考點一：分組分解法
常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法．但有更多的多項式只用上述方法就無法分解，如x2﹣4y2﹣2x+4y，我們細心觀察這個式子就會發(fā)現，前兩項符合平方差公式.后兩項可提取公因式.前后兩部分分別分解因式后會產生公因式，然后提取公因式就可以完成整個式子的分解因式了．這種分解因式的方法叫分組分解法．
例如：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）．
考點二：十字相乘法
【方法探究】
對于多項式我們也可這樣分析：它的二次項系數1分解成1與1的積；它的常數項pq分解成p與q的積，按圖1所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次項系數．
所以
例如，分解因式：
它的二次項系數1分解成1與1的積；它的常數項6分解成2與3的積，按圖2所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次項系數5．
所以）．
類比探究：當二次項系數不是1時，我們也可仿照上述方式進行因式分解．
例如，分解因式：．
分析：二次項系數2分解成2與1的積；常數項－6分解成－1與6（或－6與1，－2與3，－3與2）的積，但只有當－2與3時按如圖3所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次項系數－1．所以．
【方法歸納】
一般地，在分解形如關于x的二次三項式時，二次項系數a分解成與的積，分別寫在十字交叉線的左上角和左下角；常數項c分解成與的積，分別寫在十字交叉線的右上角和右下角，把，，，按如圖4所示方式排列，當且僅當（一次項系數）時，可分解因式．即．
我們把這種分解因式的方法叫做十字相乘法．
題型一：分組分解法
1．（2022·安徽宿州·八年級期中）如果多項式能因式分解為，則的值是（ ）
A．-7B．7C．-13D．13
2．（2022·全國·八年級專題練習）先閱讀下列材料：我們已經學過將一個多項式分解因式的方法有提公因式法和運用公式法，其實分解因式的方法還有分組分解法、拆項法、十字相乘法等等．
分組分解法：將一個多項式適當分組后，可提公因式或運用公式繼續(xù)分解的方法．如：
拆項法：將一個多項式的某一項拆成兩項后，可提公因式或運用公式繼續(xù)分解的方法．如：請你仿照以上方法，探索并解決下列問題：
(1)分解因式：；
(2)分解因式：；
3．（2022·全國·八年級專題練習）閱讀以下材料，并解決問題：
常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多項式則不能直接用上述兩種方法進行分解，比如多項式．．這樣我們就需要結合式子特點，探究新的分解方法．仔細觀察這個四項式，會發(fā)現：若把它的前兩項結合為一組符合平方差公式特點，把它的后兩項結合為一組可提取公因式，而且對前后兩組分別進行因式分解后會出現新的公因式，提取新的公因式就可以完成對整個式子的因式分解．具體過程如下：
例1：
……………………分成兩組
………………分別分解
………………………提取公因式完成分解
像這種將一個多項式適當分組后，進行分解因式的方法叫做分組分解法．分組分解法一般是針對四項或四項以上的多項式，關鍵在恰當分組，分組須有“預見性”，預見下一步能繼續(xù)分解，直到完成分解．
(1)材料例1中，分組的目的是_________________．
(2)若要將以下多項式進行因式分解，怎樣分組比較合適？
__________________；
__________________．
(3)利用分組分解法進行因式分解：．
題型二：十字相乘法
4．（2022·山東·濟寧市第十五中學八年級階段練習）若把多項式分解因式后含有因式，則的值為（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·廣東廣州·八年級期末）若，則p，q的值分別為（ ）
A．p＝3，q＝4B．p＝－3，q＝4C．p＝3，q＝－4D．p＝－3，q＝－4
6．（2022·全國·八年級）
(1)【閱讀與思考】
整式乘法與因式分解是方向相反的變形．如何把二次三項式分解因式呢？我們已經知道：．反過來，就得到：．我們發(fā)現，二次三項式的二次項的系數分解成，常數項分解成，并且把，，，，如圖1所示擺放，按對角線交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次項系數，那么就可以分解為，其中，位于圖的上一行，，位于下一行．像這種借助畫十字交叉圖分解系數，從而幫助我們把二次三項式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．
例如，將式子分解因式的具體步驟為：首先把二次項的系數1分解為兩個因數的積，即，把常數項也分解為兩個因數的積，即；然后把1，1，2，按圖2所示的擺放，按對角線交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次項的系數，于是就可以分解為．
請同學們認真觀察和思考，嘗試在圖3的虛線方框內填入適當的數，并用“十字相乘法”分解因式： __________．
(2)【理解與應用】
請你仔細體會上述方法并嘗試對下面兩個二次三項式進行分解因式：
① __________；
② __________．
(3)【探究與拓展】
對于形如的關于，的二元二次多項式也可以用“十字相乘法”來分解，如圖4．將分解成乘積作為一列，分解成乘積作為第二列，分解成乘積作為第三列，如果，，，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都滿足十字相乘規(guī)則，則原式，請你認真閱讀上述材料并嘗試挑戰(zhàn)下列問題：
① 分解因式__________；
② 若關于，的二元二次式可以分解成兩個一次因式的積，求的值．
專題強化
一、單選題
7．（2022·安徽宿州·八年級期中）如果多項式能因式分解為，則的值是（ ）
A．-7B．7C．-13D．13
8．（2022·重慶第二外國語學校八年級期中）若多項式能分解成兩個一次因式的積，且其中一個次因式，則的值為（ ）
A．1B．5C．D．
9．（2022·山東濱州·八年級期末）已知a+b＝3，ab＝1，則多項式a2b+ab2﹣a﹣b的值為( )
A．0B．1C．2D．3
10．（2021·山東·煙臺市芝罘區(qū)教育科學研究中心八年級期中）觀察下列分解因式的過程：，這種分解因式的方法叫分組分解法．利用這種分組的思想方法，已知a，b，c滿足，則以a，b，c為三條線段首尾順次連接圍成一個三角形，下列描述正確的是（ ）
A．圍成一個等腰三角形B．圍成一個直角三角形
C．圍成一個等腰直角三角形D．不能圍成三角形
11．（2020·福建·南靖縣城關中學八年級階段練習）已知a，b，c是正整數，a＞b，且a2﹣ab﹣ac+bc＝11，則a﹣c等于（ ）
A．±1B．1或11C．±11D．±1或±11
12．（2022·全國·八年級單元測試）已知實數m，n，p，q滿足，，則（ ）
A．48B．36C．96D．無法計算
13．（2021·全國·八年級專題練習）已知三角形ABC的三邊長為a，b，c，且滿足a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，則三角形ABC的形狀是( )
A．直角三角形B．等腰三角形
C．等腰直角三角形D．等邊三角形
14．（2022·湖北十堰·八年級期末）下列因式分解結果正確的是（ ）
A．B．
C．D．
15．（2021·四川南充·八年級期末）已知x2＋x﹣6＝（x＋a）（x＋b），則（ ）
A．ab＝6B．ab＝﹣6C．a＋b＝6D．a＋b＝﹣6
16．（2021·全國·八年級專題練習）下列四個選項中，哪一個為多項式的因式？（ ）
A．2x-2B．2x+2C．4x+1D．4x+2
17．（2021·河南·鄭州外國語中學八年級期中）若多項式可因式分解為，其中、、均為整數，則的值是（ ）
A．1B．7C．11D．13
18．（2021·全國·八年級課時練習）下列不可利用分解因式的是（ ）
A．B．C．D．
19．（2022·重慶市珊瑚初級中學校八年級期中）我們把被分解的多項式分成若干組，分別按“基本方法”即提取公因式法和運用公成法進行分解，然后，綜合起來，再從總體上按“基本方法”繼續(xù)進行分解，直到分解出最后結果，這種分解因式的方法叫做分組分解法．例如：，根據上述方法，解決問題：已知a、b、c是△ABC的三邊，且滿足，則△ABC的形狀是（ ）
A．等腰三角形B．等邊三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形
20．（2021·全國·八年級專題練習）若a、b為有理數，且a2－2ab＋2b2＋4b＋4＝0，則a＋3b＝（ ）
A．8B．4C．－4－D．－8
二、填空題
21．（2021·陜西西安·八年級階段練習）分解因式：x2﹣y2+ax+ay＝_____．
22．（2021·全國·八年級課時練習）分解因式：
（1）________；（2）________；
（3）________；（4）________；
（5）________；（6）________；
（7）________；（8）________；
（9）________．
23．（2021·全國·八年級課時練習）（1）( )( )( )( )( )；
（2）( )( )( )( )( )( )( )；
（3）在多項式①；②；③；④中，能用分成三項一組和一項一組的方法分解因式的是（只寫式子序號）________．
24．（2022·全國·八年級課時練習）分解因式：________．
25．（2022·全國·八年級專題練習）分解因式：________．
26．（2022·四川涼山·八年級期末）已知，，，則代數式的值是________．
27．（2021·山東威?！ぐ四昙壠谀┘滓覂扇送瓿梢蚴椒纸鈺r，甲看錯了a的值，分解的結果是，乙看錯了b的值，分解的結果為，那么分解因式正確的結果為_________．
28．（2021·全國·八年級專題練習）若二次三項式x2 +ax- 12能分解成兩個整系數的一次因式的乘積， 則符合條件的整數a的個數是________________．
三、解答題
29．（2022·全國·八年級單元測試）因式分解：
(1)(2)
(3)(4)
(5)(6)
(7)(8)
(9)(10)
30．（2022·山東青島·八年級期中）分解因式
(1)
(2)
(3)
(4)
31．（2022·山東·濟寧市第十五中學八年級階段練習）分解因式
(1)
(2)
(3)
(4)
32．（2022·全國·八年級專題練習）閱讀與思考：
整式乘法與因式分解是方向相反的變形．
由(x＋p)(x＋q)＝x2＋(p＋q)x＋pq，得x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)；
利用這個式子可以將某些二次項系數是1的二次三項式因式分解．
例如：將式子x2＋3x＋2因式分解．
分析：這個式子的常數項2＝1×2，一次項系數3＝1＋2，所以x2＋3x＋2＝x2＋(1＋2)x＋1×2
解：x2＋3x＋2＝(x＋1)(x＋2)．
請仿照上面的方法，解答下列問題：
(1)因式分解：x2＋7x－18＝______________；
(2)填空：若x2＋px－8可分解為兩個一次因式的積，則整數p的所有可能值是______________
(3)利用因式解法解方程：x2－6x＋8＝0；
33．（2022·山東青島·八年級期中）某校數學社團的小亮、小穎兩個同學利用分組分解法進行的因式分解：
小亮：
=
=
=
小穎：
=
．
請你在他們解法的啟發(fā)下，解決下面問題；
(1)因式分解；
(2)因式分解；
(3)已知a，b，c是的三邊，且滿足，判斷的形狀并說明理由．
34．（2022·廣東·佛山市南海區(qū)桂城街道映月中學八年級階段練習）常用的分解因式方法有提取公因式法、公式法等，但有的多項式只用上述方法就無法分解，細心觀察這個公式發(fā)現，前兩項符合平方差公式，分解因式后產生公因式，然后提取公因式就可以完成整個式子的分解因式；過程如下：
這種分解因式的方法叫做分組分解法，利用這種方法解決下列問題：
(1)試用“分組分解法”分解因式：；
(2)三邊滿足，判斷的形狀．
(3)已知，求a+b的值．
35．（2022·廣東·普寧市紅領巾實驗學校八年級階段練習）先閱讀下面的村料，再分解因式．
要把多項式分解因式，可以先把它的前兩項分成組，并提出，把它的后兩項分成組，并提出，從而得．
這時，由于中又有公因式，于是可提公因式，從而得到，因此有
．
這種因式分解的方法叫做分組分解法，如果把一個多項式各個項分組并提出公因式后，它們的另一個因式正好相同，那么這個多項式就可以利用分組分解法來因式分解．
請用上面材料中提供的方法解決問題：
(1)因式分解：
(2)已知，，是的三邊長，且滿足，試判斷三角形的形狀．
(3)已知，，是的三邊長，判斷式子的值的正負．
36．（2022·河南·漯河市第二實驗中學八年級期末）因式分解
(1)9x2-16y2
(2)a2-4b2+12bc-9c2
(3)ax4-ay4
(4)x2-2x-15
(5)x2-y2-4x+6y-5
37．（2022·四川巴中·八年級期末）把下列多項式分解因式
(1)2x（a-2）-y（2-a）
(2)4a2-12ab+9b2
(3) x2-2x-15
(4)-3x3+12x
38．（2021·福建·泉州科技中學八年級期中）因為，這說明多項式有一個因式為，我們把代入此多項式發(fā)現能使多項式的值為．
利用上述閱讀材料求解：
（1）若和是多項式的兩個因式，試求，的值；
（2）在（1）的條件下，把多項式因式分解．
參考答案：
1．A
【分析】根據多項式乘以多項式可得m、n的值，再代入計算即可．
【詳解】解：
故選：A．
【點睛】本題考查因式分解—十字相乘法，是基礎考點，掌握相關知識是解題關鍵．
2．(1)
(2)
【分析】（1）根據分組分解法，將其分成，根據完全平方公式與平方差公式進行因式分解即可求解；
（2）根據拆項法，得到，再根據分組分解法因式分解即可求解．
（1）
解：原式＝
；
（2）
解：原式＝
．
【點睛】本題考查了因式分解，理解材料分組分解法以及拆項法進行因式分解是解題的關鍵．
3．(1)分組后能出現公因式，分組后能應用公式
(2)、
(3)
【分析】（1）閱讀材料可知分組須有“預見性”，預見下一步能繼續(xù)分解，即可求解；
（2）根據分組分解的方法，依據下一步利用公式進行分組；
（3）根據分組分解法因式分解即可求解．
【詳解】（1）分組后能出現公因式，分組后能應用公式
（2），
，
故答案為：，．
（3）
．
【點睛】本題考查了因式分解，掌握分組分解法是解題的關鍵．
4．C
【分析】利用十字相乘的方法分解因式，即可求出的值．
【詳解】解：∵多項式分解因式后含有因式，
∴，
∴．
故選：C
【點睛】本題考查了因式分解的意義，熟練掌握十字相乘的方法分解因式是解本題的關鍵．
5．B
【分析】根據因式分解，進而即可求得的值
【詳解】解：，
p，q的值分別為
故選：B
【點睛】本題考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解題的關鍵．
6．(1)
(2)
(3)
②43或
【分析】（1）首先把二次項的系數1分解為兩個因數的積，即，把常數項也分解為兩個因數的積，即，寫出結果即可．
（2）①把二次項系數2寫成，常數項寫成，滿足，寫出分解結果即可．
②把項系數6寫成，把項系數2寫成，滿足，寫出分解結果即可．
（3）①把項系數3寫成，把項系數-2寫成，常數項-4寫成滿足條件，寫出分解結果即可．
②把項系數1寫成，把項系數-18寫成，常數項-24寫成或滿足條件，寫出分解結果，計算即可．
【詳解】（1）首先把二次項的系數1分解為兩個因數的積，即，把常數項也分解為兩個因數的積，即，所以．
故答案為：．
（2）①把二次項系數2寫成，，滿足，所以．
故答案為：．
②把項系數6寫成，把項系數2寫成，滿足，
所以．
故答案為：．
（3）①把項系數3寫成，把項系數-2寫成，常數項-4寫成滿足條件，
所以．
故答案為：．
②把項系數1寫成，把項系數-18寫成，常數項-24寫成或滿足條件，
所以m=或m=，
故m的值為43或-78．
【點睛】本題考查了因式分解的十字相乘法，讀懂閱讀材料，理解其中的內涵是解題的關鍵．
7．A
【分析】根據多項式乘以多項式可得m、n的值，再代入計算即可．
【詳解】解：
故選：A．
【點睛】本題考查因式分解—十字相乘法，是基礎考點，掌握相關知識是解題關鍵．
8．A
【分析】根據兩個一次多項式的兩個一次項的乘積得到結果中的二次項，兩個常數項的積得到結果中的常數項，從而可判斷出另一個因式，再利用整式的乘法進行計算，即可得到答案．
【詳解】解： 多項式能分解成兩個一次因式的積，且其中一個次因式，
由多項式的乘法運算法則可得另一個因式的一次項為 常數項為



故選：A
【點睛】本題考查的是因式分解的應用，整式乘法與因式分解的關系，理解題意得出多項式的另一個因式為是解本題的關鍵．
9．A
【分析】根據分解因式的分組分解因式后整體代入即可求解．
【詳解】解：a2b+ab2-a-b
=（a2b-a）+（ab2-b）
=a（ab-1）+b（ab-1）
=（ab-1）（a+b）
將a+b=3，ab=1代入，得：原式=0．
故選：A．
【點睛】本題考查了因式分解的應用，解決本題關鍵是掌握分組分解因式的方法．
10．A
【分析】先利用分組分解法進行因式分解，然后求解即可得出a、b、c之間的關系，根據構成三角形三邊的要求，即可得出．
【詳解】解：，
，
，
∴或，
當時，圍成一個等腰三角形；
當時，不能圍成三角形；
故選：A．
【點睛】題目主要考查利用分解因式求解、構成三角形的三邊關系，理解題中例題的分組分解因式法是解題關鍵．
11．B
【分析】根據因式分解的分組分解法即可求解．
【詳解】解：a2-ab-ac+bc=11，
（a2-ab）-（ac-bc）=11，
a（a-b）-c（a-b）=11，
（a-b）（a-c）=11，
∵a＞b，
∴a-b＞0，a，b，c是正整數，
∴a-b=1或11，a-c=11或1．
故選：B．
【點睛】本題考查了因式分解的應用，解決本題的關鍵是掌握分組分解法分解因式．
12．A
【分析】先利用單項式乘以多項式法則將要求值的多項式進行整理，將題目所給的有確定值的式子進行變形，得出所需要的式子的值，運用整體代入法既可求解．
【詳解】解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故選：A．
【點睛】本題考查單項式乘以多項式、多項式乘以多項式的綜合運用，解題的關鍵是對條件所給的式子變形要有方向性和目的性，同時要掌握分組分解法對式子進行因式分解．
13．D
【分析】將等號兩邊均乘以2，利用配方法變形，得（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2=0，再利用非負數的性質求解即可．
【詳解】∵a2+b2+c2=ab+bc+ac，
∴a2+b2+c2-ab-bc-ac=0，
∴2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=0，
∴a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+a2-2ac+c2=0，
即（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=0，
∴a-b=0，b-c=0，c-a=0，
∴a=b=c，
∴△ABC為等邊三角形．
故選D．
【點睛】本題考查了配方法的應用，用到的知識點是配方法、非負數的性質、等邊三角形的判斷．關鍵是將已知等式利用配方法變形，利用非負數的性質解題．
14．A
【分析】根據因式分解-十字相乘法，提公因式法與公式法進行分解，即可判斷．
【詳解】解：A、-x2+3x=-x（x-3），故該選項符合題意；
B、9x2-y2=（3x+y）（3x-y），故該選項不符合題意；
C、-x2-2x-1=-（x+1）2，故該選項不符合題意；
D．x2-5x-6=（x-6）（x+1），故該選項不符合題意；
故選：A．
【點睛】本題考查了因式分解-十字相乘法，提公因式法與公式法的綜合運用，一定要注意如果多項式的各項含有公因式，必須先提公因式．
15．B
【分析】先利用十字相乘法去掉括號，再根據等式的性質得a＋b＝1，ab＝﹣6．
【詳解】解：∵x2＋x﹣6＝（x＋a）（x＋b），
∴x2＋x﹣6＝x2＋（a＋b）x＋ab，
∴a＋b＝1，ab＝﹣6；
故選：B．
【點睛】本題考查了十字相乘法分解因式，掌握運用十字相乘法分解因式時，要注意觀察，嘗試，并體會它實質是二項式乘法的逆過程，這是解題關鍵．
16．A
【分析】將8x2-10x+2進行分解因式得出8x2-10x+2=（4x-1）（2x-2），進而得出答案即可．
【詳解】解：8x2-10x+2=2（4x2-5x+1）
=2（4x-1）（x-1）
=（4x-1）（2x-2），
故多項式8x2-10x+2的因式為（4x-1）與（2x-2），
故選：A．
【點睛】本題主要考查了因式分解的意義，正確將多項式8x2-10x+2分解因式是解題關鍵．
17．B
【分析】將多項式5x2+17x-12進行因式分解后，確定a、b、c的值即可．
【詳解】解：因為5x2+17x-12=（x+4）（5x-3）=（x+a）（bx+c），
所以a=4，b=5，c=-3，
所以a-c=4-（-3）=7，
故選：B．
【點睛】本題考查十字相乘法分解因式，掌握十字相乘法是正確分解因式的前提，確定a、b、c的值是得出正確答案的關鍵．
18．D
【分析】根據給出的公式將值代入即可得出答案．
【詳解】解：A.可以分解，不符合題意；
B.可以分解，不符合題意；
C. 可以分解，不符合題意；
D.不能分解，符合題意；
故選D．
【點睛】本題考查了分解因式，確定的值是解題的關鍵．
19．A
【分析】根據材料方法進行分組分解，最后根據多個因數之積為0，得出邊長關系即可．
【詳解】解：由題意：
∵，
∴，
∵a、b、c是△ABC的三邊，
∴，
∴，即：，
∴△ABC的形狀是等腰三角形，
故選：A．
【點睛】本題考查因式分解的實際應用，掌握材料介紹的因式分解方法，并且理解多個因數乘積為0時的情況是解題關鍵．
20．D
【分析】根據已知，將其a2－2ab＋2b2＋4b＋4＝0變形為，利用非負數的性質，求出a和b，最后代入即可.
【詳解】解：a2－2ab＋2b2＋4b＋4＝a2－2ab＋b2＋b2＋4b＋4＝
a-b=0 b+2=0
a+3b= 故選擇D
【點睛】本題考查了利用公式進行變形，其次是平分的非負性，利用這個性質求得a,b的值是關鍵.
21．（x+y）（x﹣y+a）
【分析】前兩項一組，利用平方差公式分解因式，后兩項一組，提取公因式a，然后兩組之間再提取公因式（x+y）整理即可．
【詳解】解：x2﹣y2+ax+ay，
＝（x+y）（x﹣y）+a（x+y），
＝（x+y）（x﹣y+a）．
【點睛】本題主要考查了多項式的因式分解，熟練掌握多項式的因式分解的方法，并根據多項式的特征靈活選用合適的方法是解題的關鍵．
22．
【分析】（1）利用十字乘法分解因式即可得到答案；
（2）利用十字乘法分解因式即可得到答案；
（3）利用十字乘法分解因式即可得到答案；
（4）利用十字乘法分解因式即可得到答案；
（5）利用十字乘法分解因式即可得到答案；
（6）利用十字乘法分解因式即可得到答案；
（7）先提公因式 再利用十字乘法分解因式即可得到答案；
（8）先利用十字乘法分解因式，再利用平方差公式分解即可；
（9）先把原式化為：，再利用完全平方公式與平方差公式分解即可.
【詳解】解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）

故答案為：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）
【點睛】本題考查的是十字乘法分解因式，分組分解法，利用完全平方公式分解因式，掌握以上因式分解的方法是解題的關鍵.
23． 3 ②，③，④
【分析】（1）先將式子中的項進行分組，然后利用完全平方公式和平方差公式進行分解即可；
（2）先將式子中的項進行分組，再提取公因式和平方差公式進行因式分解即可；
（3）對每個式子進行因式分解，判定即可．
【詳解】解：（1）
故答案為：、3、、、
（2）
故答案為：、、、、、、
（3）①，不能用分成三項一組和一項一組的方法進行分解因式，不符合題意；
②，能用分成三項一組和一項一組的方法進行分解因式，符合題意；
③，能用分成三項一組和一項一組的方法進行分解因式，符合題意；
④，能用分成三項一組和一項一組的方法進行分解因式，符合題意；
故答案為：②，③，④
【點睛】此題考查了因式分解的方法，涉及了分組分解法、公式法、提取公因式法，熟練掌握因式分解的有關方法是解題的關鍵．
24．
【分析】原式變形后，利用十字相乘法分解因式即可．
【詳解】解：原式
，
故答案為：．
【點睛】此題考查了因式分解—十字相乘法，熟練掌握十字相乘法是解本題的關鍵．
25．
【分析】通過十字相乘法，即可得出結果．
【詳解】解：
，
故答案為：
【點睛】本題考查了用十字相乘法因式分解，解本題的關鍵在熟練掌握十字相乘法．
26．24
【分析】用提公因式法和十字相乘法把代數式進行因式分解后，把，，，整體代入即可求值．
【詳解】∵，，，
∴
＝xy（x2－2xy－3y2）
＝xy（x－3y）（x＋y）
＝2×3×4
＝24
故答案為：24
【點睛】此題考查了代數式的求值和因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題的關鍵．
27．(x+2)(x-6)
【分析】根據甲分解的結果求出b，根據乙分解的結果求出a，然后代入分解即可．
【詳解】解：∵=x2+x-12，
∴b=-12；
∵=x2-4x-21，
∴a=-4，
∴
=
=(x+2)(x-6)．
故答案為：(x+2)(x-6)．
【點睛】本題考查了因式分解，把一個多項式化成幾個整式的乘積的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分組分解法． 因式分解必須分解到每個因式都不能再分解為止．
28．6．
【分析】利用常數項分解為異號兩數相乘的積，這兩數的和就是a，求a出的不同的值，查出a個數即可
【詳解】解：∵-12=-1×12=1×（-12）=-2×6=6×（-2）=-3×4=3×（-4），
顯然a即為分解的兩個數的和，即a的值為±11，±4，±1共6個．
故答案為：6．
【點睛】本題考查了十字相乘法分解因式，把常數項分解成兩個因數的積，且這兩個因數的和等于一次項系數是解題關鍵．
29．(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
【分析】（1）直接提公因式分解，可得答案；
（2）直接提公因式分解，可得答案；
（3）根據平方差公式分解，可得答案；
（4）根據十字相乘法分解可得答案；
（5）先提公因式，再利用完全平方公式繼續(xù)分解，可得答案；
（6）根據整式的乘法、合并同類項整理，再利用完全平方公式分解，可得答案；
（7）先提公因式，再根據平方差公式繼續(xù)分解，可得答案；
（8）先提公因式，再根據十字相乘法分解可得答案；
（9）先利用平方差公式分解，再提公因式，可得答案；
（10）根據整式的乘法、合并同類項整理，再根據完全平方公式分解，可得答案．
【詳解】（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
；
（5）
；
（6）
；
（7）
；
（8）
；
（9）
；
（10）
．
【點睛】本題考查了因式分解，一提，二套，三檢查，分解要徹底，掌握因式分解的方法是解題的關鍵．
30．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）利用完全平方公式和平方差公式分解因式；
（2）先提取公因式，再利用平方差公式分解即可；
（3）利用完全平方公式和平方差公式分解因式；
（4）利用十字相乘法分解因式．
【詳解】（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
【點睛】此題考查了因式分解，正確掌握因式分解的方法：提公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式）、因式分解法是解題的關鍵．
31．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）首先把轉化為，利用提公因式法分解因式即可；
（2）首先利用完全平方公式去括號，然后合并同類項，再利用完全平方公式分解因式即可；
（3）利用提公因式法和完全平方公式分解因式即可；
（4）把看作整體，然后利用十字相乘法分解因式即可．
（1）
解：
；
（2）
解：
（3）
解：
（4）
解：
【點睛】本題考查了因式分解，解本題的關鍵在熟練掌握分解因式的方法．
32．(1)
(2)±2，±7
(3)
【分析】（1）仿照例題的方法，這個式子的常數項?18＝?9×2，一次項系數7＝?2＋9，然后進行分解即可；
（2）仿照例題的方法，這個式子的常數項，然后進行計算求出p的所有可能值即可；
（3）仿照例題的方法，這個式子的常數項，一次項系數，然后進行分解計算即可．
【詳解】（1）解：＋7x?18
＝＋（?2＋9）x＋（?2）×9
＝（x?2）（x＋9）
故答案為：（x?2）（x＋9）．
（2）解：∵，
∴，
∴若＋px＋6可分解為兩個一次因式的積，則整數p的所有可能值是：±2，±7．
故答案為：±2，±7．
（3）解：?6x+8＝0，
（x?2）（x-4）＝0，
（x?2）＝0或（x-4）＝0，
∴，＝4．
【點睛】本題考查了因式分解?十字相乘法，理解并掌握＋（p＋q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q）是解題的關鍵．
33．(1)；
(2)；
(3)為等腰三角形．
【分析】（1）運用分組分解法直接作答即可；
（2）運用分組分解法直接作答即可；
（3）運用分組分解法判斷出a=c，進而得到結論．
【詳解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∵a，b，c是的三邊，
∴，
∴為等腰三角形．
【點睛】本題考查因式分解的應用，能夠靈活運用分組分解法進行因式分解是解答本題的關鍵．
34．(1)；
(2)△ABC是等腰三角形；
(3)a+b=3．
【分析】（1）利用分組分解法求解；
（2）先利用分組分解法分解，再根據邊長進行判斷；
（3）先利用分組分解法分解，再利用非負數的性質即可求解．
（1）
解：
；
（2）
解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴a-b=0，
∴a=b．
∴△ABC是等腰三角形；
（3）
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴b=2，a=1，
∴a+b=3．
【點睛】本題考查了利用分組分解法分式因式，結合三角形的分類及掌握完全平方公式、偶次方的非負性是解題的關鍵．
35．(1)
(2)是等腰三角形
(3)
【分析】（1）如果把一個多項式各個項分組并提出公因式后，它們的另一個因式正好相同，那么這個多項式就可以利用分組分解法來因式分解．依此即可求解．
（2）線把式子移項，再利用分組分解法因式分解，列出等式即可判斷．
（3）先利用完全平方公式因式分解，再利用平方差公式因式分解，即可得出．
（1）
；
（2）
解：是等腰三角形．理由如下：
，
，
，
，
，舍去，
，
ABC是等腰三角形．
（3）
．
證明：

是的三條邊，
，，
．
【點睛】本題考查因式分解—提公因式法，因式分解—分組分解法，完全平方公式，平方差公式，等腰三角形的判定，解題的關鍵是讀懂材料并熟知因式分解的方法．
36．(1)(3x+4y)(3x-4y)
(2)(a+2b-3c)(a-2b+3c)
(3)a(x+y)(x-y)(x2+y2)
(4)(x+3)(x-5)
(5)(x+y-5)(x-y+1)
【分析】(1)利用平方差公式分解；
(2)先重新分組，再套用完全平方公式，最后利用平方差公式分解；
(3)先提公因式法分解，再利用平方差公式分解；
(4)先將-15改成1-16，重新分組，再套用完全平方公式，最后利用平方差公式分解；
(5)先將-5改成4-9，重新分組，再套用完全平方公式，最后利用平方差公式分解．
（1）
解：9x2-16y2=(3x)2-(4y)2= (3x+4y) (3x-4y)
（2）
解：a2-4b2+12bc-9c2=a2-(4b2-12bc+9c2)=a2-(2b-3c)2= (a+2b-3c) (a-2b+3c)
（3）
解：ax4-ay4=a(x4-y4)=a(x2-y2)(x2+y2)=a(x+y) (x-y) (x2+y2)
（4）
解：x2-2x-15=x2-2x+1-16=(x-1)2-16=(x-1+4)(x-1-4)=(x+3)(x-5)
（5）
解：x2-y2-4x+6y-5=x2-y2-4x+6y+4-9
=x2-y2-4x+6y+4-9
=(x2-4x+4)-(y2-6y+9)
=(x-2)2-(y-3)2
=[(x-2)+(y-3)][(x-2)-(y-3)]
=(x+y-5)(x-y+1)
【點睛】本題考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法和公式法是解決本題的關鍵．
37．(1)（a-2）（2x+y）；
(2)（2a-3b）2；
(3)（x-5）（x+3）；
(4)-3x（x+2）（x-2）．
【分析】（1）利用提公因式法分解即可；
（2）利用完全平方公式分解即可；
（3）利用十字相乘法分解即可；
（4）先提公因式，然后再利用平方差公式繼續(xù)分解即可．
(1)
解：2x（a-2）-y（2-a）=（a-2）（2x+y）；
(2)
解：4a2-12ab+9b2=（2a-3b）2；
(3)
解：x2-2x-15=（x-5）（x+3）；
(4)
解：-3x3+12x
=-3x（x2-4）
=-3x（x+2）（x-2）．
【點睛】本題考查了因式分解-十字相乘法，提公因式法與公式法的綜合運用，一定要注意如果多項式的各項含有公因式，必須先提公因式．
38．（1）和；（2）
【分析】（1）根據題意可得當或時，，即可得到，由此求解即可；
（2）根據（1）所求結果得到可化為：，由此分解因式即可．
【詳解】解：∵和是多項式的兩個因式，
∴當或時，，
解得，
、的值分別為和．
（2）∵，，
可化為：，
．

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