學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________
一．選擇題（共8小題，滿分24分，每小題3分）
1．（3分）下列各式由左邊到右邊的變形中，是分解因式的是（ ）
A．a(chǎn)（x﹣y）＝ax﹣ayB．x2﹣4x+3＝x（x﹣4）+3
C．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）D．
試題分析：直接利用分解因式的定義分析得出答案．
答案詳解：解：A、a（x﹣y）＝ax﹣ay，是整式乘法運(yùn)算，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、x2﹣4x+3＝x（x﹣4）+3，不符合分解因式的定義，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），是分解因式，符合題意；
D、a2+1＝a（a），不符合分解因式的定義，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
所以選：C．
2．（3分）下列各式計(jì)算正確的是（ ）
A．3a2?a﹣1＝3aB．（ab2）3＝ab6
C．（x﹣2）2＝x2﹣4D．6x8÷2x2＝3x4
試題分析：根據(jù)各個(gè)選項(xiàng)中的式子可以計(jì)算出正確的結(jié)果，從而可以解答本題．
答案詳解：解：∵3a2?a﹣1＝3a，故本選項(xiàng)符合題意；
∵（ab2）3＝a3b6，故本選項(xiàng)不符合題意；
∵（x﹣2）2＝x2﹣4x+4，故本選項(xiàng)不符合題意；
∵6x8÷2x2＝3x6，故本選項(xiàng)不符合題意；
所以選：A．
3．（3分）若a，b，c是△ABC的三邊長(zhǎng)，且a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝0，則△ABC的形狀是（ ）
A．等腰三角形B．等腰直角三角形
C．等邊三角形D．不能確定
試題分析：已知等式整理后，利用完全平方公式化簡(jiǎn)，再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a，b，c的值，判斷即可．
答案詳解：解：已知等式整理得：2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc＝0，
即（a2﹣2ab+b2）+（a2﹣2ac+c2）+（b2﹣2bc+c2）＝0，
變形得：（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2＝0，
∴a＝b＝c，
則△ABC為等邊三角形，
所以選：C．
4．（3分）如圖，已知AD是△ABC的邊BC上的中線，CE是△ADC的邊AD上的中線，若△ABD的面積為16cm2，則△CDE的面積為（ ）
A．32 cm2B．16cm2C．8cm2D．4cm2
試題分析：根據(jù)三角形的中線把三角形分成面積相等的兩部分，進(jìn)而解答即可．
答案詳解：解：∵AD是△ABC的邊BC上的中線，△ABD的面積為16cm2，
∴△ADC的面積為16cm2，
∵CE是△ADC的邊AD上的中線，
∴△CDE的面積為8cm2，
所以選：C．
5．（3分）如圖，△ABC≌△AED，點(diǎn)E在線段BC上，∠1＝40°，則∠AED的度數(shù)是（ ）
A．70°B．68°C．65°D．60°
試題分析：依據(jù)△ABC≌△AED，即可得到∠AED＝∠B，AE＝AB，∠BAC＝∠EAD，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，即可得到∠B的度數(shù)，進(jìn)而得出∠AED的度數(shù)．
答案詳解：解：∵△ABC≌△AED，
∴∠AED＝∠B，AE＝AB，∠BAC＝∠EAD，
∴∠1＝∠BAE＝40°，
∴△ABE中，∠B70°，
∴∠AED＝70°，
所以選：A．
6．（3分）兩個(gè)工程隊(duì)共同參與一項(xiàng)筑路工程，甲隊(duì)單獨(dú)施工1個(gè)月完成總工程的，這時(shí)增加了乙隊(duì)，兩隊(duì)又共同工作了半個(gè)月，總工程全部完成，如果乙隊(duì)單獨(dú)完成總工程需多少個(gè)月？設(shè)乙隊(duì)單獨(dú)完成總工程共需x個(gè)月，則下列方程正確的是（ ）
A．B．
C．D．
試題分析：設(shè)乙隊(duì)單獨(dú)施1個(gè)月能完成總工程的，甲1個(gè)月完成的工作量為，根據(jù)甲隊(duì)完成的任務(wù)量+乙隊(duì)完成的任務(wù)量＝總工程量（單位1），即可得出關(guān)于x的分式方程，此題得解．
答案詳解：解：設(shè)乙隊(duì)單獨(dú)施1個(gè)月能完成總工程的，甲1個(gè)月完成的工作量為，甲和乙半個(gè)月完成的工作量為，
根據(jù)題意得：，
所以選：D．
7．（3分）已知a，b為實(shí)數(shù)且滿足a≠﹣1，b≠﹣1，設(shè)M，N．
①若ab＝1時(shí)，M＝N
②若ab＞1時(shí)，M＞N
③若ab＜1時(shí)，M＜N
④若a+b＝0，則M?N≤0
則上述四個(gè)結(jié)論正確的有（ ）個(gè)．
A．1B．2C．3D．4
試題分析：①根據(jù)分式的加法法則計(jì)算即可得結(jié)論；
②根據(jù)分式的加法法則計(jì)算即可得結(jié)論；
③根據(jù)分式的加法法則計(jì)算即可得結(jié)論；
④根據(jù)方式的乘法運(yùn)算法則計(jì)算，再進(jìn)行分類討論即可得結(jié)論．
答案詳解：解：∵M(jìn)，N，
∴M﹣N（），
①當(dāng)ab＝1時(shí)，M﹣N＝0，
∴M＝N，故①正確；
②當(dāng)ab＞1時(shí)，2ab＞2，
∴2ab﹣2＞0，
當(dāng)a＜0時(shí)，b＜0，（a+1）（b+1）＞0或（a+1）（b+1）＜0，
∴M﹣N＞0或M﹣N＜0，
∴M＞N或M＜N，故②錯(cuò)誤；
③當(dāng)ab＜1時(shí)，a和b可能同號(hào)，也可能異號(hào)，
∴（a+1）（b+1）＞0或（a+1）（b+1）＜0，而2ab﹣2＜0，
∴M＞N或M＜N，故③錯(cuò)誤；
④M?N＝（）?（）
，
∵a+b＝0，
∴原式，
∵a≠﹣1，b≠﹣1，
∴（a+1）2（b+1）2＞0，
∵a+b＝0
∴ab≤0，M?N≤0，故④正確．
所以選：B．
8．（3分）如圖，已知△ABC和△BDE都是等邊三角形（A，B，D共線）．下列結(jié)論，其中正確的有（ ）
①AE＝CD；②BF＝BG；③BH平分∠AHD；④∠AHC＝60°；⑤△BFG是等邊三角形；⑥FG∥AD．
A．3個(gè)B．4個(gè)C．5個(gè)D．6個(gè)
試題分析：由題中條件可得△ABE≌△CBD，得出對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等，進(jìn)而得出△BGD≌△BFE，△ABF≌△CGB，再由邊角關(guān)系即可求解題中結(jié)論是否正確，進(jìn)而可得出結(jié)論．
答案詳解：解：∵△ABC與△BDE為等邊三角形，
∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝60°，
∴∠ABE＝∠CBD，
即AB＝BC，BD＝BE，∠ABE＝∠CBD
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴S△ABE＝S△CBD，AE＝CD，∠BDC＝∠AEB，
又∵∠DBG＝∠FBE＝60°，
∴△BGD≌△BFE（ASA），
∴BG＝BF，∠BFG＝∠BGF＝60°，
過(guò)B作BM⊥AE于M，BN⊥CD于N，
∵S△ABE＝S△CBD，AE＝CD，
∴AE×BMCD×BN，
∴BM＝BN，
∴BH平分∠AHD，∴①②③正確；
∵△ABE≌△CBD，
∴∠EAB＝∠BCD，
∵∠CBA＝60°，
∴∠AHC＝∠CDB+∠EAB＝∠CDB+∠BCD＝∠CBA＝60°，∴④正確；
∵BF＝BG，∠FBG＝60°，
∴△BFG是等邊三角形，∴⑤正確；
∴∠GFB＝∠CBA＝60°，
∴FG∥AD，∴⑥正確；
所以選：D．
二．填空題（共8小題，滿分32分，每小題4分）
9．（4分）已知x+y＝4，x﹣3y＝3，xy＝2，則代數(shù)式x3y﹣2x2y2﹣3xy3的值是 24 ．
試題分析：將所求的代數(shù)式因式分解，再將已知條件代入即可．
答案詳解：解：x3y﹣2x2y2﹣3xy3
＝xy（x2﹣2xy﹣3y2）
＝xy（x﹣3y）（x+y），
∵x+y＝4，x﹣3y＝3，xy＝2，
∴原式＝2×3×4＝24，
所以答案是：24．
10．（4分）計(jì)算?的結(jié)果是 ．
試題分析：直接將括號(hào)里面通分運(yùn)算，再利用分式的混合運(yùn)算法則計(jì)算得出答案．
答案詳解：解：原式?
?
．
所以答案是：．
11．（4分）已知一個(gè)凸多邊形的每個(gè)內(nèi)角都是150°，則它的邊數(shù)為 12 ．
試題分析：先求出對(duì)應(yīng)的外角，再求出多邊形的邊數(shù)即可．
答案詳解：解：∵一個(gè)凸多邊形的每個(gè)內(nèi)角都是150°，
∴對(duì)應(yīng)的外角度數(shù)為180°﹣150°＝30°，
∴多邊形的邊數(shù)是12，
所以答案是：12．
12．（4分）已知，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，P為直線BC上一點(diǎn)，BP＝AB，則∠APB的度數(shù)為 75°或15° ．
試題分析：首先根據(jù)題意畫出圖形，然后利用等腰三角形的性質(zhì)求解即可求得答案，注意分為點(diǎn)P在邊BC上或在CB的延長(zhǎng)線上．
答案詳解：解：如圖1，∵在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵BP＝AB，
∴∠APB75°；
如圖2，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠ABC＝∠C＝30°，
∵BP＝AB，
∴∠APB∠ABC＝15°．
綜上所述：∠APB的度數(shù)為75°或15°．
所以答案是：75°或15°．
13．（4分）如圖，D是△ABC內(nèi)部的一點(diǎn)，AD＝CD，∠BAD＝∠BCD，下列結(jié)論中，①∠DAC＝∠DCA；②AB＝AC；③BD⊥AC；④BD平分∠ABC．所有正確結(jié)論的序號(hào)是 ①③④ ．
試題分析：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和判定定理以及線段垂直平分線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
答案詳解：解：∵AD＝CD，
∴∠DAC＝∠DCA，故①正確；
∵∠BAD＝∠BCD，
∴∠BAD+∠DAC＝∠BCD+∠DCA，
即∠BAC＝∠BCA，
∴AB＝BC，故②錯(cuò)誤；
∵AB＝BC，AD＝DC，
∴BD垂直平分AC，故③正確；
∴BD平分∠ABC，故④正確；
所以答案是：①③④．
14．（4分）如圖，在矩形中ABCD，AB＝3，BC＝5，將矩形ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，點(diǎn)D落在點(diǎn)D′處，則△AD′F的周長(zhǎng)為 8 ．
試題分析：由折疊的性質(zhì)可得CD＝AD'，DF'＝DF，即可求解．
答案詳解：解：∵將矩形ABCD沿EF折疊，
∴CD＝AD'，DF'＝DF，
∵△AD′F的周長(zhǎng)＝AF+AD'+D'F＝AF+CD+DF＝AD+CD，
∴△AD′F的周長(zhǎng)＝5+3＝8，
所以答案是8．
15．（4分）如圖，在△ABC中，∠CAB＝30°，∠ACB＝90°，AC＝3，D為AB的中點(diǎn)，E為線段AC上任意一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），當(dāng)E點(diǎn)在線段AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，則DECE的最小值為 ．
試題分析：可以作CG∥AB構(gòu)造∠GCA＝∠CAB＝30°，再過(guò)點(diǎn)D作DF⊥CG交AC于點(diǎn)E，得EFCE，所以DECE＝DE+EF＝DF最小，根據(jù)特殊角三角函數(shù)值即可求得DF的長(zhǎng)．
答案詳解：解：如圖，
在△ABC中，∠CAB＝30°，∠ACB＝90°，AC＝3，
作CG∥AB
∴∠GCA＝∠CAB＝30°
過(guò)點(diǎn)D作DF⊥CG交AC于點(diǎn)E，
∴EFCE
所以DECE＝DE+EF＝DF最小，
∵∠CAB＝30°，∠ACB＝90°，AC＝3，
∴AB2
∵D為AB的中點(diǎn)，
∴CD＝ADAB
∵∠DCF＝60°
∴DF＝DC?cs60°
所以DECE的最小值為．
所以答案是．
16．（4分）觀察以下等式：
（﹣1）（﹣1），
（﹣2）（﹣2），
（﹣3）（﹣3），
（﹣4）（﹣4），
（1）依此規(guī)律進(jìn)行下去，第5個(gè)等式為 （﹣5）（﹣5） ，猜想第n個(gè)等式為 （﹣n）?（﹣n） （n為正整數(shù)）；
（2）請(qǐng)利用分式的運(yùn)算證明你的猜想．
試題分析：（1）仿照閱讀材料中的等式得到第5個(gè)等式，進(jìn)而確定出第n個(gè)等式即可；
（2）驗(yàn)證所得的等式即可．
答案詳解：解：（1）根據(jù)題意得：第5個(gè)等式為（﹣5）（﹣5），第n個(gè)等式為（﹣n）?（﹣n）；
所以答案是：（﹣5）（﹣5）；（﹣n）?（﹣n）；
（2）左邊，右邊，
則左邊＝右邊，即（﹣n）?（﹣n）．
三．解答題（共10小題，滿分84分）
17．（10分）分解因式：
（1）8a3b2+12ab3c；
（2）（2x+y）2﹣（x+2y）2．
試題分析：（1）直接提取公因式4ab2，進(jìn)而分解因式即可；
（2）直接利用平方差公式分解因式得出答案．
答案詳解：解：（1）8a3b2+12ab3c
＝4ab2（2a2+3bc）；
（2）（2x+y）2﹣（x+2y）2
＝（2x+y+x+2y）（2x+y﹣x﹣2y）
＝3（x+y）（x﹣y）．
18．（10分）（1）先化簡(jiǎn)再求值：，其中x＝﹣3；
（2）如果a2+2a﹣1＝0，求代數(shù)式的值．
試題分析：（1）原式括號(hào)中兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的減法法則計(jì)算，同時(shí)利用除法法則變形，約分得到最簡(jiǎn)結(jié)果，把x的值代入計(jì)算即可求出值；
（2）原式括號(hào)中兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的減法法則計(jì)算，約分得到最簡(jiǎn)結(jié)果，把已知等式變形后代入計(jì)算即可求出值．
答案詳解：解：（1）原式??，
當(dāng)x＝﹣3時(shí)，原式＝﹣2；
（2）∵a2+2a﹣1＝0，
∴a2+2a＝1，
則原式??a2+2a＝1．
19．（4分）解方程：1．
試題分析：兩邊都乘以（x+1）（x﹣1）化分式方程為整式方程，解之求得x的值，再檢驗(yàn)即可得．
答案詳解：解：兩邊都乘以（x+1）（x﹣1），得：4﹣（x+2）（x+1）＝﹣（x+1）（x﹣1），
解得：x，
檢驗(yàn)：當(dāng)x時(shí)，（x+1）（x﹣1）≠0，
所以原分式方程的解為x．
20．（8分）某青春黨支部在精準(zhǔn)扶貧活動(dòng)中，給結(jié)對(duì)幫扶的貧困家庭贈(zèng)送甲、乙兩種樹苗讓其栽種．已知乙種樹苗的價(jià)格比甲種樹苗貴10元，用480元購(gòu)買乙種樹苗的棵數(shù)恰好與用360元購(gòu)買甲種樹苗的棵數(shù)相同．
（1）求甲、乙兩種樹苗每棵的價(jià)格各是多少元？
（2）在實(shí)際幫扶中，他們決定再次購(gòu)買甲、乙兩種樹苗共50棵，此時(shí)，甲種樹苗的售價(jià)比第一次購(gòu)買時(shí)降低了10%，乙種樹苗的售價(jià)不變，如果再次購(gòu)買兩種樹苗的總費(fèi)用不超過(guò)1500元，那么他們最多可購(gòu)買多少棵乙種樹苗？
試題分析：（1）可設(shè)甲種樹苗每棵的價(jià)格是x元，則乙種樹苗每棵的價(jià)格是（x+10）元，根據(jù)等量關(guān)系：用480元購(gòu)買乙種樹苗的棵數(shù)恰好與用360元購(gòu)買甲種樹苗的棵數(shù)相同，列出方程求解即可；
（2）可設(shè)他們可購(gòu)買y棵乙種樹苗，根據(jù)不等關(guān)系：再次購(gòu)買兩種樹苗的總費(fèi)用不超過(guò)1500元，列出不等式求解即可．
答案詳解：解：（1）設(shè)甲種樹苗每棵的價(jià)格是x元，則乙種樹苗每棵的價(jià)格是（x+10）元，依題意有
，
解得：x＝30．
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝30是原方程的解，
x+10＝30+10＝40．
答：甲種樹苗每棵的價(jià)格是30元，乙種樹苗每棵的價(jià)格是40元．
（2）設(shè)他們可購(gòu)買y棵乙種樹苗，依題意有
30×（1﹣10%）（50﹣y）+40y≤1500，
解得y≤11，
∵y為整數(shù)，
∴y最大為11．
答：他們最多可購(gòu)買11棵乙種樹苗．
21．（8分）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝18cm，BC＝10cm，AD＝2BD．
（1）如果點(diǎn)P在線段BC上以2cm/s的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CA上由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．
①若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過(guò)2s后，△BPD與△CQP是否全等，請(qǐng)說(shuō)明理由；
②若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能夠使△BPD與△CQP全等？
（2）若點(diǎn)Q以②中的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)C出發(fā)，點(diǎn)P以原來(lái)的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，都逆時(shí)針沿△ABC三邊運(yùn)動(dòng)，求經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在△ABC的哪條邊上相遇？
試題分析：（1）①由“SAS”可證△BPD≌△CQP；
②由全等三角形的性質(zhì)可得BP＝PCBC＝5cm，BD＝CQ＝6cm，可求解；
（2）設(shè)經(jīng)過(guò)x秒，點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次相遇，列出方程可求解．
答案詳解：解：（1）①△BPD與△CQP全等，
理由如下：∵AB＝AC＝18cm，AD＝2BD，
∴AD＝12cm，BD＝6cm，∠B＝∠C，
∵經(jīng)過(guò)2s后，BP＝4cm，CQ＝4cm，
∴BP＝CQ，CP＝6cm＝BD，
在△BPD和△CQP中，
，
∴△BPD≌△CQP（SAS），
②∵點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，
∴BP≠CQ，
∵△BPD與△CQP全等，∠B＝∠C，
∴BP＝PCBC＝5cm，BD＝CQ＝6cm，
∴t，
∴點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度cm/s，
∴當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為cm/s時(shí)，能夠使△BPD與△CQP全等；
（2）設(shè)經(jīng)過(guò)x秒，點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次相遇，
由題意可得：x﹣2x＝36，
解得：x＝90，
∴90÷（36+10）＝4?????32，
∴經(jīng)過(guò)90s點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次相遇在線段AB上相遇．
22．（8分）如圖，在△ABC中，D，E是BC邊上兩點(diǎn)，AD＝AE，∠BAD＝∠CAE．求證：AB＝AC．
試題分析：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠1＝∠2，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論．
答案詳解：解：∵AD＝AE，
∴∠1＝∠2，
∴180°，﹣∠1＝180°﹣∠2．
即∠3＝∠4，
在△ABD與△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（ASA），
∴AB＝AC．
23．（6分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（2，4），B（3，1），C（﹣2，﹣1）．
（1）在圖中作出△ABC關(guān)于x軸的對(duì)稱圖形△A1B1C1，并寫出點(diǎn)A1，B1，C1的坐標(biāo)；
（2）求△ABC的面積．
試題分析：（1）利用關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置，進(jìn)而得出答案；
（2）直接利用△ABC所在矩形面積減去周圍三角形面積，進(jìn)而得出答案．
答案詳解：解：（1）如圖所示：△A1B1C1即為所求，A1（2，﹣4），B1（3，﹣1），C1（﹣2，1）．
（2）S△ABC＝5×54×51×32×5．
24．（8分）下面是小明設(shè)計(jì)的“已知兩線段及一角作三角形”的尺規(guī)作圖過(guò)程．
已知：線段m，n及∠O．
求作：△ABC，使得線段m，n及∠O分別是它的兩邊和一角．
作法：如圖，
①以點(diǎn)O為圓心，m長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交∠O的兩邊于點(diǎn)M，N；
②畫一條射線AP，以點(diǎn)A為圓心，m長(zhǎng)為半徑畫弧，交AP于點(diǎn)B；
③以點(diǎn)B為圓心，MN長(zhǎng)為半徑畫弧，與第②步中所畫的弧相交于點(diǎn)D；
④畫射線AD；
⑤以點(diǎn)A為圓心，n長(zhǎng)為半徑畫弧，交AD于點(diǎn)C；
⑥連接BC，則△ABC即為所求作的三角形．
請(qǐng)回答：
（1）步驟③得到兩條線段相等，即 BD ＝ MN ；
（2）∠A＝∠O的作圖依據(jù)是 三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等 ；
（3）小紅說(shuō)小明的作圖不全面，原因是 小明沒有對(duì)已知中的邊和角的位置關(guān)系分類討論 ．
試題分析：根據(jù)作圖步驟一一判斷即可．
答案詳解：解：（1）BD，MN．
（2）三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等
（3）小明沒有對(duì)已知中的邊和角的位置關(guān)系分類討論．
所以答案是BD，MN，三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，小明沒有對(duì)已知中的邊和角的位置關(guān)系分類討論．
25．（10分）如圖所示，點(diǎn)O是線段AC的中點(diǎn)，OB⊥AC，OA＝9．
（1）如圖1，若∠ABO＝30°，求證△ABC是等邊三角形；
（2）如圖1，在（1）的條件下，若點(diǎn)D在射線AC上，點(diǎn)D在點(diǎn)C右側(cè)，且△BDQ是等邊三角形，QC的延長(zhǎng)線交直線OB于點(diǎn)P，求PC的長(zhǎng)度；
（3）如圖2，在（1）的條件下，若點(diǎn)M在線段BC上，△OMN是等邊三角形，且點(diǎn)M沿著線段BC從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，點(diǎn)N隨之運(yùn)動(dòng)，求點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度．
試題分析：（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到BA＝BC，根據(jù)等邊三角形的判定定理證明結(jié)論；
（2）證明△BAD≌△BCQ，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠BCQ＝∠BAD＝60°，根據(jù)含30°的直角三角形的性質(zhì)計(jì)算即可；
（3）取BC的中點(diǎn)H，連接OH，連接CN，分M在BH上、M在HC上兩種情況，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)解答即可．
答案詳解：解：（1）∵∠ABO＝30°，OB⊥AC，
∴∠BAO＝60°，
∵O是線段AC中點(diǎn)，OB⊥AC，
∴BA＝BC，又∠BAO＝60°，
∴△ABC是等邊三角形；
（2）∵△ABC和△BDQ為等邊三角形，
∴BA＝BC，BD＝BQ，∠BAC＝60°，∠DBQ＝60°，
∴∠ABD＝∠CBQ，
在△BAD和△BCQ中，
，
∴△BAD≌△BCQ（SAS）
∴∠BCQ＝∠BAD＝60°，
∵∠BCA＝60°，
∴∠OCP＝60°，
∵∠POC＝90°，
∴∠OPC＝30°，
∴PC＝2OC＝18；
（3）取BC的中點(diǎn)H，連接OH，連接CN，
則OHBC＝BH＝CH，
∴△HOC為等邊三角形，
∴∠HOC＝∠OHC＝60°，OH＝OC，
當(dāng)M在BH上時(shí)，∠MON＝60°，∠HOC＝60°，
∴∠MOH＝∠NOC，
在△OMH和△ONC中，
，
∴△OMH≌△ONC（SAS），
∴∠OCN＝∠OHM＝120°，
當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)B重合時(shí)，
在△OBC和△N′BC中，
，
∴△OBC≌△N′BC（SAS）
∴∠BCN′＝∠BCO＝60°，
∴∠OCN′＝120°，即C、N、N′在同一條直線上，
∴CN′＝OC＝9，
∴點(diǎn)N從起點(diǎn)到C做直線運(yùn)動(dòng)路徑為9，
當(dāng)M在HC上時(shí)，△OCN為等邊三角形，
∴CN＝OC＝9，
∴點(diǎn)N從C到終點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為9
綜上所述，N的路徑長(zhǎng)度為：9+9＝18．
26．（12分）如圖1，在△ABC中，∠B＝60°，點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BC方向，在射線BC上運(yùn)動(dòng)．在點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，連接AM，并以AM為邊在射線BC上方，作等邊△AMN，連接CN．
（1）當(dāng)∠BAM＝ 30 °時(shí)，AB＝2BM；
（2）請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件： AB＝AC ，使得△ABC為等邊三角形；
①如圖1，當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí)，求證：CN+CM＝AC；
②如圖2，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到線段BC之外（即點(diǎn)M在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)），其它條件不變（△ABC仍為等邊三角形），請(qǐng)寫出此時(shí)線段CN、CM、AC滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明．
試題分析：（1）根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)解答即可；
（2）利用等邊三角形的判定解答；
①利用等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定證明即可；
②利用等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定證明即可．
答案詳解：解：（1）當(dāng)∠BAM＝30°時(shí)，
∴∠AMB＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∴AB＝2BM；
所以答案是：30；
（2）添加一個(gè)條件AB＝AC，可得△ABC為等邊三角形；
所以答案是：AB＝AC；
①如圖1中，
∵△ABC與△AMN是等邊三角形，
∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，
∴∠BAC﹣∠MAC＝∠MAN﹣∠MAC，
即∠BAM＝∠CAN，
在△BAM與△CAN中，
，
∴△BAM≌△CAN（SAS），
∴BM＝CN，
∴AC＝BC＝CN+MC．
②結(jié)論：AC＝CN﹣CM．
理由：如圖2中，
∵△ABC與△AMN是等邊三角形，
∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，
∴∠BAC+∠MAC＝∠MAN+∠MAC，
即∠BAM＝∠CAN，
在△BAM與△CAN中，
，
∴△BAM≌△CAN（SAS），
∴BM＝CN，
∴AC＝BC＝BM﹣CM＝CN﹣CM．

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