一、單選題
1．下列結論中正確的是( )
A．各個面都是三角形的幾何體是三棱錐
B．兩個面平行且相似，其余各面都是梯形的幾何體是棱臺
C．棱錐的側棱長與底面多邊形的邊長相等，則該棱錐可能是六棱錐
D．圓錐的頂點與底面圓周上的任一點的連線都是母線
2．圓錐SO的底面圓半徑OA＝1，側面的平面展開圖的面積為3π，則此圓錐的體積為( )
A.eq \f(2\r(2),3)π B．eq \f(2\r(3),3)π
C.eq \f(4\r(2),3)π D．eq \f(8\r(3),3)π
3．如圖1，在高為h的直三棱柱容器ABC－A1B1C1內灌進一些水，水深為2，然后固定容器底面的一邊AB于地面上，再將容器傾斜，當傾斜到某一位置時，水面恰好為A1B1C(如圖2)，則容器的高h為( )
A．3 B．4
C．4eq \r(2) D．6
4．最早的測雨器記載見于南宋數學家秦九韶所著的《數書九章》(1247年)．該書第二章為“天時類”，收錄了有關降水量計算的四個例子，分別是“天池測雨”“圓罌測雨”“峻積驗雪”和“竹器驗雪”．如圖“竹器驗雪”法是下雪時用一個圓臺形的器皿收集雪量(平地降雪厚度＝器皿中積雪體積除以器皿口面積)，已知數據如圖(注意：單位cm)，則平地降雪厚度的近似值為( )
A.eq \f(91,12) cm B．eq \f(31,4) cm
C．eq \f(95,12) cm D．eq \f(97,12) cm
5．已知圓柱的側面積等于上、下底面積之和，圓柱的體積與表面積的數值相同，則該圓柱的高為( )
A．8 B．4
C．2 D．1
6. 如圖，已知圓錐底面圓的直徑AB與側棱SA，SB構成邊長為2eq \r(3)的正三角形，點C是底面圓上異于A，B的動點，則S，A，B，C四點所在球面的面積是( )
A．4π B．eq \f(32,3)π
C．16π D．與點C的位置有關
7.如圖是一個圓柱，圓柱內有一個內切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等．設圓柱的體積與球的體積之比為m，圓柱的表面積與球的表面積之比為n，則eq \f(m,n)的值為( )
A.eq \f(2,3) B．1
C．eq \f(3,2) D．eq \f(9,4)
8．如圖，青銅器的上半部分可以近似看作圓柱體，下半部分可以近似看作兩個圓臺的組合體，已知AB＝9 cm，CD＝3 cm，則該青銅器的體積為( )
A.eq \f(87\r(3)π,2) cm3 B．eq \f(87\r(3)π,4) cm3
C．43eq \r(3)π cm3 D．eq \f(43\r(3)π,2) cm3
9．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝eq \r(3)，點D在棱BC上運動，若AD＋DB1的最小值為eq \r(13)，則三棱柱ABC－A1B1C1的外接球的表面積為( )
A．8π B．16π
C．20π D．32π
二、多選題
10．三星堆遺址，位于四川省廣漢市，距今約三千到五千年.2021年2月4日，在三星堆遺址祭祀坑區(qū)4號坑發(fā)現了玉琮．玉琮是一種內圓外方的筒型玉器，是一種古人用于祭祀的禮器．假定某玉琮中間內空，形狀對稱，如圖所示，圓筒內徑長2 cm，外徑長3 cm，筒高4 cm，中部為棱長是3 cm的正方體的一部分，圓筒的外側面內切于正方體的側面，則( )
A．該玉琮的體積為18＋eq \f(3π,4)(cm3)
B．該玉琮的體積為27－eq \f(7π,4)(cm3)
C．該玉琮的表面積為54＋π(cm2)
D．該玉琮的表面積為54＋9π(cm2)
11．等腰直角三角形直角邊長為1，現將該三角形繞其某一邊旋轉一周，則所形成的幾何體的表面積可以為( )
A.eq \r(2)π B．(1＋eq \r(2))π
C．2eq \r(2)π D．(2＋eq \r(2))π
12．如圖，AD與BC分別為圓臺上、下底面直徑，aAD∥BC，若AB＝3，AD＝2，BC＝4，則( )
A.圓臺的全面積為14π
B．圓臺的體積為14eq \r(2)π
C．圓臺的中截面(過圓臺高的中點且平行底面的截面)面積為eq \f(5π,2)
D．從點A經過圓臺的表面到點C的最短距離為3eq \r(3)
三、填空題
13．在圓錐PO中，O為底面圓心，PA，PB為圓錐的母線，且AB＝eq \r(2)，若棱錐O－PAB為正三棱錐，則該圓錐的側面積為 .
14．已知正四棱臺A′B′C′D′－ABCD內接于半徑為1的球O，且球心O是四邊形ABCD的中心，若該棱臺的側棱與底面ABCD所成的角是60°，則該棱臺的體積為 .
15. 鱉臑(biē nà)出自《九章算術·商功》，指的是四個面均為直角三角形的三棱錐，如圖所示的鱉臑S－ABC中，SC⊥BC，SC⊥AC，AB⊥BC，且AB·BC＝10，SC＝eq \r(5)，則其外接球體積的最小值為 .
INCLUDEPICTURE "B組.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\大樣\\人教數學\\B組.TIF" \* MERGEFORMATINET 【B級 能力提升】
1．一個圓臺的上底面半徑為1，下底面半徑為2，高為2，以該圓臺的上底面為底面，挖去一個半球，則剩余部分幾何體的體積為( )
A.eq \f(11,3)π B．eq \f(10,3)π
C．4π D．3π
2．一個圓錐的側面展開圖是一個半圓，則該圓錐的內切球的表面積和圓錐的側面積的比為( )
A．2∶3 B．3∶2
C．1∶2 D．3∶4
3．甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側面展開圖的圓心角之和為2π，側面積分別為S甲和S乙，體積分別為V甲和V乙．若eq \f(S甲,S乙)＝2，則eq \f(V甲,V乙)＝( )
A.eq \r(5) B．2eq \r(2)
C．eq \r(10) D．eq \f(5\r(10),4)
4．已知某圓柱的軸截面是邊長為2的正方形ABCD，在該圓柱的底面內任取一點E，則當四棱錐E－ABCD的體積最大時，該四棱錐的側面積為( )
A．1＋eq \r(2)＋eq \r(5) B．1＋2eq \r(2)＋eq \r(5)
C．1＋eq \r(2)＋2eq \r(5) D．eq \r(2)＋2eq \r(5)
5．(多選題)正四棱錐P－ABCD的底面邊長是4，側棱長為4eq \r(2)，則( )
A．正四棱錐P－ABCD的體積為32eq \r(6)
B．側棱與底面所成角為eq \f(π,3)
C．其外接球的半徑為eq \f(4,3)eq \r(6)
D．其內切球的半徑為eq \f(\r(6)?\r(7)－1?,3)
參考答案
【A級 基礎鞏固】
一、單選題
1．( D )[解析] 當一個幾何體由具有相同的底面且頂點在底面兩側的兩個三棱錐構成時，盡管各面都是三角形，但它不是三棱錐，故A錯誤；如右圖可知，B錯誤；若六棱錐的所有棱都相等，則底面多邊形是正六邊形，由幾何圖形知，若以正六邊形為底面，則側棱長必須要大于底面邊長，故C錯誤．選D.
2．( A )[解析] 設母線長為l，則S＝eq \f(1,2)×2π·1·l＝3π，∴l(xiāng)＝3，∴高SO＝eq \r(32－1)＝2eq \r(2)，∴V＝eq \f(1,3)·π×12×2eq \r(2)＝eq \f(2\r(2),3)π，故選A.
3．( A )[解析] 由題意知水的體積為容器體積的eq \f(2,3)，故h＝3.
4．( C )[解析] 如圖所示，可求得器皿中雪表面的半徑為eq \f(20＋40,4)＝15 cm，所以平地降雪厚度的近似值為eq \f(\f(1,3)π×20×?102＋152＋10×15?,π×202)＝eq \f(95,12) cm.故選C.
5．( B )[解析] 設底面圓的半徑為r，高為h，則由題意可知，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2πrh＝2πr2，,πr2h＝2πr2＋2πrh，))解得h＝r＝4.所以該圓柱的高為4.故選B.
6. ( C )[解析] 如圖，設底面圓的圓心為O，S，A，B，C四點所在球面的球心為O1，連接SO，則SO⊥平面ABC，且O1在線段SO上，易知SO＝3，AO＝eq \r(3).設球O1的半徑為R，在Rt△O1AO中，由勾股定理得(3－R)2＋(eq \r(3))2＝R2，解得R＝2.故球面面積為4πR2＝16π.
7.( B )[解析] 設球的半徑為r，則圓柱的底面半徑為r，高為2r，依題意eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(πr2·2r,\f(4π,3)·r3)＝m，,\f(2πr2＋2πr·2r,4πr2)＝n，))eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(3,2)＝m,\f(3,2)＝n))?eq \f(m,n)＝1.故選B.
8．( A )[解析] 青銅器的最上面的圓柱的體積V1＝π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))2×2eq \r(3)＝eq \f(9,2)eq \r(3)π cm3，中間的圓臺的體積為eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,4)π＋\f(81,4)π＋\r(\f(9,4)π·\f(81,4)π)))×3eq \r(3)＝eq \f(117,4)eq \r(3)π cm3，最下面的圓臺的體積為eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,4)π＋\f(81,4)π＋\r(\f(9,4)π·\f(81,4)π)))×eq \r(3)＝eq \f(39,4)eq \r(3)π cm3.所以該青銅器的體積為V1＋V2＋V3＝eq \f(87\r(3)π,2) cm3.故選A.
9．( A )[解析] 如圖，將△ABC與矩形BB1C1C展開至同一平面，易知∠ABB1＝150°.設BB1＝x，由題意知AD＋DB1的最小值為AB1，即AB1＝eq \r(13).由余弦定理可得ABeq \\al(2,1)＝AB2＋BBeq \\al(2,1)－2AB·BB1cs∠ABB1，即x2＋3x－10＝0，解得x＝2或x＝－5(舍去)．設△ABC的外接圓的半徑為r，則2r＝eq \f(AB,sin 60°)＝2，即r＝1，設三棱柱ABC－A1B1C1的外接球的半徑為R，設正△ABC中心為M，在△OMA中，OA＝R，OM＝eq \f(AA1,2)＝1，AM＝1，則R2＝r2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(AA1,2)))2＝2，故三棱柱ABC－A1B1C1的外接球的表面積為4πR2＝8π.故選A.
二、多選題
10．( BD )[解析] 由圖可知，組合體的體積V＝π×4×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))2－12))＋3×3×3－π×3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))2＝27－eq \f(7π,4)(cm3)，
組合體的表面積S＝3π×1＋2×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(3×3－π×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))2))＋3×3×4＋2π×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))2－12))＋2π×4＝54＋9π(cm2)．故選BD.
11．( AB )[解析] 繞直角邊旋轉形成的幾何體為圓錐，其表面積S＝πrl＋πr2＝π×1×eq \r(2)＋π×12＝(eq \r(2)＋1)π.
如果繞斜邊旋轉，形成的是上下兩個圓錐，圓錐的半徑是直角三角形斜邊的高eq \f(\r(2),2)，兩個圓錐的母線都是直角三角形的直角邊，母線長是1，所以形成的幾何體的表面積S＝2×πrl＝2×π×eq \f(\r(2),2)×1＝eq \r(2)π.故選AB.
12．( AD )[解析] 對A選項：圓臺的全面積為π×12＋π×22＋π×(1＋2)×3＝14π，故A正確；對于B選項：圓臺的體積為eq \f(1,3)(π×12＋π×22＋π×eq \r(12×22))×2eq \r(2)＝eq \f(14\r(2)π,3)，故B錯誤；對于C選項：易知圓臺的軸截面ABCD為等腰梯形，其中位線為中截面圓的直徑，所以中截面圓的半徑長為eq \f(2＋4,4)＝eq \f(3,2)，所以中截面圓的面積為π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))2＝eq \f(9π,4)，故C錯誤；對于D選項：將圓臺沿著軸截面ABCD切開，將圓臺的側面的一半展開如圖所示，延長BA、CD交于點M，在圓臺的軸截面等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝eq \f(1,2)BC，易知A，D分別為BM，CM的中點，所以AM＝DM＝AB＝3，設∠AMD＝θ，則 eq \\ac(AD,\s\up10(︵)) ＝3θ＝π，則θ＝eq \f(π,3)，在△ACM中，AM＝3，CM＝6，∠AMD＝eq \f(π,3)，由余弦定理可得AC＝eq \r(AM2＋CM2－2AM·CMcs \f(π,3))＝eq \r(32＋62－2×3×6×\f(1,2))＝3eq \r(3)，因此，從點A經過圓臺的表面到點C的最短距離為3eq \r(3)，故D正確．故選AD.
三、填空題
13．[解析] 由題意知AB＝PA＝PB＝eq \r(2)，又PO⊥平面AOB，∴PO⊥OA，又PO＝OA，∴OA＝1，∴S圓錐側＝π·OA·PA＝eq \r(2)π.
14．[解析] 由題意可知該棱臺的側棱長為1，棱臺的高為eq \f(\r(3),2)，上底面邊長為eq \f(\r(2),2)，下底面邊長為eq \r(2)，所以該棱臺的體積是eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＋2＋\r(\f(1,2)×2)))×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(7\r(3),12).
15. [解析] 因為SC⊥BC，SC⊥AC，BC∩AC＝C，BC，AC?平面ABC，所以SC⊥平面ABC，因為AB⊥BC，故AC為△ABC外接圓的直徑。從而可知SA為外接球的直徑，SA＝eq \r(SC2＋AB2＋BC2)≥eq \r(5＋2AB·BC)＝5，當且僅當AB＝BC＝eq \r(10)時取等號。故其外接球體積的最小值為eq \f(4,3)π·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(SA,2)))3＝eq \f(125,6)π.
INCLUDEPICTURE "B組.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\大樣\\人教數學\\B組.TIF" \* MERGEFORMATINET 【B級 能力提升】
1．( C )[解析] ∵V圓臺＝eq \f(1,3)×2×(π×12＋eq \r(π×12×π×22)＋π×22)＝eq \f(14π,3)，V半球＝eq \f(1,2)×eq \f(4π,3)×13＝eq \f(2π,3)，∴剩余部分幾何體的體積為V圓臺－V半球＝4π.故選C.
2．( A )[解析] 設圓錐的底面半徑為r，母線長為l，則根據題意可得，2πr＝πl(wèi)，即l＝2r，∴S側＝πrl＝2πr2，設內切球的半徑為R，則eq \f(1,2)(l＋l＋2r)R＝eq \f(1,2)×2req \r(l2－r2)，解得R＝eq \f(\r(3),3)r，所以該圓錐的內切球的表面積為4πR2＝eq \f(4πr2,3)，所以該圓錐的內切球的表面積和圓錐的側面積的比為eq \f(4πr2,3)∶2πr2＝2∶3，故選A.
3．( C )[解析] 設母線長為l，甲圓錐底面半徑為r1，乙圓錐底面圓半徑為r2，則eq \f(S甲,S乙)＝eq \f(πr1l,πr2l)＝eq \f(r1,r2)＝2，所以r1＝2r2，
又eq \f(2πr1,l)＋eq \f(2πr2,l)＝2π，則eq \f(r1＋r2,l)＝1，
所以r1＝eq \f(2,3)l，r2＝eq \f(1,3)l，
所以甲圓錐的高h1＝eq \r(l2－\f(4,9)l2)＝eq \f(\r(5),3)l，
乙圓錐的高h2＝eq \r(l2－\f(1,9)l2)＝eq \f(2\r(2),3)l，
所以eq \f(V甲,V乙)＝eq \f(\f(1,3)πr\\al(2,1)h1,\f(1,3)πr\\al(2,2)h2)＝eq \f(\f(4,9)l2×\f(\r(5),3)l,\f(1,9)l2×\f(2\r(2),3)l)＝eq \r(10).故選C.
4．( B )[解析] 四棱錐體積VE－ABCD＝eq \f(1,3)SABCD·d，其中d為E到AD的距離，因為正方形ABCD的面積為定值，所以當E為 eq \\ac(AD,\s\up10(︵)) 的中點時，四棱錐的體積最大，連接OE，O1E，此時其側面積S＝eq \f(1,2)AD·OE＋eq \f(1,2)AB·AE＋eq \f(1,2)CD·DE＋eq \f(1,2)BC·O1E＝1＋2eq \r(2)＋eq \r(5).
5．( BCD )[解析] 由題意知正四棱錐的高PO＝eq \r(PA2－AO2)＝2eq \r(6)，∴VP－ABCD＝eq \f(1,3)PO·SABCD＝eq \f(32\r(6),3)，∴A錯；側棱PA與底面所成角為∠PAO，在Rt△PAO中cs∠PAO＝eq \f(AO,PA)＝eq \f(1,2)，∴∠PAO＝eq \f(π,3)，∴B對；設外接球的球心為O2，半徑為R，則eq \r(R2－8)＋R＝2eq \r(6)，∴R＝eq \f(4,3)eq \r(6)，∴C對．設四棱錐內切球球心為O1，N為BC的中點，球切平面PBC于H，則H∈PN，由△PO1H∽△PNO得eq \f(2\r(6)－r,2\r(7))＝eq \f(r,2)(r為內切球半徑)，解得r＝eq \f(\r(6)?\r(7)－1?,3).
另解：VP－ABCD＝eq \f(r,3)SP－ABCD，即eq \f(32\r(6),3)＝eq \f(r,3)(16＋4S△PBC)＝eq \f(r,3)(16＋16eq \r(7))，解得r＝eq \f(\r(6)?\r(7)－1?,3).∴D對．故選BCD.

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