TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc18422" 【考點1 冪的基本運算】 PAGEREF _Tc18422 \h 1
\l "_Tc32746" 【考點2 冪的逆運算】 PAGEREF _Tc32746 \h 3
\l "_Tc30329" 【考點3 利用冪的運算進行比較大小】 PAGEREF _Tc30329 \h 5
\l "_Tc26488" 【考點4 冪的混合運算】 PAGEREF _Tc26488 \h 8
\l "_Tc18081" 【考點5 利用冪的運算進行簡便計算】 PAGEREF _Tc18081 \h 10
\l "_Tc16935" 【考點6 冪的運算中的新定義問題】 PAGEREF _Tc16935 \h 12
\l "_Tc13892" 【考點7 整式的乘法】 PAGEREF _Tc13892 \h 16
\l "_Tc20690" 【考點8 整式乘法的應(yīng)用】 PAGEREF _Tc20690 \h 19
\l "_Tc23463" 【考點9 利用乘法公式求值】 PAGEREF _Tc23463 \h 22
\l "_Tc11805" 【考點10 乘法公式的幾何背景】 PAGEREF _Tc11805 \h 26
\l "_Tc5769" 【考點11 整式乘除的計算與化簡】 PAGEREF _Tc5769 \h 32
\l "_Tc21455" 【考點12 整式混合運算的應(yīng)用】 PAGEREF _Tc21455 \h 34
\l "_Tc13965" 【考點13 因式分解的概念】 PAGEREF _Tc13965 \h 40
\l "_Tc1036" 【考點14 因式分解（提公因式與公式法綜合）】 PAGEREF _Tc1036 \h 41
\l "_Tc10776" 【考點15 因式分解（十字相乘法）】 PAGEREF _Tc10776 \h 44
\l "_Tc32078" 【考點16 因式分解（分組分解法）】 PAGEREF _Tc32078 \h 49
\l "_Tc8397" 【考點17 利用因式分解求值】 PAGEREF _Tc8397 \h 51
\l "_Tc22359" 【考點18 因式分解的應(yīng)用】 PAGEREF _Tc22359 \h 53
【考點1 冪的基本運算】
【例1】（2022·湖南婁底·七年級期末）如果，那么的值為（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】A
【分析】利用同底數(shù)冪的乘方的法則對式子進行整理，即可得到關(guān)于n的方程，即可求解．
【詳解】∵a2n-1an+5=a16，
∴a2n-1+n+5=a16，
即a3n+4=a16，
∴3n+4=16，
解得：n=4．
故選：A．
【點睛】本題主要考查同底數(shù)冪的乘法，解答的關(guān)鍵是熟記同底數(shù)冪的乘法的法則．
【變式1-1】（2022·廣東·德慶縣德慶中學(xué)七年級期末）解答下列問題：
（1）已知，，求的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1）1500；（2）27
【分析】（1）先逆用積的乘方和冪的乘方運算法則，然后將已知代入即可解答；
（1）先由得3x+4y=3，然后逆用積的乘方和冪的乘方運算法則將
【詳解】解：（1）∵，，
∴；
（2）∵，
∴，
∴．
【點睛】本題考查了積的乘方和冪的乘方法則的逆用，靈活應(yīng)用相關(guān)運算法則是解答本題的關(guān)鍵．
【變式1-2】（2022·安徽合肥·七年級期末）已知，則x、y、z三者之間關(guān)系正確的是（ ）
A．xy=2zB．x+y=2zC．x+2y=2zD．x+2y=z?
【答案】C
【分析】根據(jù)冪的乘方和積的乘方運算法則進行計算，從而作出判斷．
【詳解】∵
∴
∵
∴
∴
故選：C．
【點睛】本題考查冪的運算，掌握冪的乘方，積的乘方運算法則是解題的關(guān)鍵．
【變式1-3】（2022·黑龍江·大慶市第十九中學(xué)七年級期末）已知5a=2b=10，那么 的值為________.
【答案】1
【分析】將題目中所給的式子進行化簡和構(gòu)造，根據(jù)同底數(shù)冪的乘法以及積的乘方證明ab=a+b即可.
【詳解】∵5a=10，2b=10
∴（5a）b=10b ， （2b）a=10a；
即5ab=10b ， 2ab=10a
∴5ab×2ab=10ab=10b×10a=10a+b
即a+b=ab
∴=1
故答案為1.
【點睛】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，有理數(shù)的乘方，積的乘方.
【考點2 冪的逆運算】
【例2】（2022·四川·渠縣流江初級實驗中學(xué)七年級期末）如果3a＝5，3b＝10，那么的值為( )
A． B． C． D．不能確定
【答案】B
【分析】逆用冪的乘方及同底數(shù)冪的除法即可完成．
【詳解】
故選：B．
【點睛】本題考查了冪的乘方的逆用及同底數(shù)冪的除法的逆用，用好這兩個運算性質(zhì)是關(guān)鍵．
【變式2-1】（2022·安徽·合肥新華實驗中學(xué)七年級期末）如果，，求：
(1)的值；
(2)的值．
【答案】(1)45
(2)125
【分析】（1）根據(jù)同底數(shù)冪的乘法的逆運算和冪的乘方的逆運算將原始變形為，然后將、代入求解即可；
（2）根據(jù)冪的乘方的運算法則求解即可．
（1）
解：∵，，
∴；
（2）
解：∵，，
∴．
【點睛】本題主要考查了冪的乘方、同底數(shù)冪的乘法等知識，熟練掌握冪的乘方的逆運算和同底數(shù)冪的乘法的逆運算是解題關(guān)鍵．
【變式2-2】（2022·北京昌平·七年級期末）將冪的運算逆向思維可以得到，，，，在解題過程中，根據(jù)算式的結(jié)構(gòu)特征，逆向運用冪的運算法則，?？苫睘楹啠y為易，使問題巧妙獲解．
(1) ______ ；
(2)若，求的值；
【答案】(1)1
(2)2
【分析】（1）根據(jù)，計算求解即可；
（2）根據(jù)，可得，計算求解即可．
(1)
解：由題意知，，
故答案為：1．
(2)
解：∵，
∴，
解得，
∴的值為2．
【點睛】本題考查了冪的乘方、積的乘法的逆運算，同底數(shù)冪的乘法．解題的關(guān)鍵在于對運算法則的熟練掌握與靈活運用．
【變式2-3】（2022·四川省渠縣中學(xué)七年級期末）（1）已知4m＝a，8n＝b，用含a，b的式子表示下列代數(shù)式：
①求：的值．
②求：的值．
（2）已知2×8x×16＝223，求x的值．
【答案】（1）①；②；（2）x=6．
【分析】（1）①根據(jù)題意分別將4m，8n化為底數(shù)為2的形式，然后代入求解；②根據(jù)題意分別將4m，8n化為底數(shù)為2的形式，然后代入求解；
（2）由題意將8x化為23x，將16化為24，列出方程求出x的值．
【詳解】解：（1）∵4m=a，8n=b，
∴，，
①；
②；
（2）∵2×8x×16=223，
∴2×（23）x×24=223，
∴2×23x×24=223，即23x+5=223
∴3x+5=23，
解得：x=6．
【點睛】本題考查同底數(shù)冪的除法的逆運算以及冪的乘方的逆運算和積的乘方的逆運算，熟練掌握相關(guān)的運算法則是解答本題的關(guān)鍵．
【考點3 利用冪的運算進行比較大小】
【例3】（2022·福建省羅源第二中學(xué)八年級期末）若a＝3555，b＝4444 ，c＝5333，比較a、b、c的大?。? ）
A．a(chǎn)＞b＞cB．b＞a＞cC．c＞a＞bD．c＞b＞a
【答案】B
【分析】根據(jù)冪的乘方的性質(zhì)，得，，，從而完成求解．
【詳解】，，
∵
∴
∴，即b＞a＞c
故選：B．
【點睛】本題考查了冪的乘方的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握冪的乘方的性質(zhì)，從而完成求解．
【變式3-1】（2022·江蘇·江陰市華士實驗中學(xué)七年級期末）閱讀下列材料:
若，則a，b的大小關(guān)系是a_____ b (填“”).
解:因為，所以，
所以.
解答下列問題:
(1)上述求解過程中，逆用了哪一條冪的運算性質(zhì)_
A．同底數(shù)冪的乘法 B．同底數(shù)冪的除法 C．冪的乘方 D．積的乘方
(2)已知，試比較x與y的大?。?br>【答案】＞ （1）C （2）
【分析】（1）根據(jù)冪的乘方進行解答即可；
（2）根據(jù)題目所給的求解方法，進行比較．
【詳解】， 所以，
所以a>b，故答案為 >;
(1)上述求解過程中，逆用了幕的乘方，故選C;
(2) ，
，
.
【點睛】本題考查了冪的乘方和積的乘方，根據(jù)題目所給的運算方法進行比較是解題的關(guān)鍵．
【變式3-2】（2022·內(nèi)蒙古·赤峰市松山區(qū)大廟中學(xué)八年級期末）閱讀探究題：．
【閱讀材料】
比較兩個底數(shù)大于1的正數(shù)冪的大小，可以在底數(shù)（或指數(shù)）相同的情況下，比較指數(shù)（或底數(shù)）的大小，
如：，
在底數(shù)（或指數(shù)）不相同的情況下，可以化相同，進行比較，如：與，
解：，∵，∴
[類比解答]比較，的大?。?br>[拓展拔高]比較，，的大?。?br>【答案】【類比解答】；【拓展拔高】．
【分析】【類比解答】可以將底數(shù)都化為5，利用冪的乘方的逆運算法則變形后再進行比較；
【拓展拔高】觀察三個式子的特點，可以利用冪的乘方逆運算法則將指數(shù)都變形為111，再進行比較．
【詳解】【類比解答】解：，，
∵，
∴，即；
【拓展拔高】解：∵，，，
又∵，，，
∴，
∴．
【點睛】本題考查了冪的運算性質(zhì)，正確理解題意、靈活應(yīng)用冪的乘方逆運算法則是解題的關(guān)鍵．
【變式3-3】（2022·河北石家莊·七年級期末）閱讀：已知正整數(shù)，，，若對于同底數(shù)，不同指數(shù)的兩個冪和 ，當(dāng)時，則有；若對于同指數(shù)，不同底數(shù)的兩個冪和，當(dāng)時，則有>，根據(jù)上述材料，回答下列問題．[注（2），（3）寫出比較的具體過程]
(1)比較大?。篲_____，______；（填“>”、“，

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