2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-空間幾何體的結(jié)構(gòu)、表面積和體積-專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練【含答案】

這是一份2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-空間幾何體的結(jié)構(gòu)、表面積和體積-專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練【含答案】，共12頁(yè)。試卷主要包含了基本技能練，創(chuàng)新拓展練等內(nèi)容，歡迎下載使用。

一、基本技能練
1.下列說(shuō)法中，正確的是( )
A.棱柱的側(cè)面可以是三角形
B.若棱柱有兩個(gè)側(cè)面是矩形，則該棱柱的其他側(cè)面也是矩形
C.正方體的所有棱長(zhǎng)都相等
D.棱柱的所有棱長(zhǎng)都相等
2.如圖所示的等腰梯形是一個(gè)幾何圖形的斜二測(cè)直觀圖，其底角為45°，上底和腰均為1，下底為eq \r(2)＋1，則此直觀圖對(duì)應(yīng)的平面圖形的面積為( )
A.1＋eq \r(2) B.2＋eq \r(2)
C.2＋2eq \r(2) D.4＋2eq \r(2)
3.如圖所示，正方體的棱長(zhǎng)為2，以其所有面的中心為頂點(diǎn)的多面體的體積為( )
A.4 B.eq \f(4,3)
C.eq \f(2,3) D.3
4.已知在梯形ABCD中，∠ABC＝eq \f(π,2)，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，則將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的表面積為( )
A.(5＋eq \r(2))π B.(4＋eq \r(2))π
C.(5＋2eq \r(2))π D.(3＋eq \r(2))π
5.如圖，位于西安大慈恩寺的大雁塔，是唐代玄奘法師為保存經(jīng)卷、佛像而主持修建的，是我國(guó)現(xiàn)存最早的四方樓閣式磚塔.塔頂可以看成一個(gè)正四棱錐，其側(cè)棱與底面所成的角為45°，則該正四棱錐的一個(gè)側(cè)面與底面的面積之比為( )
A.eq \r(3)∶2 B.eq \r(2)∶2
C.eq \r(3)∶3 D.eq \r(3)∶4
6.過(guò)圓錐的軸作截面，如果截面為正三角形，則稱(chēng)該圓錐為等邊圓錐.已知在一等邊圓錐中，過(guò)頂點(diǎn)P的截面與底面交于CD，若∠COD＝90°(O為底面圓心)，且S△PCD＝eq \f(\r(7),2)，則這個(gè)等邊圓錐的表面積為( )
A.2π＋eq \r(2)π B.3π
C.2π＋eq \r(3)π D.π＋eq \r(3)π
7.如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，ED⊥平面ABCD，F(xiàn)C⊥平面ABCD，ED＝2FC＝2，則四面體ABEF的體積為( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(2,3)
C.1 D.eq \f(4,3)
8.黃金分割是指將整體一分為二，較大部分與整體部分的比值等于較小部分與較大部分的比值，其比值為eq \f(\r(5)－1,2)，約為0.618.這個(gè)比例被公認(rèn)為是最能引起美感的比例，因此被稱(chēng)為黃金比.在幾何世界中有很多黃金圖形，在三角形中，如果相鄰兩邊之比等于黃金比，且它們夾角的余弦值為黃金比值，那么這個(gè)三角形一定是直角三角形，且這個(gè)三角形稱(chēng)為黃金分割直角三角形.在正四棱錐中，以黃金分割直角三角形的長(zhǎng)直角邊作為正四棱錐的高，黃金分割直角三角形的短直角邊的邊長(zhǎng)作為底面正方形的邊心距(正多邊形的邊心距是正多邊形的外接圓圓心到正多邊形某一邊的距離)，斜邊作為正四棱錐的斜高，這樣得到的正四棱錐稱(chēng)為黃金分割正四棱錐.在黃金分割正四棱錐中，以該正四棱錐的高為邊長(zhǎng)的正方形的面積與該正四棱錐的側(cè)面積之比為( )
A.eq \f(\r(5)－1,2) B.eq \f(\r(5)＋1,2)
C.1 D.eq \f(1,4)
9.如圖，在棱長(zhǎng)為eq \r(2)的正方體ABCD－A′B′C′D′中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是棱A′B′，B′C′，CD的中點(diǎn)，則由點(diǎn)E，F(xiàn)，G確定的平面截正方體所得的截面多邊形的面積等于________.
10.已知圓錐的頂點(diǎn)為S，底面圓周上的兩點(diǎn)A，B滿足△SAB為等邊三角形，且面積為4eq \r(3)，又知圓錐軸截面的面積為8，則圓錐的側(cè)面積為_(kāi)_______.
11.如圖，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱長(zhǎng)均為2，點(diǎn)D在棱AA1上，則三棱錐D－BB1C1的體積為_(kāi)_______.
12.已知三棱錐S－ABC中，∠SAB＝∠ABC＝eq \f(π,2)，SB＝4，SC＝2eq \r(13)，AB＝2，BC＝6，則三棱錐S－ABC的體積為_(kāi)_______.
二、創(chuàng)新拓展練
13.(多選)攢尖是我國(guó)古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，宋代稱(chēng)為撮尖，清代稱(chēng)攢尖，通常有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、八角攢尖，也有單檐和重檐之分，多見(jiàn)于亭閣式建筑、園林建筑.下面以四角攢尖為例，如圖，它的屋頂部分的輪廓可近似看作一個(gè)正四棱錐.已知此正四棱錐的側(cè)面與底面所成的銳二面角為θ，這個(gè)角接近30°.若取θ＝30°，側(cè)棱長(zhǎng)為eq \r(21)米，則( )
A.正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為6米
B.正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為3米
C.正四棱錐的側(cè)面積為24eq \r(3)平方米
D.正四棱錐的側(cè)面積為12eq \r(3)平方米
14.(多選)如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，線段B1D1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)，且EF＝eq \f(1,2)，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是( )
A.AC⊥AF
B.EF∥平面ABCD
C.三棱錐A－BEF的體積為定值
D.△AEF的面積與△BEF的面積相等
15.(多選)《九章算術(shù)》是《算經(jīng)十書(shū)》中最重要的一部，其中將有三條棱互相平行且有一個(gè)面為梯形的五面體稱(chēng)為“羨除”，則( )
A.“羨除”有且僅有兩個(gè)面為三角形
B.“羨除”一定不是臺(tái)體
C.不存在有兩個(gè)面為平行四邊形的“羨除”
D.“羨除”至多有兩個(gè)面為梯形
16.(多選)如圖，四邊形ABCD為正方形，ED⊥平面ABCD，F(xiàn)B∥ED，AB＝ED＝2FB.記三棱錐E－ACD，F(xiàn)－ABC，F(xiàn)－ACE的體積分別為V1，V2，V3，則( )
A.V3＝2V2 B.V3＝V1
C.V3＝V1＋V2 D.2V3＝3V1
參考答案與解析
一、基本技能練
1.答案 C
解析 棱柱的側(cè)面都是平行四邊形，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
其他側(cè)面可能是平行四邊形，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
棱柱的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)并不一定相等，選項(xiàng)D錯(cuò)誤；
易知選項(xiàng)C正確.
2.答案 B
解析 ∵平面圖形的直觀圖是一個(gè)底角為45°，腰和上底長(zhǎng)均為1的等腰梯形，
∴平面圖形為直角梯形，且直角腰長(zhǎng)為2，上底邊長(zhǎng)為1，下底邊長(zhǎng)為eq \r(2)＋1，
∴平面圖形的面積S＝eq \f(1＋1＋\r(2),2)×2＝2＋eq \r(2).故選B.
3.答案 B
解析 易知該幾何體是由上、下兩個(gè)全等的正四棱錐組成的，其中正四棱錐底面邊長(zhǎng)為eq \r(2)，棱錐的高為1，所以該多面體的體積V＝2×eq \f(1,3)×(eq \r(2))2×1＝eq \f(4,3).
4.答案 A
解析 因?yàn)樵谔菪蜛BCD中，∠ABC＝eq \f(π,2)，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，
所以將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體是一個(gè)底面半徑為1，高為2的圓柱挖去一個(gè)底面半徑為1，高為1的圓錐后剩余的部分，如圖所示.
所以該幾何體的表面積S＝π×12＋2π×1×2＋π×1×eq \r(12＋12)＝(5＋eq \r(2))π.
5.答案 D
解析 設(shè)塔頂是正四棱錐P－ABCD(如圖)，PO是正四棱錐的高.
設(shè)正四棱錐底面邊長(zhǎng)為a，則底面面積S1＝a2，
因?yàn)锳O＝eq \f(\r(2),2)a，∠PAO＝45°，
所以PA＝eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)a＝a，
所以△PAB是正三角形，其面積為
S2＝eq \f(\r(3),4)a2，
所以S2∶S1＝eq \f(\r(3),4)a2∶a2＝eq \r(3)∶4.
6.答案 B
解析 如圖，連接PO，設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為2a，則圓錐的底面圓的半徑為a，高為PO＝eq \r(3)a.
由已知得CD＝eq \r(2)a，PC＝PD＝2a，
則S△PCD＝eq \f(1,2)×eq \r(2)a×eq \r(（\r(3)a）2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)a))\s\up12(2))＝eq \f(\r(7),2)，
從而可得a＝1，
圓錐的表面積為πa×2a＋πa2＝3πa2＝3π.
7.答案 B
解析 ∵ED⊥平面ABCD且AD?平面ABCD，
∴ED⊥AD.
∵在正方形ABCD中，AD⊥DC，
又DC∩ED＝D，DC，ED?平面CDEF，
∴AD⊥平面CDEF.
易知FC＝eq \f(ED,2)＝1，VA－BEF＝VABCDEF－VF－ABCD－VA－DEF.
∵VE－ABCD＝eq \f(1,3)·ED·S正方形ABCD＝eq \f(1,3)×2×2×2＝eq \f(8,3)，
VB－EFC＝eq \f(1,3)·BC·S△EFC＝eq \f(1,3)×2×2×1×eq \f(1,2)＝eq \f(2,3)，
∴VABCDEF＝VE－ABCD＋VB－EFC＝eq \f(8,3)＋eq \f(2,3)＝eq \f(10,3).
又VF－ABCD＝eq \f(1,3)·FC·S正方形ABCD＝eq \f(1,3)×1×2×2＝eq \f(4,3)，
VA－DEF＝eq \f(1,3)·AD·S△DEF＝eq \f(1,3)×2×2×2×eq \f(1,2)＝eq \f(4,3)，
∴VA－BEF＝VABCDEF－VF－ABCD－VA－DEF＝eq \f(10,3)－eq \f(4,3)－eq \f(4,3)＝eq \f(2,3).故選B.
8.答案 D
解析 如圖，在黃金分割正四棱錐P－ABCD中，O是正方形ABCD的中心，
PE是正四棱錐的斜高，設(shè)OE＝a，則CD＝2a，
∴Rt△POE為黃金分割直角三角形，
則eq \f(OE,PE)＝eq \f(\r(5)－1,2)，
∴PE＝eq \f(\r(5)＋1,2)a，
則PO＝eq \r(PE2－OE2)＝eq \r(\f(1＋\r(5),2))a，
∴以該正四棱錐的高為邊長(zhǎng)的正方形的面積S＝PO2＝eq \f(1＋\r(5),2)a2，
又正四棱錐的四個(gè)側(cè)面是全等的，
∴S側(cè)＝4S△PCD＝4×eq \f(1,2)×CD×PE＝2(1＋eq \r(5))a2，
∴該正四棱錐的高為邊長(zhǎng)的正方形的面積與該正四棱錐的側(cè)面積之比為eq \f(1,4).
9.答案 eq \f(3\r(3),2)
解析 分別取AD，CC′和AA′的中點(diǎn)為P，M，N，
可得出過(guò)E，F(xiàn)，G三點(diǎn)的平面截正方體所得截面為正六邊形EFMGPN，
則正六邊形的邊長(zhǎng)MG＝eq \r(CG2＋CM2)＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))\s\up12(2))＝1，
故截面多邊形的面積S＝6×eq \f(\r(3),4)×12＝eq \f(3\r(3),2).
10.答案 8eq \r(2)π
解析 設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，由△SAB為等邊三角形，且面積為4eq \r(3)，
所以eq \f(1,2)l2sin eq \f(π,3)＝4eq \r(3)，
解得l＝4；
又設(shè)圓錐底面半徑為r，高為h，
則由軸截面的面積為8，得rh＝8；
又r2＋h2＝l2＝16，解得r＝h＝2eq \r(2)，
所以圓錐的側(cè)面積S＝πrl＝π·2eq \r(2)·4＝8eq \r(2)π.
11.答案 eq \f(2\r(3),3)
解析 如圖，取BC的中點(diǎn)O，連接AO.
∵正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱長(zhǎng)均為2，
∴AC＝2，OC＝1，
則AO＝eq \r(3).
∵AA1∥平面BCC1B1，
∴點(diǎn)D到平面BCC1B1的距離為eq \r(3).
又S△BB1C1＝eq \f(1,2)×2×2＝2，
∴VD－BB1C1＝eq \f(1,3)×2×eq \r(3)＝eq \f(2\r(3),3).
12.答案 4eq \r(3)
解析 ∵∠ABC＝eq \f(π,2)，AB＝2，BC＝6，
∴AC＝eq \r(AB2＋BC2)＝eq \r(22＋62)＝2eq \r(10).
∵∠SAB＝eq \f(π,2)，AB＝2，SB＝4，
∴AS＝eq \r(SB2－AB2)＝eq \r(42－22)＝2eq \r(3).
由SC＝2eq \r(13)，得AC2＋AS2＝SC2，
∴AC⊥AS.
又∵SA⊥AB，AC∩AB＝A，AC，AB?平面ABC，
∴AS⊥平面ABC.
∴AS為三棱錐S－ABC的高，
∴V三棱錐S－ABC＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×2×6×2eq \r(3)＝4eq \r(3).
二、創(chuàng)新拓展練
13.答案 AC
解析 如圖，在正四棱錐S－ABCD中，O為正方形ABCD的中心，H為AB的中點(diǎn)，
則∠SHO為側(cè)面SAB與底面ABCD所成的銳二面角，
且SH⊥AB，∠SHO＝30°，設(shè)底面邊長(zhǎng)為2a，
所以O(shè)H＝AH＝a，OS＝eq \f(\r(3),3)a，
SH＝eq \f(2\r(3),3)a.
在Rt△SAH中，a2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(3),3)a))eq \s\up12(2)＝21，
解得a＝3，
所以正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為6米，側(cè)面積為S＝eq \f(1,2)×6×2eq \r(3)×4＝24eq \r(3)(平方米).
14.答案 AD
解析 由題意及圖形知，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)B1重合時(shí)，∠CAF＝60°，故A錯(cuò)誤；
由正方體ABCD－A1B1C1D1的兩個(gè)底面平行，EF?平面A1B1C1D1，知EF∥平面ABCD，故B正確；
由幾何體的性質(zhì)及圖形知，三角形BEF的面積是定值，點(diǎn)A到平面DD1B1B的距離是定值，故可得三棱錐A－BEF的體積為定值，故C正確；
由圖形可以看出，B到直線EF的距離與A到直線EF的距離不相等，故△AEF的面積與△BEF的面積不相等，故D錯(cuò)誤.故選AD.
15.答案 ABC
解析 由題意知AE∥BF∥CD，四邊形ACDE為梯形，
如圖所示.選項(xiàng)A，由題意知“羨除”有且僅有兩個(gè)面為三角形，故A正確；
選項(xiàng)B，因?yàn)锳E∥BF∥CD，
所以“羨除”一定不是臺(tái)體，故B正確；
選項(xiàng)C，假設(shè)四邊形ABFE和四邊形BCDF為平行四邊形，
則AE∥BF∥CD，且AE＝BF＝CD，
即四邊形ACDE為平行四邊形，與已知四邊形ACDE為梯形矛盾，故不存在，故C正確；
選項(xiàng)D，若AE≠BF≠CD，則“羨除”有三個(gè)面為梯形，故D錯(cuò)誤.故選ABC.
16.答案 CD
解析 如圖，連接BD交AC于O，連接OE，OF.
設(shè)AB＝ED＝2FB＝2，
則AB＝BC＝CD＝AD＝2，F(xiàn)B＝1.
因?yàn)镋D⊥平面ABCD，F(xiàn)B∥ED，
所以FB⊥平面ABCD，
所以V1＝VE－ACD＝eq \f(1,3)S△ACD·ED＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)AD·CD·ED＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×2×2×2＝eq \f(4,3)，
V2＝VF－ABC＝eq \f(1,3)S△ABC·FB＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)AB·BC·FB＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×2×2×1＝eq \f(2,3).
因?yàn)镋D⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以ED⊥AC，
又AC⊥BD，且ED∩BD＝D，ED，BD?平面BDEF，所以AC⊥平面BDEF.
因?yàn)镺E，OF?平面BDEF，
所以AC⊥OE，AC⊥OF.
易知AC＝BD＝eq \r(2)AB＝2eq \r(2)，OB＝OD＝eq \f(1,2)BD＝eq \r(2)，OF＝eq \r(OB2＋FB2)＝eq \r(3)，
OE＝eq \r(OD2＋ED2)＝eq \r(6)，
EF＝eq \r(BD2＋（ED－FB）2)
＝eq \r(（2\r(2)）2＋（2－1）2)＝3，
所以EF2＝OE2＋OF2，所以O(shè)F⊥OE.
又OE∩AC＝O，OE，AC?平面ACE，
所以O(shè)F⊥平面ACE，
所以V3＝VF－ACE＝eq \f(1,3)S△ACE·OF
＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)AC·OE·OF
＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×2eq \r(2)×eq \r(6)×eq \r(3)＝2，
所以V3≠2V2，V1≠V3，V3＝V1＋V2，2V3＝3V1，所以選項(xiàng)A，B不正確，選項(xiàng)C，D正確.故選CD.