1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上，貼好條形碼．
2．答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．答非選擇題時，用0.5毫米的黑色簽字筆將答案寫在答題卡上．字體工整，筆跡清楚．
3．請按題號順序在答題卡相應(yīng)區(qū)域作答，超出區(qū)域所寫答案無效；在試卷上、草紙上答題無效．
4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．
一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一個是符合題目要求．
1. 已知復(fù)數(shù)，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求的共軛復(fù)數(shù)，再利用復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式求解即可.
【詳解】由，則，
則，
故選：C.
2. “”是“角為第二象限角”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)充分條件、必要條件，結(jié)合三角函數(shù)在各象限的符號得解.
【詳解】因?yàn)?，所以可能為第二、第三象限角，也可能終邊在負(fù)半軸上，
推不出為第二象限角，但是角為第二象限角，能推出，
所以“”是“角為第二象限角”的必要不充分條件.
故選：B
3. 已知，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解出集合，根據(jù)集合交集運(yùn)算可求解.
【詳解】根據(jù)題意可知集合元素，且，則或，
所以集合，則.
故選：B
4. 已知向量，，則（ ）
A. 若，則B. 若，則
C. 若，則D. 若，則
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)平面向量共線與垂直的坐標(biāo)公式計(jì)算即可.
【詳解】對于AB，若，則，解得，故AB錯誤；
對于CD，若，則，解得，故C錯誤，D正確.
故選：D.
5. 在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由正弦定理即二倍角公式可求的值.
【詳解】因?yàn)椋烧叶ɡ?，又，所?
因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，所以，所以.
故選：A
6. 已知等差數(shù)列的公差為1，則（ ）
A. 1B. 3C. 9D. 27
【答案】D
【解析】
【分析】由題意得，從而對所求式子進(jìn)行變形即可求解.
【詳解】由題意，
所以.
故選：D.
7. 設(shè)樣本數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為，若樣本數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)比標(biāo)準(zhǔn)差少3，則的最大值為（ ）
A. 1B. C. 4D.
【答案】C
【解析】
【分析】由平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差的性質(zhì)結(jié)合已知條件得，從而，由此能求出的最大值．
【詳解】樣本數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為，
樣本數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為，
依題意有，得，
由，，
所以，即時，的最大值為4.
故選：C.
8. 已知函數(shù)（，）的部分圖象如圖所示，若函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，則的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)圖象得到，從而有，再根據(jù)題設(shè)得到，即可求解.
【詳解】由圖知，，得到，又，所以，
又由“五點(diǎn)法”作圖知，第三個點(diǎn)為，得到，解得，
所以，則，
又的圖象關(guān)于軸對稱，則，得到，
令，得到，令，得到，所以的最小值為，
故選：B.
二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9. 下列不等式成立的是（ ）
A. 若，則B. 若，則
C. 若，則D. 若，則
【答案】AD
【解析】
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷A，由特殊值時可判斷BC，分類討論結(jié)合不等式性質(zhì)判斷D.
【詳解】對于A，若，由不等式性質(zhì)，兩邊同乘以，可得，故A正確；
對于B，若，當(dāng)時，，故B錯誤；
對于C，當(dāng)時，成立，但不成立，故C錯誤；
對于D，若，當(dāng)時，由不等式性質(zhì)知，
當(dāng)時，，不等式也成立，
綜上，若，則，故D正確.
故選：AD
10. 如圖，在中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，，，，點(diǎn)為與的交點(diǎn)，則（ ）
A. B. 是在上的投影向量
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算及向量數(shù)量積的幾何意義與運(yùn)算律可判斷各選項(xiàng).
【詳解】A選項(xiàng)：由，則，A選項(xiàng)錯誤；
B選項(xiàng)：由向量數(shù)量積的幾何意義可知在上的投影的數(shù)量為，
又點(diǎn)為上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，即，
即，
所以是在上的投影向量，B選項(xiàng)正確；
C選項(xiàng)：，C選項(xiàng)正確；
D選項(xiàng)：設(shè)，又點(diǎn)在上，可設(shè)，
又，
則，
則，解得，
即，D選項(xiàng)錯誤；
故選：BC.
11. 已知函數(shù)，則（ ）
A. 是周期函數(shù)
B.
C. 在上恰有1個極值點(diǎn)
D. 關(guān)于的方程有兩個實(shí)數(shù)解
【答案】BCD
【解析】
【分析】結(jié)合周期函數(shù)的特點(diǎn)可判斷A項(xiàng)；運(yùn)用函數(shù)放縮，再結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)可判斷B項(xiàng)；二次求導(dǎo)，再運(yùn)用零點(diǎn)存在定理可判斷C項(xiàng)；分段研究可判斷D項(xiàng).
【詳解】對于A項(xiàng)：由于具有周期性，而不具有周期性，
所以函數(shù)不是周期函數(shù)，故A錯誤；
對于B項(xiàng)：因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)?，且?br>所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，單調(diào)遞減.
所以，且或時，，
所以，
又因?yàn)榈谝惶幍忍柍闪⒌臈l件是，，
第二處等號成立的條件是，所以兩處等號不能同時成立，
所以，所以，即，故B正確；
對于C項(xiàng)：因?yàn)椋?br>設(shè)，，
則，所以單調(diào)遞減，
又因?yàn)間0=1>0，，
所以在上有且僅有一個變號零點(diǎn)，
即f′x有唯一的零點(diǎn)，
所以在0,π上恰有1個極值點(diǎn)，故C正確；
對于D項(xiàng)：因?yàn)間π4=22(1?π4)>0，，
且在上單調(diào)遞減，
所以存在，使gx0=0，
所以當(dāng)時，gx>0；當(dāng)時，gx0，單調(diào)遞增；
當(dāng)時，f′x2.73?3>3，
所以，
所以方程在上無實(shí)數(shù)解.
當(dāng)時，，方程在上無實(shí)數(shù)解.；
當(dāng)時， ，
又因?yàn)閑x?x>e?3+3>3，
所以，
所以方程在上無實(shí)數(shù)解.
綜上可知關(guān)于的方程有兩個實(shí)數(shù)解，故D正確.
故選：BCD
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．其中14題的第一空填對得2分，第二個空填對得3分．
12. 中國成功搭建了國際首個通信與智能融合6G外場試驗(yàn)網(wǎng)，并形成貫通理論、技術(shù)、標(biāo)準(zhǔn)和應(yīng)用的全產(chǎn)業(yè)鏈創(chuàng)新環(huán)境.某科研院在研發(fā)6G項(xiàng)目時遇到了一項(xiàng)技術(shù)難題，由甲、乙兩個團(tuán)隊(duì)分別獨(dú)立攻關(guān).已知甲、乙團(tuán)隊(duì)攻克該項(xiàng)技術(shù)難題的概率分別為0.8和0.7，則該科研院攻克這項(xiàng)技術(shù)難題的概率為______．
【答案】0.94##
【解析】
【分析】設(shè)相應(yīng)事件，根據(jù)對立事件結(jié)合獨(dú)立事件求，即可得結(jié)果.
【詳解】設(shè)甲、乙團(tuán)隊(duì)攻克該項(xiàng)技術(shù)難題分別為事件，
則，
可得，
所以該科研院攻克這項(xiàng)技術(shù)難題的概率為.
故答案：0.94.
13. 已知集合，，將中所有元素按從小到大的順序排列構(gòu)成數(shù)列，則數(shù)列的前20項(xiàng)和為______．
【答案】345
【解析】
【分析】明確中的元素，了解數(shù)列前20項(xiàng)的構(gòu)成，可求數(shù)列的前20項(xiàng)的和.
【詳解】由題意，數(shù)列的前20項(xiàng)為：2，3，4，6，8，9，10，12，14，16，18，20，22，24，26，27，28，30，32，34.
所以數(shù)列的前20項(xiàng)的和為：
.
故答案為：345
14. 已知函數(shù)，的零點(diǎn)分別為，，且，，則______；若恒成立，則整數(shù)的最大值為______．
（參考數(shù)據(jù)：，，，．）
【答案】 ①. 2 ②. 6
【解析】
【分析】利用函數(shù)圖象的對稱性，得點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對稱，則有，，所以；，由已知參考數(shù)據(jù)利用零點(diǎn)存在性定理可得，可求的范圍得整數(shù)的最大值.
【詳解】函數(shù)與兩函數(shù)，圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為和的零點(diǎn)，
反比例函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，
函數(shù)的圖象，可以由的圖象向右平移2個單位，再向上平移2 個單位得到，
則對稱直線為，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，
又函數(shù)與互為反函數(shù)，圖象關(guān)于直線對稱，
當(dāng)，時，有點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對稱，
則有，，
所以；
，由，
，
利用零點(diǎn)存在性定理可得， 故，
又，，若恒成立，則整數(shù)的最大值為6.
故答案為：2；6.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：
本題關(guān)鍵點(diǎn)是：函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱，可知點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對稱，得到，.
四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
15. 在新時代改革開放的浪潮中，吉林省踐行習(xí)近平總書記“綠水青山就是金山銀山，冰天雪地也是金山銀山”的發(fā)展理念，繪就了“一山一水一通道”的四季旅游璀璨畫卷，形成了“一山兩湖三江四季”的旅游IP矩陣．吉林某校為促進(jìn)學(xué)生對家鄉(xiāng)山水人文的了解，組織學(xué)生參加知識競賽，比賽分為初賽和決賽，根據(jù)初賽成績，僅有的學(xué)生能進(jìn)入決賽．現(xiàn)從參加初賽的學(xué)生中隨機(jī)抽取名，記錄并將成績分成以下組：40,50，50,60，60,70，，80,90，90,100，得到如下圖所示的頻率分布直方圖．
（1）求頻率分布直方圖中的值，并由此估計(jì)進(jìn)入決賽學(xué)生的初賽成績最低分；
（2）從樣本成績在內(nèi)的學(xué)生中，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法抽取人，再從這人中任意抽取人訪談，求至多有一人成績在60,70內(nèi)的概率．
【答案】（1），；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)頻率直方圖頻率和為即可求出的值，根據(jù)頻率分布直方圖結(jié)合百分位數(shù)的方法即可求進(jìn)入決賽學(xué)生的初賽成績最低分；
（2）首先利用分層抽樣得到抽取成績在60,70的人數(shù)，再利用古典概型結(jié)合對立事件概率的求法進(jìn)行求解即可.
【小問1詳解】
由題，解得，
根據(jù)初賽成績，僅有的學(xué)生能進(jìn)入決賽，
又成績在的頻率為，
成績在的頻率為，
因此可估計(jì)進(jìn)入決賽學(xué)生的初賽成績最低分應(yīng)該在之間，
則，解得.
【小問2詳解】
由成績在60,70的頻率為，在的頻率為，在80,90的頻率為，
則從樣本成績在內(nèi)的學(xué)生中，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法抽取人中，
在60,70的人數(shù)為：（人），在的人數(shù)為人，
則從這人中任意抽取人訪談，至多有一人成績在60,70內(nèi)的概率為.
16. 已知冪函數(shù)（）的圖象過點(diǎn)．
（1）求關(guān)于的不等式的解集；
（2）若存在使得，，成等比數(shù)列，求正實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由冪函數(shù)過定點(diǎn)解出，再由單調(diào)性解不等式即可；
（2）由等比數(shù)列的性質(zhì)列出等式，再分離參數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)性，從而得到結(jié)果；
【小問1詳解】
因?yàn)閮绾瘮?shù)（）的圖象過點(diǎn)，
所以，解得，
所以，定義域?yàn)?，且為增函?shù)，
因?yàn)?，所以?br>解得，
所以不等式的解集為.
【小問2詳解】
由題意可得，
即，
即，
所以，令，
所以當(dāng)時，，為增函數(shù)；時，，為減函數(shù)，
所以，
所以正實(shí)數(shù)的取值范圍為.
17. 已知等差數(shù)列an的前項(xiàng)和為，滿足，.
（1）求數(shù)列an通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和；
（3）求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式可得解；
（2）利用并項(xiàng)求和的方法可得解；
（3）由，利用裂項(xiàng)相消法可得解.
【小問1詳解】
由已知數(shù)列an為等差數(shù)列，
則，解得，
所以；
【小問2詳解】
由（1）得，則，
則
；
【小問3詳解】
由（1）,（2）得，
所以
.
18. 在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，．
（1）若，，求的面積；
（2）求證：；
（3）當(dāng)取最小值時，求．
【答案】（1）
（2）證明見解析 （3）
【解析】
【分析】（1）先由得到的值，再結(jié)合得到，根據(jù)正弦定理得到，最后由三角形面積公式可得結(jié)果；
（2）由同角三角函數(shù)的關(guān)系和正余弦定理，化簡即可證明；
（3）利用和，將表示為，代入，化簡可得均值不等式，計(jì)算求解即可.
【小問1詳解】
由題意，，則，，則，
所以，，
所以的面積.
【小問2詳解】
由，可得，即，
由余弦定理得：，
化簡得：，即.
【小問3詳解】
由，可得
，又，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，
此時.
19. 已知函數(shù)，，．
（1）當(dāng)時，若在點(diǎn)處的切線方程為，求實(shí)數(shù)的值；
（2）（ⅰ）證明：曲線y=fx是中心對稱圖形；
（ⅱ）若當(dāng)且僅當(dāng)，求的取值范圍．
【答案】（1）3 （2）（?。┳C明見詳解；（ⅱ）
【解析】
【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義列式求解即可；
（2）①根據(jù)對稱性的定義分析證明；②根據(jù)題意可知，分析可知原題意等價于對任意恒成立，分和兩種情況，結(jié)合導(dǎo)數(shù)分析恒成立問題即可.
【小問1詳解】
若，則，，
對于直線，當(dāng)時，，
由題意可得：，解得，
所以實(shí)數(shù)的值為3.
【小問2詳解】
①因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋?br>且
，
即，可知關(guān)于點(diǎn)對稱，
所以曲線是中心對稱圖形；
②若當(dāng)且僅當(dāng)，可知是的根，
即，則，，
可知關(guān)于點(diǎn)對稱，原題意等價于對任意恒成立，
若，當(dāng)趨近于時，趨近于，不合題意；
若，因?yàn)椋?br>當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，
但，即等號不成立，可得，則，
且，可得，
即，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，則，符合題意；
綜上所述：取值范圍.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：兩招破解不等式的恒成立問題
（1）分離參數(shù)法
第一步：將原不等式分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題；
第二步：利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的最值；
第三步：根據(jù)要求得所求范圍．
（2）函數(shù)思想法
第一步：將不等式轉(zhuǎn)化為含待求參數(shù)的函數(shù)的最值問題；
第二步：利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的極值；
第三步：構(gòu)建不等式求解．

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