一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 已知集合，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解一元二次不等式得集合，再由交集定義求解．
【詳解】，∴．
故選：B．
【點睛】本題考查集合的交集運算，掌握一元二次不等式的解法是解題關(guān)鍵．本題屬于基礎(chǔ)題．
2. 若為第二象限角，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)角的范圍可取特殊值驗證選項ABD錯誤，再由第二象限正弦、余弦值的符號可得C正確.
【詳解】若為第二象限角，當時，可得在第四象限，此時，，即A錯誤，B錯誤；
當時，可得，即D錯誤；
由為第二象限角可得，所以，即C正確.
故選：C
3. 下列命題為真命題的是（ ）
A. 命題“”的否定是“”
B. 若，則
C. 的單調(diào)減區(qū)間為
D. 是的必要不充分條件
【答案】D
【解析】
【分析】利用存在量詞命題的否定判斷A；舉例說明判斷B；求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間判斷C；利用充分條件、必要條件的定義判斷D.
【詳解】對于A，命題“”的否定是“”，A錯誤；
對于B，，當時，，B錯誤；
對于C，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，C錯誤；
對于D，或，因此是的必要不充分條件，D正確.
故選：D
4. 英國著名數(shù)學(xué)家布魯克·泰勒（Taylr Brk）以微積分學(xué)中將函數(shù)展開成無窮級數(shù)的定理著稱于世泰勒提出了適用于所有函數(shù)的泰勒級數(shù)，泰勒級數(shù)用無限連加式來表示一個函數(shù)，如：，其中．根據(jù)該展開式可知，與的值最接近的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】觀察題目將其轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值，再將弧度制與角度制互化，結(jié)合誘導(dǎo)公式判斷即可.
【詳解】原式，
故選：C.
5. 已知函數(shù)的最小值為1，則（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分類討論，從而求出的單調(diào)區(qū)間，即可求解函數(shù)的最值求解.
【詳解】函數(shù)的定義域為，，
當時，在內(nèi)恒成立，所以函數(shù)在內(nèi)為增函數(shù),此時無最小值，
當時，由，得，由得
函數(shù)在內(nèi)為減函數(shù)，在內(nèi)為增函數(shù)，故當時，取最小值，
即，故，
故選：D
6. 已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，若，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先由圖像以及題意求出的解析式，從而得，，進而依據(jù)它們的角的關(guān)系結(jié)合三角恒等變換公式即可求解.
【詳解】由圖可知，由可知，
故，又由圖，
故由圖，①，
由圖，②，
又，結(jié)合①②可得，故，
所以.
故.
故選：D.
7. 已知函數(shù)和的定義域及值域均為，它們的圖像如圖所示，則函數(shù)的零點的個數(shù)為（ ）
A. 2B. 3C. 5D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的零點，再結(jié)合圖形即可求解.
【詳解】由題意，知函數(shù)的零點，即方程根.
令，，則.
當時，滿足方程的有2個，此時有4個不同的實數(shù)根；
當時，滿足方程的有1個，此時有2個不同的實數(shù)根.
綜上可知方程共有6個實數(shù)根，即函數(shù)共有6個零點.
故選：D
8. 已知函數(shù)，若，是銳角的兩個內(nèi)角，則下列結(jié)論一定正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由已知可得，根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性，得出，由的單調(diào)性即可判斷選項.
【詳解】因為，所以，
當時，，所以，即，
所以在上單調(diào)遞減.
因為，是銳角的兩個內(nèi)角，所以，則，
因為在上單調(diào)遞減，
所以，
故，故D正確.
同理可得，C錯誤；
而的大小不確定，故與，與的大小關(guān)系均不確定，
所以與，與的大小關(guān)系也均不確定，AB不能判斷.
故選：D
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.
9. 若，則下列各式中，一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)可一一判斷各項.
【詳解】對于A：當，時，等式右邊無意義，A錯；
對于B：當，時，等式右邊無意義，B錯；
對于C：，C正確；
對于D：，D正確.
故選：CD．
10. 對于函數(shù)定義域中任意的，有如下結(jié)論，①，②，③，④.下列函數(shù)能同時滿足以上兩個結(jié)論的有（ ）
A. fx=lnxB.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】先對四個結(jié)論進行解讀，得出函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性，周期性和凹凸性，對選項一一判斷，即得結(jié)果.
【詳解】由①可得，函數(shù)在定義域內(nèi)增函數(shù)；
由②可得，，即函數(shù)為奇函數(shù)；
由③可得，函數(shù)的圖象向下凸.；
由④可得，，
即，說明函數(shù)的周期為4.
對于A，函數(shù)不是奇函數(shù)，圖象向上凸，也沒有周期，故排除；
對于B, 函數(shù)是奇函數(shù)，且周期為,故符合要求；
對于C，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且其圖象向下凸，故符合要求；
對于D，是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，故符合要求.
故選：BCD.
11. 已知函數(shù)，下列說法正確的是（ ）
A. 的最小正周期為
B. 點為圖象一個對稱中心
C. 若在上有兩個實數(shù)根，則
D. 若的導(dǎo)函數(shù)為，則函數(shù)的最大值為
【答案】ACD
【解析】
【分析】對于A，直接由周期公式即可判斷；對于B，直接代入檢驗即可；對于C，畫出圖形，通過數(shù)形結(jié)合即可判斷；對于D，求得后結(jié)合輔助角公式即可得解.
【詳解】由題意可得，故A正確；
，所以不是圖象的一個對稱中心，故B錯誤；
令，由得，
根據(jù)題意可轉(zhuǎn)化為直線與曲線，有兩個交點，
數(shù)形結(jié)合可得，故C正確；
設(shè)f′x為的導(dǎo)函數(shù)，
則，其中，
當且僅當，即當且僅當時等號成立，故D正確，
故選：ACD．
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 曲線在點處的切線方程為______.
【答案】
【解析】
【分析】直接計算得到，，然后使用切線的定義即可.
【詳解】由，知.
所以，，故所求切線是經(jīng)過點且斜率為的直線，即.
故答案為：.
13. 已知角的終邊經(jīng)過點，則________．
【答案】5
【解析】
【分析】利用任意角三角函數(shù)的定義可得，再結(jié)合誘導(dǎo)公式及商數(shù)關(guān)系即可求解.
【詳解】由角終邊經(jīng)過點可知：，
則.
故答案為：5.
14. 設(shè)函數(shù)，則使得不等式成立的的取值范圍是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，判斷函數(shù)單調(diào)性以及奇偶性，利用函數(shù)性質(zhì)再解不等式即可.
【詳解】令，則，
當x>0時，，，故，即，
故在上單調(diào)遞增；
又在上單調(diào)遞增且函數(shù)值恒正，
所以在上單調(diào)遞增，
故y=f(x)在上單調(diào)遞增；
又的定義域為，且，
故為偶函數(shù)，
故，
也即，
整理可得：，即，
解得.
故答案為：.
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
15. 某公司生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，在該公司的倉庫中有甲產(chǎn)品7萬件、乙產(chǎn)品3萬件，按甲、乙產(chǎn)品的數(shù)量比例，用分層隨機抽樣的方法從這10萬件產(chǎn)品中抽取一個容量為10的樣本，對樣本中的每件產(chǎn)品進行質(zhì)量檢測，測得樣本中甲產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為，乙產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為23．
（1）若從樣本中再隨機抽取3件進行深度測試，求至少抽到2件乙產(chǎn)品的概率；
（2）若從樣本中的甲產(chǎn)品和乙產(chǎn)品中各隨機抽取2件，將抽到的這4件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)記為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．
【答案】（1）
（2），分布列見解析
【解析】
【分析】(1)根據(jù)分層抽樣方法可知，甲產(chǎn)品具有件，乙產(chǎn)品具有件，從這個容量為10的樣本中再隨機抽取3件，可得抽取的方法種類為，至少抽到2件乙產(chǎn)品的不同抽取方法種數(shù)為，求出概率；
(2)由題意知在這個容量為10的樣本中，甲產(chǎn)品中有件優(yōu)質(zhì)品，有件不是優(yōu)質(zhì)品，乙產(chǎn)品中有件優(yōu)質(zhì)品，有件不是優(yōu)質(zhì)品，則的所有可能取值為,求出概率，寫出分布列，計算期望.
小問1詳解】
由分層隨機抽樣方法知，抽取的容量為10的樣本中，甲產(chǎn)品有件，乙產(chǎn)品有件，
從這個容量為10的樣本中再隨機抽取3件，不同抽取方法的種數(shù)為，其中至少抽到2件乙產(chǎn)品的不同抽取方法種數(shù)為，
至少抽到2件乙產(chǎn)品的概率為．
【小問2詳解】
由題意知在這個容量為10的樣本中，甲產(chǎn)品中有件優(yōu)質(zhì)品，有件不是優(yōu)質(zhì)品，乙產(chǎn)品中有件優(yōu)質(zhì)品，有件不是優(yōu)質(zhì)品，則的所有可能取值為1，2，3，4．
，，
，，
的分布列為
．
16. 設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為，已知.
（1）求角的大?。?br>（2）若，且的面積為，求的周長.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由二倍角的正弦公式和弦切互化結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值化簡可得；
（2）由三角形的面積公式結(jié)合余弦定理計算可得.
【小問1詳解】
由，
，
又，
，得.
【小問2詳解】
由已知可得，，
可得.
又由余弦定理可得，
化簡得，，
聯(lián)立解得，
所以的周長為.
17. 如圖，在四棱錐中，，，，，平面．
（1）求證：平面；
（2）求的長；
（3）若，求直線與平面所成角的正弦值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)平面，平面，通過線面垂直的性質(zhì)定理得到，結(jié)合，利用線面垂直的判定定理得到平面.
（2）取中點，連接，，在三角形中利用勾股定理求解.
（3）以為坐標原點，，為，軸的正方向，以過且與平面垂直向上為軸的正方向建立空間直角坐標系，求出直線的方向向量和平面的法向量，利用空間向量夾角余弦公式求解即可.
【小問1詳解】
由平面，平面，得，
又，且平面，平面，，
所以平面.
【小問2詳解】
取中點，連接，，由，且，
所以四邊形為平行四邊形，所以，
由（1）平面得平面，
由平面，所以，
由平面，平面，
得，所以，
又，所以.
【小問3詳解】
以為坐標原點，，為，軸的正方向，以過且與平面垂直向上為軸的正方向建立空間直角坐標系．
由，得為正三角形，所以，
又，，，所以，，
設(shè)平面的法向量，則，即，
取，得到平面的一個法向量．
又，設(shè)直線與平面所成角的大小為，
則，
所以直線與平面所成角的正弦值為．
18. 已知橢圓的焦點在軸上，離心率為，對稱軸為坐標軸，且經(jīng)過點.
（1）求橢圓的方程；
（2）若過的直線交橢圓于兩點，求的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用橢圓的性質(zhì)，離心率定義，以及點在曲線上，建立方程求得，即可得解；
（2）分斜率存在與不存在兩類進行直線方程的處理，將轉(zhuǎn)化為兩點的橫坐標的比：，利用，結(jié)合韋達定理，求出的范圍，從而得解.
【小問1詳解】
依題意，可設(shè)橢圓的方程為.
由得，又因為，所以，則，
因為橢圓經(jīng)過點，代入上述方程解得，則，
所以橢圓的方程為.
【小問2詳解】

由（1）可知：，
當斜率不存在時，若點與重合，與重合.此時.
若點與重合，與重合，則.
當直線斜率存在時，設(shè)直線，
聯(lián)立得消去可得，顯然，
則，可得，
整理可得，
因為，可得，
令，則，解得，即，
所以.
綜上，的取值范圍為.
19. 已知函數(shù)．
（1）當時，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）若恒成立，求的取值范圍；
（3）若數(shù)列滿足，記為數(shù)列的前項和．證明：．
【答案】（1）的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．
（2）．
（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）求導(dǎo)，即可根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負即可求解，
（2）根據(jù)題意可得，即可由導(dǎo)數(shù)結(jié)合分類討論求解最值，進一步將問題轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)即可求解最值求解，
（3）根據(jù)（2）的求解可得不等式和，即可根據(jù)，得，由累加法以及裂項求和即可求證.
【小問1詳解】
當時，，
故當單調(diào)遞減；
當單調(diào)遞增．
綜上，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．
【小問2詳解】
由題意，．
①當時，在單調(diào)遞減，
由，不合題意；
②當時，在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增．
由恒成立，得．
即．
令，
恒成立，
所以單調(diào)遞減，且．
故當，符合題意，
當，不合題意．
綜上，的取值范圍為．
【小問3詳解】
由，
得，且．
由（2）可知，令，有可得，
令可得即．
由得即．
兩邊取對數(shù)得，由上述不等式得
于是，
所以．
當時，，不等式成立；
當時，
．即當時，不等式成立．
綜上，得證．
【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)證明或判定不等式問題：
1．通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值（最值），從而得出不等關(guān)系；
2．利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，從而判定不等關(guān)系；
3．適當放縮構(gòu)造法：根據(jù)已知條件適當放縮或利用常見放縮結(jié)論，從而判定不等關(guān)系；
4．構(gòu)造“形似”函數(shù)，變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).1
2
3
4

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