直線PA，PB與直線x＝4分別交于M、N兩點(diǎn)，則|MN|的最小值為( )
A.eq \f(15,2) B．7
C．eq \f(13,2) D．6
2．已知橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，直線y＝kx(k>0)與C交于M，N兩點(diǎn)(其中M在第一象限)，若M，F(xiàn)1，N，F(xiàn)2四點(diǎn)共圓，則C的離心率e的取值范圍是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1)) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，1))
C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3)－1,2)，1)) D．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2)))
3．已知過橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)左焦點(diǎn)F且與長軸垂直的弦長為3eq \r(2)，過點(diǎn)P(2,1)且斜率為－1的直線與C相交于A，B兩點(diǎn)，若P恰好是AB的中點(diǎn)，則橢圓C上一點(diǎn)M到F的距離的最大值為( )
A．6 B．2eq \r(2)＋3
C．2eq \r(3)＋3 D．3eq \r(2)＋3
4．已知F1，F(xiàn)2是橢圓C的兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)M在C上，且|MF1|·|MF2|的最大值是它的最小值的2倍，則橢圓的離心率為 .
5．已知A，B是橢圓C：eq \f(x2,3)＋y2＝1上的兩點(diǎn)．
(1)若直線AB的斜率為1，求|AB|的最大值；
(2)線段AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)N(t,0)，求t的取值范圍．
參考答案
【A級 基礎(chǔ)鞏固】
一、單選題
1．( A )[解析] 設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F2，連接AF2，BF2，故四邊形AFBF2為平行四邊形，
設(shè)|AF|＝m，∠ABF＝30°，則|FB|＝2m，
|BF2|＝|AF|＝m，
|BF|＋|BF2|＝2m＋m＝2a，m＝eq \f(2,3)a，
在△BFF2中，
(2c)2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)a))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)a))2－2×eq \f(4,3)a×eq \f(2,3)a×cs 120°，整理得到4c2＝eq \f(28a2,9)，即c＝eq \f(\r(7),3)a，故e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(7),3).故選A.
2．( A )[解析] 設(shè)橢圓方程為eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1，m>0，n>0，m≠n，
直線y＝2x－1與橢圓相交的兩點(diǎn)坐標(biāo)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題意可知x1＋x2＝eq \f(4,7)，
所以y1＋y2＝(2x1－1)＋(2x2－1)＝2(x1＋x2)－2＝2×eq \f(4,7)－2＝－eq \f(6,7)，
又eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,1),m)＋\f(y\\al(2,1),n)＝1，,\f(x\\al(2,2),m)＋\f(y\\al(2,2),n)＝1，))兩式相減得eq \f(x\\al(2,1)－x\\al(2,2),m)＋eq \f(y\\al(2,1)－y\\al(2,2),n)＝0，
整理得eq \f(?x1＋x2??x1－x2?,m)＝－eq \f(?y1＋y2??y1－y2?,n)，所以2＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(2n,3m)，即n＝3m.
又c＝n－m＝eq \r(2)，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n＝m＋2，,n＝3m，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n＝3，,m＝1，))
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋eq \f(y2,3)＝1.故選A.
3．( A )[解析] 當(dāng)x＝c時(shí)，eq \f(c2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1，∴y＝±eq \f(b2,a)，
∴A(－a,0)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，\f(b2,a)))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，－\f(b2,a)))，O(0,0)，
故Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c－a,2)，－\f(b2,2a)))，
∴eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c－a,2)，－\f(b2,2a)))，eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，\f(b2,a)))，
又eq \(OM,\s\up6(→))∥eq \(OB,\s\up6(→))，所以eq \f(c－a,2)·eq \f(b2,a)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b2,2a)))c＝0，∴a＝2c，∴e＝eq \f(1,2).故選A.
4．( C )[解析] 設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，直線l的方程為y＝x＋t，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋4y2＝4，,y＝x＋t))消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0，
則x1＋x2＝－eq \f(8,5)t，x1x2＝eq \f(4?t2－1?,5).
∴|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|
＝eq \r(1＋k2)·eq \r(?x1＋x2?2－4x1x2)
＝eq \r(2)·eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(8,5)t))2－4×\f(4?t2－1?,5))＝eq \f(4\r(2),5)·eq \r(5－t2)，
當(dāng)t＝0時(shí)，|AB|max＝eq \f(4\r(10),5).故選C.
5．( C )[解析] 設(shè)F1(－c,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，過點(diǎn)F1傾斜角為eq \f(π,6)的直線方程為x＝eq \r(3)y－c，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，,x＝\r(3)y－c，))得(a2＋3b2)y2－2eq \r(3)b2cy－b4＝0，
所以y1＋y2＝eq \f(2\r(3)b2c,a2＋3b2)，y1y2＝－eq \f(b4,a2＋3b2)，①
因?yàn)閑q \(AF1,\s\up6(→))＝3eq \(F1B,\s\up6(→))，所以y1＝－3y2，②
由①②得eq \f(3c2,a2＋3b2)＝eq \f(1,3)，所以a2＋3b2＝9c2，
聯(lián)立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＋3b2＝9c2，,a2＝b2＋c2，))得a2＝3c2，e2＝eq \f(1,3)?e＝eq \f(\r(3),3).故選C.
6．( A )[解析] 不妨設(shè)橢圓方程為eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，橢圓另一焦點(diǎn)為E，由于B是短軸的一個端點(diǎn)，所以|BF|＝|BE|＝eq \r(|BO|2＋|OF|2)＝eq \r(b2＋c2)＝a，又eq \(BF,\s\up6(→))＝2eq \(FD,\s\up6(→))，所以|FD|＝eq \f(1,2)a，由橢圓定義可得|DE|＝2a－|DF|＝2a－eq \f(1,2)a＝eq \f(3,2)a，由于∠DBE＝2∠FBO，所以cs∠DBE＝cs 2∠FBO，故eq \f(|BD|2＋|BE|2－|DE|2,2|BD||BE|)＝1－2sin2∠FBO＝1－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,a)))2，即eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3a,2)))2＋a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3a,2)))2,2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3a,2)))a)＝1－2e2，解得e＝eq \f(\r(3),3)，故選A.
7．( B )[解析] 設(shè)P(x0，y0)，由橢圓的方程可得F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，eq \(PF1,\s\up6(→))·eq \(PF2,\s\up6(→))＝eq \f(a2,2)，
則(－c－x0，－y0)·(c－x0，－y0)＝eq \f(a2,2)，
即xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)＝eq \f(a2,2)＋c2，
由P在橢圓上得eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)＝1，所以yeq \\al(2,0)＝b2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(x\\al(2,0),a2)))，
所以可得eq \f(c2,a2)·xeq \\al(2,0)＋b2＝eq \f(a2,2)＋c2，
所以xeq \\al(2,0)＝eq \f(4a2c2－a4,2c2).又xeq \\al(2,0)∈[0，a2]，
0≤eq \f(4a2c2－a4,2c2)≤a2，解得：eq \f(1,2)≤eq \f(c,a)≤eq \f(\r(2),2)，
即e∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(2),2))).故選B.
二、多選題
8．( BCD )[解析] 設(shè)橢圓的長半軸長為a，短半軸長為b，半焦距為c，橢圓長軸在圓柱底面上的投影為圓柱底面圓直徑，則由截面與圓柱底面成銳二面角θ＝eq \f(π,3)得：2a＝eq \f(4,cs θ)＝8，解得a＝4，A不正確；顯然b＝2，則c＝eq \r(a2－b2)＝2eq \r(3)，離心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),2)，B正確；當(dāng)以橢圓長軸所在直線為x軸，短軸所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1，C正確；橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為a－c＝4－2eq \r(3)，D正確．故選BCD.
9．( AC )[解析] 根據(jù)題意，因?yàn)榻裹c(diǎn)在y軸上，所以m2－2＝4，則m2＝6，故選項(xiàng)A正確；橢圓C的離心率為e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2,\r(6))＝eq \f(\r(6),3)，故選項(xiàng)B不正確；根據(jù)點(diǎn)差法的結(jié)論可得kl·kOP＝－eq \f(6,2)＝－3，所以kl＝－3，所以直線l的方程為y－eq \f(1,2)＝－3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))，即3x＋y－2＝0，故選項(xiàng)C正確；因?yàn)橹本€l過F1，所以△F2MN的周長為4a＝4eq \r(6)，故選項(xiàng)D不正確，故選AC.
10．( AC )[解析] 曲線C：mx2＋(1－m)y2＝1為焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq \f(y2,\f(1,1－m))＋eq \f(x2,\f(1,m))＝1，其中a2＝eq \f(1,1－m)，b2＝eq \f(1,m)，
因?yàn)镃的焦點(diǎn)在y軸上，所以eq \f(1,1－m)>eq \f(1,m)>0，即eq \f(1,2)

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