四川省成都市某校2024-2025學年九年級上學期10月月考數(shù)學試題（解析版）-A4

這是一份四川省成都市某校2024-2025學年九年級上學期10月月考數(shù)學試題（解析版）-A4，共22頁。試卷主要包含了 如圖，已知，，，，則的長為等內容，歡迎下載使用。
A卷（共100分）
一．選擇題（共8小題，每小題4分，滿分32分）
1. 用一個平面截長方體，得到如圖的幾何體，它在我國古代數(shù)學名著《九章算術》中被稱為“塹堵”、“塹堵”的俯視圖是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題主要考查了簡單幾何體的三視圖，根據(jù)俯視圖是從上面看到的圖形進行求解即可．
【詳解】解：從上面看，看到的圖形是一個長方形，即看到的圖形如下：
，
故選：C．
2. 如圖，菱形的周長為，對角線長為，則它的面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此題重點考查菱形的性質、菱形的周長和面積公式、勾股定理等知識，正確地求出的長是解題的關鍵．根據(jù)菱形的性質求得，，由，得，則，所以，則，于是得到問題的答案．
【詳解】解：四邊形是菱形，且周長為，長為，
，，
，
，
，
，
，
故選：A
3. 如圖，已知，，，，則的長為（ ）

A. 6B. C. 7D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查平行線分線段成比例定理等知識．由，推出，推出，可得結論．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故選：B．
4. 若關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則m的值可能是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，可得，解出m的取值范圍即可進行判斷．
【詳解】解：根據(jù)題意，得，
解得，
∵，
故選：A．
【點睛】本題考查了一元二次方程根的情況，熟練掌握根的判別式是解題的關鍵．
5. 中國古代數(shù)學有著輝煌的成就，《周髀算經》、《算學啟蒙》、《測圓海鏡》、《四元玉鑒》是我國古代數(shù)學的重要文獻．某中學擬從這4部數(shù)學名著中選擇2部作為校本課程“數(shù)學文化”的學習內容，恰好選中《周髀算經》的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題主要考查了樹狀圖法或列表法求解概率：先畫出樹狀圖得到所有等可能性的結果數(shù)，再找恰好選中《周髀算經》的結果數(shù)，最后依據(jù)概率計算公式求解即可．
【詳解】解：設分別用A、B、C、D表示《周髀算經》、《算學啟蒙》、《測圓海鏡》、《四元玉鑒》，列表如下：
由表格可知，一共有12種等可能性的結果數(shù)，其中選擇2部作為校本課程“數(shù)學文化”的學習內容，恰好選中《周髀算經》的結果數(shù)有6種，
∴選擇2部作為校本課程“數(shù)學文化”的學習內容，恰好選中《周髀算經》的概率為，
故選：B.
6. 已知 是一元二次方程的兩個根，則的值是（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)關系的應用，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)關系是解題的關鍵．通分：，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系：，可得出答案．
【詳解】解：根據(jù)題意得，，
則＝＝．
故選：D．
7. 在平面直角坐標系中，已知點，以原點O為位似中心，相似比為，把縮小，則點A的對應點的坐標是（ ）
A. B.
C 或D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)位似比的性質可知，用點的坐標分別乘以即可求解．
【詳解】解：∵，相似比為，
∴點的對應點的坐標是，即或，即，
故選：．
【點睛】本題主要考查位似的性質，掌握位似的性質，用點坐標乘以相似比（正數(shù)相似比，負數(shù)相似比）是解題的關鍵．
8. 在20世紀70年代，我國著名數(shù)學家華羅庚教授將黃金分割法作為一種“優(yōu)選法”，在全國大規(guī)模推廣，取得了很大成果．如圖，利用黃金分割法，所作將矩形窗框分為上下兩部分，其中E為邊的黃金分割點，即，已知為2米，則線段的長為（ ）米．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)，求出，可得結論．
【詳解】解：為邊的黃金分割點，即
米
米
故選B．
【點睛】本題考查了黃金分割，解題的關鍵是記住黃金分割的定義．
二．填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）
9. 日晷是我國古代的一種計時儀器，它由晷面和晷針組成．當太陽光照在日晷上時，晷針的影子會隨著時間的推移慢慢移動，以此來顯示時刻，則晷針在晷面上形成的投影是___________投影．（填“平行”或“中心”）
【答案】平行
【解析】
【分析】根據(jù)中心投影和平行投影的定義，結合光的照射方式判斷即可．
【詳解】解：∵太陽光的光線可以看成平行光線，
∴晷針在晷面上形成的投影是平行投影，
故答案為：平行．
【點睛】本題考查了中心投影和平行投影的定義，正確分析光的照射方式是解答本題的關鍵．中心投影的定義：光由一點向外散射形成的投影；平行投影的定義：光源以平行的方式照射到物體上形成的投影．
10. 若兩個相似三角形面積之比為，則它們的對應中線之比為_________.
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了相似三角形的性質，根據(jù)相似三角形的面積之比得到相似比，即可解答，掌握相似三角形的面積之比是相似比的平方是解題的關鍵．
【詳解】解：兩個相似三角形面積之比為，
兩個相似三角形相似比為，
它們的對應中線之比為，
故答案為：．
11. 如圖，四邊形為平行四邊形，請你添加一個合適的條件_____________，使其成為矩形(只需添加一個即可)．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本題考查了矩形的判定，熟練掌握矩形的判定是本題的關鍵；
根據(jù)矩形的判定定理即可解答．
【詳解】四邊形為平行四邊形，，
四邊形為矩形（對角線相等的平行四邊形是矩形）；
故答案為：（答案不唯一）．
12. 一種藥品原價每盒48元，經過兩次降價后每盒27元，兩次降價的百分率相同，則每次降價的百分率為_________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查一元二次方程的實際應用，設每次降價的百分率為，根據(jù)原價每盒48元，經過兩次降價后每盒27元，列出方程進行求解即可．
【詳解】解：設每次降價的百分率為，
由題意，得：，
解得：，（舍去）；
故答案為：．
13. 如圖，電路圖上有4個開關和1個小燈泡，同時閉合開關或同時閉合開關都可以使小燈泡發(fā)光．現(xiàn)隨機閉合兩個開關，小燈泡發(fā)光的概率為_________．

【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意可得隨機閉合兩個開關有六種情況，其中能使小燈泡發(fā)光的有2種，由此問題可求解．
【詳解】解：由題意得：隨機閉合兩個開關有六種情況，其中能使小燈泡發(fā)光的有2種，
∴小燈泡發(fā)光的概率為；
故答案為．
【點睛】本題主要考查概率，熟練掌握利用列舉法求解概率是解題的關鍵．
三、解答題（本大題共5個小題，共48分）
14. （1）解方程：；
（2）．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】本題考查解一元二次方程：
（1）因式分解法解方程即可；
（2）公式法解方程即可．
【詳解】解：（1），
，
或，
∴．
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
15. 從一副普通的撲克牌中取出五張牌，它們的牌面數(shù)字分別是4，4，5，5，6．
（1）將這五張撲克牌背面朝上，洗勻后從中隨機抽取一張，則抽取的這張牌的牌面數(shù)字是4的概率是多少？
（2）將這五張撲克牌背面朝上，洗勻后從中隨機抽取一張（不放回），再從中隨機抽取第二張．請用列表或畫樹狀圖的方法，求抽取的這兩張牌的牌面數(shù)字之和為奇數(shù)的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本題考查的是用樹狀圖法求概率，樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合兩步或兩步以上完成的事件，解題時要注意此題是放回試驗還是不放回試驗，用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
（1）直接用概率公式求解即可；
（2）畫樹狀圖，再利用概率公式進行計算即可．
【小問1詳解】
解：將這五張撲克牌背面朝上，洗勻，從中隨機抽取一張，抽取牌面數(shù)字是4的概率為：；
【小問2詳解】
解：畫樹狀圖，如下，
共有20種等可能事件，其中抽取這兩張牌的牌面數(shù)字之和為奇數(shù)有12種，
所以抽取的這兩張牌的牌面數(shù)字之和為奇數(shù)的概率為．
16. 小明想測量電線桿的高度，他發(fā)現(xiàn)電線桿的影子正好落在坡面和地面上，已知和地面成角，，且此時測得高的標桿在地面的影長為，求的長度．（結果保留根號）
【答案】
【解析】
【分析】本題考查解直角三角形的綜合應用，通過作輔助線把的高度表示成線段與線段之和是解題關鍵．過點D作于點E，交的延長線于點F，則的高度等于線段與線段之和，線段與線段可通過圖中的已知條件求得，題目得解．
【詳解】解：如圖，過點D作于點E，交的延長線于點F．
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴四邊形為矩形，
∴，，
∴，
∵同一時刻的光線是平行的，水平線是平行的，
∴光線與水平線的夾角相等，
又∵標桿與影子構成的角為直角，與構成的角為直角，
∴與影長構成的三角形和標桿與影子構成的三角形相似，
∵高的標桿在地面的影長為，
∴，
解得，
∴．
答：電線桿的高度為．
17. 如圖，菱形的對角線、相交于點O，，，與交于點F．

（1）求證：四邊形為矩形；
（2）若，，求菱形的面積．
【答案】（1）詳見解析
（2）96
【解析】
【分析】本題主要考查了菱形的性質，矩形的判定與性質，勾股定理等知識，
（1）先證明四邊形是平行四邊形，再根據(jù)菱形的性質可得，問題隨之得證；
（2）根據(jù)菱形的性質可得，再利用勾股定理可得，問題隨之得解．
【小問1詳解】
證明：∵，
∴四邊形是平行四邊形，
又∵菱形對角線交于點O，
∴，即．
∴四邊形是矩形；
【小問2詳解】
∵菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴菱形的面積為：．
18. 如圖，正方形ABCD中，點F是BC邊上一點，連結AF，以AF為對角線作正方形AEFG，邊FG與正方形ABCD的對角線AC相交于點H，連結DG．
（1）證明：△AFC∽△AGD；
（2）若＝，請求出的值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由四邊形，是正方形，推出，得，由于，得到，列比例式即可得到結果；
（2）設，，則，根據(jù)勾股定理得到，由于，，于是得到，得到比例式即可得到結論．
小問1詳解】
四邊形，是正方形，
，，
，
，
，
；
【小問2詳解】
，
設，，則，
，，
四邊形，是正方形，
，，
，
，
．
【點睛】本題考查了正方形的性質，相似三角形的判定和性質，勾股定理，找準相似三角形是解題的關鍵．
B卷（共50分）
一、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）
19. 如圖，小樹AB在路燈O的照射下形成樹影BC． 若樹高AB=2m，樹影BC=3m，樹與路燈的水平距離BP=5m，則路燈的高度OP為 _____m．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)在同一燈光照射下任何物體的高度與其影子的比值不變建立等量關系即可求解．
【詳解】解：在同一燈光照射下任何物體的高度與其影子的比值不變：
∵當樹高AB=2m，樹影BC=3m，且BP=5m
∴ ，代入得：
∴
故答案為：．
【點睛】本題考查利用相似三角形測高，掌握同一燈光照射下任何物體的高度與其影子的比值不變是解題關鍵．
20. 如圖，已知，點D是AC的中點，，則AB的長為______．
【答案】
【解析】
【分析】首先根據(jù)點D是AC的中點，可求得AC、AD，再根據(jù)相似三角形的性質即可求得．
【詳解】解：點D是AC的中點，，
，AC=4，
，
，
，
，
故答案為：．
【點睛】本題考查了相似三角形的性質，熟練掌握和運用相似三角形的性質是解決本題的關鍵．
21. 若x、y均為實數(shù)，則代數(shù)式的最小值是_______．
【答案】
【解析】
【分析】此題考查了配方法，將轉化為，即可得到原式的最小值，熟練掌握配方法是解本題的關鍵．
【詳解】解：可轉換為，
當時，原式取到最小值，為1，
故答案為：1．
22. 如圖，直線與x軸、y軸分別交于A，B兩點，C是OB的中點，D是AB上一點，四邊形OEDC是菱形，則△OAE的面積為_____________．
【答案】####1.2
【解析】
【分析】延長DE交x軸于點F，先求出點A（4，0），B（0，2），可得OB=2，OA=4，再根據(jù)菱形的性質，可得OE=OC=DE=1，DE∥OC，設點，則，可得，再由勾股定理，即可求解．
【詳解】解：如圖，延長DE交x軸于點F，
當x=0時，y=2，
當y=0時，則，解得：x=4，
∴點A（4，0），B（0，2），
∴OB=2，OA=4，
∵C是OB的中點，
∴OC=1，
∵四邊形OEDC是菱形，
∴OE=OC=DE=1，DE∥OC，
∴DF⊥x軸
設點，則，
∴，
∵，
∴，解得：或0（舍去），
∴，
∴△OAE的面積為．
故答案為：
【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)的圖象和性質，菱形的性質，熟練掌握一次函數(shù)的圖象和性質，菱形的性質是解題的關鍵．
23. 定義：如果三角形中有兩個角的差為90°，則稱這個三角形為互融三角形．在中，，，，點是延長線上一點．若是“互融三角形”，則的長為______．
【答案】或
【解析】
【分析】本題考查了勾股定理，相似三角形的判定與性質，等角對等邊，分和兩種情形，分別進行計算即可求解，依據(jù)定義進行分類討論是解題的關鍵．
【詳解】解：∵是“互融三角形"，
∴當時，則，
∴，
由勾股定理得，，
∴；
當時，則，
∵，
∴，
∴，
設，，
∵，
∴，
解得，
∴；
綜上，的長為或，
故答案：或．
三．解答題（本大題共3個小題，共30分）
24. 巴黎奧運會的吉祥物“弗里熱”玩偶共有兩種尺寸．分別為大款和小款，小渝購置了一定數(shù)量的兩款玩偶，各自花費2400元，已知大款比小款單價高90元，小款數(shù)量是大款數(shù)量的．
（1）請問大，小款單價各多少元？
（2）為了送給其他的朋友，小渝決定再買一定數(shù)量的吉祥物，此時，在第一次購買的基礎上，小款的單價減少了m元，購買數(shù)量增加了個，大款的單價不變，購買數(shù)量減少了個，總費用為4800元，請求出m的值．
【答案】（1）大，小款單價各為元和元
（2）m的值為
【解析】
【分析】本題考查分式方程和一元二次方程的應用，
（1）設小款單價元，則大款單價元，根據(jù)“各自花費2400元，已知大款比小款單價高90元，小款數(shù)量是大款數(shù)量的”列分式方程解題即可；
（2）根據(jù)“費用單價數(shù)量，總費用大款費用小款費用”列方程解題即可．
【小問1詳解】
解：設小款單價元，則大款單價元，
，
解得：x=150，
經檢驗：x=150是原方程的解，
∴大款單價為元，
答：大，小款單價各為元和元．
【小問2詳解】
解：，
解得：（舍去），，
答：m的值為．
25. 如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸、軸分別交于點、點，直線與軸、軸分別交于點、點與相交于點，線段的長是一元二次方程的兩根．
（1）求點、點的坐標；
（2）在軸上是否存在點，使點、點、點為頂點的三角形與相似？若存在，請求出點的坐標；如不存在，請說明理由．
【答案】（1）
（2）或．
【解析】
【分析】（1）利用因式分解法解方程得到，則可得到，據(jù)此可得答案；
（2）先求出，進而利用勾股定理得到，則，過點E作軸于點，如圖，可證明，利用相似三角形的性質得到，，則，可得的坐標是．利用勾股定理求出；由待定系數(shù)法求出直線的解析式是，則，則可利用勾股定理求出，
再分當時， 當時，兩種情況根據(jù)相似三角形的性質建立比例式求出的長即可得到答案．
【小問1詳解】
解：∵，
∴，
∴或，
解得，
∵線段的長是一元二次方程的兩根，
∴，
∴；
【小問2詳解】
解：，
，
∴．
∴，
過點E作軸于點，如圖，

∴，
∴，
，即
，，
∴，
∴的坐標是．
∵，
∴，
∴；
設直線的解析式是，
∴，
解得：，
則直線的解析式是；
在中，當時，，
∴，
∴，
當時，如圖，

則，即，
解得：，
∴
∴的坐標是；
當時，如圖，

則，則，
解得：，
∴，
∴的坐標是．
綜上所述，的坐標是或．
【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)與幾何綜合，勾股定理，相似三角形的性質與判定，解一元二次方程等等，利用分類討論的思想求解是解題的關鍵．
26. 【基礎鞏固】（1）如圖1，在中，是邊上一點，是邊上一點，．求證：；
【嘗試應用】（2）如圖2，在四邊形中，點是邊的中點，，若，，求線段的長．
【拓展提高】（3）在中，，以為直角頂點作等腰直角三角形（其中），點在上，點在上．若，求的長．
【答案】（1）見解析；（2）5；（3）10
【解析】
【分析】本題是相似形綜合題，考查了相似三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，熟練掌握一線三等角基本幾何模型是解題的關鍵．
（1）利用一線三等角模型，可說明，得；
（2）如圖2中，延長交的延長線于點．證明，推出，求出，，再利用勾股定理求解；
（3）過點作與交于點，使，由（1）同理得，可知，再利用，可得答案．
【詳解】（1）證明：，，
，
，
∴，
，
，
，
；
（2）解：如圖2中，延長交延長線于點．
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
；
（3）解：如圖，過點作與交于點，使，
，，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，（舍去）