1. 定義差集且，已知集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)差集的定義直接求解即可.
【詳解】因?yàn)?，?br>所以，
所以．
故選：B
2. 已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的模（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)四則運(yùn)算法則和共軛復(fù)數(shù)的定義求解即可.
【詳解】，
所以，所以.
故選：B.
3. 已知，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由，兩邊平方相加得到，再利用二倍角的余弦公式求解.
【詳解】解：因?yàn)椋?br>所以，
兩式相加得：，即，
化簡得，
所以，
故選：A
4. 已知點(diǎn)在拋物線上，拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，線段的中點(diǎn)也在拋物線上，拋物線的焦點(diǎn)為，則線段的長為（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】結(jié)合圖象利用是的中位線得，是的中位線得，再由拋物線得定義得，共同推得，得到，求得即得.
【詳解】
如圖，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，依題知是的中位線，可知，過向準(zhǔn)線做垂線，垂足分別為，
同理是的中位線，，由拋物線定義知，故得，
又，則點(diǎn)橫坐標(biāo)是，代入可得其縱坐標(biāo)為，故.
故選：C．
5. 已知，則的大小關(guān)系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)法求最值得，從而有，再利用函數(shù)單調(diào)遞減得，利用函數(shù)單調(diào)遞增得，即可比較大小.
【詳解】對(duì)，因?yàn)?，則，即函數(shù)在單調(diào)遞減，
且時(shí)，，則，即，所以，
因?yàn)榍?，所以?br>又，所以.
故選：B
6. 折扇是我國古老文化的延續(xù)，在我國已有四千年左右的歷史，“扇”與“善”諧音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字畫的形式體現(xiàn)我國的傳統(tǒng)文化，也是運(yùn)籌帷幄、決勝千里、大智大勇的象征（如圖1）.圖2是一個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面展開圖（扇形的一部分），若兩個(gè)圓弧DE，AC所在圓的半徑分別是3和6，且，則該圓臺(tái)的體積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意求出圓臺(tái)上下底面半徑，圓臺(tái)的高，代入圓臺(tái)的體積計(jì)算公式即可求解.
【詳解】設(shè)圓臺(tái)上下底面的半徑分別為，由題意可知，解得，
，解得：，作出圓臺(tái)的軸截面，如圖所示：
圖中，，
過點(diǎn)向作垂線，垂足為，則，
所以圓臺(tái)的高，
則上底面面積，，由圓臺(tái)的體積計(jì)算公式可得：
，
故選：.
7. 已知中，，，，為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，則的值為（ ）.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用平面向量線性運(yùn)算得到，再使用平面向量數(shù)量積運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算.
【詳解】∵，
∴，
∴，
∴，
故選：B.
8. 已知可導(dǎo)函數(shù)的定義域?yàn)?，為奇函?shù)，設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，若為奇函數(shù)，且，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由為奇函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)運(yùn)算可得，由為奇函數(shù)，可得，整理可得，進(jìn)而分析可得，即可得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，則，
即，兩邊求導(dǎo)得，
則，可知關(guān)于直線對(duì)稱，
又因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，則，
即，可知關(guān)于點(diǎn)1,0對(duì)稱，
令x=1，可得，即，
由可得，
由，可得，即，
可得，即，
令，可得；
令，可得；
且，可知8為的周期，
可知，
所以.
故選：D.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)的性質(zhì)主要是函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和周期性以及函數(shù)圖象的對(duì)稱性，在解題中根據(jù)問題的條件通過變換函數(shù)的解析式或者已知的函數(shù)關(guān)系，推證函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解決問題．
二?多選題（共18分）
9. 已知向量在向量方向上的投影向量為，向量，且與夾角，則向量可以為（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】向量在向量方向上的投影向量為，根據(jù)此公式可求，再逐項(xiàng)求出夾角后可得正確的選項(xiàng).
【詳解】由題設(shè)可得，故，
而，與夾角，故，故，
對(duì)于A，，因，故，故A正確.
對(duì)于B，，因，故，故B錯(cuò)誤.
對(duì)于C，，因，故，故C錯(cuò)誤.
對(duì)于D，，因，故，故D錯(cuò)誤.
故選：AD.
10. 已知，下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 若的最小正周期為，則
B. 若的圖象向左平移個(gè)單位長度后得到的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則
C. 若在上恰有4個(gè)極值點(diǎn)，則取值范圍為
D. 存在，使得在上單調(diào)遞減
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用二倍角公式及輔助角公式先化簡函數(shù)式，再利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)一一判定選項(xiàng)即可.
【詳解】由，
對(duì)于A，若的最小正周期為，則，故A正確；
對(duì)于B，若的圖象向左平移個(gè)單位長度后得，其圖象關(guān)于縱軸對(duì)稱，
則有，顯然，故B正確；
對(duì)于C，，
根據(jù)題意有，故C正確；
對(duì)于D，，
顯然，，即該區(qū)間為包含的連續(xù)區(qū)間，
根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性可知：該區(qū)間不可能單調(diào)遞減，故D錯(cuò)誤.
故選：ABC
11. 已知正方體的棱長為2，棱的中點(diǎn)為，過點(diǎn)作正方體的截面，且，若點(diǎn)在截面內(nèi)運(yùn)動(dòng)（包含邊界），則（ ）
A. 當(dāng)最大時(shí)，與所成的角為
B. 三棱錐的體積為定值
C. 若，則點(diǎn)的軌跡長度為
D. 若平面，則的最小值為
【答案】BCD
【解析】
【分析】記的中點(diǎn)分別為， 構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，證明共面，且平面，由此確定平面，找到MN最大時(shí)的位置，確定MN與BC所成角的平面角即可判斷A，證明與平面平行，應(yīng)用向量法求到面的距離，結(jié)合體積公式，求三棱錐的體積，判斷B；根據(jù)球的截面性質(zhì)確定 N的軌跡，進(jìn)而求周長判斷C，由平面確定的位置，通過翻折為平面圖形，利用平面幾何結(jié)論求解判斷D.
【詳解】記的中點(diǎn)分別為，
連接，連接，
因?yàn)椋?br>所以，，所以四邊形為平行四邊形，
連接，記其交點(diǎn)為，
根據(jù)正方體性質(zhì)，可構(gòu)建如下圖示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，,，，，，，，，

因?yàn)?，，，?br>，，，
所以，，，
，，
所以六點(diǎn)共面，
因?yàn)?，，?br>所以，，
所以，，
所以，又平面，
所以平面，故平面即為平面，
對(duì)于A，與重合時(shí)，MN最大，且，
所以MN與BC所成角的平面角為，
又，
所以，故MN與BC所成的角為，所以A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，因?yàn)樗?，，?br>所以，，
所以，，
所以，又平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面，
所以點(diǎn)到平面的距離與點(diǎn)到平面的距離相等，
所以，
向量為平面的一個(gè)法向量，又，
所以到面的距離，
又為等邊三角形，則，
所以三棱錐的體積為定值，B正確；
對(duì)于C：若，點(diǎn)在截面內(nèi)，
所以點(diǎn)N的軌跡是以為球心， 半徑為的球體被面所截的圓（或其一部分），
因?yàn)?，，所以?br>所以平面，所以截面圓的圓心為，
因?yàn)槭敲娴姆ㄏ蛄?，而?br>所以到面的距離為，
故軌跡圓的半徑，又，
故點(diǎn)N的軌跡長度為，C正確.
對(duì)于D，平面，平面，
又平面與平面的交線為，
所以點(diǎn)的軌跡為線段，
翻折，使得其與矩形共面，如圖，

所以當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值，最小值為，
由已知，，，
過作，垂足為，則，
所以
所以，
所以的最小值為，D正確；
故選：BCD
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵在于根據(jù)截面的性質(zhì)確定滿足條件的過點(diǎn)的截面位置，再結(jié)合異面直線夾角定義，錐體體積公式，球的截面性質(zhì)，空間圖形的翻折判斷各選項(xiàng).
三?填空題（共15分）
12. 2024年1月九省聯(lián)考的數(shù)學(xué)試卷出現(xiàn)新結(jié)構(gòu)，其中多選題計(jì)分標(biāo)準(zhǔn)如下：①本題共3小題，每小題6分，滿分18分；②每道小題的四個(gè)選項(xiàng)中有兩個(gè)或三個(gè)正確選項(xiàng)，全部選對(duì)得6分，有選錯(cuò)的得0分；③部分選對(duì)得部分分（若某小題正確選項(xiàng)為兩個(gè)，漏選一個(gè)正確選項(xiàng)得3分；若某小題正確選項(xiàng)為三個(gè)，漏選一個(gè)正確選項(xiàng)得4分，漏選兩個(gè)正確選項(xiàng)得2分）．已知在某次新結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)試題的考試中，小明同學(xué)三個(gè)多選題中第一小題確定得滿分，第二小題隨機(jī)地選了兩個(gè)選項(xiàng)，第三小題隨機(jī)地選了一個(gè)選項(xiàng)，則小明同學(xué)多選題所有可能總得分（相同總分只記錄一次）的中位數(shù)為______．
【答案】11
【解析】
【分析】列舉出所有的得分情況，再結(jié)合中位數(shù)的概念求答案即可.
詳解】由題意得小明同學(xué)第一題得6分；
第二題選了2個(gè)選項(xiàng)，可能得分情況有3種，分別是得0分、4分和6分；
第二題選了1個(gè)選項(xiàng)，可能得分情況有3種，分別是得0分、2分和3分；
由于相同總分只記錄一次，因此小明的總分情況有：6分、8分、9分、10分、12分、13分、14分、15分共8種情況，
所以中位數(shù)為，
故答案為：11.
13. 已知雙曲線的左右頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)是雙曲線上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，直線的傾斜角分別為，當(dāng)取最小值時(shí)，的面積為______.
【答案】
【解析】
【分析】利用兩點(diǎn)斜率公式與雙曲線方程求得為定值，進(jìn)而利用基本不等式求得取最小值時(shí)的值，從而利用三角形面積公式即可得解.
【詳解】因?yàn)殡p曲線，所以，
設(shè)，則，可得，
又因?yàn)榉謩e為雙曲線的左右頂點(diǎn)，可得，
所以；
又由，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以，解得（負(fù)值舍去），
所以，所以（負(fù)值舍去），
所以的面積為.
故答案為：.
14. 已知，則使不等式能成立的正整數(shù)的最大值為__________．
【答案】
【解析】
【分析】先研究的單調(diào)性，故可得，從而可求正整數(shù)的最大值.
【詳解】設(shè)，故，
當(dāng)時(shí)，f′x>0；當(dāng)時(shí)，f′x0,求曲線的“雙重切線”的方程；
（3）已知函數(shù)，直線為曲線的“雙重切線”，記直線的斜率所有可能的取值為，若，證明：.
【答案】（1）不是，理由見解析；
（2）；
（3）證明見解析．
【解析】
【分析】（1）求出導(dǎo)數(shù)為1的切點(diǎn)坐標(biāo)，寫出過兩切點(diǎn)的切線方程，比較可得；
（2）求出導(dǎo)數(shù)，利用其單調(diào)性可設(shè)切點(diǎn)為，且，寫出兩切線方程后由斜率相等，縱截距相等聯(lián)立，求得切點(diǎn)坐標(biāo)后可得切線方程；
（3）設(shè)對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)為，，對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)為，，由導(dǎo)數(shù)幾何意義得，，由周期性，只需研究的情形，由余弦函數(shù)的性質(zhì)，只需考慮，情形，在此條件下求得，
滿足，即，構(gòu)造函數(shù)（），則，由導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性，從而得出縮小的范圍，所以，證明則，再由不等式的性質(zhì)可證結(jié)論．
【小問1詳解】
不是，理由如下：
由已知，由解得，，
又，，不妨設(shè)切點(diǎn)為，，
在點(diǎn)處的切線的方程為，即，
在點(diǎn)的切線方程為，即與直線不重合，
所以直線不是曲線的“雙重切線”．
【小問2詳解】
由題意g′(x)=ex+1,x≤04x2,x>0，函數(shù)和都是單調(diào)函數(shù)，
則可設(shè)切點(diǎn)為，且，
所以在點(diǎn)處的切線的方程為，
在點(diǎn)的切線方程為，
所以ex1+1=4x22ex1+1(1?x1)=6?4x2?4x2，消去得，
設(shè)（），
則，所以是減函數(shù)，
又，所以在時(shí)只有一解，
所以方程的解是，從而，
在點(diǎn)處切線方程為，即，
在點(diǎn)處的切線方程為，即，
所以“雙重切線”方程為；
【小問3詳解】
證明：設(shè)對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)為，，對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)為，，
由于，所以，，
由余弦函數(shù)的周期性，只要考慮的情形，又由余弦函數(shù)的圖象，只需考慮，情形，
則，，其中，
所以，
又，，
即，，
時(shí)，，，
令（），則，，
在上單調(diào)遞減，又，所以，
所以，此時(shí)，則，
所以．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查新定義，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義．解題關(guān)鍵是正確理解新定義，并利用新定義進(jìn)行問題的轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)圖象的導(dǎo)數(shù)．新定義實(shí)際上函數(shù)圖象在兩個(gè)不同點(diǎn)處的切線重合，這種問題常常設(shè)出切點(diǎn)為，由導(dǎo)數(shù)幾何意義，應(yīng)用求出切點(diǎn)坐標(biāo)或者分別寫出過兩點(diǎn)的切線方程，由斜率相等和縱截距相等求切點(diǎn)坐標(biāo)．從而合問題獲得解決．

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