注意事項：
本卷共19道題目，考試用時120分鐘，滿分150分，請在答題卡上作答，選擇題用2B鉛筆填涂，要求把選項填黑填滿，主觀題用0.5毫米黑色簽字筆答題，主觀題要答寫在對應(yīng)題框內(nèi)，不在框內(nèi)答題無效.
一?單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合要求的.）
1. 已知集合，則的元素數(shù)量是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得，即可求解.
【詳解】由于，故，又，故，有5個元素，
故選：D.
2. 已知，則（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法、減法運算和復(fù)數(shù)的模計算得到結(jié)果.
【詳解】由題得，
則，
答選：B.
3. 小明在某一天中有七個課間休息時段，為準(zhǔn)備“小歌手”比賽他想要選出至少一個課間休息時段來練習(xí)唱歌，但他希望任意兩個練習(xí)的時間段之間都有至少兩個課間不唱歌讓他休息，則小明一共有（ ）種練習(xí)的方案.
A. 31B. 18C. 21D. 33
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)練習(xí)唱歌的課間個數(shù)進(jìn)行分類討論，利用列舉法來求得正確答案.
【詳解】七個課間編號為，
如果僅有一個課間練習(xí)，則每個課間都可以，有7種方案，
若有兩個課間練習(xí)，選法有，
共種方案，
三個課間練習(xí)，選法為，共種，
故總數(shù)為種.
故選：B
4. 已知均為正實數(shù)．則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充分必要條件D. 既不充分又不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合不等式的性質(zhì)，利用充分條件、必要條件的定義判斷即得.
【詳解】由均正實數(shù)，得，則，即；
當(dāng)時，即，而均為正實數(shù)，則有或，即或，
所以“”是“”的充分不必要條件.
故選：A
5. 深度學(xué)習(xí)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化模型之一是指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型：，其中，L表示每一輪優(yōu)化時使用的學(xué)習(xí)率，表示初始學(xué)習(xí)率，表示衰減系數(shù)，表示訓(xùn)練迭代輪數(shù)，表示衰減速度．已知，某個指數(shù)衰減學(xué)習(xí)率模型的初始學(xué)習(xí)率為，衰減速度為．經(jīng)過輪迭代學(xué)習(xí)時，學(xué)習(xí)率衰減為，則學(xué)習(xí)率衰減到以下所需要的訓(xùn)練迭代輪數(shù)至少為（ ）（參考數(shù)據(jù)：）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件列方程，可得，再由，結(jié)合指對數(shù)關(guān)系和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解即可．
【詳解】由于，所以，
依題意，則，
則，
由，得到，
所以，
所以所需的訓(xùn)練迭代輪數(shù)至少為74次，
故選：D.
6. 如圖所示，直線與曲線y=fx相切于兩點，其中．若當(dāng)時，，則函數(shù)在0,+∞上的極大值點個數(shù)為（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)斜率為的切線條數(shù)，結(jié)合圖象直接判斷即可.
【詳解】
根據(jù)圖象，可分別作出斜率為的另外三條切線：，切點分別為，
如圖所示：當(dāng)時，；當(dāng)時，；
設(shè)，則，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
有，和三個極大值點.
故選：D.
7. 若是雙曲線的右焦點，過作雙曲線一條漸近線的垂線與兩條漸近線交于兩點，為坐標(biāo)原點，的面積為，則該雙曲線的離心率（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出漸近線方程，根據(jù)題設(shè)條件作出圖象，設(shè)，可得出，從而求出，再求出到漸近線的距離，從而得出，結(jié)合的面積為，可得到，從而可得，的等量關(guān)系，再由離心率公式即可求解．
【詳解】根據(jù)題意可得雙曲線的漸近線方程為，.
設(shè)過點作漸近線的垂線，分別交，于點，如圖所示：
因為，所以，
設(shè)，則，，
所以，
因為到的距離為，則，
所以，解得，
所以該雙曲線的離心率為.
故選：A
8. 已知對恒成立，則的最大值為（ ）
A. 0B. C. eD. 1
【答案】D
【解析】
【分析】由題意得對恒成立，令，利用導(dǎo)數(shù)求得，即，再令，利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值，可求出的取值范圍，從而可求出的最大值.
【詳解】由，得，
所以對恒成立，
令，則在上單調(diào)遞增，
由，得，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以在上遞減，在上遞增，
所以，即
令，
則在上單調(diào)遞增，
由，得，
所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以在上遞減，在上遞增，
所以，所以，
所以的最大值為1.
故選：D
【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問題，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是通過對原不等式變形，將問題轉(zhuǎn)化為對恒成立，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最值即可，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計算能力，屬于較難題.
二?多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯或未選的不得分.）
9. 設(shè)為兩條不同的直線，為兩個不同的平面，則下列結(jié)論不正確的是（ ）
A. 若，則
B. 若，則
C. 若，則
D. 若，則
【答案】ABC
【解析】
【分析】A.利用直線與平面的位置關(guān)系判斷；
B.利用平面與平面的位置關(guān)系判斷；
C.利用平面與平面的位置關(guān)系判斷；
D.利用線面垂直的性質(zhì)定理判斷.
【詳解】A.若，則或，故錯誤；
B.若，則或與相交，故錯誤；
C.若，則與平行或相交，故錯誤；
D.若，則，故正確；
故選：ABC
10. 已知為坐標(biāo)原點，點，，，則下列說法中正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用向量模的坐標(biāo)表示及數(shù)量積運算，結(jié)合和差角的余弦公式變形判斷作答.
【詳解】對于A，，A正確；
對于B，，
，
，
因此，B正確；
對于C，由選項B知，C正確；
對于D，，
顯然與不恒等，即不恒成立，D錯誤.
故選：ABC
11. 拋物線：焦點為F，且過點，斜率互為相反數(shù)的直線，分別交于另一點C和D，則下列說法正確的有（ ）
A. 直線過定點
B. 在C，D兩點處的切線斜率和為
C. 上存在無窮多個點到點F和直線的距離和為6
D. 當(dāng)C，D都在A點左側(cè)時，面積的最大值為
【答案】BCD
【解析】
【分析】對于A，代入已知點求得拋物線：，不妨設(shè)，，，聯(lián)立拋物線方程結(jié)合韋達(dá)定理可用表示出各個點的坐標(biāo)，從而表示出直線方程即可判斷，對于B，求導(dǎo)并代入的值（用表示）即可判斷；對于C，結(jié)合拋物線定義只需判斷關(guān)于的方程的解的個數(shù)即可；對于D，求出三角形面積表達(dá)式，進(jìn)一步構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最值即可得解.
【詳解】對于A，因為拋物線：過點，所以，解得，
所以拋物線：，設(shè)點關(guān)于拋物線對稱軸即軸的對稱點為點，則，
因為斜率互為相反數(shù)，不妨設(shè)，
則，
聯(lián)立與拋物線：，化簡并整理得，
，
設(shè)，
則，
所以，同理，
直線的方程為：，
整理得
，
即直線的方程為：，這條直線的斜率是定值，
隨著的變化，這條可能直線會平行移動，
不妨取，此時方程依次是，
顯然這兩條直線是平行的，它們不會有交點，這就說明直線過定點是錯誤的，故A錯誤；
對于B，對求導(dǎo)，可得，從而在C，D兩點處切線斜率和為，故B正確；
對于C，設(shè)上存在點Px0,y0到點F和直線的距離和為6，
由拋物線定義可知，，其中為點到直線的距離，
注意到當(dāng)時，恒有成立，
這意味著上存在無窮多個點到點F和直線的距離和為6，故C正確；
對于D，設(shè)與交與點，聯(lián)立直線的方程：與直線的方程：，
解得，即點的坐標(biāo)為，
設(shè)面積為，
則,
注意到C，D都在A點左側(cè)時，意味著，且，從而的取值范圍為，
從而，
設(shè)，則，
所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以面積的最大值為.
故選：BCD.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：判斷CD選項的關(guān)鍵在于利用A選項中的一些結(jié)論，并適當(dāng)利用導(dǎo)數(shù)這一有利的工具，從而即可順利得解.
三?填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）
12. 已知對任意實數(shù)x，均有，寫出一組滿足條件的______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式變形即可求解.
【詳解】注意到，
故可以直接讓，
事實上，根據(jù)函數(shù)周期性可知.
故答案為：（答案不唯一）.
13. 已知函數(shù)有兩個零點，則的取值范圍為______．
【答案】
【解析】
【分析】令，得到，構(gòu)造函數(shù)，，根據(jù)條件，數(shù)形結(jié)合得到，從而有，通過換元，得到，再求出在的取值范圍，即可求解.
【詳解】易知函數(shù)的定義域為，令，得到，
令，，圖象如圖所示，
因為函數(shù)有兩個零點，由圖易知，，
且，得到，
所以，令，
則，又易知在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以，即的取值范圍為，
故答案：.
14. 設(shè)實數(shù)x、y、z、t滿足不等式，則的最小值為______.
【答案】##0.2
【解析】
【分析】令，根據(jù)分母最大分子最小時分式的值最小可得，結(jié)合基本不等式和計算即可．
【詳解】因為，所以,
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，
即的最小值為.
故答案為：.
四?解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）
15. 已知數(shù)列的前n項和為．
（1）求的通項公式：
（2）若等比數(shù)列滿足，求的前n項和．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）借助關(guān)系式，即可求解；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論可求出等比數(shù)列bn中的，進(jìn)而求出公比，代入等比數(shù)列前n項和公式即可求出.
【小問1詳解】
因為數(shù)列an的前n項和為，
當(dāng)時，；
當(dāng)時，；
又因為，符合，
所以an的通項公式為：，.
【小問2詳解】
設(shè)等比數(shù)列bn的公比為.
因為等比數(shù)列bn滿足，即，，
所以，所以，
所以bn的前n項和.
16. 海水受日月引力會產(chǎn)生潮汐．以海底平面為基準(zhǔn)，漲潮時水面升高，退潮時水面降低．現(xiàn)測得某港口某天的時刻與水深的關(guān)系表如下所示：（3.1時即為凌晨3點06分）
（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，可以用函數(shù)來近似描述這一天內(nèi)港口水深與時間的關(guān)系，求出這個函數(shù)的解析式；
（2）某條貨船的吃水深度（水面高于船底的距離）為4.2米．安全條例規(guī)定，在本港口進(jìn)港和在港口?？繒r，船底高于海底平面的安全間隙至少有2米，根據(jù)（1）中的解析式，求出這條貨船最早可行的進(jìn)港時間及這條貨船一天最多可以在港口中?？康目倳r長．
【答案】（1）
（2）最早可行的進(jìn)港時間為 1 時 2 分， 5 時 10 分出港；這條貨船一天中最多可以在港口中?？康目倳r長為8小時16分.
【解析】
【分析】（1）由公式可求，由表格可得周期，進(jìn)而求，代入最高點可求；
（2）由題意可知進(jìn)港條件為 ，解不等式即可.
【小問1詳解】
由表格可知y的最大值為7.4，最小值為2.6，
所以，
由表格可知，
所以，
所以，
將點代入可得：，
所以，
解得，
因為，所以，
所以.
【小問2詳解】
貨船需要安全水深為 米,
所以進(jìn)港條件為 .
令 ,
即,
所以,
解得,
因為，
所以時，,
k=1時，
因為（時） =1 時 2 分, （時） 時 10 分.
（時） 時 26 分，（時） 時 34 分.
因此，貨船可以在 1 時 2 分進(jìn)港，早晨 5 時 10 分出港；或在下午 13 時 26 分進(jìn)港，下午 17 時 34 分出港.
則該貨船最早進(jìn)港時間為1時2分，?？靠倳r長為8小時16分鐘.
17. 如圖，邊長為4的兩個正三角形，所在平面互相垂直，，分別為，的中點，點在棱上，，直線與平面相交于點.
（1）證明：；
（2）求直線與平面的距離.
【答案】（1）證明見解析
（2）.
【解析】
【分析】（1）首先證明平面，再由線面平行的性質(zhì)證明即可；
（2）連接,，以點為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，利用點到平面距離公式求解即得.
【小問1詳解】
因為、分別為、的中點，所以，
又平面，平面，則平面，
又平面，平面平面，所以.
【小問2詳解】
由（1）知，平面，
則點到平面的距離即為與平面的距離，
連接,，由均為正三角形，為的中點，得，
又平面平面，平面平面平面，
于是平面，又平面，則，
以點為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，又，，
又，可得，
所以，，，
設(shè)平面的一個法向量為，則，
令，得，
設(shè)點到平面的距離為，則，
所以與平面的距離為.
18. 設(shè)函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，有唯一零點.
（1）的圖像在處的切線方程為，求的最小值及此時的取值；
（2）若對任意滿足的都有，證明：.
【答案】（1）最小值為3，此時
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）由導(dǎo)函數(shù)，求得切線方程，由此得到函數(shù)，利用基本不等式得出最小值；
（2）利用函數(shù)對不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)換，在利用導(dǎo)函數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，找到零點，從而得出結(jié)論.
【小問1詳解】
，令，則?′x=ex+mxx>0，
故y=f′x的圖像在處的切線方程為，
又，故，
，最小值為3，
當(dāng)且僅當(dāng)取等，故時取得等號，故.
【小問2詳解】
證明即證明.
且由（1）知道?′x=ex+mxx>0,m>0，?′x>0，f′x單調(diào)遞增即證明，
由題得在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，由，
fx2>f2x0?x1，故，
，
由，令故在x∈0,x0恒成立，
又，，
令，，，
，，
令，，，
，px=ex?2mx3x>0單調(diào)遞增，
時，
假設(shè)，，在存在唯一零點，
則在上為正，在上為正，
在上，同理
與在x∈0,x0恒成立矛盾，
故，則得證.
【點睛】思路點睛：證明參數(shù)在某個范圍才使得命題成立，需要對其進(jìn)行函數(shù)轉(zhuǎn)換，再利用函數(shù)單調(diào)性來確定函數(shù)的取值范圍，函數(shù)單調(diào)性的確定主要依靠導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)來判斷，所以本題在沒有確定導(dǎo)函數(shù)正負(fù)的情況下需要進(jìn)一步求導(dǎo)，直到能夠判斷出正負(fù)，進(jìn)而回推出函數(shù)單調(diào)性.
19. 已知集合，對于任意，
操作一：選擇中某個位置（某兩個數(shù)之間或第一個數(shù)之前或最后一個數(shù)之后），插入連續(xù)個或連續(xù)個，得到；
操作二：刪去中連續(xù)個或連續(xù)個，得到；
進(jìn)行一次操作一或者操作二均稱為一次“月變換”，在第次 “月變換”的結(jié)果上再進(jìn)行次“月變換”稱為第次“月變換”．
（1）若對進(jìn)行兩次“月變換”，依次得到，．直接寫出和的所有可能情況．
（2）對于和至少要對進(jìn)行多少次“月變換”才能得到？說明理由．
（3）證明：對任意，總能對進(jìn)行不超過次“月變換”得到．
【答案】（1），，或，，或，.
（2）
（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）直接根據(jù)定義得到所有可能的情況即可；
（2）先對段落數(shù)估計，證明一定需要次操作，然后構(gòu)造次操作的例子，即可說明至少需要的操作次數(shù)為；
（3）先給出具體的操作方式，然后證明該操作方式下操作的總次數(shù)不會超過.
【小問1詳解】
由于對進(jìn)行一次“月變換”后就得到了，說明一定含有個相同且相鄰的數(shù)，從而只可能是，，，對應(yīng)的分別是，1,0，0,1.
【小問2詳解】
對每個中的元素，將其所有連續(xù)的和連續(xù)的各自記為一個段落，則容易得到：
若對某個進(jìn)行一次操作一得到，則的段落數(shù)或者和的段落數(shù)相等，或者比的段落數(shù)多，或者比的段落數(shù)多；
若對某個進(jìn)行一次操作二得到，則的段落數(shù)或者和的段落數(shù)相等，或者比的段落數(shù)少，或者比的段落數(shù)少.
這表明，每次“月變換”下，變換前后元素的段落數(shù)之差的絕對值不超過.
現(xiàn)在，的段落數(shù)為，的段落數(shù)為.
故若對進(jìn)行次“月變換”后可以得到，則由前面的結(jié)論知包含的段落數(shù)之差的絕對值不超過，所以，得.
如果，則再次由前面的結(jié)論可知，變換過程中每次都是操作二，且有次變換后相比變換前的段落數(shù)多，有次變換后相比變換前的段落數(shù)多.
但在只進(jìn)行操作二的情況下，的數(shù)量不可能減少，但包含的的個數(shù)分別是，矛盾.
所以.
下面的變換過程表明是可行的：
，
，
，
，
，
.
所以，至少要對進(jìn)行次“月變換”才能得到.
【小問3詳解】
由于能通過 “月變換”得到，當(dāng)且僅當(dāng)能通過 “月變換”得到，所以我們不妨設(shè)的段落數(shù)不小于的段落數(shù)，則.
此時，我們再不妨設(shè)中的段落數(shù)不超過的段落數(shù)，從而中的段落數(shù)不超過.
顯然，如果不含，則只需要一次操作使含的個數(shù)與相等，然后再插入至多個連續(xù)的構(gòu)成的段落即可，由知結(jié)論成立.
下面考慮含的情況，進(jìn)行如下操作：
第一步：如果的的個數(shù)小于，則在的任意一個右側(cè)增加若干個使得二者含數(shù)量相等，否則跳過該步驟；
第二步：我們不斷對進(jìn)行增加或刪除連續(xù)若干個的操作.
準(zhǔn)備工作：如果和開頭的數(shù)碼不同，則在開頭增加或刪去若干個，否則跳過該步驟.
然后反復(fù)進(jìn)行以下步驟：
情況1：如果當(dāng)前的的第一個和不一致的段落對應(yīng)的數(shù)字是由組成的，則在的該段落中間添加若干個（數(shù)量與的下一個段落的的個數(shù)相等），或者在該段落末尾刪去的下一個由組成的段落；
情況2：如果當(dāng)前的的第一個和不一致的段落對應(yīng)的數(shù)字是由組成的，則在的該段落中間添加或刪去若干個，使得該段的的個數(shù)與的該段落的的個數(shù)相等.
如此反復(fù)后，如果第一步進(jìn)行了操作，則最終和一致；如果第一步?jīng)]有進(jìn)行操作，則最終相比在末尾多出若干個.
第三步：如果相比在末尾多出若干個，則刪除多余的，否則跳過該步驟.
至此，我們就將操作變成了.
由于每執(zhí)行一次第二步的操作時，使得段落數(shù)增加的準(zhǔn)備工作和段落數(shù)減少的刪除的操作的總次數(shù)不超過，而增加的操作的次數(shù)不超過，同時第一步和第三步不可能同時進(jìn)行操作，所以總的操作次數(shù)不會超過，故需要的操作次數(shù)不超過.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵點在于對“月變換”定義的理解，只有理解了定義，方可解決相應(yīng)的問題.時刻：x（時）
0
3.1
6.2
9.3
12.4
15.5
18.6
21.7
24
水深：y（米）
5.0
7.4
5.0
2.6
5.0
7.4
5.0
2.6
4.0

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[數(shù)學(xué)]廣東省深圳市人大附中深圳學(xué)校2025屆高三上學(xué)期10月檢測試題(有答案)：

這是一份[數(shù)學(xué)]廣東省深圳市人大附中深圳學(xué)校2025屆高三上學(xué)期10月檢測試題(有答案)，共9頁。

廣東省深圳市人大附中深圳學(xué)校2025屆高三上學(xué)期10月檢測數(shù)學(xué)試題：

這是一份廣東省深圳市人大附中深圳學(xué)校2025屆高三上學(xué)期10月檢測數(shù)學(xué)試題，共20頁。試卷主要包含了已知集合，則的元素數(shù)量是，已知，則，已知均為正實數(shù)，已知對恒成立，則的最大值為等內(nèi)容，歡迎下載使用。

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